Глава 1.Числовые, функциональные, степенные ряды.

1.1. Основные понятия.

Пусть задана некоторая бесконечная последовательность чисел

а₁, а₂, а₃, …, а_n, … (1)

Составленный из этих чисел символ

а₁+ а₂+ а₃+ …+ а_n+ … (2) называется бесконечным рядом (или просто рядом), а сами числа (1) – членами ряда. Вместо (2), пользуясь знаком суммы, часто пишут так:

, (2а) указатель n пробегает здесь все значения от 1 до . Впрочем, нумерацию членов ряда иногда бывает удобнее начинать не с единицы, а с нуля или же какого-либо натурального числа, большего единицы

Станем последовательно складывать члены ряда, составляя суммы:

=, А₂=а₁+а₂, А₃=а₁+а₂+а₃, …, А_п=а₁ +а₂+а₃+…+а_п. (3) Их называют частичными суммами или отрезками ряда.

Конечный или бесконечный предел А частичной суммы А_п ряда (2) при п:

А=_n,

называют суммой ряда и пишут А=а₁ +а₂+а₃+…+а_п+…= , придавая тем самым символу (2) или (2а) числовой смысл. Если ряд имеет конечную сумму, его называют сходящимся, в противном же случае (т.е. если сумма равна , либо же суммы вовсе нет) – расходящимся.

Таким образом, вопрос о сходимости ряда (2) по определению равносилен вопросу о существовании конечного предела для последовательности (3). ([1] с. 11-12)

Предположим, что дана последовательность, элементами которой являются функции

, …, , … , (4)

от одной и той же переменной , определенные в некоторой области ее

изменения =. Пусть для каждого х из Х эта последовательность имеет конечный предел; так как он вполне определяется значением х, то также представляет собой функцию от х в Х:

, (5) которую будем называть предельной функцией для последовательности (4) или для функции . ( с. 64)

Сумму бесконечного ряда функций можно рассматривать как предел последовательности функций (4). ( с. 446)

Среди рядов функций наиболее важное значение имеют степенные ряды. Под степенным рядом разумеют ряд вида

Р(х)=с₀+с₁х+с₂х²+…= («степенной ряд относительно х») или ряд более общего вида (степенной ряд относительно х-х₀):

, где х₀ – постоянное число. Если в последнем ряде ввести в качестве новой независимой переменной х-х₀=t, то ряд перейдет в степенной ряд



относительно переменной t; поэтому можно, не нарушая общности, ограничиться рассмотрением степенных рядов более частного вида

.

( с.459)

Попытаемся прежде всего выяснить строение “области сходимости” степенного ряда, т.е. множества Х= тех значений переменных, для которых ряд

(6)

сходится.

Путь к этому открывает следующая лемма: Если ряд (6) сходится для значения , отличного от нуля, то он абсолютно сходится для любого значения х, удовлетворяющего неравенству .

Из сходимости ряда

вытекает, что его общий член стремится к нулю, а следовательно ограничен:

, .

Возьмём теперь любое , для которого , и составим ряд

(7)

Так как , следовательно , и члены ряда (7) оказываются меньшими соответствующих членов сходящейся геометрической прогрессии (со знаменателем ):

, то по теореме сравнения ряд (7) сходится. В таком случае ряд (6) сходится абсолютно, что и требовалось доказать.

При сходится, очевидно, всякий ряд (6). Но есть степенные ряды, которые помимо этого не сходятся ни при одном значении . Примером такого “всюду расходящегося” ряда может служить ряд . Подобные ряды для нас не представляют интереса.

Предположим же, что для ряда (6) среди значений переменной, при

которых он сходится, есть и отличные от нуля. Рассмотрим множество ;

оно либо ограничено сверху, либо нет.

В последнем случае, какое бы значение ни взять, необходимо найдется такое , что , а тогда по лемме при взятом значении ряд абсолютно сходится. Ряд оказывается “всюду сходящимся”.

Пусть теперь множество сверху ограничено, и будет его точная верхняя граница (так что ). Если , то это значение заведомо разнится от всех , и ряд расходится. Возьмем теперь любое , для которого . По определению точной границы необходимо найдется такое , что ; а это по лемме снова влечет за собой абсолютную сходимость ряда (6).

Таким образом, доказана общая теорема:

Для каждого степенного ряда (6), если только он не является всюду расходящимся, существует такое положительное число (оно может быть и ), что:

- ряд абсолютно сходится для ;

- ряд расходится для (если ).

Это число называется радиусом сходимости ряда.

Тем самым разрешен вопрос об “области сходимости” ряда: она представляет собою сплошной промежуток от до ; лишь о концах его нельзя сделать общего утверждения. Промежуток называется промежутком сходимости ряда.

Для всюду расходящегося ряда принимают : его “промежуток сходимости” сводится к точке .

Примеры: 1) Для ряда , , промежуток сходимости .

2) Ряд имеет , промежуток сходимости : оба конца включаются, но сходимость там неабсолютная.

3) Для ряда , , промежуток сходимости : левый конец не включается, а на правом – ряд сходится неабсолютно. ( с. 82-83)


1.2. Почленное дифференцирование степенного ряда.

Степенной ряд (6) внутри его промежутка сходимости можно дифференцировать почленно, так что для суммы ряда существует производная и выражается так:

(8)

Продолжая дифференцирование, последовательно получим



И таким образом дальше. ( с. 665)

Чтобы доказать правильность этого утверждения, достаточно только показать, что степенной ряд, полученный дифференцированием, сходится равномерно, коль скоро ограничен интервалом, который целиком лежит внутри промежутка сходимости. Выберем какое-либо положительное число , так что ряд сходится (число может лежать как угодно близко к ). Тогда все числа будут меньше некоторого числа , не зависящего от , так что .

Пусть теперь - любое число, удовлетворяющее условию . Если мы ограничим интервалом , то члены ряда, полученного дифференцированием по абсолютной величине меньше членов ряда

и, следовательно, меньше членов ряда . Но в этом ряде отношение -го члена к -у равно . Оно стремится с возрастанием к пределу . Так как , то по признаку сходимости этот ряд с положительными и не зависящими от членами сходится. Следовательно, степенной ряд, полученный дифференцированием, сходится равномерно и представляет поэтому производную от функции ; тем

самым наше утверждение доказано.

Таким образом, мы приходим к следующей общей теореме: всякая функция, выражаемая с помощью степенного ряда, имеет внутри промежутка сходимости производные любого порядка, и эти производные можно получить почленным дифференцированием данного ряда.

В качестве явного выражения -й производной получаем

.

( с. 462-463)

Мы рассмотрели дифференцирование степенных рядов. Теперь можно показать ряд Тейлора.
1.3. Степенной ряд как ряд Тейлора.

Последняя теорема открывает возможность последовательного многократного дифференцирования степенного ряда. Таким образом, обозначая через функцию, представляемую степенным рядом (6) в его промежутке сходимости, будем иметь повсюду внутри этого промежутка





Если положить во всех этих равенствах , то придем к выражениям

коэффициентов степенного ряда

, , , , …, , …

( с. 90)

Таким образом, действительно проверено, что коэффициенты разложения (6) определяются единственным образом формулами

.

Если дана функция , имеющая в некотором промежутке производные любого порядка, то можно вычислить коэффициенты для любого .

Степенной ряд с коэффициентами , вычисленными по некоторой функции , называется рядом Тейлора этой функции .

Таким образом, для всякой бесконечно дифференцируемой в функции можно составить ее ряд Тейлора:

(9)

( с.248)

Если положить , то



- ряд Маклорена.

Перейдем к выяснению условий, при которых можно утверждать, что ряд Тейлора для функции действительно сходится на интервале, и что его сумма совпадает с функцией .

Теорема 1: Всякий сходящийся степенной ряд есть ряд Тейлора своей суммы.

Ряд (9) сходится, как всякий степенной ряд, по степеням в точке , но остается открытым вопрос: сходится ли ряд где-нибудь, кроме точки ? Возникает также и второй вопрос, если ряд (9) сходится, например, в каком-либо промежутке, то какая функция является суммой этого ряда? Та функция , с помощью которой вычислялись коэффициенты ряда (9), или какая-либо другая функция?

Так как поведение ряда (сходимость или расходимость) зависит от коэффициентов ряда, а коэффициенты ряда Тейлора определяются функцией , то, очевидно, вопрос о сходимости ряда Тейлора надо изучать с помощью свойств самой функции .

В дифференциальном исчислении выводится формула Тейлора

, (10) где , а заключено между и . (Взят частный случай формулы Тейлора при .)

Коэффициенты многочлена в формуле Тейлора строятся по тому же правилу, что и коэффициенты ряда Тейлора , но в формуле Тейлора конечное число членов (это конечная сумма, а не ряд) и последний член (дополнительный член формулы Тейлора) резко отличается от всех предыдущих членов: в нем два переменных множителя и

( зависит от ), а не один, как в остальных слагаемых. В ряде Тейлора все слагаемые однотипны, но их бесконечное множество. Формула Тейлора получена для любой функции, имеющей производную. Тем более она верна при любом для бесконечно дифференцируемых функций. С помощью формулы Тейлора и можно ответить на поставленные выше два вопроса.

Теорема 2: Для того, чтобы ряд Тейлора, составленный для функции , сходился в и имел своей суммой , необходимо и достаточно, чтобы дополнительный член формулы Тейлора для стремился к нулю в при .

Доказательство: Сопоставление выражений для ряда Тейлора (9) и формулы Тейлора (10) показывает, что многочлен, стоящий перед дополнительным членом в формуле Тейлора, является частичной суммой ряда Тейлора. Поэтому формулу Тейлора можно записать следующим образом:

, (11) где есть -я частичная сумма ряда Тейлора.

Необходимость: Пусть известно, что в ряд (9) сходится и сумма его равна . Тогда по определению сходимости ряда в имеем:

для всех из , и так как по (11)

, (12) то при для всех из .

Достаточность: Пусть известно, что при в . Тогда из (12) следует, что при , то есть что при в . Это и означает, что ряд (9) сходится и его сумма равна в .

Теорема 3: Если функция бесконечно дифференцируема в и все производные в ограничены одним числом

, , (13) то ряд Тейлора функции сходится в к .

Доказательство: Оценим в , используя (13):

.

В правой части неравенства стоит общий член сходящегося ряда при любом . По необходимому признаку сходимости ряда (если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при ) этот общий член стремится к нулю при и, следовательно, при и при любом из . Таким образом, выполнено условие теоремы 2 и утверждение данной теоремы тем самым доказано. ( с. 248-249)
1.4. Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена.

Разложение заданной функции в ряд Тейлора в окрестности точки распадается на два этапа:

1. 
   Сначала мы вычисляем значения функции и ее производных в точке и составляем ряд Тейлора для функции . При этом предполагается, что функция бесконечное число раз дифференцируема.
   
2. 
   Находим интервал, в котором составленный ряд Тейлора сходится к функции , т.е. устанавливаем, для каких значений остаточный член ряда будет стремиться к нулю при . ( с. 673)
   

Перейдем теперь к разложению в ряды элементарных функций:

1) Показательная функция .

Разложим в ряд Маклорена функцию .

Все производные от функции тоже равны и в точке обращаются в единицу. По формуле Тейлора

.

Рассмотрим интервал , где - любое фиксированное число. Для всех значений из этого интервала . Следовательно, все производные в этом интервале ограничены одним и тем же числом и по теореме . По предположению - любое число, следовательно, функция разлагается в ряд Маклорена при всех значениях , то есть на всей оси . Итак,

.

При любом сумма этого ряда равна .

В частности, при находим ряд для числа :



2) Тригонометрические функции и .

Разложим в ряд Маклорена функцию . Для этого находим последовательно значения ее производных в точке : , , , , , и так далее. Мы видим, что значения производных повторяются и образуют периодическую последовательность .

Любая производная функции (т.е. или ) по абсолютной величине не превосходит единицы. Следовательно, ряд Маклорена для функции сходится к ней на всей числовой оси. Итак,

.

Совершенно аналогично получим разложение (оно также справедливо на всей оси ):

.

Любопытно заметить, что нечетная функция раскладывается в ряд только по нечетным степеням , а четная функция - только по четным.

( с. 674-675)

3) Обратная тригонометрическая функция .

Разложим в ряд Тейлора функцию . Производную этой функции при , , можно рассматривать как сумму убывающей геометрической прогрессии со знаменателем :

(14)

Интегрируя (14) в пределах от 0 до , где , получим:



Итак, при имеем:

.

( с. 260-261)
Глава 2. Применение рядов для вычисления иррациональных чисел

и факториалов.

2.1. Ряды и приближенные вычисления.

На примере конкретных разложений мы разъясним, как бесконечные ряды могут быть использованы для целей приближенных вычислений.

Предпошлем ряд общих замечаний.

Если число разложено в ряд: , где - удобные (рациональные) числа, и мы положим приближенно , то поправка на отбрасывание всех остальных членов выразится остатком .

При достаточно большом эта погрешность станет сколь угодно малой, так что воспроизведет с любой наперед заданной точностью.

Мы заинтересованы в возможности просто производить оценку остатка ; это позволило бы нам и вовремя остановиться при вычислении последовательных частичных сумм, когда уже будет получено приближение требуемой точности.

Если рассматриваемый ряд оказывается знакопеременным и притом с монотонно убывающими по абсолютной величине членами, то остаток имеет знак своего первого члена и по абсолютной величине меньше его. Эта оценка в смысле простоты не оставляет желать лучшего.

Несколько сложнее обстоит дело в случае положительного ряда. Тогда обыкновенно стараются найти положительный же ряд с большими членами, который бы легко суммировался: , , и в качестве оценки для остатка берут величину остатка этого нового ряда: .

Например, для ряда можно получить

,

а для ряда можно получить

.

Обыкновенно ищется десятичное приближение числа , в то время как члены ряда могут и не быть выражены десятичными дробями. При обращении их в десятичную дробь округление служит источником новой погрешности, которую также следует учесть.

Наконец, отметим, что далеко не всякий ряд, имеющий суммой интересующее нас число , пригоден для фактического вычисления этого числа (даже если его члены просты и оценка остатка производится легко). Вопрос – в быстроте сходимости, т.е. в быстроте приближения частичной суммы к числу .

Возьмем для примера ряды и , дающие соответственно разложение чисел и . Они сходятся очень медленно, и для того, чтобы с их помощью найти приближенные значения этих чисел с высокой точностью, нужно было бы сложить огромное количество членов. Ниже мы без особого труда найдем десятичные приближения упомянутых чисел с большой точностью, использовав более подходящие ряды.
2.2. Вычисление числа .

Воспользуемся рядом для арктангенса:

.

Если взять , то , и мы получим ряд

, уже пригодный для вычисления.

Существуют, однако, ряды, гораздо более удобные для вычисления числа . Положим , тогда

, , .

Ввиду близости этого числа к единице ясно, что угол близок к ; положив , будем иметь

, так что .

Отсюда получается такая формула:

.

Вычислим по ней число с семью знаками после запятой. Для этого достаточно тех членов формулы, которые фактически выписаны. Так как оба ряда – типа Лейбница, то поправки в уменьшаемом и вычитаемом на отбрасывание невыписанных членов соответственно будут

и .

Сохраненные члены обратим в десятичные дроби, округляя их (по правилу дополнения) на восьмом знаке. Вычисления сведены в таблицу (+ или – в скобках указывает знак поправки):



+ +










Учитывая все поправки, имеем

,

,

так что .

Итак, окончательно, , причем все выписанные знаки верны.

( с.58-61)
2.3. Формула Валлиса.

Рекуррентная формула для приводит элементарным путем к замечательному выражению числа в виде бесконечного произведения. Полагаем и в формуле

примем за пределы интегрирования и ; тогда получим

при .

Применяем теперь эту же рекуррентную формулу к интегралу в правой части и продолжаем этот процесс далее; тогда получаем, рассматривая отдельно случаи и ,

,

;

следовательно,

,

.

Отсюда делением получим

.

Но отношение интегралов в правой части с возрастанием стремится к 1,

что вытекает из следующего рассуждения. В интервале имеем

; следовательно,

.

Разделив каждый член этих неравенств на и заметив, что на основании доказанной в начале пункта формулы

,

находим

,

а отсюда вытекает наше утверждение.

Вследствие этого получается соотношение

.

Это выражение с помощью произведения, которым мы обязаны Валлису, благодаря наглядности закона образования представляет весьма замечательную связь между числом и целыми числами. Этому соотношению можно придать и различные другие формы. Заметив, что , можем написать

;

извлекаем квадратный корень, а затем умножаем числитель и знаменатель на

:


.

Отсюда, наконец, получаем

.

( с.263-265)
2.4. Формула Стирлинга.

В очень многих приложениях, особенно в статистике и теории вероятностей, встречается необходимость в приближенном представлении выражения с помощью элементарной функции от . Такое выражение дает формула Стирлинга.

При



или, точнее,

.

Другими словами, так как стремится к единице при , то выражение дает приближенное значение с малой относительной погрешностью, тем меньшей, чем больше . Это принято выражать следующей фразой: асимптотически равно . Вместе с тем множитель дает оценку степени точности приближения.

На эту формулу наводит вычисление площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью абсцисс и ординатами и (рис.1). интегрированием получаем точное значение этой площади:

. Если же вычислить интеграл приближенно по формуле трапеций, проведя ординаты , , …, , то получим приближенное значение этой площади:

.

Естественно предположить, что и имеют одинаковый порядок

роста, откуда будет вытекать, что и выражение являются

величинами одного и того же порядка, а стало быть, того же порядка, что , а это и есть существенное утверждение формулы Стирлинга.
Для того чтобы это наводящее рассуждение превратить в точное доказательство, мы сначала покажем, что разность ограничена, откуда и будут немедленно вытекать, что того же порядка, что и .

Разность есть площадь фигуры между кривой и ее хордой в полосе . Так как кривая обращена вогнутостью к оси абсцисс и лежит выше хорды, то и и монотонно возрастает. С другой стороны, разность , очевидно, меньше, чем (ср. рис.2) разность площади трапеции, ограниченной сверху касательной в точке , и площади трапеции, ограниченной сверху хордой; отсюда получаем неравенство



.

Следовательно, подавно

. (15) Подставим сюда последовательно и сложим почленно полученные неравенств. Тогда в левой части останется , а в правой части сократятся все члены, кроме первого и последнего, и мы получим:

,

а так как , то

.

Следовательно, переменная ограничена, а так как она монотонно возрастает, то непременно стремится к некоторому пределу , когда : .

В неравенство (15) подставим последовательно и сложим полученные неравенств; тогда получим

. Оставляя неизменным, перейдем в этом неравенстве к пределу при ; так как , то предельное неравенство будет

.

По определению ; поэтому

, откуда

, где . Последовательность монотонно убывает и стремится к пределу ; стало быть,

и

. Следовательно,

.

Остается вычислить предел , существование которого доказано выше. Для этого воспользуемся формулой, доказанной в пункте 2.3.:

, являющейся следствием формулы Валлиса.

Заменяя в ней через и через , немедленно получим

, откуда . Тем самым формула Стирлинга полностью доказана.

Помимо ее большого теоретического значения, формула Стирлинга очень полезна для приближенного вычисления при больших значениях . Вместо того, чтобы перемножать много целых чисел, можно просто вычислить выражение Стирлинга с помощью таблицы логарифмов; число операций будет намного меньше. Так например, при , пользуясь семизначными таблицами логарифмов, находим по формуле Стирлинга , между тем как точное значение . Относительная ошибка составляет лишь 5/6%. ( с. 422-425)
Глава 3. Интерполирование.

3.1. Постановка задачи и предварительные замечания.

Начнем с решения следующей задачи: требуется определить многочлен, т.е. целую рациональную функцию степени не выше , который в данных различных точках принимает соответственно заданные значения , т.е.

, , …, .

Если числа даны как значения , принимаемые какой-то заданной функцией в точках , то многочлен или называется интерполяционным многочленом -й степени этой функции для точек .

Прежде всего заметим, что такой многочлен -й степени может существовать, самое большее, только один. Действительно, если и - два многочлена такого рода, то их разность является многочленом степени или ниже, который обращается в нуль в различных точках ; следовательно, по известной теореме алгебры имеем

. Но так как и , т.е.

, то отсюда следует (ввиду того, что по условию все значения различны между собой), что постоянная , и, следовательно, многочлен тождественно равен нулю. Тем самым доказана однозначность интерполирующего многочлена. ( с. 394)
3.2. Построение решения. Интерполяционная формула Ньютона.

Переходим теперь к построению интерполяционного многочлена -й

степени , удовлетворяющего следующим требованиям: ,

, …, . Чтобы постепенно, шаг за шагом построить этот многочлен, будем исходить из постоянной , многочлена «нулевой степени», который всюду, а значит и при , имеет значение . К нему прибавляем многочлен первой степени, который обращается в нуль при , т.е. многочлен вида , и определяем так, чтобы сумма при имела требуемое значение . Получающийся в результате многочлен первой степени назовем . Затем мы к прибавляем многочлен второй степени, который обращается в нуль при и , т.е. имеет вид . Прибавление этого многочлена не изменяет, следовательно, значений в этих точках. Определяем множитель таким образом, чтобы полученный многочлен второй степени имел при требуемое значение , и т.д. Соответственно этому интерполяционный многочлен запишется так:

, и поэтому

, где - остаточный член, который во всяком случае обращается в нуль в точках .

Подставляя в выражение для поочередно значения , , …, , получим систему уравнений



из которых можно последовательно определить коэффициенты .

Тем самым интерполяционный многочлен в принципе построен.

Если значения лежат на равных расстояниях друг от друга, так что при , то полученный результат можно представить в виде явного и изящного по форме выражения. Уравнения для определения коэффициентов запишутся в этом случае так:



Введем понятия разностей различного порядка функции . Разностью или первой разностью какой-либо функции называется выражение

. Если вычислим разность первой разности , то получим вторую разность, или разность второго порядка, функции :

. Продолжая далее этот процесс образования разностей, с помощью метода полной индукции получим -ю разность, или разность -го порядка:

, где - биномиальные коэффициенты. Теперь легко из системы уравнений для выразить эти коэффициенты через последовательные разности функции :

, , .

Произведения вида , входящие в выражение интерполяционного многочлена, мы преобразуем с помощью обозначения , так что и ; отсюда

.

В результате получаем для многочлена интерполяционную формулу Ньютона:

.

Если имеет непрерывные производные до -го порядка, то

. Поэтому интерполяционный многочлен переходит в многочлен Тейлора, когда стремится к нулю.

Заметим, что если первые значений совпадают и, в соответствии с этим, заданы значения функции и ее производных: , , …, , , …, , то интерполяционный многочлен можно построить тем же путем. Для пишем выражение следующего вида:

, и коэффициенты определяются из нижеследующей системы уравнений:



( с. 395-397)
3.3. Оценка остаточного члена.

До сих пор для наших рассуждений было, по существу, безразлично, каким путём даны значения . Если, например, эти значения

получены в результате физических измерений, то с построением многочлена

интерполяционная задача полностью решена; в многочлене мы

нашли возможно более простую функцию, которая в заданных точках принимает заданные значения. Если же функция заранее дана, то возникает новая задача, а именно задача об оценке разности , т.е. погрешности, допущенной при интерполяции. Покамест мы знаем только то, что значений равны все нулю. Для того чтобы появилась возможность добыть дополнительные сведения об , необходимо сделать некоторые допущения по поводу функции , а стало быть, и . Мы предположим, что имеет в рассматриваемом промежутке непрерывные производные по крайней мере до -го порядка.

Прежде всего заметим, что функция

обращается в нуль при значениях при любом выборе постоянной . А теперь прибегнем к следующему искусственному приему: выберем произвольное число , отличное от , и затем подберем так, чтобы было и ; для этой цели должно быть

, и при таком значении функция имеет, стало быть, корней.

Применим теперь к функции обобщенную теорему Ролля. По этой теореме, существует такое, не поддающееся дальнейшему уточнению, промежуточное значение между наибольшим и наименьшим из чисел и , что . Так как

, а , как многочлен степени , имеет -ю производную, равную тождественно нулю, то

, ибо -я производная от равна !. Отсюда получаем второе выражение для :

. Оно содержит промежуточное значение , которое каким-то образом зависит от . Это значение мы подставим в равенство и из него получим

.

Вспомним, что - совершенно произвольное число, которое можно поэтому заменить буквой , и для остаточного члена получится оценка

, где - какое-то промежуточное значение между наибольшим и наименьшим из чисел и .

Тем самым полностью решена общая задача интерполяции заданной функции. Внимательное рассмотрение наших формул и только что полученной оценки для остаточного члена показывает, что если равноудаленные точки , сближаясь, стремятся к совпадению в точке , то интерполяционная формула Ньютона переходит почленно в формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Таким образом, формула Тейлора является предельным случаем интерполяционной формулы Ньютона.

Благодаря этой связи между интерполяционной формулой и формулой Тейлора приобретает новый смысл принятый в геометрии термин «соприкасающаяся парабола», а именно: соприкасающаяся парабола, имеющая с данной кривой в некоторой ее точке касание -го порядка, имеет с этой кривой в указанной точке общих «совпадающих» точек пересечения. В самом деле, эта соприкасающаяся парабола получится, если провести сначала параболу через различных точек кривой и затем все эти точки сближать до совпадения с данной точкой. Совершенно подобное происходит при соприкосновении данной кривой с кривой, принадлежащей любому семейству линий (не только семейству парабол). Например,

окружность кривизны есть та из окружностей, проходящих через данную точку кривой, у которой в этой точке сливаются три ее точки пересечения с данной кривой.

Интерполяционную формулу применяют всегда в том случае, если

функцию, значения которой в определенных точках известны, требуется

выразить для промежуточной области между этими точками с примерно одинаковым приближением. Если функцию хотят выразить в точке , лежащей вне промежуточной области между точками , то говорят об экстраполяции. При такой экстраполяции тем менее можно рассчитывать на хорошее приближение, чем более удалена точка от промежуточной области. В формуле Тейлора мы имеем дело, некоторым образом, с полной экстраполяцией, и поэтому формула Тейлора часто практически пригодна для представления функции только в непосредственной окрестности данной точки. ( с. 397-399)

Глава 4. Действия над рядами.

4.1. Действия над степенными рядами.

Со степенными рядами можно оперировать так же, как с целыми рациональными функциями. Само собой понятно, что сложение и вычитание степенных рядов производится путем сложения и вычитания соответствующих коэффициентов. Подобным же образом очевидно, что умножение степенного ряда на постоянный множитель производится, как и у всякого сходящегося ряда, путем умножения каждого члена в отдельности на этот множитель. Умножение и деление двух степенных рядов требуют уже несколько более детального рассмотрения, которое дается в пункте 3 этой главы. Здесь я только отмечу без доказательства, что два степенных ряда

и перемножают, как целые рациональные функции. Точнее это правило выражается следующей теоремой:

Произведение двух написанных выше степенных рядов выражается в общей части интервалов сходимости обоих рядов в виде нового степенного ряда

, коэффициенты которого даются формулами:

(доказательство дано в пункте 3 этой главы). ( с. 463-464)
4.2. Умножение и деление рядов.

Пусть даны два абсолютно сходящихся ряда:

и .

Положим

. Мы утверждаем, что ряд

абсолютно сходится и сумма его равна .

(Каждое выражение, заключенное в скобки, рассматривается как один член.)

Одновременно с данными рядами рассмотрим соответствующие им ряды из абсолютных величин их членов:

и . Введем обозначения для частичных сумм всех четырех рядов:

, , , .

Для доказательства теоремы рассмотрим ряд, который получается из ряда , если опустить в нем все скобки:

, (16) и ряд, составленный из абсолютных величин этого последнего ряда:

(17) Членами ряда (16) являются произведения каждого из членов ряда на каждый член ряда . Эти произведения расположены в таком порядке: на первом месте стоит , затем произведения, в которых сумма индексов сомножителей равна 1, далее все произведения, для которых , затем с

суммой 3 и т.д. Все произведения с данной суммой индексов, скажем :

, расставлены в порядке возрастания индексов при .

Для наглядности выпишем в развернутом виде произведение частичных сумм и обоих данных рядов:

Группы членов ряда с суммой индексов расположены по прямым, параллельным диагонали квадрата этой таблицы. Аналогичную формулу-таблицу можно написать для произведения ряда абсолютных величин (17).

Возьмем теперь частичную сумму ряда абсолютных величин (17), и пусть последний член этой суммы (член с номером ) находится в группе членов с суммой индексов . Из формулы-таблицы (точнее, из соответствующей таблицы для абсолютных величин) ясно, что

, и, стало быть, частичные суммы ряда (17) абсолютных величин ограничены; следовательно, ряд (17) сходится и ряд (16) сходится абсолютно.

Для того чтобы найти сумму ряда (16), воспользуемся тем, что его члены можно расположить в любом порядке и какие угодно группы членов можно заключить в скобки. Расположим члены ряда (16) не по диагоналям написанной выше таблицы, а следующим образом: оставим на первом месте член ; в качестве второго члена напишем сумму , что вместе с дает частичную сумму ; в качестве третьего члена напишем , что в сумме с первыми

двумя членами дает ; затем объединим 7 членов вида в один (четвертый) член, что в сумме с предыдущими дает , и т.д. Весь ряд примет следующий вид:

; его частичные суммы образуют последовательность

, предел которой и есть сумма как преобразованного ряда, так и ряда (16).

Ряд получается из абсолютно сходящегося ряда (16) заключением в скобки групп соседних членов, стало быть, он тоже абсолютно сходится и имеет ту же сумму . Наше утверждение доказано.
4.3. Умножение и деление степенных рядов.

Главное применение эта теорема находит в теории степенных рядов. Из нее непосредственно следует, что произведение двух степенных рядов

и выражается в общей части интервала сходимости этих рядов в виде степенного ряда , коэффициенты которого даются формулой

. Что касается деления степенных рядов, то частное двух данных выше рядов также можно представить в виде степенного ряда , если только постоянный член делителя не равен нулю. (в противном случае такое выражение, вообще говоря, невозможно, потому что при , благодаря обращению делителя в нуль, ряд не мог бы сходиться; между тем, с другой стороны, всякий ряд, расположенный по степеням , должен сходиться при .) Коэффициенты степенного ряда можно последовательно

определить, если заметить, что непременно

, откуда вытекают следующие равенства:



Из первого уравнения получаем , из второго уравнения находим , из третьего, пользуясь найденными значениями, находим и т.д. Для того чтобы строго обосновать возможность выражения частного двух степенных рядов в виде третьего степенного ряда, требуется еще исследовать, сходится ли полученный формально степенной ряд и в каком промежутке он сходится. Это общее исследование мы опустим и только сообщим факт, что ряд действительно сходится, если только изменяется в достаточно малом интервале, в котором делитель не обращается в нуль, и как делимое, так и делитель являются сходящимися рядами. ( с. 477-478)
Глава 5. Бесконечные произведения действительных чисел.

5.1. Определение. Пример. Условие сходимости.

Бесконечные ряды представляют собой только один (правда, особенно важный) из способов выражения величин или функций с помощью бесконечных процессов. В качестве примера других процессов подобного рода рассмотрим здесь бесконечные произведения, не приводя доказательств.

В пункте 3 главы 2 мы познакомились с формулой Валлиса:

, которая выражает число в виде «бесконечного произведения».

Под бесконечным произведением

разумеют предел последовательности частичных произведений

, , , …, если этот предел существует.

Множителями , , , … такого произведения могут, конечно, быть и функции от переменной .

В теории чисел играет очень важную роль разложение в бесконечное произведение «дзета-функции». Придерживаясь обозначений, принятых в теории чисел, обозначим независимую переменную через и определим эту функцию при выражением

.

При ряд, стоящий в правой части, будет сходящимся. Если есть любое число, большее единицы, то путем разложения в геометрический ряд непосредственно получаем равенство



Подставим в эту формулу вместо последовательно все простые числа

в порядке их возрастания и полученные равенства перемножим между собой; тогда в левой части получим произведение вида



Если перемножим между собой ряды, стоящие в правой части, не доказывая законности этого приема, и вспомним, что, по известной элементарной теореме, всякое целое число можно представить одним и только одним способом в виде произведения степеней различных простых чисел, то увидим, что в правой части как раз и получается функция , и мы приходим к замечательному разложению в бесконечное произведение:

.

Эта формула, вывод которой мы здесь лишь вкратце наметили, действительно представляет разложение функции в бесконечное произведение, так как существует бесконечное множество простых чисел.

В общей теории бесконечных произведений обычно исключают тот случай, когда произведение с возрастанием стремится к нулю. В частности, стало быть, ни один из множителей не должен равняться нулю. В соответствии с этим для сходимости произведения необходимо, чтобы множители с возрастанием стремились к 1. Поэтому мы имеем право допустить (отбрасывая в случае надобности конечное число множителей, что в вопросе о сходимости значения не имеет), что . Тогда справедлива следующая теорема: необходимым и достаточным условием сходимости бесконечного произведения , где , является сходимость ряда .

В самом деле, очевидно, что частичные суммы этого ряда стремятся к пределу в том и только в том случае, если частичные

произведения имеют положительный предел.

Обыкновенно при исследовании сходимости бесконечного произведения полагают и пользуются следующим достаточным признаком. Произведение

сходится, если ряд

сходится и ни один из множителей не равен нулю. Для доказательства мы имеем право, опуская в случае надобности конечное число членов, допустить, что все . Тогда . По теореме о среднем значении имеем

, где . Следовательно,

, и, стало быть, из сходимости ряда вытекает сходимость ряда .

С помощью этого признака можно также доказать сходимость бесконечного произведения для дзета-функции. Действительно, легко видеть, что и что при и имеем . Заставим теперь пробегать последовательность

простых чисел; тогда ряд должен сходиться, так как все его члены

положительны и составляют только часть членов сходящегося ряда .

Тем самым доказана сходимость бесконечного произведения для дзета-функции. ( с. 486-489)
5.2. Основные теоремы для бесконечных произведений.

1. 
   Если сходится бесконечное произведение , то сходится также и каждое остаточное произведение . Если бесконечное произведение имеет сходящееся остаточное произведение , то сходится также и само бесконечное произведение . Это означает, что добавка или отбрасывание конечного числа членов не влияет на сходимость бесконечного произведения.
   
2. 
   Если бесконечное произведение сходится, то и . Начиная с некоторого , и для всех , все сходящегося бесконечного произведения больше нуля. На основании 1 и 2, таким образом, можно, поскольку рассматривается только характер сходимости, без ограничения общности, считать все положительными.
   
3. 
   Для сходимости бесконечного произведения с положительными сомножителями необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд . Если это условие выполнено, а есть сумма этого ряда, то , где . Часто целесообразнее подставить и записать произведение в виде . Тогда согласно 2 условие является
   

необходимым условием для сходимости произведения.

4. 
   Если для всех справедливо (или ), то произведение сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд .
   
5. 
   Если, в общем случае, существуют как положительные, так и отрицательные , то для сходимости бесконечного произведения достаточно, чтобы вместе с рядом сходился и ряд .
   
6. 
   Бесконечное произведение расходится к 0 тогда и только тогда, когда для достаточно большого справедливо , в частности, когда существует (другое) такое, что для всех , а ряд расходится или же ряд сходится, а ряд расходится.
   
7. 
   Для произведений с не обязательно положительными справедливо следующее: бесконечное произведение сходится тогда и только тогда, когда для любого действительного числа существует такое , что для всех и
   

.

Бесконечное произведение называется абсолютно сходящимся, если сходится произведение .

8. 
   Если сходится, то произведение сходится, т.е. из абсолютной сходимости следует обычная сходимость бесконечного произведения.
   
9. 
   Произведение сходится абсолютно тогда и только тогда, когда сходится абсолютно.
   
10. 
    Порядок сомножителей у абсолютно сходящегося произведения может быть изменен произвольным образом, при этом не изменится ни характер сходимости, ни значение бесконечного произведения. ( с. 490-491)
    

Заключение.

Изучена необходимая литература по теории числовых, функциональных и степенных рядов, которая составляет 5 источников. Рассмотрены основные понятия числовых и функциональных рядов, в частности степенных рядов и ряда Тейлора, доказаны важные теоремы, установлены правила сложения, вычитания, умножения и деления числовых и степенных рядов, решена задача интерполирования и найдены формулы приближенных вычислений иррациональных чисел и факториалов с помощью рядов, а именно формулы Стирлинга и Валлиса, даны основные понятия и основные теоремы о бесконечных произведениях для дальнейшего изучения.

Изучение рядов в действительной области позволит в дальнейшем распространить теорию на ряды комплексной области.

Курсовая работа составляет 46 страниц.
Список литературы.

Фихтенгольц, Г. М. Основы математического анализа. Т.2 / Г. М. Фихтенгольц. – М., 2002.

Курант, Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1 / Р. Курант. – М., 1967.

Бермант, А. Ф. Краткий курс математического анализа / А. Ф. Бермант, И. Г. Араманович. – М., 2005.

Бохан, К. А. Курс математического анализа. Т.2 / К. А. Бохан. – М., 1972.

Бронштейн, И. Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов / И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. – М., 1980.