Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины"
Математический факультет
Кафедра МПМ
Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы
Реферат
Исполнитель:
Студентка группы М-42 Локтева А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент Лебедева М.Т.
Гомель 2007

Содержание
Введение
1. Образовательные цели изучения первообразной функции и интеграла в школьном курсе математики
2. Методическая схема изучения первообразной функции
3. Методическая схема изучения теоремы о площади криволинейной трапеции
4. Методическая схема и аспекты введения понятия интеграла в средней школе
Заключение
Литература

Введение
Основная образовательная цель изучения темы "Первообразная и интеграл" может быть сформулирована так: 1) ознакомить учащихся с операцией, которая является обратной по отношению к операции дифференцирования функций; 2) познакомить с использованием метода интегрального исчисления для решения геометрических задач, некоторых задач практического содержания. В связи с этим развивающими целями будут: а) введение нового метода решения задач ( в частности нахождение площади объёма фигуры) показать известную универсальность математических методов; б) показ учащимся основных этапов решения прикладных задач средствами математики.

1. Образовательные цели изучения первообразной функции и интеграла в школьном курсе математики
Теме "Первообразная и интеграл" предшествует тема "Производная и её применение". Такая последовательность изучения материала создаёт предпосылки для: 1) понимание учащимися взаимосвязи между операциями дифференцирования и интегрирования функций, а также основной идеи метода дифференциального и интегрального исчислений; 2) осознание учащимися того факта, что аппарат производной и интеграла – основа метода математического анализа. С одной стороны, он выступает как язык, описывающий многие явления, процессы мира. С другой – как инструмент, с помощью которого с учётом особенностей языка исследуются эти явления и процессы.
Основу содержания темы составляют два типа вопросов, каждый из которых группируется около двух понятий: "Первообразная", "Интеграл". Основное внимание при изучении уделяется: 1) нахождению первообразных и вычислению интегралов на базе таблиц первообразных и правил нахождения первообразных; 2) вычислению площадей криволинейной трапеции.
В качестве основных задач, решённых в процессе изучения темы, можно выделить следующие:
·                   введение понятий первообразной и интеграла;
·                   ознакомление учащихся с основными свойствами первообразных и правилами нахождения первообразных;
·                   раскрытие смысла операции интегрирования как операции, обратной по отношению к операции дифференцирования заданной функции:
·                   провести классификацию типов задач (нахождение площади криволинейной трапеции, нахождение объёма тела, задачи с физическим содержанием), показать, каким образом реализуется метод интегрального исчисления. При этом обратить внимание на выделение в процессе их решения этапов, характеризующих процесс математического моделирования.
Теоретический материал включает в себя понятия первообразной и её основное свойство понятие интеграла функции; связь между понятиями "интеграл" и "первообразная", которая устанавливается с помощью формулы Ньютона-Лейбница; формула Ньютона-Лейбница как аппарат вычисления интеграла данной функции.
Перечисленные понятия вводятся на дедуктивной основе, дается иллюстрация использования определения основного понятия, его свойств с помощью конкретных примеров.
Задачи, помимо использования их как средства иллюстрации вводимого в рассмотрение теоретического материала, служат средством его закрепления, о чем свидетельствуют и их формулировки, например: "Найти такую первообразную функцию, график которой проходит через данную точку".
2. Методическая схема изучения первообразной функции
В школьном учебнике были "испытаны" различные варианты введения понятия интеграла. В первых изданиях учебного пособия (под ред. А.Н. Колмогорова) интеграл определяется с помощью формулы Ньютона-Лейбница (как приращение первообразной), в более поздних изданиях применялось традиционное определение интеграла как предела интегральных сумм.
Методическая схема изучения первообразной:
1)    рассмотреть примеры взаимно обратных операций;
2)    ввести интегрирование как операцию, обратную дифференцированию, а первообразную как результат операции интегрирования;
3)    выполнить упражнения типа: "Доказать, что данная функция  есть первообразная другой данной функции ", "Решить задачи на отыскание первообразной для данной функции ";
4)    ознакомить учащихся с основным свойством первообразной;
5)    составить таблицу первообразных;
6)    ознакомить учащихся с правилами нахождения первообразных;
7)    решить физические задачи с применением первообразной.
Определению первообразной предшествует задача из механики. . Если в начальный момент времени  скорость тела равна 0, т.е. , то при свободном падении тело к моменту времени  пройдет путь: . Продифференцировав ее, получаем ;  - ускорение постоянно. Более типично для механики иное: известно ускорение точки , требуется найти закон изменения скорости  и координату . Для решения таких задач служит операция интегрирования.
При введении понятия первообразной пользуются аналогией с известными учащимся примерами взаимно обратных операций. Например, операция сложения позволяет по двум данным числам найти третье число – их сумму. Если же известно первое слагаемое и сумма, то второе слагаемое может быть "восстановлено" выполнением операции вычитания. Следовательно, вычитание – операция, обратная сложению, приводящая к единственному результату. Однако такое бывает не всегда. Например, возведение в квадрат числа 3 дает число 9. Пусть теперь известно, что число 9 является квадратом некоторого числа: . Выполнив обратную операцию – извлечение квадратного корня – получаем два значения: 3 и -3.
Дифференцирование функции  приводит к новой функции , которая является производной функции  Пусть теперь известно, что производная некоторой функции  равна , т.е.: ; требуется найти функцию .
Операция нахождения функции  по ее производной  называется интегрированием. Выполняя интегрирование, можем получать следующие результаты: ; ;  и т.д. Функция  называется первообразными функции . Таким образом, интегрирование является операцией, обратной дифференцированию; результат операции интегрирования называется первообразной. После этого сообщается определение первообразной: функция  называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для всех x из этого промежутка .
Перечисленные понятия вводятся на дедуктивной основе, дается иллюстрация использования определения основного понятия, его свойств с помощью конкретных примеров.
Задачи, помимо использования их как средства иллюстрации вводимого в рассмотрение теоретического материала, служат средством его закрепления, о чем свидетельствуют и их формулировки. Например: найти такую первообразную функции, график которой проходит через данную точку.
Целесообразно обратить внимание учащихся на следующее: запись F(x)+c (общий вид первообразных для функции f(x) на заданном промежутке). Она связывает нас, с одной стороны, с произвольным значением постоянной с, а с другой стороны, в зависимости от условия предложенной для решения задачи – с конкретным. С этой целью можно вернуться к анализу решений уже рассмотренных задач. Чтобы показать, что учет конкретных условий задачи влечет обращение к вполне определенной первообразной, можно предложить учащимся найти управление пути, если за 2 секунды тело прошло 15 м.(найти уравнение кривой, проходящей через фиксированную точку А(1;2)).
Решение обеих задач связано с нахождением тех первообразных заданных функций, которые удовлетворяют указанным начальным условиям.
Работа с задачами убеждает учащихся в том, что их решение связано с выделением из множества первообразных данной функции вполне определенных конкретных первообразных (именно с этим мы сталкиваемся при решении задач практического содержания).
Изучение вопроса о правилах отыскания первообразных естественно связать с обращением к двум взаимообратным операциям: дифференцированию и интегрированию.
Например, введение третьего правила (ели F(x)-первообразная для функции f(x),а k(k¹0) и b – постоянные, то (1/k)F(kx+b) есть первообразная для функции f(kx+b) ), можно предварить рассмотрением с учащимися следующих задач:
1.          Найти производные функций: sinx; sin4x; sin(4x+3);
2.          Найти хотя бы одну первообразную для функции: cosx; cos4x; cos(4x+3).
Анализ решений этих задач и приводит к формулировке указанного правила нахождения первообразных, доказательство которого можно предложить учащимся провести самостоятельно.
3. Методическая схема изучения теоремы о площади криволинейной трапеции
Центральное место в изучении этой темы является теорема о площади криволинейной трапеции: "Пусть f – непрерывная и неотрицательная на отрезке [a, b] функция, S – площадь соответствующей криволинейной трапеции. Если F есть первообразная для f на отрезке [a, b], то S=F(b)-F(a)."

С помощью этой теоремы можно обосновать формулу Ньютона-Лейбница. Изучение доказательства проведем методом подготовительных задач.

1.                Приращение аргумента, приращение функции.
Задача: "На рисунке площадь криволинейной трапеции представлена как функция от x. Укажите на этом рисунке
S(x); S(x+Dx); DS=S(x+Dx) – S(x)".
S(x) = a A B x; S(x+Dx) = a A C ; DS = x B C ;
(необходимо потому, что учащиеся встречаются с новой геометрической интерпретацией уже известных понятий ).
2.                Определение производной.
"Запишите определение производной функции применительно к функции S(x) ". В результате получим запись:

3. Понятие функции, непрерывной в точке.
"Пусть f(x) – функция, непрерывная в точке x.(см. рисунок) Отметим на оси абсцисс точки x, x+∆x и точку с, лежащую между ними. Пусть ∆x→0. К чему стремится f(c)? Из графических соображений получаем ответ, что если
∆x→0, то с→x, а f(c)→f(x).
4. Утверждение о том, что площадь криволинейной трапеции с основанием ∆x можно заменить равной площадью прямоугольника с тем же основанием ∆x и высотой f(c), где с – некоторая точка отрезка [x; x+∆x].
Существование точки с утверждается теоремой и может быть проиллюстрировано следующими заданиями: "На рисунке дана криволинейная трапеция с основанием ∆x. Построить прямоугольник, у которого основание было бы равно ∆x, а площадь равнялась бы площади криволинейной трапеции." Задание выполняется "на глаз", от руки и преследует цель добиться интуитивного(на наглядно-геометрическом уровне) осознания рассматриваемого факта.
5. Определение первообразной.
"Пусть S(x) – первообразная f(x). Поясните, что это обозначает. Пусть S(x) – одна из первообразных для функции f(x). Запишите формулу для общего вида первообразных функции f(x)"(привычное определение первообразной применяется в новых обозначениях).
Доказательство теоремы целесообразно разбить на три части:
1)                Введём функцию S(x). Рассмотрим функцию S(x), определенную на отрезке [a,b], которая выражает зависимость площади криволинейной трапеции от аргумента x. Дадим аргументу x приращение ∆x, такое, что
.
Тогда приращение функции в точке x:


(∆x полагаем положительным)
2) Докажем что функция S(x) является первообразной для функции
 для всех
Согласно определению производной,  Так как - площадь криволинейной трапеции с основанием , то её можно заменить равной площадью прямоугольника с основанием  и высотой f(c), где


Тогда:

Поскольку с лежит между x и x+∆x, то при ∆x→0 точка с стремится к x, а f(c)→f(x). Эти рассуждения можно записать в одну строчку следующим образом:

Итак,
.

3) Подведем итоги. Мы доказали , что S(x)– первообразная для f(x) на [a,b]. Но по условию F(x) – также первообразная для f(x) на этом отрезке. Следовательно, функции S(x) и F(x) отличаются друг от друга на некоторую константу С:
 (1)
Пусть x=a равенство (1) примет вид: , откуда C=-F(a). При x=b равенство (1) запишется в виде: S=S(b)=F(b)+C=F(b)-F(a). Таким образом, S= F(b)-F(a)
Рассмотрим простейший случай криволинейной трапеции – обычную трапецию. Пусть также трапеция образована графиком функции y=x и прямыми: x=1 и x=2. По формуле площади трапеции, известной из курса планиметрии,

Первообразная данной функции  , а разность

Таким образом, этот пример подтверждает, что площадь трапеции может быть найдена как приращение первообразной:  . Методика использования рассмотренного примера при ознакомлении учащихся с теоремой может быть такой: вначале ставится учебная проблема о нахождении связи между площадью криволинейной трапеции и первообразной; приводится пример, указывающий эту связь; формулируется теорема или сначала сообщается теорема, затем приводится примет, подтверждающий эту теорему.
4. Методическая схема и аспекты введения понятия интеграла в средней школе
Методическая схема введения понятия интеграла.
1)привести подводящую задачу;
2)сформулировать определение интеграла
1) Задачи, подводящие к этому понятию.
Задача№1. На отрезке [a,b] задана непрерывная и неотрицательная функция y=f(x). Укажите новый способ(не связанный с первообразной) нахождения площади S криволинейной трапеции, образованной графиком этой функции и прямых x=a и x=b.
Этапы решения задачи: 1) построение ступенчатой фигуры и вычисление её площади
[a,b] разбиваем на n равных частей:
Одна сторона прямоугольника - , вторая - , поэтому:

2) Выражение площади  криволинейной трапеции через .
Производим деление [a;b] на более "мелкие" части и вычисляем следующее значение . После сравнения получаем: .
Задача№2. Пусть материальная точка движется прямолинейно с некоторой мгновенной скоростью , где - непрерывная на отрезке  функция. Требуется найти путь, который пройдет материальная точка за промежуток времени от  до .
В простейшем случае, когда мгновенная скорость постоянна, путь, пройденный телом, равен произведению его скорости на время движения. В общем случае, когда мгновенная скорость непостоянна, поступают следующим образом:

Сравнивая результаты решения этих двух задач, формулируем общий метод решения: разбиение отрезка, на котором задана функция, на равные части; составление суммы вида , которая принимается в качестве приближенного значения искомой величины; выполнение предельного перехода: . Такие пределы встречаются при решении многих задач из разных областей науки и техники. Поэтому они получили специальное название "интеграл функции f(x) от a до b" и обозначение . Таким образом, по определению:

,
где f(x) – непрерывная на [a,b] функция; - точки, разбивающие отрезок [a,b] на равные части; - длина каждой из этих частей.
Запишем результаты решенных задач. Площадь криволинейной трапеции, заданной непрерывной функцией f(x) на [a,b],
Путь, пройденный материальной точкой за промежуток времени от  до  со скоростью , где - непрерывная на отрезке  функция,

.
Сравнивая формулы площади криволинейной трапеции
 и ,
получаем:
,
где F – первообразная для f на [a,b] – формула Ньютона-Лейбница, позволяющее вычислять интегралы.
Анализ материала учебных пособий, связанных с введением понятия "интеграл" и получением способа вычисления интегралов, приводят к следующим важным в методическом отношении выводам:
1)                определение интеграла и формула Ньютона-Лейбница дают возможность доказать ряд часто применяемых свойств интеграла. В процессе доказательства этих свойств понятие интеграла и его геометрический смысл усваиваются глубже. Можно предложить, например, установить справедливость следующих утверждений:
a)               
b)                если функция f имеет на отрезке [a,b] первообразную, то

,
где C – некоторая постоянная;
c)                 доказать формулу вычисления производной от интеграла с переменным верхним пределом интегрирования:
,
где f(x) – функция, непрерывная на интервале, содержащем точки a и x.
Предложенные упражнения полезны ещё и потому, что в процессе их решения устанавливаются (и используются) связи между операциями дифференцирования и интегрирования, между понятиями "производная", "первообразная", "интеграл" и их свойствами.
2)                Понятие "интеграла" вводится для функции непрерывной на некотором отрезке (такая функция имеет на этом отрезке первообразную). Сознательному усвоению учащимися этого понятия (и понятия первообразной) будет способствовать специальное привлечение внимания школьников к этому факту. С этой целью могут быть использованы задачи, например, такие:
Задача№1 Возможно ли вычислить ? (подынтегральная функция имеет точку разрыва ), принадлежащую отрезку ).
Задача№2 Найти ошибку в вычислении интеграла:


(о том, что ошибка действительно допущена, свидетельствует результат: интеграл от положительной функции оказался отрицательным числом).
Задача№3 При каких значениях пределов интегрирования интеграл существует: ?
В точках 5 и –5 подынтегральная функция терпит разрыв; поэтому можно говорить о следующих условиях, которым должны удовлетворять значения пределов интегрирования:

Задача№4 Вычислить: а)
; б) ; в)
(в двух последних случаях интегралы не могут быть вычислены, т.к. подынтегральная функция не определена в каждой точке отрезка, заданного проделами интегрирования).
3)                Установление связи понятий "интеграл" и "первообразная" происходит через обращения к площади соответствующей криволинейной трапеции. Уделяя внимание геометрическому смыслу интеграла, не следует ограничиваться только геометрической иллюстрацией в процессе решения задач на вычисление интегралов. Целесообразно специально подчеркнуть, что, опираясь на геометрический смысл интеграла, иногда получаем возможность: установить существование более простого по сравнению с рассмотренным способом вычисления интегралов (например, по симметричному относительно точки 0 промежутку от четной или нечетной функции). Сделать это можно, обратившись к задачам: не только вычислять площадь фигур, но и находить числовые значения интеграла, вычисление которых по известным учащимся формулам выполнить не удается. Например: .
Задача№1 Показать, что если f – непрерывная, четная на отрезке [-a,a] функция, то:
.
Задача№2 Показать, что если f – непрерывная, нечетная на отрезке [-a,a] функция, то: .
Вычислить:
; ; .

Заключение
В качестве основных задач, решённых в процессе изучения темы, можно выделить следующие:
·                   введение понятий первообразной и интеграла;
·                   ознакомление учащихся с основными свойствами первообразных и правилами нахождения первообразных;
·                   раскрытие смысла операции интегрирования как операции, обратной по отношению к операции дифференцирования заданной функции:
провести классификацию типов задач (нахождение площади криволинейной трапеции, нахождение объёма тела, задачи с физическим содержанием), показать, каким образом реализуется метод интегрального исчисления. При этом обратить внимание на выделение в процессе их решения этапов, характеризующих процесс математического моделирования.

Литература

1. К.О. Ананченко "Общая методика преподавания математики в школе", Мн., "Унiверсiтэцкае",1997г.
2.Н.М.Рогановский "Методика преподавания в средней школе", Мн., "Высшая школа", 1990г.
3.Г.Фройденталь "Математика как педагогическая задача",М., "Просвещение", 1998г.
4.Н.Н. "Математическая лаборатория", М., "Просвещение", 1997г.
5.Ю.М.Колягин "Методика преподавания математики в средней школе", М., "Просвещение", 1999г.
6.А.А.Столяр "Логические проблемы преподавания математики", Мн., "Высшая школа", 2000г.