Финансовые ренты. Коэффициенты наращения финансовой ренты

Финансовые операции часто носят продолжительный характер и состоят не из разового платежа, а из их последовательности, т.е. из потока платежей.
Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы постоянны, называют финансовой рентой или аннуитетом [5, с.46].
Основные правила процентных вычислений, рассмотренные нами ранее, остаются неизменными и для совокупности платежей, однако возникает необходимость ввести несколько дополнительных понятий. В финансовом анализе для обозначения денежных потоков в наиболее общем смысле используется термин рента.
Частным случаем ренты является финансовая рента или аннуитет - такой поток платежей, все члены которого равны друг другу, так же как и интервалы времени между ними.
Часто аннуитетом называют финансовый актив, приносящий фиксированный доход ежегодно в течение ряда лет [7, с.28].
В буквальном переводе "аннуитет" подразумевает, что платежи происходят с интервалом в один год, однако встречаются потоки с иной периодичностью выплат.
Очевидно, что рента - это более широкое понятие, чем аннуитет, так как существует множество денежных потоков, члены которых не равны друг другу или распределены неравномерно [7, с.28].
Форму аннуитетов имеют многие финансовые потоки, например выплата доходов по облигациям или платежи по кредиту, страховые взносы. Можно сказать, что финансы тяготеют к упорядочению денежных потоков.
Принцип временной ценности денег делает невозможным прямое суммирование членов ренты. Для учета влияния фактора времени к каждому члену ренты применяются рассмотренные выше правила наращения и дисконтирования только сложных процентов, то есть предполагается, что получатель потока имеет возможность реинвестировать получаемые им суммы.
Если бы размеры рент всегда ограничивались двумя-тремя членами, то необходимость создания специальных способов расчета денежных потоков, возможно, и не возникла.
Ни в теории, ни на практике таких ограничений нет, наоборот, существуют большие, очень большие и даже бесконечные денежные потоки (вечные ренты), поэтому были разработаны специальные методы, позволяющие анализировать ренту не по каждому ее члену в отдельности, а как единую совокупность - рассчитывать ее будущую и приведенную величины, а также определять размеры других важных параметров ренты.
Финансовая рента имеет следующие параметры:
член ренты - величина каждого отдельного платежа;
период ренты - временной интервал между двумя соседними платежами, срок ренты - время, измеренное от начала финансовой ренты до конца ее последнего периода;
процентная ставка - ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей, образующих ренту, число платежей в году, число начислений процентов в году, моменты платежа внутри периода ренты [3, с.62].
Классификация рент может быть произведена по различным признаками.
В зависимости от продолжительности периода, ренты делят на годовые и p-срочные, где p - число выплат в году.
По числу начислений процентов различают ренты с начислением один в году, m раз или непрерывно. Моменты начисления процентов могут не совпадать с моментами рентных платежей [5, с.47].
По величине членов различают постоянные (с равными членами) и переменные ренты.
Если размеры платежей изменяются по какому - либо математическому закону, то часто появляется возможность вывести стандартные формулы, значительно упрощающие расчеты.
По вероятности выплаты членов различают ренты верные и условные.
Верные ренты подлежат безусловной выплате, например, при погашении кредита. Выплата условной ренты ставится в зависимость от наступления некоторого случайного события. Поэтому число ее членов заранее неизвестно. Например, число выплат пенсий зависит от продолжительности жизни пенсионера.
По числу членов различают ренты с конечным числом членов или ограниченные и бесконечные или вечные. В качестве вечной ренты можно рассматривать выплаты по облигационным займам с неограниченными или не фиксированными сроками.
В зависимости от наличия сдвига момента начала ренты по отношению к началу действия контракта или какому-либо другому моменту ренты подразделяются на немедленные и отложенные или отсроченные. Срок немедленных рент начинается сразу, а у отложенных запаздывает.
Ренты различают по моменту выплаты платежей.
Если платежи осуществляются в конце каждого периода, то такие ренты называются обычными или постнумерандо. Если же выплаты производятся в начале каждого периода, то ренты называются пренумерандо. Иногда предусматриваются платежи в середине каждого периода.
Анализ потоков платежей в большинстве случаев предполагает расчет наращенной суммы или современной величины ренты.
Рассмотрим расчет современной стоимости и наращенной суммы постоянной обычной (постнумерандо) p - срочной ренты [4, с.84].
Ежегодно сумма R вносится равными долями p раз в году на банковский счет в течение n лет. Тогда имеем поток из np платежей величиной  каждый в моменты .
Примем за единицу измерения времени 1 год.
Пусть i - годовая эффективная процентная ставка начисления сложных процентов на поступающие платежи.
Согласно определению современной стоимости потока платежей, получаем
 (1)
Вычисляя сумму np членов геометрической прогрессии, знаменатель которой , получим:
 (2)
современная стоимость постоянной обычной p - срочной ренты при начислении процентов на члены ренты 1 раз в году в течение n лет.
Отсюда современная стоимость годовой обычной ренты (p = 1) при начислении процентов на члены ренты 1 раз в году:
. (3)
Используя соотношения эквивалентности для эффективной процентной ставки
 и ,

получим современную стоимость обычной p - срочной ренты при начислении на члены ренты сложных процентов m раз в году по номинальной процентной ставке i ^(m) и непрерывном начислении процентов при постоянной интенсивности процентов δ в год:
 (4)
. (5)
Формулы для наращенной суммы ренты можно получить непосредственно по определению согласно формуле (3).
Например, для постоянной обычной p - срочной ренты при начислении процентов на члены ренты 1 раз в году в течение n лет получаем:
. (6)
Наращенную сумму ренты можно рассчитать, используя формулу связи современной стоимости и наращенной суммы потока платежей.
Например, для годовой ренты при начислении процентов 1 раз в год:
S = A F (T) = A (1 + i) ⁿ =  (7)
Для других видов обычной ренты из (4) и (5), используя множители наращения  и  соответственно, получим:

 (8)
 (9)
В частности, при m = p (период начисления процентов равен периоду ренты) из (4) и (8) получаем
 (10)
 (11)
Если единицей измерения времени является 1 год, а R - это выплата за год (единицу времени), то множитель в формулах современной стоимости ренты, равный , называется коэффициентом дисконтирования ренты.
Множитель в формулах наращенной суммы ренты, равный , называется коэффициентом наращения ренты.
Из (1) - (11) можно получить коэффициенты наращения и дисконтирования всех рассмотренных видов обычной ренты.
Согласно (1) и (5), коэффициенты дисконтирования и наращения обычной p - срочной ренты с начислением процентов 1 раз в году в течение n лет равны соответственно:
 (12)

 (13)
 и  - это соответственно современная стоимость и наращенная сумма постоянной обычной p - срочной ренты с ежегодной выплатой 1 д. е. равными долями p раз в году в размере  в моменты времени  с начислением на члены ренты процентов 1 раз в году.
Следовательно, и связаны соотношением (14):
= (1 + i) ⁿ  (14)
Аналогичный смысл имеют коэффициенты дисконтирования и наращения других рассмотренных видов обычной ренты.
Для этих рент имеем соотношения:
 - годовая рента с начислением процентов 1 раз в год;
 - p - срочная рента с начислением процентов m раз в год;
 - p - срочная рента с непрерывным начислением процентов.
Коэффициенты дисконтирования и наращения годовой ренты при начислении процентов 1 раз в год:
 и  (15)
Если применяется p - срочная рента с начислением процентов p раз в год (m = p) по годовой номинальной ставке i ^(p), то за единицу измерения времени можно принять  часть года. Тогда  - выплата за единицу времени (постнумерандо),  - процентная ставка за 1 единицу времени,
срок ренты - np единиц времени.
Коэффициенты дисконтирования и наращения такой ренты равны соответственно
 и .
Из формул (10), (11) имеем
,  (16),
что позволяет для этой ренты использовать те же таблицы коэффициентов. Заметим, что если единицей измерения времени является 1 год, то коэффициенты дисконтирования и наращения этой ренты определяются как  =  и  =  и рассчитываются по формулам, полученным из (10), (11):
,  (17). Тогда
=  и  =  (18)
Рассмотрим ренту пренумерандо.
Связь между коэффициентами дисконтирования и наращения рент пренумерандо и постнумерандо следует из их определения. Срок дисконтирования каждого платежа ренты пренумерандо уменьшается, а срок наращения увеличивается на один период ренты по сравнению с обычной рентой. По - прежнему единицей измерения времени считаем 1 год. Если  и  - коэффициенты дисконтирования и наращения p - срочной ренты пренумерандо (платежи поступают в начале каждого периода длиной ) при начислении на члены ренты процентов 1 раз в год, то справедливы соотношения:
=
 =
 = (1 + i) ⁿ .
Отсюда при p = 1 получаем соотношения для годовых рент:
=
 =
 = (1 + i) ⁿ .
При непрерывном начислении процентов для p - срочной ренты имеем соотношения:
 =

.
Рассмотрим непрерывную ренту.
Коэффициенты дисконтирования и наращения постоянной непрерывной ренты можно получить из формул для p - срочной ренты при  или по определению для непрерывного равномерно выплачиваемого потока платежей с постоянной годовой интенсивностью f (t) = 1.
Например, для постоянной непрерывной ренты при непрерывном начислении процентов по постоянной силе роста  получаем:
,
где  - коэффициент дисконтирования обычной p - срочной ренты при непрерывном начислении процентов.
Заметим, что так как
,
где  - коэффициент дисконтирования p - срочной ренты пренумерандо при непрерывном начислении процентов, то
.
Действительно, при непрерывно поступающих платежах различие между рентами пренумерандо и постнумерандо исчезает.
Коэффициент дисконтирования постоянной непрерывной ренты при начислении процентов 1 раз в год получим по определению:

.
Коэффициенты наращения непрерывных рент можно найти из равенств вида:
 = ,
 = .
Соотношения между коэффициентами дисконтирования рассмотренных трех видов рент - обычной, пренумерандо и непрерывной - можно установить из следующих соображений.
Так как
,
где i ^{(p) -} эквивалентная годовая номинальная процентная ставка, то
.
С другой стороны,
.
Следовательно

  , (19)
где ,  - коэффициенты дисконтирования обычной годовой ренты с начислением процентов 1 раз в год и постоянной непрерывной ренты при непрерывном начислении процентов.
Равенства (19) можно продолжить для ренты пренумерандо, если учесть соотношения коэффициентов дисконтирования обеих рент:
 и .
Тогда
=  = . (20)
где  - эквивалентная учетная ставка.
Из (19), (20) получаем
, (21)
где  - эквивалентная номинальная учетная ставка.
Каждое выражение в этом равенстве - современная стоимость процентов, выплачиваемых по займу 1 д. е. на протяжении n лет в соответствии с различными способами выплаты процентов.
Аналогичные соотношения можно получить и для коэффициентов наращения рент.
Если полагают, что срок ренты n = ∞, то ренту называют вечной. Наращенная сумма вечной ренты бесконечна. Однако современную величину такой ренты можно найти.
Для обычной вечной p - срочной ренты с начислением процентов 1 раз в год получаем при n → ∞:
.
Для такой же ренты пренумерандо:
.
Кроме того, .
Таким образом, , , . (21)
Если вечная рента является годовой (p = 1), то имеем:
, , . (22)
Если начало ренты, т.е. начало ее первого периода, переносится в будущее на t единиц времени относительно текущего момента t = 0, то такую ренту называют отсроченной. Современная стоимость отсроченной ренты A_t определяется следующим образом. Согласно определению современной стоимости потока платежей,
,
где , ,  - дисконтные множители k - го платежа на временных отрезках [0, t_k], [t, t_k], [0, t] соответственно. Так как , то A - стоимость ренты, рассчитанная на момент начала ее первого периода, т.е. на момент начала неотсроченной ренты.
Следовательно, A - это современная стоимость неотсроченной ренты.
Таким образом, современная стоимость отсроченной ренты определяется путем дисконтирования по процентной ставке ренты в течение времени t современной стоимости A неотсроченной ренты:
, (23)
Рассмотрим зависимость коэффициентов наращения ренты от срока ренты и процентной ставки.
Поскольку характер зависимости не должен зависеть от числа платежей в году, рассмотрим годовую обычную ренту с начислением процентов 1 раз в год.
Имеем , .
Ситуацию можно рассматривать как беспроцентный долг, выданный в сумме n и возвращаемый равными долями в течение n лет.
Установим зависимость от i коэффициента наращения ренты .
.
Очевидно,  - возрастающая функция i, что следует из свойств наращенной суммы разового платежа. Действительно, так как  и , то  - возрастающая выпуклая функция аргумента i (рис.1).

sn,i n 0

i

Рис.1.
3) Установим зависимость от i коэффициента дисконтирования ренты .
.
Очевидно,  - убывающая функция i, что следует из свойств современной стоимости разового платежа. Действительно, так как  и , то  - убывающая выпуклая функция аргумента i (рис.2).

an,i n 0

i

Рис. 2

Установим зависимость от n коэффициента наращения ренты .
, где .
Так как  и , то  - возрастающая выпуклая функция аргумента n (рис.3).

sn,i   0

n

Рис. 3
Установим зависимость от n коэффициента дисконтирования ренты .
,
где .
Так как  и  (вечная рента), то  - возрастающая вогнутая функция аргумента n (рис.4).

an,i 1/i 0

n

Рис.4
Эти свойства используются в задачах на определение параметров ренты.
Задача.
Раскрой материала.
На раскрой (распил) поступает материал нескольких видов в определенном количестве. Из этого материала необходимо изготовить различные изделия. Материал может быть раскроен разными способами. Каждый способ имеет свою себестоимость и позволяет получить разное количество изделий каждого вида. Определить способ раскроя, при котором суммарная себестоимость минимальна (построить математическую модель в общем виде).
Решение:
Пусть поступает в раскрой m различных материалов.
Требуется изготовить из них k разных комплектующих изделий (комплектов) в количествах, пропорциональных величинам b₁, b₂,., b_k (условия комплектности).
Пусть каждую единицу j-го материала j=1,., m можно раскроить n различными способами, так что при использовании i-го способа раскроя, i=1,., n получим а_ij единиц k-го изделия.
Нужно определить такой план раскроя материалов, обеспечивающий максимальное количество комплектов, если имеющийся запас j-го материала составляет а_j единиц.
Обозначим через x_ij количество единиц j-го материала, раскраиваемых i-м способом, а через x-общее количество изготавливаемых комплектов.
Математическая модель этой задачи имеет такой вид:
максимизировать x (1)
при условиях

Условие 2 означает ограничение на запас j-го материала, а условие 3 - условие комплектности.

Список используемой литературы

1.                Багриновский К. Матюшок В. Экономико-математические метода и модели: Учебник / К. Багриновский, В. Матюшок. - М.: Экономистъ, 1999. - 185с.
2.                Бочаров П.П., Касимов Ю.Ф. Финансовая математика: Учебник / П.П. Бочаров, Ю.Ф. Касимов. - М.: Гардарики, 2002. - 624с.
3.                Кузнецов Б.Т. Финансовая математика: Учебное пособие / Б.Т. Кузнецов. - М.: Экзамен, 2005. - 128с.
4.                Кутуков В.Б. Основы финансовой и страховой математики: Методы расчета кредитных, инвестиционных, пенсионных и страховых схем. - М.: Дело, 1998. - 304с.
5.                Лукашин Ю.П. Финансовая математика: Учебное пособие / Ю.П. Лукашин. - М.: МФПА, 2004. - 81с.
6.                Малыхин В.И. Финансовая математика / В.И. Малыхин. - М.: Юнити - Дана, 2003. - 237с.
7.                Меньшиков С. Рентабельность и рента / С. Меньшиков // Экономическое стратегии. - 2004. - №1. - с.28-31.
8.                Четыркин Е.М. Финансовая математика / Е.М. Четыркин. - 4-е изд. - М.: Дело, 2004. - 400с.