Учреждение образования «Брестский государственный университет
имени А.С.Пушкина»
Физический факультет
Кафедра теоретической физики и астрономии
Реферат по специализации
«Теоретическая физика»
Уравнение состояния сверхплотного вещества.
Брест 2010

Уравнение состояния для Ае- и Аеп-фаз вещества
Мы будем иметь дело с моделями звездных конфигураций, состоящих из вырожденных газовых масс. Это конфигурации белых карликов и барионных звезд. Под последними подразумеваются модели небесных тел, состоящих из вырожденного барионного газа. В расчетах параметров этих звездных конфигураций нужно иметь уравнение состояния вещества. Нас интересуют только вырожденные состояния вещества.
Начнем с рассмотрения Ае-фазы. Она состоит из голых атомных ядер и свободного вырожденного электронного газа. При достаточно низких температурах движение ядер сводится лишь к тому, что они совершают нулевые колебания около фиксированных точек равновесия. Поэтому они не дают никакого вклада в давление вещества. Давление целиком обусловлено электронами, плотность же энергии определяется атомными ядрами.
Плотность энергии равна
ρ = (т_пс² +b)∑ 2 А_кп_к +  _{QUOTE   e} (1)
где b — средняя энергия связи нуклона в ядрах (здесь нет смысла различать массы протона и нейтрона), п_к — число ядер данного типа (с параметрами А_к и Z_к) в единице объема, ρ_е — плотность энергии электронного газа. В условиях наличия вырожденного электронного газа b является функцией  _{QUOTE   е} .Согласно
ρ_е = 4Ке(х_е (1 + 2х²_e) QUOTE   - QUOTE   (х_е +  QUOTE   )) (2)
где, х_е = ρ_е/m_ес = (3 QUOTE   )^{1 /3}hn_e^1/3 m_e с — граничный импульс электронов в единицах m_ес (при р_е>> т_ес, х_е =  _{QUOTE   е}/т_е с²) и

Ке  QUOTE    (3)
Иногда удобно взамен х_e использовать параметр t_е:
t_е =4arsh x_e (4)
С помощью этого параметра плотность энергии электронов запишется в следующем компактном виде:
ρ_e = Ке(sh t_e- t_e). (5)
В выражении энергии (1) можно произвести некоторые упрощения. Так,
∑A_kn_k= QUOTE   ∑Z_kn_k= QUOTE   n_e
где А/Z есть средняя величина отношения А_к/Z_к (усредненная по всем типам ядер, имеющихся в среде). Учитывая последнее и пренебрегая малыми величинами b и ρ_е, получаем
ρ= QUOTE    (6)
Напомним, что из-за явления нейтронизации отношение А/ Z является функцией х_е, эта зависимость аппроксимирована полиномом. Теперь вычислим давление. Оно равно производной энергии по объему с обратным знаком, при постоянном числе частиц и энтропии (в данном случае энтропия равна нулю). Так как парциальное давление ядер не учитывается, то

P=-( QUOTE   )_Ne=-( QUOTE   )_Ne
где N_е = Vп_е — число электронов в некотором объеме V. При дифференцировании ρ_е нужно учесть, что х_е зависит от объема V. Имея в виду (2), находим для давления
Р =  QUOTE   Ке [x_е (2 QUOTE    - 3)  QUOTE   +3 QUOTE   ].(7)
Учитывая также формулу, уравнение состояния вещества в Aе-фазе можно записать в следующем параметрическом виде:
 

 QUOTE   ( QUOTE    ³ K _n  QUOTE    (2+a₁x_e+a₂ QUOTE    +a₃ QUOTE    ,
P= QUOTE  ( QUOTE   )⁴K (8)
Где a_1,a₂, а₃ — постоянные, входящие в формулу: а₁= 1,255  QUOTE   10^-2, а₂=1,755 QUOTE   10^-5, а₃=1,376 QUOTE   10^-6; кроме того, мы ввели также новое обозначение
К_п=  QUOTE   5,11  QUOTE   10³⁵ эрг QUOTE   см^-3, (9)
которое будет встречаться в дальнейшем.
Рассмотрим два важных предельных случая уравнения состояния (8). В нерелятивистском случае параметр х_е мал по сравнению с единицей. Разложим Р в ряд по степеням х_е и отбросим малые величины в выражениях ρ и Р; исключая параметр х, получим

Р=Aρ^5/3, (10)
Где
A= )^5/3 QUOTE     ^{QUOTE   -23} )^5/3
Величина η= A/Z  QUOTE   для всех ядер, за исключением водорода.
Р=B ρ^4/3, (11)
Где
B=5,64 QUOTE   10^-14 )^4/3
В выражении для плотности энергии мы опустили b и ρ_е.
Энергия связи нуклона в ядре имеет значение в интервале 0<b QUOTE   8 Мэв. У порога исчезновения Aе-фазы Р  QUOTE   10²⁹ эрг QUOTE   см^-3, а отношение парциальных плотностей энергии электронов и ядер порядка

Таким образом, b и ρ_е действительно достаточно малы и в расчетах звездных конфигураций не могут играть сколько-нибудь заметную роль.
В приведенном уравнении состояния не учтено взаимодействие частиц. Здесь мы имеем дело только с кулоновскими силами . Было показано, что потенциальная энергия электрона, обусловленная электрическими силами, мала по сравнению с его кинетической энергией, причем с возрастанием плотности отношение их уменьшается. Таким образом, приближение идеального газа здесь вполне оправдано. Ряд поправок к выражению давления (8), обусловленных кулоновскими взаимодействиями. Поправки к Р некоторую роль могут играть лишь при больших Z и х<1. Изменения, обусловленные температурой, тоже несущественны. Здесь важным является эффект зависимости А/Z от граничной энергии электронов.
Уравнение состояния (8) применимо до x=46, чему соответствует плотность ρ QUOTE   2,4 QUOTE   10³² эрг QUOTE   см^-3. При больших плотностях мы имеем дело с Aen-фазой, где уравнение состояния другое.
Введем параметр
t_n =4arsh x_n ,
тогда ρ_п и Р_п запишутся в следующем виде:
 

ρ_n=K_n(sh t_n - t_n),
P_n= QUOTE   K_n(sh t_n - 8sh QUOTE   ).(13)
Учитывая также энергию атомных ядер, парциальное давление и плотность энергии электронов, для уравнения состояния Aen-фазы вещества получаем
ρ=K_n(sh t_n - t_n)+m_nc² QUOTE   ,
P= QUOTE   K_n(sh t_n - 8sh QUOTE   )+P_e.(14)
Здесь ρ_е и Р_e —плотность энергии и давление электронного газа. Заметим, что чуть выше порога появления Aen-фазы парциальная плотность энергии и давление электронов (можно даже сказать — плотность энергии атомных ядер) достаточно малы по сравнению с соответствующими величинами для нейтронного газа. Здесь почти на всем протяжении фазы энергия и давление системы в основном определяются нейтронным газом.
Вообще говоря, в Aen-фазе следовало бы учитывать ядерные взаимодействия между нейтронами. Их вклад несуществен для энергии, но, по-видимому, является важным для давления: при заданном числе нейтронов учет ядерных сил приведет к уменьшению давления. Насколько нам известно, в рассматриваемой области плотностей теория ядерной материи как следует не разработана, поэтому мы довольствуемся приближением идеального газа. Уравнение состояния (14) справедливо в области плотностей 2,4 QUOTE   10³²  QUOTE    ρ  QUOTE   5.45 QUOTE   10³⁴ эрг QUOTE   см^-3.
Об асимптотическом виде уравнения состояния
Целесообразно сначала исследовать асимптотическое поведение вида уравнения состояния при чрезвычайно больших плотностях. Здесь можно достичь определенного результата, исходя из совершенно общих соображений. В опытах по рассеянию быстрых протонов на нуклонах было установлено наличие весьма интенсивных сил отталкивания, действующих на расстояниях r QUOTE   2 QUOTE   10^-14 см. Этот экспериментальный факт дает некоторое основание утверждать, что в надъядерной области с возрастанием плотности массы состояние барионной плазмы (мы говорим о барионной плазме, поскольку концентрация лептонов в ней очень мала) все больше отходит от газа и постепенно приближается к состоянию идеальной жидкости.
Можно доказать, что при любом типе взаимодействия, если только энергия взаимодействия частиц больше их кинетической, известный закон Р  QUOTE   ρ/3 обязательно нарушается, т. е. давление при достаточно больших плотностях может иметь значения выше ρ/3. Соотношение ЗР  QUOTE    имеет место для идеального газа и в тех случаях, когда поля настолько слабы, что при любых плотностях кинетическая энергия частиц всегда больше их энергии взаимодействия. Такими полями являются электромагнитное, гравитационнное и некоторые типы мезонных полей.

Литература
1.                Саакян, Г.С. Равновесные конфигурации вырожденных газовых масс / Г.С. Cаакян.-М.: Наука, 1972.
2.                Секержицкий, В.С., Секержицкий, С.С. К вопросу о параметрах холодного сверхплотного вещества с учетом плотности ядер//К 100-летию со дня рождения Гейзенберга. – 2001, БрГУ.