1. Определения
Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом вида
                                                              (1)
где , , , называются дифференциальными уравнениями с запаздыванием, зависящим от состояния, а именно с сосредоточенным запаздыванием.
Если заданы начальные данные в виде
                                                          (2)
То имеет смысл определить понятие решения, начинающегося в точке σ с функции φ, или, короче, начинающегося в φ.
В дальнейшем будем рассматривать только решения, удовлетворяющие условию Липшица, поэтому следует дать следующее определение:
Def 1.Функция  называется решением системы (1), (2) на отрезке  , если она удовлетворяет следующим условиям:

 на отрезке .
Естественно возникает вопрос о существовании и единственности такого решения.
Для начала сделаем некоторые обозначения.
a)  есть функция, определенная на отрезке  и удовлетворяющая условию Липшица с константой L, то есть
;
b)
c)
Def 2.  удовлетворяет условиям a),b),c)}
2. Полезная лемма
Lemma 1: -выпуклое, замкнутое, ограниченное множество в пространстве непрерывных на отрезке  функций.
Proof:
1)Выпуклость:
a)Выберем произвольные функции , тогда
 

b) ;
c) на отрезке   на том же отрезке для любых .
2)Ограниченность:
Множество  определено так, что все элементы этого множества лежат в шаре радиуса
3)Замкнутость:
Возьмем последовательность функций такую, что
, .
a)
Возьмем  тогда

Так как это верно при любом , то получаем, что предельная функция удовлетворяет условию Липшица с константой L.
b) По теореме Кантора  равномерно на отрезке.
Предположим, что при этом (для простоты доказательства предположим что , если , рассуждения проводятся аналогично)
Возьмем , тогда, так как для любого положительного  и любого  выполнено , то выполнено и для данных  и t. Получим:

Так как по предположению , то получаем что , а это невозможно, так как . Противоречие показывает, что предельная функция ограничена по норме той же константой .
c)

на отрезке .
Видим, что выполнение условий a,b,c равнозначно тому что , то есть множество  замкнуто.
Лемма доказана полностью.
3. Существование и единственность решения
Для доказательства теоремы о существовании и единственности липшицевого решения нам потребуется некоторые понятия и важные теоремы, доказательства которых можно, например, найти в книге Кадеца [3].
Def 2. Оператор Т называется вполне непрерывным (компактным), если Т непрерывен и Т отображает любое ограниченное множество в предкомпактное.
Def 3. Семейство Ф функций φ, определенных на  называется равномерно ограниченным, если
Def 4.Семейство Ф функций φ, определенных на , называется равностепенно непрерывным, если
Теорема 1.(Арцела)
Для того чтобы семейство Ф непрерывных, определенных на отрезке  функций было предкомпактом в , необходимо и достаточно, чтобы это семейство было равномерно ограниченным и равностепенно непрерывным.
Теорема 2.(Шаудера, принцип неподвижной точки)
Если U-замкнутое ограниченное выпуклое подмножество пространства Банаха X оператор  вполне непрерывен, то Т имеет в U по крайней мере одну неподвижную точку.
Именно на теореме Шаудера основано доказательство теоремы о существовании и единственности решения.
Теорема 3.(существование и единственность решения системы (1).(2))
Пусть система (1),(2) такая что:

Тогда  такая что на отрезке  существует решение системы (1),(2), удовлетворяющее условию Липшица, и оно единственно.
Замечание. Для простоты возьмем , для других значений теорема доказывается аналогично, или сводится к этому случаю заменой переменных.
Доказательство: Проинтегрировав уравнение (1), увидим, что решение должно удовлетворять условию:

Обозначим

и будем искать решение в виде
Где
Определим оператор
,
Который действует из  в себя, действительно, возьмем произвольный элемент
a)       Проверим, удовлетворяет ли образ условию Липшица: возьмем


При  
b)      
При  выполнено .
c)         при  по определению оператора.
Выполнение условий a,b,c означает что .
Для этого необходимо подобрать параметры  так, чтоб одновременно выполнялись условия:
                                                (3)
                                                    (4)
Покажем, что оператор Т осуществляет непрерывное отображение:
Возьмем последовательность  такую что


Оценка выполнена на всем интервале, величина  положительна и конечна, отсюда следует, что при |
 также стремится к нулю, а значит оператор Т переводит сходящиеся последовательности в сходящиеся, а значит он непрерывен.
Компактность оператора будем доказывать по теореме Арцела, так как образ оператора лежит в пространстве  с соответствующей нормой.
1) ,
правая часть не зависит ни от t, ни от y, значит образ оператора – равномерно ограниченное семейство функций.
2)
Выбирая  получаем что образ оператора есть равностепенно непрерывное семейство функций.
А значит, образ множества  предкомпакт, а оператор Т вполне непрерывен.
Так как множество  ограничено, выпукло и замкнуто, а оператор Т компактен и действует из этого множества в себя, то по теореме Шаудера существует по крайней мере одна неподвижная точка  из этого множества.
, а это значит, что  - решение системы (1),(2).
Единственность:
Предположим, что при выполнении условий теоремы x и y – решения системы (1),(2) на интервале .
При  оба решении совпадают с начальными данными, а значит равны между собой. На интервале  оценим модуль разности функций, являющимися решениями.

Эта оценка верна для произвольного t отсюда немедленно следует, что
,
Выбирая  таким малым, чтоб  было меньше 1, получаем что , а значит на   . Последовательно строя интервалы длинной  закончим доказательство теоремы.
4.Пример неединственности (Winston)
Для уравнения  с начальными данными

для малых положительных t существует два различных решения:

Действительно, проверим, удовлетворяют ли эти функции уравнению:



Значит, система имеет два различных решения. Это происходит потому что при малых t аргумент  оказывается в окрестности -1, а при этих значениях начальные данные недостаточно гладки, не выполнено условие Липшица.

Список использованной литературы
[1] HALE J. K. Theory of functional differential equations. –Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1977.
[2] Резуненко А.В. Краткое введение в обыкновенные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. Харьков-2004.
[3] Кадец В.М. Курс функционального анализа. Харьков-2006.
[4] I.D.Chueshov. Introduction to the Theory of Infinite-Dimensional Dissipative Systems . «Аста»-2002.
[5] Д. Хенри. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. Москва. «Мир»-1985.
[6] Колмогоров А.Н. Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа 1976