Реферат Классический метод. Постоянное напряжение источника
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
от 25%
договор
Дано: E = 150 В; Em = 150 В; = 7000 рад/с; e = 120; L = 4 мГн; C = 5 мкФ; R1 = 6 Ом; R2 = 10 Ом; R3 = 5 Ом; R4 = 4 Ом.
Найти: uC(t).
Классический метод. Постоянное напряжение источника.
Сопротивление последовательного соединения R1, R4
R14 = R1 + R4 = 6 + 4 = 10 Ом.
Алгебраизованное выражение для входного комплексного сопротивления относительно источника
Z(p) = + + R14 = .
Характеристическое уравнение Z(p) = 0,
R3(R2 + R14)LC p2 + ((R2 + R3 + R14)L + R2R3R14C)p + R2(R3 + R14) = 0;
5∙(10 + 10)∙4∙10-3∙5∙10-6p2 + ((10 + 5 + 10)∙4∙10-3 + 10∙5∙10∙5∙10-6)p + 10∙(5 + 10) = 0:
Корни характеристического уравнения p1 = – 1510 с; p2 = – 49700 с.
Свободная составляющая тока в индуктивности iLсв = A1ep1t + A2ep2t = A1e–1510t + A2e–49700t.
Схема до коммутации.
Начальное значение тока в ветви c индуктивностью iL(0) = E/(R14 + R3) = 150/(10 + 5) = 10 А.
Начальное значение напряжения на емкости uC(0) = iL(0)R3 = 10∙5 = 50 В.
Схема после коммутации.
Принужденная составляющая напряжения на емкости uCпр = E = 150 В.
Переходное напряжение на емкости и его производная по времени
uC(t) = uCпр + uCсв(t) = 150 + A1e–1510t + A2e–49700t;
= – 1510A1e–1510t – 49700A2e–49700t.
Система уравнений для определения неизвестных коэффициентов
uC(0) = uCпр(0) + uCсв(0) = 150 + A1 + A2;
= – 1510A1 – 49700A2.
Уравнения по закону Кирхгофа для схемы после коммутации при t = 0
для правого узла – iC(0) + iL(0) + i2(0) = 0;
для левого контура R14iE(0) + L – uC(0) = E;
для верхнего контура R2i2(0) – L = 0.
Исключение величин i2(0), : (R14 + R2)iC(0) – R2iL(0) – uC(0) = E;
(10 + 10)∙iC(0) – 10∙1,47 – 30,0 = 150;
Зависимые начальные условия iC(0) = 7,5 А; = = 7,5/(5∙10-6) = 1,5∙106 В/с.
50 = 180 + A1 + A2;
1,5∙106 = – 1510A1 – 49700A2.
Постоянные интегрирования A1 = – 3,6 А; A2 = 1,1 А.
Искомый переходный ток в индуктивности iL(t) = 10 – 3,6e–1510t + 1,1e–49700t.
Классический метод. Переменное напряжение источника.
Корни характеристического уравнения аналогично p1 = – 1510 с; p2 = – 49700 с.
Свободная составляющая напряжения на емкости uCсв = A1ep1t + A2ep2t = A1e–1510t + A2e–49700t.
Реактивные сопротивления индуктивности и емкости
XL = L = 7000∙4∙10-3 = 28 Ом; XC = 1/(C) = 1/(7000∙5∙10-6) = 28,6 Ом.
Комплексные величины:
амплитуда напряжения источника m = Emee = 150e120 В;
сопротивления параллельных соединений ветвей R2, L и R3, C
ZR2L = = 1/(1/10 + 1/j28) = 8,87 + j3,17 Ом;
ZR3C = = 1/(1/5 + 1/(– j28,6)) = 4,85 – j0,85 Ом = 4,93e – j9,93 Ом.
Схема до коммутации.
Комплексные значения:
сопротивление цепи относительно источника Z = ZR2L + ZR3C + R14 = (8,87 + j3,17) + (4,85 – j0,85) + 10 = 23,8e j5,58 Ом;
амплитуды тока в ветвях с источником и индуктивностью
em = m/Z = 150e120/23,8e j5,58 = 6,29e j114,45 А;
Lm = em/(jXL/R2 + 1) = 6,29e j114,45/(j28/10 + 1) = 2,12e j44,11 А;
амплитуда напряжения на емкости Cm = emZR3C = 6,29e j114,45∙4,93e – j9,93 = 31,0e j104,52 В;
ЭДС источника, ток в ветви с индуктивностью и напряжение на емкости при t = 0
e(0) = Em sin e = 150∙sin 120 = 129,9 В;
iL(0) = 2,12 sin 44,11 = 1,47 А;
uC(0) = 31,0 sin 104,52 = 30,0 В.
Cхема после коммутации.
Комплексные значения:
сопротивление цепи относительно источника Z = ZR2L – jXC + R14 = (8,87 + j3,17) – j28,6 + 10 = 31,6e – j53,34 Ом;
амплитуды тока в ветвях с источником и индуктивностью
em = m/Z = 150e120/31,6e – j53,34 = 4,74e j173,43 А;
Lm = em/(jXL/R2 + 1) = 1,74e j173,43/(j28/10 + 1) = 1,59e j103,09 А;
амплитуда напряжения на емкости Cm = em(– jXC) = 4,74e j173,43∙28,6e – j90 = 135,4e j83,44 В.
Принужденная составляющая напряжения на емкости uCпр(t) = 135,4 sin(7000t + 83,44).
Переходное напряжение на емкости и его производная по времени
uC(t) = uCпр(t) + uCсв(t) = 135,4 sin(7000t + 83,44) + A1e–1510t + A2e–49700t;
= 94500 cos(7000t + 83,44) – 1510A1e–1510t – 49700A2e–49700t.
Система уравнений для определения неизвестных коэффициентов
uC(0) = uCпр(0) + uCсв(0) = 135,4 sin 83,44 + A1 + A2;
= 94500 cos 83,44 – 1510A1 – 49700A2.
Уравнения по закону Кирхгофа для схемы после коммутации при t = 0
для правого узла – iС(0) + iL(0) + i2(0) = 0;
для левого контура R14iС(0) + L – uC(0) = e(0);
для верхнего контура R2i2(0) – L = 0.
Исключение величин i2(0), : (R14 + R2)iС(0) – R2iL(0) – uC(0) = e(0);
(10 + 10)∙ie(0) – 10∙1,47 – 30,0 = 129,9;
Зависимые начальные условия iС(0) = 8,73 А; = = 8,73/(5∙10-6) = 1,75∙106 В/с.
30,0 = 135,4 sin 83,44 + A1 + A2;
1,75∙106 = 94500 cos 83,44 – 1510A1 – 49700A2.
Постоянные интегрирования A1 = – 73,9 А; A2 = – 30,7 А.
Искомое переходное напряжение на емкости uC(t) = 135,4 sin(7000t + 83,44) – 73,9e–1510t – 30,7e–49700t.
Временные диаграммы переходного тока в индуктивности для постоянного и переменного напряжения
Операторный метод. Постоянное напряжение источника.
Эквивалентная операторная схема
Начальные условия
Ток в цепи с индуктивностью при t = 0: iL(0) = E/(R14 + R3) = 150/(10 + 5) = 10 А.
Напряжение на емкости при t = 0: uC(0) = iL(0)R3 = 10∙5 = 50 В.
Операторные контурные уравнения для смежных контуров-ячеек
I11(p)(R14 + pL + 1/(pC)) – I22(p)pL – I33(p)(1/(pC)) = – E(p) – LiL(0) + uC(0)/p;
– I11(p)pL + I22(p)(R2 + pL) = LiL(0);
– I11(p)(1/(pC)) + I33(p)(R3 + 1/(pC)) = – uC(0)/p.
Подстановка данных
I11(p)(10 + p∙4∙10-3 + 1/(p∙5∙10-6)) – I22(p)p∙4∙10-3 – I33(p)(1/(p∙5∙10-6)) = – 150/p – 4∙10-3∙iL(0) + 50/p;
– I11(p)p∙4∙10-3 + I22(p)(10 + p∙4∙10-3) = 4∙10-3∙iL(0);
– I11(p)(1/(p∙5∙10-6)) + I33(p)(5 + 1/(p∙5∙10-6)) = – uC(0)/p;
Операторные контурные токи левого и правого контуров
I11(p) = – ;
I33(p) = – .
Операторный ток в ветви с емкостью IC(p) = I33(p) – I11(p) = – .
Операторное напряжение на емкости
UC(p) = + = = = ;
F1(p) = uC(0)p2 + (100∙103iL(0) + 1,25∙103uC(0) + 1,5∙106)p + 3,75∙109;
F3(p) = p2 + 51,25∙103p + 75∙106;
F(p) = 2p + 51250.
Корни характеристического уравнения F2(p) = 0 p0 = 0; p1 = – 1510 с; p2 = – 49700 с.
Переходное напряжение на емкости по теореме разложения
uC(t) = + + =
= + e –1510t + e –49700t =
= 50 – 1,37∙10–8(– 1,51∙108iL(0) + 3,9∙105uC(0) + 1,49∙106)e –1510t – 4,17∙10–10(– 4,97∙109iL(0) + 4,41∙109uC(0) – 7,08∙1010)e –49700t А.
При подстановке iL(0) = 10 А, uC(0) = 50 В
uC(t) = 50 – 0,137e –1510t + 0,313e –49700t А
Значения тока в индуктивности, полученные классическим и операторным методами, не совпадают.