Аппроксимация функций.

Из курса математики известны 3 способа задания функциональных зависимостей:
1)      аналитический
2)      графический
3)      табличный
Табличный способ обычно возникает в результате эксперемента.
Недостаток табличного задания функции заключается в том, что найдутся значения переменных которые неопределены таблицей. Для отыскания таких значений определяют приближающуюся к заданной функцию, называемой аппроксмирующей, а действие замены аппроксимацией.

φ(х)

Аппроксимация заключается в том, что используя имеющуюся информацию по f(x) можно рассмотреть другую функцию φ(ч) близкую в некотором смысле к f(x), позволяющую выполнить над ней соответствующие операции и получить оценку  погрешность такой замены.
φ(х)- аппроксимирующая функция.
Интерполяция (частный случай аппроксимации)
Если для табличной функции y=f(x), имеющей значение x₀ f(x₀) требуется построить аппроксимирующюю функцию j(x) совпадающую в узлах с x_i c заданной, то такой способ называется  интерполяцией
При интерполяции, заданная функция f(x) очень часто аппроксимируется с помощью многочлена, имеющего общий вид
j(x)=p_n(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₀
В данном многочлене необходимо найти коэффициенты a_n ,a_n-1, …a₀ , так как задачей является интерполирование, то определение коэффициентов необходимо выполнить из условия равенства:
P_n(x_i)=y_i  i=0,1,…n
 Для определения коэффициентов применяют интерполяционные многочлены специального вида, к ним относится и полином Лагранжа L_n(x).
                  i¹j
В точках отличных от узлов интерполяции полином Лагранжа в общем случае не совпадает с заданной функцией .

Задание

С помощью интерполяционного полинома Лагранжа вычислить  значение функции y в точке x_c, узлы интерполяции расположены равномерно  с шагом  Dх=4,1 начиная с точки х₀=1,3 даны значения функции y={-6.56,-3.77,-1.84,0.1,2.29,4.31,5.86,8.82,11.33,11.27}.

ГСА для данного метода

да

нет

нет

да

Начало

Ввод х0, h, xc, n

I=0

j £ n

Ввод yi

xi = x0 + h*i

i = i+1

S = 0

i = 0

P = 1

j = 0

j = j+1

S  = S + yi*P

i = i +1

Вывод S, xc

Конец

i = j

i £ n

i £ n

 
CLS                                                                          
DIM Y(9)                                                                     
DATA -6.56,-3.77,-1.84,0.1,2.29,4.31,5.86,8.82,11.33,11.27                   
X0 = 1.3: H = 4.1: N = 10: XC = 10                                           
FOR I = 0 TO N - 1                                                           
1 X(I) = X0 + H * I                                                           
READ Y(I)                                                                    
PRINT Y(I); X(I)                                                             
NEXT I                                                                        
S1 = 0: S2 = 0: S3 = 0: S4 = 0                                               
FOR I = 0 TO N - 1                                                           
2 S1 = S1 + X(I) ^ 2                                                         
S2 = S2 + X(I)                                                               
S3 = S3 + X(I) * Y(I)                                                        
S4 = S4 + Y(I)                                                               
NEXT I                                                                        
D = S1 * N - S2 ^ 2                                                          
D1 = S3 * N - S4 * S2                                                        
D0 = S1 * S4 - S3 * S2                                                        
A1 = D1 / D: A0 = D0 / D                                                     
YC = A1 * XC + A0                                                            
PRINT "A0="; A0, "A1="; A1, "YC="; YC                                        
FOR X = 0 TO 50 STEP 10                                                     
Y = A1 * X + A0                                                              
PRINT X, Y                                                                    
NEXT X                                                                       
END                                                                         
XC= 10
  Х               Y
 1.3          -6.56
 5.4          -3.77
 9.5          -1.84
 13.6          .1
 17.7          2.29
 21.8          4.31
 25.9          5.86
 30            8.82
 34.1          11.33
 38.2          11.27
S=-1.594203
АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЕЙ. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ.

В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично или в виде набора точек с координатами (x_i,y_i), i=0,1,2,...n, где n - общее количество точек. Как правило, эти табличные данные получены экспериментально и имеют погрешности. При аппроксимации желательно получить относительно простую функциональную зависимость (например, полином), которая позволила бы "сгладить" экспериментальные погрешности, получить промежуточные и экстраполяционные значения функций, изначально не содержащиеся в исходной табличной информации.
Графическая интерпретация аппроксимации.
Эта функциональная (аналитическая) зависимость должна с достаточной точностью соответствовать исходной табличной зависимости. Критерием точности или достаточно "хорошего" приближения могут служить несколько условий.
Обозначим через f_i значение, вычисленное из функциональной зависимости для x=x_i и сопоставляемое с y_i.
Одно из условий согласования можно записать как
S = PRIVATE (f_i-y_i) ® min ,
т.е. сумма отклонений табличных и функциональных значений для одинаковых x=x_i должна быть минимальной (метод средних). Отклонения могут иметь разные знаки, поэтому достаточная точность в ряде случаев не достигается.
Использование критерия     S = PRIVATE |f_i-y_i| ® min , также не приемлемо, т.к. абсолютное значение не имеет производной в точке минимума.
Учитывая вышеизложенное, используют критерий наименьших квадратов, т.е. определяют такую функциональную зависимость, при которой
S = PRIVATE(f_i-y_i)² , (1)
обращается в минимум.
В качестве функциональной зависимости рассмотрим многочлен
f(x)=C₀ + C₁X + C₂X²+...+C_MX^M. (2)
Формула (1) примет вид S = PRIVATE ( C₀ + C₁X_i + C₂X_i²+...+C_MX_i^M - Y_i ) ²
Условия минимума S можно записать, приравнивая нулю частные производные S по независимым переменным С_0,С₁,...С_М :
S_C0 = 2 PRIVATE( C₀ + C₁ X_i + C₂ X_i²+...+C_M X_i^M - Y_i ) = 0 ,
S_C1 = 2 PRIVATE( C₀ + C₁ X_i + C₂ X_i²+...+C_M X_i^M - y_i ) X_i = 0 ,
................................................................................................. (3)
S_CM = 2 PRIVATE( C₀ + C₁ X_i + C₂ X_i²+...+C_M X_i^M - Y_i ) X_i^M = 0 ,
Тогда из (3) можно получить систему нормальных уравнений
C₀  (N+1) + C₁PRIVATE  X_i + C₂PRIVATE X_i² +...+ C_MPRIVATE X_i^M = PRIVATE Y_i ,
C₀PRIVATE X_i + C₁PRIVATE X_i² + C₂PRIVATE X_i³ +...+ C_MPRIVATE X_i^M+1 = PRIVATE Y_i X_i ,
....................................................................................................... (4)
C₀PRIVATE X_i^M + C₁PRIVATE X_i^M+1 + C₂PRIVATE X_i^M+2 +...+ C_MPRIVATE X_i^2M =  PRIVATEY_i X_i^M .
Для определения коэффициентов С_i и, следовательно, искомой зависимости (2) необходимо вычислить суммы и решить систему уравнений (4). Матрица системы (4) называется матрицей Грама и является симметричной и положительно определенной. Эти полезные свойства используются при ее решении.

PRIVATE	(N+1)	Xi	Xi2	...	XiM	Yi
	Xi	Xi2	Xi3	...	XiM+1	Yi Xi
	...	...	...	...	...	...
	XiM	XiM+1	XiM+2	...	Xi2M	Yi XiM

Нетрудно видеть, что для формирования расширенной матрицы (4а) достаточно вычислить только элементы первой строки и двух последних столбцов, остальные элементы не являются "оригинальными" и заполняются с помощью циклического присвоения.
Задание
Найти коэффициенты прямой и определить значение функции y{-6.56,-3.77, -1.84,0.1,2.29,4.31,5.56,8.82,11.33,11.27},  x0=1.3 h=4.1, и определить интеграл заданной функции.

Программа

¦CLS                                                                          
¦XC = 10: X0 = 1.3: H = 4.1: N = 10                                           
¦DIM Y(9): DIM X(9)                                                           
¦DATA -6.56,-3.77,-1.84,0.1,2.29,4.31,5.86,8.82,11.33,11.27                  
¦FOR I = 0 TO N - 1                                                           
¦X = X0 + H * I:                                                              
¦X(I) = X                                                                     
¦READ Y(I)                                                                    
¦PRINT X(I), Y(I)                                                             
¦NEXT I                                                                        
¦S1 = 0: S2 = 0: S3 = 0: S4 = 0                                               
¦I = 0                                                                        
¦10 S1 = S1 + X(I) ^ 2:                                                        
¦S2 = S2 + X(I):                                                              
¦S3 = S3 + X(I) * Y(I):                                                       
¦S4 = S4 + Y(I)                                                               
¦I = I + 1                                                                    
¦IF I <= N - 1 THEN 10                                                        
¦D = S1 * N - S2 ^ 2:   
¦D1 = S3 * N - S2 * S4:                                                        
¦D0 = S1 * S4 - S2 * S3                                                       
¦A1 = D1 / D:                                                                 
¦A0 = D0 / D                                                                  
¦Y = A1 * XC + A0                                                             
¦PRINT TAB(2); "КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ В ТОЧКЕ A0="; A0,                          
¦PRINT TAB(2); "КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ В ТОЧКЕ A1="; A1,                          
¦PRINT TAB(2); "ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ XC Y="; Y                            
¦FOR X = 10 TO 50 STEP 10                                                     
¦Y = A1 * X + AO                                                              
¦PRINT X, Y                                                                    
¦NEXT X                                                                       
¦FOR I = 1 TO N - 1                                                           
¦S = S + Y(I): NEXT I                                                          
¦D = H / 2 * (Y(0) + Y(N - 1) + 2 * S)                                        
¦PRINT "ЗНАЧЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ПО МЕТОДУ ТРАПЕЦИИ D="; D

Ответы

Х                Y
1.3          -6.56
 5.4          -3.77
 9.5          -1.84
 13.6          .1
 17.7          2.29
 21.8          4.31
 25.9          5.86
 30            8.82
 34.1          11.33
 38.2          11.27
 КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ В ТОЧКЕ A0=-6.709182
 КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ В ТОЧКЕ A1= .5007687
 ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ XC Y=-1.701495
 10            5.007687
 20            10.01537
ЗНАЧЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ПО МЕТОДУ ТРАПЕЦИИ D= 166.9725