Предмет: Теория Автоматического Управления
Тема:
ЗАДАЧИ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Задачи синтеза оптимальных систем управления

Статистический синтез заключается в отыскании и реализации оптимальных в определенном смысле свойств (структуры и параметров) системы по заданным статистическим характеристикам входных воздействий.
Существуют различные методы статистической оптимизации. Рассмотрим задачу, сформулированную Винером-Колмогоровым.
Постановка задачи Винера–Колмогорова.

e

Kи(p)

K(p)

x

z

y

x1

e

Дано: x (t) - полезный сигнал; z (t) - помеха; K_и (p) - оператор преобразования.
Рис. 1
Определить: оптимальную передаточную функцию - K₀ (p).
Передаточная функция K₀ (p) должна быть устойчивой и физически реализуемой. Если полезный сигнал - x (t) и помеха - z (t) представляют собой Гауссовские случайные процессы, то решение может быть найдено в классе линейных стационарных систем, в противном случае решение находится в классе нелинейных систем.
В зависимости от оператора К_и (р) рассматриваются следующие задачи:
К_и (р) = 1 - воспроизведения;
К_и (р) = 1/р - статистического интегрирования;
К_и (р) = р - статистического дифференцирования;
К_и (р) = - статистического упреждения, экстраполяции, прогнозирования.
Таким образом, задача Винера-Колмогорова решается при следующих предположениях:
Сигнал и помеха представляют собой Гауссовские процессы.
Искомая система должна принадлежать к классу линейных систем.
Критерий оптимальности - минимум средней квадратичной ошибки.
Решение: Определим выражение для средней квадратичной ошибки

Средняя квадратичная ошибка равна

Мы получили некоторый функционал, в котором неизвестно к (t). Необходимо найти такое к (t), при котором ошибка будет минимальной.
Это задача минимизации функционала: она решается с использованием вариационного анализа.
Пусть
;

где:  - оптимальная функция веса;
 - приращение.
Подставим это в исходное уравнение для ошибки и получим:
;
где А - функция, которая не зависит от а; В - функция, которая зависит от а; С - функция, которая зависит от а².
Найдем экстремум по параметру а

к (t) -оптимально если а = 0 т.е. В = 0.

Откуда можно получить следующее выражение
 (1)
Это интегральное уравнение Винера-Хопфа, оптимальная передаточная функция должна удовлетворять этому уравнению.
Решение уравнение Винера-Хопфа.
Строгое решение этого уравнения сложно, решим это уравнение простым путем предложенным Шенноном. Уравнению Винера-Хопфа в частотной области соответствует следующее выражение:
 (2)
Откуда
 (3)
Но это уравнение физически нереализуемо так как к₀ (t) = 0 при t < 0 т.е. K₀ (jw) содержит физически реализуемую и нереализуемую часть.
Для выделения физически реализуемой части воспользуемся свойством формирующего фильтра.
Используя операцию факторизации суммарную спектральную плотность сигнала и помехи можно представить в виде:
 (4)
Используя операцию расщепления, представим выражение для частотной характеристики оптимальной системы в виде реализуемой и нереализуемой части
 (5)
где [] ₊ - реализуемая часть; [] - нереализуемая часть.
Определим

Отбросив нереализуемую часть, можно записать следующее выражение для частотной характеристики оптимальной системы с учетом физической реализуемости:
 (6)
Это формула Винера-Колмогорова.

Примеры решений задач

Пример 1. Рассмотрим задачу фильтрации с воспроизведением. Определить оптимальную передаточную функцию - K₀ (p) устойчивой и физически реализуемой системы рис.2).
Дано: Полезный сигнал - X (t) и помеха - Z (t), представляющие собой Гауссовские случайные процессы.
K_и (p) = 1;

Kи(p)

K(p)

X

Z

Y

X1

e

Рис. 2
Решение: Так как полезный сигнал - X (t) и помеха - Z (t) представляют собой Гауссовские случайные процессы, то решение может быть найдено в классе линейных стационарных систем.
Выражение для частотной характеристики оптимальной системы с учетом физической реализуемости имеет вид:

Так как сигнал и помеха некоррелированы и K_и (p) = 1, то выражение имеет вид:

Определим К_ф (jw)


Используя операцию расщепления, представим выражение для частотной характеристики оптимальной системы в виде реализуемой и нереализуемой части

При этом

Значения А и В найдем методом неопределенных коэффициентов

С учетом полученных выражений

При этом передаточная функция представляет аппериодическое звено

Где

Пример 2. Рассмотрим задачу фильтрации с дифференцированием. Определить оптимальную передаточную функцию - K₀ (p) устойчивой и физически реализуемой системы рис.3.
Дано: Полезный сигнал - X (t) и помеха - Z (t), представляющие собой Гауссовские случайные процессы.
K_и (p) = р;

Kи(p)

K(p)

X

Z

Y

X1

	e

 

e

Рис. 3
Решение: Так как полезный сигнал - X (t) и помеха - Z (t) представляют собой Гауссовские случайные процессы, то решение может быть найдено в классе линейных стационарных систем.
Выражение для частотной характеристики оптимальной системы с учетом физической реализуемости имеет вид:

Так как сигнал и помеха некоррелированны то выражение имеет вид:


Определим К_ф (jw)

где
Используя операцию расщепления, представим выражение для частотной характеристики оптимальной системы в виде реализуемой и нереализуемой части

Где

Значения А и В найдем методом неопределенных коэффициентов


С учетом полученных выражений

При этом передаточная функция представляет апериодическое звено

где

Литература

1.                Гуляев В.И., Баженов В.А., Попов С.Л. Прикладные задачи теории нелинейных колебаний механических систем, 1989.
2.                Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения, 1985.
3.                Светлицкий В.А., Стасенко И.В. Сборник задач по теории колебаний, 1973.