Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины"
Математический факультет
Кафедра МПМ
Методика введения понятия производной функции
Реферат
Исполнитель:
Студентка группы М-33 Бондорчук А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент Лебедева М.Т.
Гомель 2007

Содержание
Введение
1. Образовательные цели изучения производной функции
2. Различные подходы к введению понятия производной функции в курсе средней школы
3. Методическая схема изучения производной
4. Изучение приложения производной в курсе школьной математики
Заключение
Литература

Введение

Цель изучения курса алгебры и начала анализа в 10-11 в.в. систематическое изучение функций как важнейшего математического объекта средствами алгебры и математического анализа, раскрытие политехнического и прикладного значения общих методов математики, связанных с исследованием функций, подготовки необходимого апорта для изучения геометрии и физики.
Курс характеризуется содержательным раскрытием понятий, утверждений и методов, относящихся к началом анализа, выявлением их практической значимости. При изучении вопросов анализа широко используются наглядные соображения: уровень строгости изложения определяется с учётом общеобразовательной направленности изучения начал анализа и согласуется с уровнем строгости приложений изучаемого материала в смежных дисциплинах.

1. Образовательные цели изучения производной функции

При изучении темы "Производная" проявляются известные трудности, связанные с осуществлением предельных переходов. Важно поэтому придать изложению возможно более наглядный и конкретный характер.
Включённые в курс сведения о пределах имеют вспомогательный характер, они не обходимы для вывода формул производных. Основное внимание должно быть уделено не формальному применению теорем о пределах, а сознательному проведению предельных переходов для приближённого вычисления значений конкретных функций и их приращений. Многочлены невысоких степеней и их частных -наиболее простой объект для иллюстрации идеи предельного перехода.
Определению производной функции как предела разностного отношения предшествует рассмотрению особенностей поведения графиков гладких функций, приводящее к понятию касательной. Производная функции появляется сначала как тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс. Тем самым с понятием производной на первом этапе связывается наглядный образ – касательная. Предельные переходы появляются как средство вычисления производной.
При изучении применения производной существенная роль отводится наглядным представлениям о производной. Опора на геометрический и механический смысл делают интуитивно ясными критерии возрастания и убывания функций, признаки максимума минимума.
Решение тестовых задач физического, геометрического и практического содержания с применением производной позволяет учащимся ознакомиться со всеми этапами решения прикладных задач: составление математической модели (перевод задачи на язык функций), решение полученной задачи средствами математического анализа, и наконец, интерпретация полученного решения в терминах исходной задачи.

2. Различные подходы к введению понятия производной функции в курсе средней школы

Различные подходы к введению производной определяются логической связью этого понятия с более общим понятием предела функции в точке.
Логический подход при введении производной в качестве базисного понятия использует определение предела функции в точке. Так в учебных программах по математике 1968 года, используя этот подход, определяли это понятие: 1) исходя из арифметического толкования предела функции (определение по Коши или на языке абсолютной погрешности):

2) исходя из операции предела функции в точке через окрестности (топологическое):  a- предельная точка множества E, т.е.

В действующих школьных программах по математике при введении производной функции используют исторический подход, т.е. первоначально формируются понятия производной, и только затем, как обобщение, понятие предела функции. При таком подходе большое внимание уделяется практическим аспектам изучения производной.

3. Методическая схема изучения производной

                  I. Привести подводящую задачу, раскрывающую физический смысл понятия производной: свободное падение тела, которое не является равномерным. Охарактеризуем скорость падения в каждый данный момент времени t , т.е. введём понятие мгновенной скорости свободного падения тела. Известно, что средняя скорость определяется отношением , причём чем меньше значение , тем менее "заметно" изменение средней скорости падения. При , отношение  стремится к значению мгновенной скорости. Таким образом мгновенная скорость характеризует скорость изменения пути в момент времени t.
В общем случае, с любым реальным процессом может быть связана задача:
Пусть -параметр данного процесса, зависимости от x ; найти скорость изменения параметра  в момент, когда . Решение задачи сводится к нахождению отношения приращения параметра , соответствующую приращению .
               II. Сформулировать определение понятия производной.
Так как в определении отсутствует понятие предела, то первоначально следует сформировать у учащихся понятие приращения как изменения и аргумента и функции.
Например:

После рассмотрения геометрического смысла производной вводим определение:
Производной функции в точке  называется число, к которому стремится разностное отношение:


Полезен небольшой анализ формулировки определения, позволяющий чётче выделить признаки данного понятия: 1) число, 2) к которому стремится разностное отношение
3)                при
Закреплению определения производной способствует вопрос: "Как найти производную функции  в точке ?", ответ на который может быть дан в форме алгоритма: 1) значению придаём приращение ; 2) находим приращение функции  в точке   ; 3) составляем разностное соотношение; 4) находим число (если такое число существует), к которому стремится  при
III. Конкретизировать понятие производной (путём вычисления производной по определению: выяснение её геометрического смысла, графическое отыскание производной)
Первый пример на выяснение производной полезно выполнить на двух уровнях: а)  задано конкретным числом; б)  берётся в общем виде.
Например: Дана функция . Найти её производную в точке: а) x=2; б)
а) Придадим приращение  в точке х=2, новое (приращённое) значение аргумента –(2+ ). Найдём приращение функции:

Вычислим разность отношения


Оно стремится к 2 при
б) , приращённое значение аргумента : +
.
Составим разностные отношение: , которые при  стремится к числу .
Для конкретизации понятия производной может быть использован графический метод, суть которого в следующем:
1) На примере функции покажите, что разностное отношение  есть функция с аргументом . Охарактеризуйте эту функцию. Обратимся к рассмотренному примеру:
, ,
Наша функция возрастающая, т.е. если
 

2) Постройте график функции  и с его помощью покажите число, к которому стремится отношение  при . Пусть

   
 SHAPE  \* MERGEFORMAT

1,5

3

2,5

2

1

2

-1

1

0

3) Мотивировать необходимость теорем о вычислении производной, сформулировать и доказать эти теоремы.
4) Рассмотреть приложение производной.

4. Изучение приложения производной в курсе школьной математики

Понятие непрерывной функции
Остановимся на понятии непрерывной функции: функция  стремится к числу  при  ( ), если разность  сколь угодно мала, т.е.  становится меньше любого фиксированного  при уменьшении . Нахождение числа  по функции  называется предельным переходом.
Этим названием уже пользовались, давая определения производной. Предельный переход – новая операция для нахождения неизвестных величин. Так, например, функция  называется непрерывной в точке x₀, если  при  или
= .
В учебнике "Алгебры и начала анализа 10-11 класс" формулируются правила новой операции:
1) Если функция  непрерывна в точке , то  при
2) Если функция  имеет производную в точке , то:  при
3) Пусть ,  при.  Тогда при :
а)  ;
б) ;
в) , если .
Метод интервалов
Приложения производной начинаются с рассмотрения приложения непрерывной функции: "Если на интервале  функция  непрерывна и не обращается в нуль, то на этом интервале она сохраняет постоянный знак! " Эта теорема применяется в решении неравенств методом интервалов. В более "сильных" классах можно заменить нахождение знака данной функции на каждом из интервалов проведением кривой знаков ", которая берет свое начало в правом верхнем углу, если знак коэффициента при старшей степени  положителен, и в правом нижнем углу в противном случае (вспомнить аналогию с расположением ветвей параболы для функции ).
Например: решить неравенство

 SHAPE  \* MERGEFORMAT

1

3

-1

-2

Ответ: .
Исследование свойств функции с помощью производной
Рассматриваются примеры разрывной функции: , непрерывной, но не дифференцируемой в точке, функции .
При исследовании свойств функции с помощью производной опираются на такие известные теоремы математического анализа, как теоремы Лагранжа, Ферма и Вейерштрасса. Формула Лагранжа как иллюстрация геометрического смысла производной приводится в пункте 19 "Касательная к графику функции" и, немного позже, с ее применением формулируется достаточные признаки возрастания и убывания функции:
  ;   , т.к. ,
где  - формула Лагранжа.
Методическая схема изучения достаточных признаков возрастания и убывания функции:
·                   поставить учебную проблему;
·                   подвести учащихся к формулировке признака с помощью геометрической иллюстрации;
·                   сформулировать признак, привести краткую запись его условия и заключения.
·                   привести доказательство признака с помощью формулы Лагранжа;
·                   закрепить доказательство путем выделения в нем составляющих шагов.
Например, подведение учащихся к формулировке признака возрастания функции конкретно- индуктивным методом можно осуществить следующим образом, обращаясь к учащимся, учитель говорит: "Можно ли охарактеризовать поведение функции с помощью производной? ". Рассмотрим рисунок
 SHAPE  \* MERGEFORMAT

y

x

Как ведет себя функция ?
Здесь приведен график функции, которая в каждой точке промежутка (a,b) имеет положительную производную. Что можно сказать о поведении функции на данном промежутке? Высказывается предположение, что функция возрастает. Справедливо ли это? Для ответа на этот вопрос приводятся примеры других функций, производная которых положительна на некотором промежутке:

, ;
, .
На основе индуктивного обобщения рассмотренных примеров формулируется соответствующий признак.

Заключение

Т.о. методическая схема изучения достаточных признаков возрастания и убывания функции:
·                   поставить учебную проблему;
·                   подвести учащихся к формулировке признака с помощью геометрической иллюстрации;
·                   сформулировать признак, привести краткую запись его условия и заключения.
·                   привести доказательство признака с помощью формулы Лагранжа;
·                   закрепить доказательство путем выделения в нем составляющих шагов.

Литература

1. К.О. Ананченко "Общая методика преподавания математики в школе", Мн., "Унiверсiтэцкае",1997г.
2.Н.М.Рогановский "Методика преподавания в средней школе", Мн., "Высшая школа", 1990г.
3.Г.Фройденталь "Математика как педагогическая задача",М., "Просвещение", 1998г.
4.Н.Н. "Математическая лаборатория", М., "Просвещение", 1997г.
5.Ю.М.Колягин "Методика преподавания математики в средней школе", М., "Просвещение", 1999г.
6.А.А.Столяр "Логические проблемы преподавания математики", Мн., "Высшая школа", 2000г.