1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью данной работы является изучение работы колебательного контура, свободных затухающих электромагнитных колебаний и их характеристик.

2,3. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДИКИ ЭКСПЕРИМЕНТА, ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

Колебательные процессы широко распространены в природе и технике. Удобно исследовать закономерности этих процессов с использованием электромагнитного колебательного контура и осциллографа. Осциллограф позволяет визуализировать закон изменения колеблющейся величины во времени. В этой работе исследуются затухающие колебания, определяются основные параметры колебаний и колебательной системы.



Для получения дополнительной информации см. [1, 6, 7].

2.5.1. Краткая теория

Для возбуждения и поддержания электромагнитных колебаний используют колебательный контур, представляющий собой замкнутую цепь, которая состоит из последовательно соединенных конденсатора емкостью C, катушки индуктивности L и омического (активного) сопротивления R. Омическое сопротивление является суммой сопротивлений соединительных проводов, провода катушки индуктивности и включенного в контур резистора. Рассмотрим, как возникают колебания в контуре. В начальный момент с помощью генератора одиночных импульсов конденсатор заряжается до некоторой разности потенциалов на его обкладках U. При этом обкладкам конденсатора сообщен заряд ±q, а энергия электрического поля конденсатора



Если теперь генератор отключить, а конденсатор замкнуть на катушку с индуктивностью L, то начнется его разрядка и в катушке возникает ток. Этот возрастающий от нуля ток приводит к возникновению магнитного поля. Следовательно, энергия электрического поля между обкладками конденсатора постепенно переходит в энергию магнитного поля катушки. В момент полной разрядки конденсатора ток в катушке достигает максимального значения I₀ и энергия магнитного поля



В момент полной разрядки конденсатора ток в катушке, казалось бы, должен прекратиться. Однако уменьшению тока в катушке препятствует явление самоиндукции, поддерживающее ток в прежнем направлении. Этот убывающий от максимального значения I₀ ток продолжает переносить заряды от одной обкладки конденсатора к другой в том же направлении и перезаряжает конденсатор. Перезарядка заканчивается, когда ток становится равным нулю. В этот момент энергия магнитного поля катушки переходит в энергию электрического поля конденсатора. В следующий момент начинает разряжаться конденсатор, а ток потечет в противоположном направлении. Ток разряда конденсатора возрастает, пока конденсатор не разрядится полностью, а затем убывает, но вследствие явления самоиндукции снова перезаряжается конденсатор и контур возвращается в исходное состояние. На этом завершается один период колебаний в контуре.

Взаимное превращение энергии электрического и магнитного полей сопровождается потерями (диссипацией) энергии на нагревание проводников. И если энергия не пополняется извне, то колебания в контуре затухают – амплитуда колеблющихся величин (заряд на обкладках конденсатора, напряжение, ток) каждого последующего цикла колебаний меньше предыдущего. Чем больше омическое сопротивление контура, тем быстрее затухают колебания в нем. Закон затухания колебаний зависит от свойств колебательной системы.

Система называется линейной, если характеризующие данную систему в рассматриваемом процессе параметры не изменяются. Линейные системы описываются линейными дифференциальными уравнениями. Электрический контур можно считать линейной системой, если его сопротивление R, электроемкость C и индуктивность L не зависят ни от тока в контуре, ни от напряжения.

Найдем дифференциальное уравнение, описывающее свободные затухающие колебания линейной системы – электрического колебательного контура. Для этого воспользуемся законом Ома и вытекающим из него вторым правилом Кирхгофа, которые справедливы для цепей постоянного и ква­зи­пос­тоян­но­го токов. В данном случае в цепи протекает переменный ток, но, учитывая, что размеры контура l не слишком велики (т.е. l < c/, где с – скорость света, с которой распространяются электромагнитные колебания; l – длина контура;  – частота колебаний), то можно считать, что мгновенное значение тока будет практически одинаково во всех точках контура. Удовлетворяющие такому условию токи называются квазистационарными. Тогда, согласно второму правилу Кирхгофа для RLC-контура, в котором протекают квазистационарные токи, можно записать

U_L + U_R + U_C = 0, (2.5.1)

где U_L – падение напряжения на индуктивности, U_С – падение напряжения на емкости, U_R – падение напряжения на резисторе, или

(2.5.2)

Учитывая, что I = dq/dt и разделив (2.5.2) на L, получим следующее уравнение:

(2.5.3)

Так как величина заряда на обкладках конденсатора пропорциональна разности потенциалов на них (q = CU), то уравнение, описывающее изменение напряжения на конденсаторе, будет аналогично предыдущему уравнению, т.е.

(2.5.4)

Введя обозначения , , получим

(2.5.5)

где δ – коэффициент затухания, ω₀ – частота собственных незатухающих колебаний контура. Уравнение (2.5.5) является линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами и описывает свободные затухающие колебания.

При условии δ < ω₀ решение уравнения (2.5.5) имеет вид

(2.5.6)

где φ – начальная фаза, ω – частота свободных затухающих колебаний, U_m(t) – амплитуда затухающих колебаний.



(2.5.7)

(2.5.8)

где U₀ – значение напряжения при t = 0.

Амплитуда затухающих колебаний уменьшается с течением времени тем быстрее, чем больше коэффициент затухания δ. Для φ = 0 график зависимости (2.5.6) изображен сплошной линией, а зависимости (2.5.8) – пунктирной.

Затухающие колебания не являются периодическими, т.к. максимальное значение колеблющейся величины U₁, достигаемое в некоторый момент времени t₁, в последующем при t > t₁ никогда не повторяется. Однако, при затухающих колебаниях какой-либо величины, она обращается в нуль, достигает максимальных и минимальных значений через равные промежутки времени

(2.5.9)

Величины T и ω называют условно периодом (условным периодом) и циклической частотой (условной частотой) затухающих колебаний.

Промежуток времени τ, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в e раз (e = 2.718…), называется временем релаксации. Введение понятия времени релаксации позволяет уточнить физический смысл коэффициента затухания:

(2.5.10)

Это позволяет определять коэффициент затухания как величину, обратную промежутку времени, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

Для количественной характеристики быстроты убывания амплитуды затухающих колебаний пользуются понятием логарифмического декремента.

Логарифмический декремент затухания показывает в логарифмических единицах, во сколько раз убывает амплитуда колебаний за один период. Это безразмерная величина Θ, равная натуральному логарифму отношения значений амплитуд двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающихся на период:

(2.5.11)

где N – число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в e раз.

Следовательно, логарифмический декремент есть величина, обратная числу колебаний, за которое амплитуда уменьшается в e раз.

Если в формулу (2.5.11) подставить значение для и , то

(2.5.12)

Согласно (2.5.7), частота определяется параметрами контура (R, L, C), следовательно, можно утверждать, что логарифмический декремент является характеристикой контура, т.к. его величина определяется только параметрами контура.

Колебательный контур также характеризуют добротностью, безразмерной величиной Q, пропорциональной отношению энергии W(t) колебаний контура в произвольный момент времени t к убыли этой энергии за интервал времени равный периоду

(2.5.13)

Т.к. энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды колебаний A(t), то



При слабом затухании (δ << ω₀) 1 – e^–2δT ≈ 2δT ≈ 2Θ,

Q ≈ π/Θ ≈ πN. (2.5.14)

Из (2.5.14) можно видеть, что добротность пропорциональна числу колебаний, совершаемых за промежуток времени, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

В случае слабого затухания, когда Θ < 1, ω = ω₀, величина добротности определяется параметрами колебательного контура и равна

(2.5.15)



При увеличении коэффициента затухания условный период T затухающих колебаний возрастает и обращается в бесконечность при ω₀ = δ. При этих условиях свободных колебаний в контуре не происходит, а колеблющаяся величина асимптотически стремится к нулю при t → ∞. Такой процесс называется апериодическим. Сопротивление контура, при котором наступает апериодический процесс, называется критическим R_кр и определяется из условия

(2.5.16)

Очевидно, что при R < R_кр – процесс колебательный, при R ≥ R_кр – процесс апериодический.

2.5.2. Описание экспериментальной установки

Схема установки представлена на рисунке. Колебания в контуре возбуждаются с помощью генератора импульсного напряжения. Схема смонтирована на съемной панели лабораторного макета. В качестве резистора в RP1 в колебательном контуре используется переменное сопротивление, максимальное значение которого находится в зависимости от номера съемной панели (470 Ом, 680 Ом и др.) и устанавливается поворотом ручки потенциометра по часовой стрелке в крайнее положение. При повороте ручки против часовой стрелки в крайнее положение значение сопротивления RP1 = 0. В этом случае активное сопротивление колебательного контура складывается из сопротивления соединительных проводов контура и активного сопротивления катушки индуктивности, R = R_X. В дальнейшем это сопротивление необходимо рассчитать по результатам измерений.

Возбуждение контура производится периодически от генератора импульсного напряжения, регистрируются колебания на осциллографе. Каждый импульс, подаваемый с генератора на колебательный контур, возбуждает один цуг затухающих колебаний.

Измерения амплитуды и периода колебаний осуществляется непосредственно с помощью осциллографа.



4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ИХ АНАЛИЗ


Экспериментальные данные, взятые из журнала измерений

В первые строки матриц U и
T5 записываются измеренные значения амплитуд (опыты №№1-5) и периодов (опыты №№6-10) соответственно при сопротивлении





Во вторые строки данных матриц записываются амплитуды (опыты №№11-15) и периоды (опыты №№16-20) при сопротивлении

Сопротивле-ние RP1, Ом	Номер n измеряемой амплитуды	Значение амплитуды напряжения U, В	Период затухающих колебаний T5, с
0	1	0.890	0.00098
	2	0.853	0.00098
	3	0.706	0.00093
	4	0.578	0.000955
	5	0.504	0.000729
400	1	0.642	0.000453
	2	0.358	0.000553
	3	0.202	0.000453
	4	0.101	0.000478
	5	0.0642	0.000453

Вычисление значений, которые заносятся в таблицу отчёта



количество значений сопротивления RP1



номера значений сопротивления RP1



количество измерений при неизменном сопротивлении RP1



номера измерений при неизменном сопротивлении RP1



количество пар амплитуд



номера пар амплитуд

По формуле в пункте 5.5 на стр. 9 руководства [1] вычисляются логарифмические декременты затухания для каждой пары измеренных амплитуд




Средние значения логарифмических декрементов затухания для двух случаев





Натуральные логарифмы отношений первой амплитуды к последующим для двух случаев

Номер n измеряемой амплитуды	Значение логарифмич. декремента затухания Q = ln(Un/Un+1)	Среднее значение	ln(U1/Un)
1	0.042	0.142	0
2	0.189		0.042
3	0.2		0.232
4	0.137		0.432
5			0.569
1	0.584	0.576	0
2	0.572		0.584
3	0.693		1.156
4	0.453		1.849
5			2.303

Построение графиков

При построении графиков используется время, выраженное в периодах

	Сопротивление RP1, Ом
	0		400
	Период Tэ, мс
	9.148*10^-4		4.78*10^-4
Номер n	Ось X	Ось Y	X	Y
	T1, мс	ln(U1/Un)	T2, мс	ln(U1/Un)
1	9.148*10^	0	4.78*10^	0
2	1.83*10^	0.042	9.56*10^	0.584
3	2.744*10^	0.232	1.434*10^	1.156
4	3.659*10^	0.432	1.912*10^	1.849
5	4.574*10^	0.569	2.39*10^	2.303

Метод наименьших квадратов для построения прямых по экспериментальным точкам (ф. (10.2)-(10.5) на стр. 13 пособия [2]):























угловой коэффициент

первой прямой







отрезок, отсекаемый первой прямой от оси OY





угловой коэффициент

второй прямой










отрезок, отсекаемый второй прямой от оси OY





Абсолютные погрешности вычисления параметров прямых линий:





















С учётом полученных параметров записываются уравнения прямых.







Найденные методом наименьших квадратов угловые коэффициенты прямых являются коэффициентами затухания.










С использованием формулы 
= R/(2L) на стр. 4 рук. [1] и учётом, что в первом случае RP1 = 0, можно записать





Тогда, разрешая систему, составленную из этих двух соотношений, относительно L, получается







индуктивность контура

С использованием известного L из первого соотношения находится суммарное активное сопротивление проводников







С учётом ёмкости конденсатора





по формуле на стр. 4 рук. [1] вычисляется собственная частота контура







По ф. (2.7) на стр. 4 рук. [1] получаются частоты затухающих колебаний







Аналитически периоды затухающих колебаний для двух случаев находятся по ф. (2.9) на стр. 5 рук. [1]







Отличия в процентах измеренных и вычисленных значений периодов







Сопротивление, при котором наступает апериодический процесс, называется критическим и определяется по ф. (2.16) на стр. 7 рук. [1]










Так как 
mean<1 и  приблизительно равны , то для вычисления добротности двух исследуемых контуров можно использовать ф. (2.15) на стр. 7 рук. [1]







5. ВЫВОДЫ

В результате проделанной работы, мы убедились в экспоненциальном характере убывания амплитуды колебаний в контуре со временем, так как смогли построить линеаризованные графики зависимости и из них определить значения коэффициентов затухания для различных сопротивлений контура.

6. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

6.1 Какова цель работы?

6.2 С помощью какой системы можно получить свободные электромагнитные колебания?

6.3 К изменению каких характеристик колебаний приведет увеличение активного сопротивления контура?

6.4 Какое условие необходимо выполнить при подборе элементов (R,L,C) для колебательного контура?

6.5 Каким образом в данной работе подтверждается правильность вывода о экспоненциальном уменьшении амплитуды со временем?

6.6 Как в данной работе определяется коэффициент затухания?

6.7 Какими параметрами контура определяется частота собственных колебаний?

6.8 Как относится между собой частота собственных колебаний контура и частота затухающих колебаний?

6.9 Изменение каких физических величин осуществляется в Контуре по колебательному закону?

6.10 Как образуются в контуре электромагнитные колебания?

6.11 Как влияет коэффициент затухания на условный период затухающих колебаний контура?

6.12 Как изменится логарифмический декремент затухания и добротность контура, если известно, что при изменении параметров контура (R,L,C) число колебаний, за которое амплитуда изменится в e раз, увеличилось на десять колебаний?

6.13 Чем обусловлено затухание колебаний в контуре?

6.14 К изменению каких характеристик колебаний и колебательного контура приведет изменение индуктивности в цепи?

6.15 Выполняется ли в реальном колебательном контуре закон сохранения энергии?

6.16 Почему при выводе основного уравнения свободных затухающих колебаний в контуре, где протекают переменные токи, используют закон Ома и правила Кирхгофа, полученные для постоянного тока?

6.17 Как нужно изменить параметры контура, чтобы при однократной зарядке конденсатора, разрядка осуществлялась по апериодическому закону?

6.18 Какие колебания называются непериодическими и являются ли затухающие колебания периодическими?

6.19 Какая характеристика является количественной характеристикой убывания амплитуды затухающих колебаний? Какими параметрами контура она определяется?

6.20 Чему равно время релаксации затухающих колебаний?

Ответы:

1Ответ: Изучение работы колебательного контура, свободных затухающих электромагнитных колебаний и их характеристик.

2Ответ: В колебательной системе с нарушенным состоянием электрического равновесия.

3Ответ: В таком контуре начальные напряжения и токи уменьшаются до нуля, не испытывая колебаний, т.е. контур возвращается к состоянию покоя апериодически.

4Ответ: Надо, чтобы R,L,C не зависели от тока в контуре и от напряжения, то есть контур должен быть линейной системой.

5Ответ: тем что из построенных линеаризованных графиков зависимости =f(nT)можно определить коэффициент затухания амплитуды колебаний.

6Ответ: Определяется из графика, нахождением углового коэффициента прямой, по формуле , или отношением проекций на оси некоторой длины графика.

7Ответ: Частота собственных колебаний контура зависит от его ёмкости и индуктивности.

8Ответ: Частота затухающих колебаний имеет формулу: .

Если рассматривать прямоугольный треугольник, то гипотенузой в нём это собственная частота, а катеты это частота собственных колебаний и коэффициент затухания, из этого следует что частота собственных колебаний определяется корнем квадратным из суммы квадратов частоты собственных затухающих колебаний и коэффициента затухания.

9Ответ: Напряжение и ток.

10Ответ: При подаче одиночного импульса от генератора, заряжается конденсатор (образуется электрическое поле в конденсаторе.), далее, по окончании зарядки, происходит разряд конденсатора на катушку и ток в катушке увеличивается, создавая вокруг неё магнитное поле. По окончании разряда конденсатора ток в контуре течет в обратном направлении, так как накопленное магнитное поле в катушке вызывает явление самоиндукции, в результате конденсатор снова заряжается до определенной величины, пока ток в катушке не прекратится, после чего снова разряжается через катушку, вызывая таким образом электромагнитные колебания.

11Ответ: При увеличении коэффициента затухания условный период затухающих колебаний возрастает.

12Ответ: Происходит уменьшение логарифмического декремента затухания и увеличение добротности контура.

13Ответ: Тепловыми потерями в проводниках образующих систему или находящихся в её переменном электрическом поле, потерями энергии на излучение электромагнитных волн.

14Ответ: Изменится логарифмический декремент затухания и добротности контура и изменению частоты электромагнитных колебаний.

15Ответ: В реальном контуре закон сохранения энергии выполняется.

16Ответ: Так как в нашем случае размеры контура не велики можно считать, что мгновенное значение тока будет практически одинаково во всех точках контура. Токи, удовлетворяющие этим условиям квазистационарные, что указывает о возможности применения к ним 1 и 2

законов Кирхгофа.

17Ответ: Необходимо в контуре увеличить сопротивление R до R кр, определяемое как , или увеличить индуктивность, уменьшить ёмкость.

18Ответ: Непериодическими называются затухающие колебания, так как максимальное значение колеблющейся величины в некоторый момент времени t , в последующем ( при t1>t) никогда не повторяется.

19Ответ: Для количественной характеристики быстрого убывания амплитуды затухающих колебаний пользуются понятием логарифмического декремента. Определяется он сопротивлением, индуктивностью и частотой контура: , а поскольку частота определяется R,L,C контура, то и определяется теми же величинами.

20Ответ: Время релаксации – это время, в течении которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в exp раз : , то есть величина, обратная коэффициенту затухания.