План.
1.     Сопряженный оператор.
2.     Сопряженная однородная задача.
3.     Условия разрешимости.
Сопряженный оператор.
Обозначим через  дифференциальный оператор второго порядка, т.е.
                        (1)
где  представляют собой непрерывные функции в промежутке . Если  и - дважды непрерывно дифференцируемые на функции, то имеем:
                 (2)
Как и в предыдущем параграфе, интегрирование соотношения (2) по частям дает:
     (3)
Обозначим дифференциальный оператор, входящий в подынтегральное выражение в правой части (3) через , т.е.      (4)
При этом соотношение (3) перепишется так:
    (5)
Оператор  называется сопряженным по отношению к оператору . Умножая соотношение (4) на  и интегрируя полученный результат по частям, по отношению к оператору . Таким образом, операторы  и  взаимно сопряжены.
Как и в предыдущем параграфе, дифференциальное уравнение:
(6)
будем называть сопряженным дифференциальному уравнению:
(7)
Если же , то оператор  и дифференциальное уравнение будем называть сопряженными. Сравнивая выражения (1) и (5), приходим к выводу, что  тогда и только, когда:

Таким образом, оператор   будем  самосопряженным тогда и только тогда, когда .
При этом:

Так как любое дифференциальное уравнение вида (7) можно преобразовать в самосопряженную форму, умножив на функцию .
Дифференцируя соотношение (5) по , получаем так называемую формулу Лагранжа:
     (8)
Правая часть этой формулы может быть записана как:
             (9)
где
         (10)
Отметим, что:
 и следовательно, матрица -невырожденная. Подстановка выражения (9) в соотношение (8) дает:
(11)
Сопряженная однородная задача.
Введем следующее невырожденное линейное преобразование  в вектор :
(12),
где
                     
Заметим, что указанное преобразование может быть выполнено бесчисленным множеством способов, в зависимости от выбора матрицы А. При заданном ненулевом векторе две последние строки матрицы А можно выбрать так, чтобы придать любые требуемые значения компонентам . Это замечание используется в дальнейшем при нахождении вида сопряженных граничных условий. Поскольку , мы можем обратить преобразование (12) и получить:
.
При этом (11) можно переписать как:

или
 (13),
где    (14)
Билинейная форма  в соотношении (13) называется каноническим представлением билинейной формы в правой части тождества (11).
Для того чтобы найти граничные условия сопряженной задачи, положим в соотношении (13)
и и получим:
 (15)
Из формулы (21) следует, что однородные граничные условия, эквивалентны равенствам:
          (16)
        (17)
С учетом равенств (16) и (17) соотношение (15) принимает вид:
         (18)
При ненулевом векторе  последние две строки матрицы А могут быть выбраны так, чтобы компоненты  и  принимали любые требуемые значения, лишь бы  и не обращались в нуль одновременно. В частности, нижние строки матрицы А можно выбрать из условия . При этом из соотношения (11) следует, что . Аналогичным образом, нижние строки матрицы А можно выбрать так, чтобы выполнялись равенства . При этом из соотношения (11) вытекает, что . Таким образом, задача, сопряженная задаче (19)
имеет вид:
 (20)
где  и  связаны с компонентами  вектора  соотношением (14). Краевая задача (19) называется самосопряженной тогда и только тогда, когда и каждая из двух компонент  и  является линейной комбинацией  и , т.е. пропорциональна .
Один из определителей: 

матриц-блоков

должен быть отличным от нуля. Чтобы иметь возможность сравнить эти результаты с теми. которые были получены в предыдущем параграфе, предположим. что . Далее, выберем такие и , чтобы строки матрицы А были линейно независимы.
Например, положим и .
При этом матрица А примет вид:
                (21).
Из формулы (19) следует, что .
Тогда
  (22)
Подставляя матрицы (20) и (9) в соотношение (14) имеем (14а):
Следовательно, граничные условия сопряженной задачи имеют вид:
 (22)
   (23)
Для того, чтобы краевые задачи были самосопряженными необходимо, чтобы  и чтобы каждая из компонент  и  являлась линейной комбинацией  и . Как указывалось выше,  тогда и только тогда, когда . При этом условия (21) и (20)  принимают вид:
     (24)
Разрешая равенства относительно  и  при  и заменяя  на , получаем:
                 (25)
Сравнивая граничные условия (24) и (25), заключаем, что они совпадают тогда и только тогда, когда:
                            (26)
Краевая задача при  самосопряжена тогда и только тогда, когда выполнены соотношения (24) и равенство .
Условие разрешимости.
Определив сопряженную краевую задачу, вернемся к решению неоднородной задачи. Используя определение (25), перепишем формулу Грина в виде:
           (27)
,
тогда из соотношения (27) вытекает, что условие разрешимости имеет вид:
                 (27)
Для того, чтобы сравнить условие (27) с условием разрешимости, используем связь  и  с вектором , описываемую формулой (14а) т.е.:
    (28)
При этом соотношение (27) принимает вид:

Если иметь дело с граничными условиями общего вида можно выразить какие-либо два из граничных значений через два других.