Определение. Матрицей размерности  называется прямоугольная таблица, составленная из  чисел (  строк,  столбцов).

Обозначаются матрицы

, ,
или кратко: , или одной латинской заглавной буквой, например, .
В частности, когда , матрица состоит из одной строки и называется матрицей-строкой. Если же , а , то получаем одностолбцовую матрицу, которую называют матрицей-столбцом.
Числа  называются элементами матрицы. Вообще, элементы матрицы могут быть произвольной природы. Мы будем рассматривать только числовые матрицы.
Если в матрице число строк равно числу столбцов: , то матрицу называют квадратной матрицей порядка .

Квадратной матрицей второго порядка называется таблица

,
составленная из четырех элементов . Элементы  образуют главную диагональ матрицы А, элементы  – побочную диагональ.
Квадратной матрицей третьего порядка называется таблица, составленная из девяти элементов

: .
Элементы  образуют главную диагональ, а  – побочную.

n

m

Рис. 1

В дальнейшем будет иногда удобным изображать матрицу схематически в виде прямоугольника или квадрата как на рис. 1.
Нулевой матрицей (нуль-матрицей) называют матрицу, все элементы которой равны нулю. Обозначают ее 0.
Квадратные матрицы вида
 и
называются треугольными матрицами (верхнетреугольной и нижнетреугольной соответственно). В них все элементы ниже или выше главной диагонали равны нулю.
Диагональной матрицей называется квадратная матрица, все элементы которой вне главной диагонали равны нулю:
 .
Единичной матрицей называется диагональная матрица вида

.
Две матрицы  и  равны, если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны.

Действия над матрицами

Определение. Суммой двух матриц  и  одинакового размера называется матрица  того же размера, элементы которой находятся по формуле . Обозначается .
Пример . .
Операция сложения матриц распространяется на случай любого числа слагаемых. Очевидно, что
.
Еще раз подчеркнем, что складывать можно только матрицы одинакового размера; для матриц разных размеров операция сложения не определена.
Определение. Разностью  матриц  и  одинакового размера называется такая матрица , что
.

Определение. Произведением матрицы  на число  называется матрица , получающаяся из  умножением всех ее элементов на : .
Определение. Пусть даны две матрицы    и  размерностей  и  соответственно, причем число столбцов  равно числу строк . Такие матрицы называются согласованными. Произведением матрицы  на матрицу  называется матрица , элементы которой находятся по формуле . Обозначается .
Схематически операцию умножения матриц можно изобразить так:
 SHAPE  \* MERGEFORMAT

m

n

n

k

=

k

m

,

а правило вычисления элемента  в произведении - так:

i

j

=

j

i

Подчеркнем еще раз, что произведение  имеет смысл тогда и только тогда, когда А и В согласованы, т.е. число столбцов левого сомножителя А равно числу строк правого сомножителя В, при этом в произведении получается матрица С, число строк которой равно числу строк левого сомножителя, а число столбцов равно числу столбцов правого.
Пример .Даны матрицы

 и .
Найти матрицы
 и .
Решение. Прежде всего заметим, что произведение  существует, так как число столбцов  равно числу строк .

Заметим, что в общем случае , т.е. произведение матриц неперестановочно (некоммутативно).
Найдем  (умножение возможно).

Пример. Дана матрица
. Найти .

Решение.
.
; .
.
Отметим следующий любопытный факт.
Как известно, произведение двух отличных от нуля чисел не равно нулю. Для матриц подобное обстоятельство может и не иметь места, то есть произведение ненулевых матриц может оказаться равным нуль-матрице.
Пример. Если  и , то
.
Определение. Матрица , полученная из данной матрицы А заменой каждой строки на столбец с тем же номером, называется матрицей, транспонированной к данной матрице А. Иными словами, при транспонировании матрицы ее строки и столбцы меняются местами.
Пример
. , .

Определители

Пусть дана квадратная матрица второго порядка

 

,

Число , составленное из элементов матрицы А, называют определителем второго порядка и обозначают . Таким образом, чтобы сосчитать определитель второго порядка, надо перемножить элементы, стоящие на главной диагонали и вычесть произведение элементов, стоящих на побочной диагонали. Например, определитель матрицы  равен .
Пусть дана квадратная матрица третьего порядка
.
Определителем третьего порядка  называется число, равное сумме

Определитель третьего порядка обычно считают, используя следующее правило, называемое правилом Саррюса или правилом треугольников.

 SHAPE  \* MERGEFORMAT

–

Рис. Б

 SHAPE  \* MERGEFORMAT

+

Рис. А

Три слагаемых, входящих в сумму  со знаком "плюс", находятся следующим образом: одно слагаемое состоит из произведения элементов, расположенных на главной диагонали, два других – произведения элементов, лежащих на параллели к этой диагонали с добавлением третьего множителя из противоположного угла. (Получаются два треугольника, располагающиеся поперек главной диагонали) (рис. А).
Слагаемые, входящие в  со знаком "минус", строятся таким же образом относительно побочной диагонали. (рис. Б).
Пример. Вычислить определитель

по правилу треугольников (Саррюса).
Решение:

.
Для приобретения навыка предлагается самостоятельно вычислить следующие определители:

1 ; Ответ: .2) ; Ответ: . 3) ;
Ответ. .
Определители обладают рядом свойств, которые лежат в основе практических способов их вычисления.
Свойство1.Определитель квадратной транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.
Отсюда следует, что строки и столбцы определителя равноправны, т.е. любое свойство определителя, доказанное для строк, справедливо и для столбцов и наоборот.
Свойство 2.При перестановке любых двух строк определитель меняет знак.
Свойство3.Общий множитель всех элементов некоторой строки определителя можно выносить за знак определителя.
Сформулируем теперь три признака равенства определителя нулю.
Свойство4.Определитель, имеющий две одинаковые строки, равен нулю.
Свойство5.Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.
Свойство6.Если все элементы некоторой строки определителя равны нулю, то определитель равен нулю.
И еще одно важное свойство:
Свойство 7.Определитель не изменится, если к элементам одной из его строк прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

По аналогии с понятиями определителей второго и третьего порядков можно ввести понятие определителя -го порядка:

.
Чтобы дать определение и одновременно способ вычисления определителя -го порядка, дадим несколько определений.
Определение. Если в определителе -го порядка вычеркнуть -ую строку и -ый столбец, то оставшийся определитель -го порядка называется минором данного элемента  и обозначается .
Определение. Алгебраическим дополнением элемента  определителя  называется его минор, взятый со знаком .
Алгебраическое дополнение элемента  обозначается через . Следовательно, .
Пример3.Дан определитель . Найти минор и алгебраическое дополнение элемента  (выделен пунктиром).
Решение. Вычеркивая в определителе первую строку и второй столбец, на пересечении которых находится элемент , получим . Тогда .
Теорема разложения. Определитель равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки или столбца на их алгебраические дополнения, т.е., например,
,(*)
где  – фиксировано.
Выражение (*) называют разложением определителя  по элементам строки с номером . Мы примем его в качестве определения:
Определение. Определителем -го порядка , соответствующим квадратной матрице порядка n, будем называть сумму произведений элементов какой-нибудь строки или столбца на их алгебраические дополнения
При вычислении определителя -го порядка по теореме разложения требуется вычислить n определителей -го порядка. На практике вычисление определителя -го порядка сводится к вычислению одного определителя -го порядка, для чего в какой–либо строке (или столбце) получают  нулей, а затем разлагают определитель по этой строке, пользуясь формулой (*).
Пример 4. Вычислить определитель
Решение.

Наша задача состоит в том, чтобы, пользуясь свойствами определителя, получить максимальное число нулей в какой-нибудь строке или столбце, а затем применить теорему разложения. Во второй строке уже имеются два нуля, получим еще нули в этой строке. Для этого прибавим к элементам второго столбца соответствующие элементы четвертого столбца, умноженные на 2, а к элементам третьего столбца прибавим соответствующие элементы четвертого, умноженные на . Получим определитель, равный исходному


Применим теорему разложения ко второй строке, т.е. разложим определитель по элементам второй строки.
Получим определитель 4-го порядка.

Теперь получим нули во втором столбце. Для этого к элементам третьей строки прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на , а к элементам четвертой – элементы первой, умноженные на .
Получим .
Разлагая его по элементам второго столбца, получим
.
Теперь можно разложить полученный определитель, например, по первому столбцу:
.
Легко вычисляются определители квадратных матриц треугольного или диагонального видов. В этом случае определитель равен произведению элементов, расположенных на диагонали.
В заключение еще одно свойство определителей, которое формулируется обычно в виде теоремы: Определитель произведения квадратных матриц одного порядка равен произведению их определителей
.

Обратная матрица и ее вычисление

Определение. Если  – квадратная матрица, то обратной для нее матрицей называется матрица, обозначаемая  и удовлетворяющая условиям , где  – единичная матрица.
Из этого определения следует, что если матрица  является обратной для , то и  будет обратной для . Обратную матрицу имеет только квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля. Такие матрицы называются невырожденными.
Приведем схему нахождения обратной матрицы.
1. Находим определитель данной квадратной матрицы .
2. Находим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы .
3. Составляем из алгебраических дополнений матрицу .
4. Транспонируем матрицу .
5. Делим каждый элемент полученной матрицы  на определитель матрицы .
Пример . Найти матрицу, обратную матрице
.
Решение.
1.Найдем
.
2. Ищем алгебраические дополнения каждого элемента матрицы :
; ; .
Получили алгебраические дополнения элементов первой строки. Аналогично для элементов второй и третьей строк получаем:
; ; .
; ; .
3. Составляем матрицу

: .
4. Транспонируем ее:

5. Разделив на определитель, получаем обратную матрицу:
.
Для проверки убедимся, что
:
.

Ранг матрицы

Определение. Пусть дана матрица  размера . Выделим в этой матрице какие-либо  строк и  столбцов. На их пересечении получится квадратная матрица -го порядка. Ее определитель называется минором -го порядка матрицы .
Не путайте понятия "минор данного элемента" и "минор -го порядка"!
Определение. Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, отличных от нуля.
Таким образом, число  называется рангом матрицы , если:
1) в матрице  есть минор порядка , отличный от нуля;
2)все миноры порядка  и выше, если они существуют, равны нулю.
Обозначения ранга матрицы: , ,  или просто .
Из определения следует, что  – целое положительное число. Для нулевой матрицы считают ранг равным нулю.
Некоторые свойства ранга матрицы:
1.     Ранг матрицы, полученной из данной вычеркиванием какой-либо строки (столбца) равен рангу исходной матрицы или меньше его на единицу.
2.     Ранг матрицы, полученной из данной приписыванием какой-либо строки (столбца) равен рангу исходной матрицы или больше его на единицу.
3.     Вычеркивание или приписывание к матрице нулевой строки (столбца) не меняет ее ранга.
4.     При транспонировании матрицы ее ранг не изменяется.
Свойство миноров, используемое для нахождения ранга матрицы: Если все миноры порядка k в данной матрице равны нулю, то и все миноры более высокого порядка тоже равны нулю.
Определение. Минором, окаймляющим минор М порядка k матрицы А, называется минор порядка  этой матрицы, содержащий минор М.
Из определений окаймляющего минора и ранга матрицы следует, что если в матрице А имеется минор М порядка r, отличный от нуля, а все его окаймляющие миноры (если они существуют) равны нулю, то ранг матрицы А равен r.
Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы.
Для определения ранга матрицы достаточно найти отличный от нуля минор М, все окаймляющие миноры которого равны нулю. Тогда ранг матрицы равен порядку минора М.

Пример. Найти ранг матрицы

Решение. Среди элементов матрицы А находим ненулевой, например, стоящий в левом верхнем углу элемент . Имеем:  (это не модуль, а определитель первого порядка!). Окаймляем минор , приписав к нему строку и столбец. Приписав 2-ю строку и 2-ой столбец, получаем окаймляющий минор
: .
Окаймляем теперь минор , приписав к нему 3-ю строку и 3-й столбец::
. Имеем .
Т.к. , то составляем другой окаймляющий минор, приписав к  4-ый столбец:.

. Имеем .
Повторяем окаймление до тех пор, пока не найдем окаймляющий минор 3-го порядка, не равный нулю, либо пока не переберем все окаймляющие миноры 3-го порядка. Имеем:
, , , и лишь последний из окаймляющих миноров !
Имеем, таким образом, ненулевой минор 3-го порядка :
.
Окаймляем его минором 4-го порядка:

 :
.
Второй возможный окаймляющий минор:

Т.к. оба минора четвертого порядка, окаймляющие минор , равны нулю, то ранг матрицы А равен порядку минора , т.е. 3: rang A = 3.

Метод элементарных преобразований нахождения ранга матрицы

Элементарными преобразованиями над строками матрицы будем называть следующие:
1.                Умножение строки (т.е. всех ее элементов) на ненулевое число.
2.                Прибавление к одной строке другой, умноженной на число.
3.                Перестановка местами двух строк.
4.                Вычеркивание нулевой строки.
Заметим, что третье преобразование может быть получено из первых двух.
Аналогичные преобразования можно ввести и для столбцов.
Теорема. При элементарных преобразованиях матрицы ее ранг не изменяется.
Теорема используется для нахождения ранга. Матрица приводится к трапециевидной или ступенчатой путем элементарных преобразований. Количество ненулевых строк в трапециевидной или ступенчатой форме равняется рангу исходной матрицы.
Пример .Найти ранг матрицы
.
Решение. Умножая первую строку последовательно на  и прибавляя ко 2-ой, 3-ей, 4-ой строкам соответственно, получим нули в первом столбце ниже места 1-1:
.
Теперь с помощью элемента , стоящего на месте 2-2, получим нули ниже него, умножая вторую строку на  и прибавляя последовательно к третьей и четвертой:
.
Вычеркиваем нулевую третью строку:

.
В полученном ступенчатом виде матрицы три ненулевых строки, следовательно, ранг матрицы А равен 3 : rang(A) = 3.
Задачи для самостоятельного решения.
1.                Найти ранг матрицы
.
Ответ: .
2. При каких  ранг матрицы равен 2? равен 3?
Ответ: при  ранг равен 2, при  ранг равен 3.
Исследование совместности системы линейных уравнений (СЛУ)
Определение. Пусть дана матрица ранга . Любой минор матрицы, отличный от нуля и имеющий порядок, равный рангу , называется базисным минором, а строки и столбцы его составляющие, – базисными строками и столбцами.
Если решается система линейных уравнений, то неизвестные, коэффициенты при которых входят в базисный минор расширенной матрицы системы , называют базисными (зависимыми), а неизвестные, коэффициенты при которых не попали в базисный минор – свободными. Заметим, что выбор зависимых и свободных неизвестных не всегда однозначен.
Определение. Совокупность соотношений, дающих выражение базисных (звисимых) неизвестных через свободные, называется общим решением системы линейных уравнений.
Определение. Решение, получающееся из общего решения при фиксированных значениях свободных неизвестных, называется частным решением системы.
Критерий совместности СЛУ
Его дает следующая теорема.
Теорема Кронекера - Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы А равен рангу расширенной матрицы системы .
Для произвольных СЛУ справедливы следующие утверждения:
1. Совместная система линейных уравнений имеет единственное решение тогда и только тогда, когда , где  – число неизвестных. Действительно, в этом случае нет свободных неизвестных, а система, эквивалентная данной, у которой число уравнений совпадает с числом неизвестных, имеет единственное решение.
2. Система линейных уравнений неопределенна тогда и только тогда, когда , но меньше числа неизвестных. n (есть свободные неизвестные, которым можно придавать любые значения).
3. Если , то по теореме Кронекера – Капелли система несовместна

Системы линейных уравнений

Произвольная система линейных уравнений (СЛУ) имеет вид
(1)
где  и  – натуральные числа. Числа  называются коэффициентами системы,  – свободными членами и являются заданными,  называются неизвестными и являются искомыми.
Определение. Решением системы (1) называется всякая совокупность чисел , подстановка которых в систему (1) вместо соответствующих неизвестных обращает каждое уравнение системы в тождество.
Подчеркнем, что набор  – одно решение системы (1), то есть .
Определение. Две системы называются эквивалентными, если решение первой является решением второй и наоборот.
Определение. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной.
Определение. Совместная система, имеющая единственное решение, называется определенной, а имеющая более одного решения – неопределенной.
С системой линейных уравнений связаны две матрицы: матрица коэффициентов системы (или просто - матрица системы), составленная из коэффициентов при неизвестных
, и матрица ,
получаемая добавлением к основной матрице столбца свободных членов и называемая расширенной матрицей системы (1).
Если все свободные члены системы (1) равны нулю, то система называется однородной. В общем случае, когда хотя бы один из свободных членов отличен от нуля система называется неоднородной.
Однородная система линейных уравнений всегда совместна, так как у нее есть по крайней мере нулевое решение .
При решении систем линейных уравнений возникают следующие вопросы:
1) является ли система совместной?
2) если система совместна, то определенная она или неопределенная?
3) если система определенная, то как найти ее единственное решение?
4) если система неопределенная, то как описать множество ее решений?
Критерий совместности системы (1) дает следующая теорема.
Теорема Кронекера-Капелли.Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы.
Рассмотрение методов решения систем линейных уравнений начнем с частного вида систем, когда , то есть, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных.

Решение систем линейных уравнений в случае

Матрица системы, в которой число неизвестных n равно числу уравнений m, является квадратной. В этом случае система (1) тогда и только тогда является определенной, когда определитель основной матрицы отличен от нуля, т.е. матрица системы невырожденная. Укажем два способа решения таких систем.
I способ. Метод Крамера.
Если , то единственное решение системы находится по формулам
,(2)
где  – определитель, получаемый из  заменой -го столбца на столбец свободных членов.
Формулы (2) называют формулами Крамера.
II способ. Матричный метод.
Систему линейных уравнений

можно записать в матричной форме , (3)
где , , .
Если матрица системы А невырожденная, то она имеет обратную . Умножая матричное равенство  слева на , получим:
, откуда , т.к.  и , то
.
Эта формула и дает единственное решение системы в виде матрицы-столбца Х.
Пример. Доказать, что система

имеет единственное решение и найти его двумя способами:
а) по формулам Крамера;б) матричным методом.
Решение:
а) найдем определитель основной матрицы:
,
следовательно, система имеет единственное решение.
,
,

По формулам Крамера находим
, , .
б) Запишем систему в матричной форме:
, откуда ,

где  – матрица, обратная к матрице системы.
.
; ; ;
; ; ;
; ; .
, ,
.