Контрольная работа

Тема: Приближенное вычисление определенного интеграла методом прямоугольника и трапеции.

Пусть требуется вычислить определенный интеграл , где есть некоторая заданная в промежутке [a,b] непрерывная функция. Истолковывая данный определенный интеграл как площадь некоторой фигуры, ограниченной кривой , необходимо определить эту площадь.

Можно разбить всю фигуру на полоски, одной и той же ширины , а затем каждую полоску приближенно заменить прямоугольником, за высоту которого принята какая-либо из ее ординат. Это приводит нас к формуле

,

где , (i=0,1,…,n-1).


Здесь искомая площадь криволинейной фигуры заменяется площадью некоторой состоящей из прямоугольников ступенчатой фигуры. Эта приближенная формула и называется формулой прямоугольников.

На практике обычно берут ; если соответствующую среднюю ординату обозначить через , то формула перепишется в виде

.



Геометрические соображения приводят и к другой приближенной формуле. Заменим данную кривую вписанной в нее ломаной, с вершинами в точках (x_i ,y_i), где (i=0,1,…,n-1). Тогда наша криволинейная фигура заменится другой, состоящей из ряда трапеций.

Если по-прежнему считать, что промежуток [a,b] разбит на равные части, то площади этих трапеций будут

… ,

Складывая, придем к новой приближенной формуле

.

Это так называемая формула трапеций.

При возрастании n до бесконечной погрешности формулы прямоугольников и формулы трапеций безгранично убывают. Таким образом, при достаточно большом n обе эти формулы воспроизводят искомое значение интеграла с произвольной степенью точности.