Реферат Математика матрица
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
от 25%
договор
Матрицы
Матрица - прямоугольная (в частном случае квадратная) таблица с числами.
Матрица m × n - это таблица из m строк и n столбцов. Если m = n, матрицу называют квадратной матрицей порядка n.
Пример матрицы 4×3 :
a1,1 | a1,2 | a1,3 |
a2,1 | a2,2 | a2,3 |
a3,1 | a3,2 | a3,3 |
a4,1 | a4,2 | a4,3 |
Определитель матрицы
Определитель матрицы A (обозначается как det A) это число, которое ставится в соответствие матрице A по определенному правилу.
Определитель существует (определен) только для квадратной матрицы.
Определителем квадратной матрицы A порядка n называется число:
det(A)= | | = | |
где M1,j - определитель квадратной матрицы порядка n -1, полученной из матрицы A вычеркиванием первой строки и j -го столбца, называемый минором элемента a1,j.
Выражение
det A = | |
называется формулой вычисления определителя разложением по первой строке.
Число (-1) j+1 M1,j называется алгебраическим дополнением элемента a1,j.
Если вас пугает это формула, то она значит следующее:
Определитель вычисляется как сумма n слагаемых, где n - порядок матрицы.
Знак, с которым каждое слагаемое входит в сумму, определяется как (-1)1+k.
Каждое слагаемое представляет собой произведение двух чисел: элемента первой строки матрицы на минор - определитель матрицы, получаемой из исходной путем вычеркивания 1 строки и j столбца.
Обратите внимание, что порядок минора на 1 меньше, чем у исходной матрицы!!!
Умножение матриц
Произведением матриц A размером m × n и матрицы B размера n × k называется матрица размера m × k, элементы которой определяются формулой
ci,j = | n | a i,q · b q,j |
∑ | ||
q=1 |
i=1, ... , m
j=1, ..., k
Произведение матриц записывается как C=A·B.
Произведение матриц определено, если число столбцов матрицы A равняется числу строк матрицы B!!!!
Для более легкого запоминания формулы умножения матриц существует простое правило: строка на столбец. Берем элементы из строки матрицы А и они умножаются на соответствующие элементы столбца матрицы B. Потом все произведения складываются и мы получаем значение элемента матрицы C.
Координаты элемента в результирующей матрице определяется как номер строки матрицы A и номер столбца матрицы B.
Транспонирование матриц
Транспонирование матрицы - это такая операция над матрицей, когда первая строка становится первым столбцом, вторая строка становится вторым столбцом и так далее...
В результате получается транспонированная матрица, обозначаемая как AT.
Обратная матрица
Матрица A-1 - называется обратной к матрице A, если выполняется условие A ·A-1 = A-1·A=E.
Для квадратной матрицы A обратная матрица существует тогда, когда det A ≠ 0.
Обратную матрицу находим следующим образом:
где Ai,j - алгебраические дополнения элементов матрицы A.