Реферат

Реферат Аналитический расчет координат места судна при избыточном числе измерений

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 23.11.2024



ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО МОРСКОГО И РЕЧНОГО ТРАНСПОРТА

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МОРСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени адмирала Г.И.Невельского

КАФЕДРА СУДОВОЖДЕНИЯ

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ

ТЕМА: АНАЛИТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ КООРДИНАТ МЕСТА СУДНА ПРИ ИЗБЫТОЧНОМ ЧИСЛЕ ИЗМЕРЕНИЙ.
Выполнил: студент

Лицай А. В.

Проверил: преподаватель

Домбинский А. П.
Владивосток

2011
  1. 

  2. Составление уравнений линий положения. Уравнение поправок.


Счислимое место судна определяется координатами φс и λс. Если выполнены измерения навигационного параметра, то задача будет сводиться к вычислению поправок ∆φ и ∆ω (а затем и ∆λ) для перехода к обсервованному месту О с координатами φ0 и λ0. При любом способе обсервации можно воспользоваться азимутальным приемом перехода от счислимого места к обсервованному, сущность которого сводится к определению величины смещения ∆n и направления τ переноса из счислимого места к той линии положения, на которой ищется место судна (рис.1).
φ

I

φo O(φo,λo)

τ g

n Рис. 1

τ

I

C(φc,λc) wo w

Пусть для определения места судна измерен навигационный параметр и0, являющийся функцией координат.

и0= f (φ0, λ0) (1)

Наибольшее изменение этой функции в данной точке характеризуется градиентом, величина которого g определяется формулой

g=limn0un=dudn (2)

или приближенно

g


△u△n= u0+v
-
uc△n
, (3)


где и0измеренный и исправленный поправками навигационный параметр;

ис – рассчитанный по счислимым координатам «счислимый» навигационный параметр;

v – ошибка навигационного параметра и0, не известная при измерениях, как правило, малая величина.



Как видно из рис.1, линия положения ( I – I), на которой находится обсервованное место О, определяется уравнением

∆φcosτ+ ∆ωsinτ= ∆n. (4)

Точку К на линии положения принято называть определяющей точкой. С учетом уравнения (3) из уравнения (4) получаем

n= u0
-
uc+vg=

φcosτ+

ωsinτ,
(5)


откуда

v=gcosτ
*∆
φ+gsinτ
*∆
ω
-
u0
-
uc.
(6)


Это уравнение иногда называют уравнением поправок (ошибок).

Уравнению поправок можно придать и другой вид. Для этого разложим приращение функции ∆u=uo+v-uc в ряд и, пологая, что счислимое место достаточно близко к обсервованному, ограничимся первыми членами разложения

u=uo+v
-
uc=(∂u∂φ)c

φ+(∂u∂ω)c

ω,
(7)


или

v=(∂u∂φ)c ∆φ+(∂u∂ω)c ∆ω-uo-uc.

Сравнивая уравнения (7) и (6), получим

(∂u∂φ)c

φ=gcosτ;

(∂u∂ω)c

ω=gsinτ,
(8)


отсюда

g=(∂u∂φ)c 2+ (∂u∂ω)c 2; tanτ(∂u∂ω)c (∂u∂φ)c . (9)

Выражения (9) дают общий путь нахождения градиентов для различных функций. Однако иногда проще находить эти выражения из геометрических соображений.

2. Основы метода наименьших квадратов

При производстве измерений, отягощённых погрешностями, обычно стремятся сделать их больше, чем необходимо для отыскания искомых величин.

Избыточность измерений обеспечивает контроль и предохраняет от грубых промахов, даёт возможность получить более точные результаты и оценить как их погрешности , так и погрешности отдельных измерений. В то же время из за различных погрешностей избыточные измерения приводят к неодинаковым результатам. Поэтому вместо 

однозначного решения задачи получается несколько ответов , которые необходимо согласовать между собой.

Так, для оценки приращения координат Δφ и Δλ на плоскости могут быть измерены три навигационных параметра, т.е. n=3. В этой ситуации говорят. Что избыточность равна единице. Система уравнений линий положений будет иметь вид:

g 1 cos τ1.Δφ+ g 1 sin τ1.Δω = u01-uc1

g 2 cos τ2.Δφ+ g 2 sin τ2.Δω = u02-uc2 (10)

g 3 cos τ3.Δφ+ g 3 sin τ3.Δω = u03-uc3

Из-за наличия погрешностей измерений линии положения образуют фигуру погрешностей – треугольник (рис 2)

Решение любых двух уравнений из трёх даст нам положение вершин этого треугольника относительно начала координат (счислимого места). Это означает, что решение любой пары уравнений не обращает в тождество оставшееся уравнение. Такая система не совместна, т.е. решение любой пары несовместно с третьим уравнением. Анализ размеров фигуры погрешностей и её поведение в последовательности измерений дают полезные сведенья о качестве измерительной навигационной информации.

φ II

I



III

I

II III

C(φ с,λ с) λ
Для того, чтобы получить согласованное решение необходимо ввести дополнительное условия, которые можно получить, если более детально представить систему (10). Необходимо в окрестности фигуры погрешностей выбрать точку(предполагаемое решение), относительно которой и можно было бы сформулировать дополнительное условие.

Рис.2 дает представление о фигуре погрешностей при n=3. Отрезки u /1 u /2 u /3 называются невязками. В специальной литературе также встречается термин «поправка» или «ошибка линий положения» в зависимости от знака. В такой ситуации именно невязки определяют решение относительно фигуры погрешностей. Множество возможных сочетаний невязок определяет множество решений и задача заключается в 

подборе наиболее простого и физически интерполируемого условия. если обозначить Δu1= u0i- uci, то с учетом невязок систему (10) можно записать так:
g 1 cos τ1.Δφ+ g 1 sin τ1.Δω-Δu1 = u01-uc1

g 2 cos τ2.Δφ+ g 2 sin τ2.Δω-Δu2 = u02-uc2 (11)

g 3 cos τ3.Δφ+ g 3 sin τ3.Δω-Δu3= u03-uc3

Здесь величины u1 u2 u3 – невязки, выраженные в единицах измерений навигационного параметра, что более удобно для дальнейших выкладок.

Для согласования системы (11) с рис.2 необходимо выразить невязки ui в линейных единицах т.е. разделить все челены на модули соответствующих градиентов:

g 1 cos τ1.Δφ+ g 1 sin τ1.Δω-Δn1 = u01-uc1

g 2 cos τ2.Δφ+ g 2 sin τ2.Δω-Δn2 = u02-uc2 (12)

g 3 cos τ3.Δφ+ g 3 sin τ3.Δω-Δn3= u03-uc3
Избыточная система уравнений(10) превратилась в систему (12) с недостаточным числом уравнений, так как невязки также неизвестны. Формально наиболее простое решение такой системы можно получить, если принять следующее условие:

S= [u2]= u21+ u22 +u23=min, (14)
При увеличении числа измерений (n>3) возникает более сложная фигура погрешностей с числом вершин Сn2=n(n-1)2, но условие (13) даёт однозначное решение системы уравнений линий положения при любом значении n. Его суть сводится к поиску «центра тяжести» фигуры погрешностей измерений, т.е. к определению некоторого среднего значения координат из множества координат вершины фигуры. Решение системы уравнений называется оптимальным в смысле выполнения условия S=min, т.е. при выполнении критерия минимума суммы квадратов невязок.

Избыточность позволяет нам получить информацию о некоторых средних значениях координат, а поэтому важным является утверждение, что оптимальная точка будет всегда находиться в нутрии фигуры погрешностей, если систематические погрешности δi=0. Метод наименьших квадратов является наиболее универсальным средством обработки избыточной навигационной информации. Его основы были разработаны Лежандром и Гауссом с 1795 по 1805 год.

Различные модификации метода используются в настоящее время для решения многих навигационных задач: комплексирование навигационной информации, вычисление 

коэффициентов девиации и радиодевиации, определение коэффициентов дрейфа, точность счисления и т.п.
3. Cоставление и решение нормальных уравнений

Обозначим gicosτiai

gicosτibi

Δuici

Тогда система уравнений (11) запишется следующим образом:

a 1.Δφ+ b 1.Δω+l1 = u1

a 2.Δφ+ b 2.Δω+l2 = u2 (15)

a 3.Δφ+ b 3.Δω+l3 = u3
Для решения системы (15) воспользуемся критерием S=min и запишем его выражения через левые части уравнений

S= [u2]= u21+ u22 +u23=( a 1.Δφ+ b 1.Δω+l1)2 +( a 2.Δφ+ b 2.Δω+l2)2+( a 3.Δφ+ b 3.Δω+l3)2 (16)

Для определения приращенияΔφ и Δλ, соответствующих минимуму критерия S, используем традиционный метод поиска экстремальных значений функций, взяв частные производные от S по Δφ и Δω:

S∂(Δφ)=0 и ∂S∂(Δω)=0.

Тогда

2a1(a1Δφ+b1Δω+l1)+ 2a2(a2Δφ+b2Δω+l2)+2a3(a3Δφ+b3Δω+l3)=0 (17)

2b1(a1Δφ+b1Δω+l1)+ 2b2(a2Δφ+b2Δω+l2)+2b3(a3Δφ+b3Δω+l3)=0

Выполнив сложение, получаем систему 2-х нормальных уравнений в обозначениях Гаусса:

[aa]Δφ+[ab]Δω+[al]=0 (18)

[ab]Δφ+[bb]Δω+[bl]=0

Так как ui=aiΔφ+biΔω+li, то

[au]=0

[bu]=0



Матрица коэффициентов системы (18)

[aa][ab][ab][bb]

Имеем следующие свойства:

-коэффициенты на главной диагонали продолжительны;

-коэффициенты, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны. Это симметричная система.

Универсальная запись нормальных уравнений в матричном виде выглядит следующим образом (ATAX=ATL

AT- транспонированная матрица А т.е., если

A= abab ,то AT= abab

Формальная запись решения системы (19) при обращаемой матрице (АTA) такова:

Х=(ATA)-1АТL

Расшифровка записи (20) приводит к формулам Крамера для решения системы. При определении места по трём линиям положения можно написать:

∆φ∆ω = aaabbb ababab aaabbb lll ;

∆φ∆ω = [aa][ab][ab][bb] [al][bl]
∆φ∆ω = 1aabb-[ab] bb-[ab]-[ab] [aa] [al][bl]
∆φ∆ω = bbal-abblaabb-[ab]aabl-abalaabb-[ab] = D∆φDD∆ωD (21)
Таким образом получено правило Крамера, где D-главный определитель системы, а DΔφ и DΔω - определители для Δφ и Δω соответственно.

Контроль правильности решения получают подстановкой найденных неизвестных в так называемое суммарное уравнение, полученное суммированием нормальных уравнений.



([aa]+[ab])Δφ+([ab]+[bb])Δω+([al]+[bl])=0 (22)

Способ решения нормальных уравнений по правилу Крамера при n>2 становится трудоёмким и не всегда устойчивым при малых значениях D.

Другими способами решения системы нормальных уравнений являются:

-способ последовательного исключения искомых величин;

-способ последовательных приближений (итерации)

Первый из них применяется главным образом при неавтоматизированных вычислениях, осуществляемых в ручную или на каркуляторах. Все расчеты выполняются в специальных схемах. Наиболее употребима схема Гаусса-Зейделя, в которой вычисления сводятся к простым однообразным действиям , предусмотрены постоянный контроль правильности вычислений и оценивание точности полученных результатов.

Способ итерации легко реализуется на ЭВМ , к недостатку стоит отнести итерационную процедуру, которая не даёт конечного решения, но быстродействие современных ЭВМ снимает этот вопрос.
4. Метод наименьших квадратов при неравноточных измерениях.

До сих пор при рассмотрении метода наименьших квадратов предполагалось. что измерения были равноточными, т. е. имели равные средние квадратические погрешности (СКП). Если же мы располагаем информацией о точности измерений по каждому параметру, то считаем, что измерения неравноточны, т.е. имеют различные СКП. Различные СКП будут иметь и соответствующие линии положения. В этом случае с вероятностно-статистической точки зрения есть основания больше доверять тому измерению, которое имеет наименьшие погрешности.

Поэтому естественно считать, что поправки vi, применяемые для формирования критерия S, должны быть обратно пропорциональны соответствующим СКП измерений, т.е. величинам mi. Тогда критерий МНК будет рассчитан так:

S=(v1m1)2+(v2m2)2+(v3m3)2=min
(23)




Величина рi=1mi2 называется весом измерения и характеризует относительную точность измерений, входящих в группу. Таким образом критерий S в соответствии с (23)

S=pv2=pvv=p1v12+p2v22+p3v32 (24)

Исходя из формулы (24) система уравнений поправок для трёх линий положения будет иметь вид:

p1*a1*∆φ+p1*b1*∆ω+p1*l1=p1*v1p2*a2*∆φ+p2*b2*∆ω+p2*l2=p2*v2p3*a3*∆φ+p3*b3*∆ω+p3*l3=p3*v3 (25)

После приведения системы (25) к нормальным уравнениям для двух неизвестных ∆φ и ∆ω

paa∆φ+pab∆ω+pal=0pab∆φ+pbb∆ω+pbl=0. (26)

Более компактно

pav=pbv=0.

После того как система нормальных уравнений решена, определяются обсервованные координаты, которые рассчитываются по формулам:

φо=φс+∆φλо=λс+∆ω*secφm=λc+∆λ (27)

где - оптимальность решения по методу наименьших квадратов.

5. Оценка точности определения места по методу наименьших квадратов.

Поправки ∆φ и ∆ω, найденные методом наименьших квадратов, характеризуются следующими показателями точности (для неравноточных измерений)

m∆φ2=m(1)2*pbbD;

m∆ω2=m(1)2*paaD; (28)



где m(1)2- СКП измерения с весом, равным единице;

D - главный определитель системы.

m(1)2 при n › 5 вычисляется апостериорно, т.е. после вычисления поправок ∆φ и ∆ω

m(1)2=pi∆φ∙ai+∆ω∙bi+li2n-2 (29)

Близость этой величины к единице является свидетельством соответствии используемых в расчетах СКП навигационных параметров действительным условием, в котором производилась обсервация.

При малом числе измерений (n<5) оценка m(1) становится весьма приближенной, поэтому принимается m(1)=1.

Элементы среднего квадратического эллипса погрешностей так же выражаются через коэффициенты нормальных условий и рассчитываются по следующим формулам:

a2=m(1)22Dpaa+pbb+paa-pbb2+4pab2;

b2=m(1)22Dpaa+pbb-paa-pbb2+4pab2; (30)

tan2a=2pabpaa-pbb.

Если cos2apaa-pbb величина положительная , то a, вычисленный по третьей формуле (30) определяет направление малой оси, если же отрицательная, то угол a определяет направление (относительно меридиана) большой оси эллипса.

Расчет радиальной средней квадратической погрешности места судна производится по формуле:

Mo=m(1)∙paa+pbbD

Во всех формулах D - главный определитель системы нормальных уравнений. При n < 5 за величину m(1) принимается единица.



Решить задачу № 1/134,

№ ор-ра

Пс,...°

По,...°

Dc, мили

Do, мили

1

101,2

99,8

47,3

50,5

2

325,0

327,2

53,7

56,5

3

137,8

140,4

41,6

43,8






φс = 36° 20,0'S λс = 129° 30,0'Е

Аналитическое решение

Промежуточные результаты расчета сведем в таблицу:


№ ориентира-U

1-П

3-П

4-П

[...]

U

-1,4

2,2

2,6




mU

±0,8

±0,8

±0,8




g

1,211

1,067

1,377




τ

11,2

235,0

47,8




α=cosτ

0,981

-0,574

0,672




b=sinτ

0,194

-0,819

0,741




l=-Ug

1,156

-2,062

-1,888




s=a+b+l

2,331

-3,455

-0,475




Pлп=gmU2

2,291

1,779

2,963




paa

2,205

0,586

1,338

4,129

pab

0,436

0,836

1,475

2,747

pal

2,598

2,106

-3,759

0,945

pas

5,239

3,528

-0,946

7,821

pbb

0,086

1,193

1,627

2,906

pbl

0,514

3,004

-4,145

-0,627

pbs

1,036

5,034

-1,043

5,027

Контроль результатов расчета дает

[раа] + [pab] + [pal] = [pas] =7,821

[pab] + [pbb] + [pbl] = [pbs] =5,026

Результаты могут отличаться на 0,001 - 0,002 за счет погрешностей ок

ругления чисел.

Запишем систему нормальных уравнений с рассчитанными коэффициен

тами

4,129∆φ+2,747∆W= -0,945



2,747∆φ+2,906∆W= 0,627

Рассчитаем определители системы уравнений

Д=4,453

Д∆φ = -4,469

Д∆ω=5,185

φ= Д∆φ/Д= -1,004≈-1,0' к S

WW/Д= 1,164≈ 1,2' к E

∆λ=∆Wcosφc = 1,490≈1,5' к E

φc = 36º 20,0' S λс= 129º 30,0' E

φ= 1,0' к S ∆λ= 1,5' к E

φo= 36º 21,0' S λo= 129º 31,5' E

Рассчитаем вспомогательную величину q и параметры эллипса погреш

ностей

q=5,628

a=1,192≈1,19 мили

b=0,397≈0,40 мили

tan2Тa= 4,492

sin2Тa=-0,976

cos2Тa=-0,217

Следовательно угол а лежит в 3-ей четверти

2Ta=257,6 º; Та=128,8º

Графоаналитическое решение



Промежуточные результаты расчета занесем в таблицу

ор-ра/



U

g

τ

n

ij

τ/θ

тU

mлп

Рлп



рij

1-П 3-П 4-П

-1,4

2,2

2,6

1,211

1,067

1,377

11,2 235,0 47,8

-1,156

2,062

1,888

1-3

1-4

3-4

223,8/ /43,8

36,6/

/36,6


187,2/ /7,2

±0,8 ±0,8 ±0,8

±0,661
±
0,750

±
0,5
81

2,289 1,778 2,962

22,4 110

95,6

1,950 2,410 0,083

Рлп
=


7,029

Рij=4,443



По параметрам τ и ∆n выполним прокладку линий положения в мас

штабе 1 см = 1 миля и проверим значения углов θ между линиями положе

ния.



Снимем с прокладки приращения координат в принятом масштабе

φ13= -0,8' ∆W13= -2,0'

φ14= -2,2' ∆W14= 4,1'

Рассчитаем вероятнейшие координаты:

φ=-1,544≈-1,5'к S

W=1,346≈1,3'к

λ=∆Wcosφc=1,6141,6 ' к E

φc = 36º 20,0' S λс= 129º 30,0' E

φ= -1,5' к S ∆λ= 1,6' к E

φo= 36º 21,5' S λo= 129º 31,6' E

Нанесем на рисунок обсервованную точку по полученным приращениям координат ∆φ и ∆W. Для оценки точности полученного вероятнейшего места все необходимые данные для расчета имеются в приведенной выше таблице.

Построим «полигон весов», последовательно складывая векторы длиной Рлп, направленные под углами 2τ. Масштаб по

строения «полигона весов» необходимо выбрать самостоятельно с тем, чтобы рисунок поместился примерно на половину тетрадного листа. В нашем при

мере можно выбрать масштаб 1 см = 1 единице веса.


Снятая с рисунка величина замыкающего вектора q – 5,7 см = 5,7 ед. веса.

Построим биссектрису угла между вектором q и направлением на N. В результате получим направление малой полуоси эллипса погрешностей Тb. Перпендикулярно Тb проведем направление большой полуоси Та и снимем транспортиром угол между полученным направлением Та и N. В нашем при

мере он равен: Та=129°.

Рассчитаем веса эквивалентных линий положения

Pmax= 12(Pлп+q)=6,36

Pmin= 12(Pлп-q)=0,66

a=1Pmin=10,66=1,23 мили

b=1Pmax=16,36=0,40 мили



Нанесем эллипс погрешностей на рисунок, где выполнена прокладка ли

ний положения. Построим его в принятом масштабе 1 см = 1 миля в месте расположения обсервованной точки, ориентируя направление Та относитель

но N.

1. Реферат Издержки производства 13
2. Реферат на тему Preparation And Mechanisms Of High And Low
3. Реферат Равновесие фирмы в краткосрочном и долгосрочном периодах на рынке монополистической конкуренции
4. Реферат на тему Frankenstein Essay Research Paper Robert Waltonthe captain
5. Реферат на тему Народный календарь
6. Реферат Анализ прибыльности
7. Реферат Функция и поле речи и языка в психоанализе
8. Курсовая на тему Подвижной состав и тяга поездов
9. Контрольная работа на тему Страхование как экономическая категория
10. Реферат на тему Pythagorean Philosophy And Its Influence On Musical