Нужно ли знать математику и ее приложения в области анализа социально-экономических процессов экономисту, социологу и другим представителям гуманитарных профессий? А если нужно, то в какой мере? Вопросы далеко не праздные: на практике при решении многих конкретных управленческих проблем часто берут верх неформализуемые факторы, а применение математики сводится к использованию лишь четырех действий арифметики. Сейчас в это трудно поверить, но всего 70 лет назад подобные же вопросы остро обсуждались при разработке учебных программ технических вузов. Выдающийся русский математик академик А.Н.Крылов, обосновывая необходимость глубокого математического образования инженеров, высказал в своем докладе “Прикладная математика” на состоявшейся летом 1931 г. чрезвычайной сессии Академии наук СССР следующий довод, который, думаю, будет интересен читателям:

“…за тысячелетие от 500 до 1500 года мы можем проследить значительное развитие техники, хотя... даже правило простого сложения сил, называемое правилом параллелограмма сил, известно не было. Это еще более укореняло сознание, что математика в сущности есть “переливание из пустого в порожнее”, ибо все, что в ней есть, взято из ее основных аксиом, которые казались до тривиальности очевидными, например, две вещи, порознь равные третьей, равны между собою, целое больше своей части и т.п. — значит, всеобъемлющий ум видел бы сразу в этих аксиомах и все их следствия, т.е. всю математику.

Да, но это видел бы ум всеобъемлющий, а известно, что ум человеческий ограничен — глупость беспредельна; математика и нужна уму ограниченному как подспорье для правильных умозаключений” [1].

Математика в экономике

Приложения математики в социально-экономических науках развивались параллельно с развитием самой математики, а первые опыты построения математических моделей в общественных науках связаны с использованием физических аналогий при изучении социальных процессов в XVII—XVIII вв., которые заложили основу “социальной физики”. При этом, опираясь, например, на один и тот же закон гравитации, различные ученые приходили к разным социальным моделям. Так, голландский социолог Г.Гроций (1583—1645) полагал, что люди по своей природе тяготеют друг к другу, а Б.Спиноза (1632—1677) считал, что они друг друга отталкивают. Многие современные понятия экономики тоже имеют давнюю историю. Например, еще в статье Д.Бернулли о Санкт-Петербургском парадоксе (1738) был обоснован принцип “снижающейся предельной полезности”.

Принято считать, что математическое моделирование как метод анализа макроэкономических процессов впервые применено лейб-медиком короля Людовика XV доктором Ф.Кенэ, который в 1758 г. опубликовал работу “Экономическая таблица”. В ней была сделана первая попытка количественно описать национальную экономику.

Одно из первых логически последовательных изложений математической модели экономики было выполнено в книге О.Курно “Исследование математических принципов теории богатства”, опубликованной во Франции в 1838 г. В этой работе, положившей начало современной математической экономике, впервые использованы количественные методы для анализа конкуренции между товарами при различных рыночных ситуациях (в частности, построена динамическая модель дуополии).

В последующие годы происходила интенсивная математизация экономической теории. Например, в книге У.Джевонса “Краткое описание общей математической теории политической экономии” (1862) изложена одна из первых версий теории полезности. О роли и значении метода математического моделирования при исследовании экономических процессов во второй половине XIX в. лучше всего говорит следующий факт, приведенный современным историком экономической науки М.Блаугом: среди выдающихся экономистов этого периода “только Кларк и Бем-Баверк сумели внести фундаментальный вклад в экономическую теорию без использования или знания математики” [2]. Примечательно, что практически все лауреаты Нобелевской премии по экономике тоже обращались к математическим методам в своих научных исследованиях.

Успешное применение математики в экономике на рубеже XIX—XX вв. стимулировало математизацию и других общественных наук. Например, в это время Ф.Эджворт опубликовал книгу “Математическая психология”, а В.Парето разработал основы теории элит.

Надо сказать, что вопросы объективного анализа социально-экономических процессов всегда были в центре внимания отечественных ученых. Несмотря на известные трудности послеоктябрьского периода, экономическая наука в России постоянно развивалась, а многие ее результаты стали достоянием мировой культуры. К ним прежде всего следует отнести: проведенный Е.Е.Слуцким анализ модели поведения потребителя; открытие Н.Д.Кондратьевым длинных волн в экономике; разработку первого баланса народного хозяйства СССР за 1923—1924 гг., на основе которого была построена широко известная ныне модель В.В.Леонтьева; развитие Л.В.Канторовичем методов исследования линейных систем. К сожалению, до сих пор метод математического моделирования социально-экономических процессов применялся (и применяется) преимущественно в научных разработках, а рекомендации ученых зачастую попросту игнорировались на всех уровнях управления.

Причины пренебрежительного отношения к научному анализу последствий управленческих решений имеют глубокие корни (как объективные, так и субъективные), а сопротивление, которое встречает метод математического моделирования при анализе социально-экономических проблем, — более чем вековую историю. Например, в 1890-х годах против использования Л.Вальрасом математических моделей в курсе политической экономии выступало подавляющее большинство его коллег по Лозаннскому университету.

Основные преграды, стоящие на пути развития формализованных методов в социально-экономических науках, носят в большой степени субъективный характер. О главной из них сказал П.Л.Капица на международном симпозиуме по планированию науки еще в 1959 г. Размышляя о развитии общественных наук, он использовал аналогию с положением естественных наук в средние века, когда

“церковь брала на себя монополию схоластически-догматического толкования всех явлений природы, решительно отметая все, что хоть в малейшей мере противоречило каноническим писаниямј Сейчас существует большое разнообразие государственных структур, которые признают за истину только то в общественных науках, что доказывает целесообразность этих структур. Естественно, что при таких условиях развитие общественных наук сильно стеснено” [3].

К сожалению, более чем за 40 лет эти слова не утратили своей актуальности.

Суть математического моделирования заключается в замене изучаемого экономического объекта (процесса) адекватной математической моделью и последующем исследовании свойств этой модели с помощью либо аналитических методов, либо вычислительных экспериментов. Слабое представление о возможностях математического моделирования приводит к эмоциональной реакции на несоответствие ожиданий и конкретных результатов социально-экономической политики, основанной на использовании неадекватных моделей: “экономические законы в России не действуют”, “умом Россию не понять”, “моделирование в наших условиях бессмысленно” и т.д. Но ведь это все равно, что рассчитывать траекторию движения баллистической ракеты по формуле из школьного учебника физики, а потом возмущаться расхождением теории и практики.

Какими бывают модели

К настоящему времени в экономической теории прочно закрепились различные модели взаимодействия рынков рабочей силы, товаров и денег, модели однопродуктовой и многопродуктовой фирм, модель поведения потребителя и многие другие. Эти модели — результат развития математической экономики как части математической науки. О значении математической экономики, которая начала интенсивно развиваться только в начале ХХ в., замечательно сказал один из основоположников современной экономической теории А.Маршалл:

“...когда приходится использовать слишком много символов, разбирать их становится трудно всем, кроме самого автора. Правда, гений Курно должен придать новый стимул умственной деятельности всех, кто испытывает на себе влияние его трудов, а равные ему по уровню математики в состоянии использовать свое излюбленное оружие, чтобы пробить себе дорогу к самой сути тех труднейших проблем экономической теории, которые до сих пор затрагивались весьма поверхностно” [4].

Существенно, что подавляющее большинство экономических процессов протекает во времени, вследствие чего математические модели, адекватные объекту исследования, должны быть динамическими. Один из традиционных подходов к прогнозу развития динамических экономических процессов — квазистационарный. В рамках такого подхода анализируется, как смещается точка равновесия соответствующей динамической модели при изменении тех или иных параметров последней. Прекрасно понимая, что экономические процессы следует изучать в динамике, Маршалл оправдывал использование квазистационарного подхода тем, что “наш анализ все еще пребывает в младенческом возрасте”. При этом он отмечал, что слова “природа не делает скачков” особенно подходят в качестве эпиграфа к работам об основах экономической науки.

В макроэкономике квазистационарный подход опирается на ключевую концепцию классической политэкономии — “невидимую руку” Адама Смита. Эта концепция представляет собой гипотезу о существовании на конкурентных рынках автоматического равновесного механизма. Иначе говоря, при использовании квазистационарного подхода развитие любой сложной экономической системы (здесь слово “система” понимается не в политическом, а кибернетическом смысле) рассматривается как смена одного устойчивого состояния другим с кратким периодом перехода от одного к другому.

Следует подчеркнуть, что сложным экономическим системам соответствуют модели, существенно нелинейные. Поэтому квазистационарный подход эффективен лишь до поры до времени, пока в силу некоторых причин характер стационарного состояния не изменится кардинальным образом. Подобные изменения, называемые бифуркациями, принадлежат уже к области приложений методов нелинейного динамического анализа. Развитие этого направления исследований приводит ко все большему распространению точки зрения, согласно которой окружающий нас мир — это постоянное развитие, вечная неустойчивость, а периоды стабилизации — краткие мгновения на пути движения вперед.

Динамические математические модели, хорошо зарекомендовавшие себя сначала в физике, а затем в биологии, все шире применяются в социологии и экономике [5, 6, 7]. К настоящему времени методология анализа нелинейных динамических систем оформилась в новое научное направление, нацеленное на поиски общих принципов эволюции и самоорганизации сложных систем в различных областях знания. Общим звеном, связующим совершенно различные явления, и становятся нелинейные динамические математические модели *. Понятия “катастрофа”, “бифуркация”, “предельный цикл”, “странный аттрактор”, “диссипативная структура”, “бегущая волна” и т.д., возникшие при использовании сравнительно простых нелинейных моделей, позволяют глубже проникнуть в суть многих процессов. Физика, химия, биология многократно демонстрируют примеры успешного применения этой методологии. К ним можно отнести: волны горения; фазовые переходы между агрегатными состояниями вещества; структуры в средах при наличии автокаталитических реакций; турбулентные течения жидкости; колебания численности природных популяций и др.

* Подробно об истории и перспективах методов нелинейной динамики см.: Малинецкий Г.Г. Новый облик нелинейной динамики // Природа. 2001. №3. С.3—12.

Неудивительно, что эта универсальная методология, возникшая сравнительно недавно и хорошо зарекомендовавшая себя в естествознании, стала проникать в традиционно гуманитарные науки, и в первую очередь в экономику.

Сложность поведения динамической системы обусловлена ее нелинейностью и многомерностью. Однако сложное и даже хаотичное (квазистохастическое) поведение могут демонстрировать и простейшие одномерные системы с дискретным временем, свойства которых описываются рекуррентными соотношениями нелинейных точечных отображений. Рассмотрим обобщенную динамическую макроэкономическую модель Кейнса—Фридмена, которая подробно описана в моей монографии [8].

Об устойчивости рыночных механизмов

Классическая теория вплоть до первых десятилетий ХХ в. служила достаточно хорошо и для понимания макроэкономических процессов, и для обоснования государственной экономической политики. Общий принцип экономического поведения государства был сформулирован в виде принципа нейтральности по отношению к экономической деятельности частных лиц — как физических, так и юридических. Согласно этому принципу, государство должно было минимизировать неблагоприятные экономические последствия своей собственной деятельности и воздерживаться от непосредственного влияния на принятие решений субъектов, действующих в условиях конкуренции. Следовательно, задача государства в области экономической политики заключалась в обеспечении условий функционирования конкурентного рынка, при этом государственный бюджет должен был постоянно ориентироваться на равенство доходов и расходов.

Однако классическая теория не могла дать объяснений многих проблем, возникших после первой мировой войны, и особенно во время экономического кризиса 30-х годов. Так, например, в соответствии с ней вынужденная безработица не должна была иметь места в Великобритании в 1931—1935 гг. Между тем в этот период безработица там ни разу не опускалась ниже 20%. Для объяснения новых экономических проблем делались различные попытки усовершенствовать теорию, но лишь теория английского экономиста Дж.М.Кейнса, утверждавшего, что экономика не может существовать на основе саморегулирования и что государство должно взять на себя задачу управления экономическими процессами, получила наибольшее признание.

Эта задача, по Кейнсу, сводилась главным образом к тому, чтобы поддерживать и стимулировать спрос, для чего необходимо создавать условия, при которых товаропроизводителям было бы выгодно делать инвестиции и расширять производство, увеличивая количество рабочих мест и тем самым сокращая безработицу. В короткий срок после опубликования Кейнсом своей теории [9] его идеи были приняты самыми широкими кругами специалистов, а экономическая политика почти всех западных стран стала опираться на анализ соответствующих моделей.

Надо сказать, что кейнсианская теория совокупного спроса довольно сложна, поскольку включает практически все агрегированные макропоказатели — как денежные, так и реальные. Основным допущением этой теории служит гипотеза: “Спрос создает предложение”. Эта броская, а потому и хорошо запоминающаяся формула — по существу выражение другого, менее выразительного предположения, согласно которому “предпринимателям выгодно расширять производство (и следовательно, увеличивать предложение) при наличии избыточного спроса”. Сказанное означает, что в теории Кейнса заложено условие, согласно которому национальная экономика обладает потенциалом для расширения производства (например, имеется резерв рабочей силы, оборудования, материалов и т.д.). К сожалению, модель Кейнса часто применяется для обоснования путей перехода России к рынку, хотя ее основополагающее допущение заведомо не выполняется, и, следовательно, модель никакого отношения к реальной ситуации не имеет.

Гипотеза “спрос создает предложение” позволяет построить целую систему моделей, объясняющих функционирование рыночной экономики. Рассмотрим в качестве примера упрощенный вариант кейнсианской модели, который тем не менее дает наглядное представление о действии рыночных механизмов. В этой модели, которую часто называют также моделью мультипликатора, анализируется один макроэкономический рынок — рынок товаров и услуг, а состояние всей экономики описывается двумя переменными. Первая переменная YS — произведенный национальный доход, используемый на потребление и накопление. Эта переменная трактуется как предложение товаров и услуг. Вторая переменная YD — совокупный спрос на товары и услуги; она представляет собой сумму двух составляющих: спроса на инвестиции I и спроса на текущее потребление C:

YD = I + C. (1)

Существенным допущением модели является то, что спрос на текущее потребление C есть возрастающая функция национального дохода: C = C(YS). При этом считают, что спрос изменяется медленнее, чем национальный доход, вследствие чего производная функции потребления C'(YS) — так называемая предельная склонность к потреблению — удовлетворяет условию 0 < C'(YS) < 1.

В дальнейшем для упрощения анализа модели примем, как обычно, что спрос на текущее потребление C изменяется по линейному закону:

C(YS)= a + cYS, (2)

где а и c — положительные константы (поскольку здесь C'(YS) = c, то 0 < c < 1).

Пусть до некоторого момента времени T экономика находилась в состоянии равновесия, т.е. при t < T совокупный спрос был равен предложению: YD(t) = = YS(t). Что произойдет, если по какой-либо причине в момент T совокупный спрос увеличится (например, за счет роста спроса на инвестиции)?

Логика упрощенной (канонической) модели Кейнса, используемой для получения ответа на этот вопрос, такова. Во-первых, с увеличением спроса на инвестиции произойдет смещение линии совокупного спроса, вследствие чего система будет характеризоваться новым состоянием равновесия. Во-вторых, рост совокупного спроса приведет (в результате действия гипотезы Кейнса “спрос создает предложение”) к увеличению предложения. Увеличившемуся предложению (национальному доходу), вызванному ростом производства товаров и услуг, соответствует увеличившееся значение совокупного спроса. Но так как предельная склонность к потреблению меньше единицы, разность между спросом и предложением сокращается. Эту разность E = YD – YS называют избыточным спросом на товары и услуги. Таким образом, положительный избыточный спрос на товары и услуги вызывает в каждый последующий момент времени рост их предложения, что приводит к сокращению избыточного спроса. Точно так же, если избыточный спрос отрицателен, происходит сокращение национального дохода.

При формализации описанного механизма в упрощенной модели Кейнса обычно исходят из того, что национальный доход в момент t+1 равен совокупному спросу в предыдущий момент t, т.е.

YS(t+1) = YD(t), (3)

где t = T, T + 1, ј

Математики говорят, что уравнение (3) задает итерационный процесс (одномерное отображение). Возникает вопрос, приведет ли этот процесс к новому равновесному значению национального дохода YE? Для получения ответа удобно ввести новую переменную yt = YS (t) – YE , которая равна отклонению текущего значения национального дохода от его нового равновесного значения YE. Можно показать, что динамика этой переменной в силу уравнений (1), (2) и (3) описывается формулой геометрической прогрессии:

yt+1 = cyt. (4)

А поскольку предельная склонность к потреблению удовлетворяет условию 0 < с < 1, то, как известно из школьного курса алгебры, уравнение (4) задает бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, вследствие чего yt ® 0 при t ® Ґ. Поэтому национальный доход YS(t) устремляется к своему новому равновесному значению YE.

Рассмотренная нами динамика национального дохода носит название “мультипликативный процесс”. Графически этот процесс изображается в виде ломаной линии с помощью так называемого креста Самуэльсона—Хансена (рис.1). Здесь линия Y = YS (биссектриса координатного угла) является графиком функции предложения, а линия Y = YD(YS), где YD(YS) = C(YS) + I — графиком функции совокупного спроса.

Рис.1. Мультипликативный процесс. Сначала спрос характеризовался прямой Y = YD, и система находилась в состоянии равновесия A. Затем спрос вырос (прямая Y = YD), и в результате итерационного процесса (соответствующие переходы показаны цветом) система перешла в новое состояние равновесия B.

Итак, действие гипотезы “спрос создает предложение” приводит макроэкономическую систему (в данном случае рынок товаров и услуг) к новому состоянию равновесия. Поэтому в методологическом плане упрощенная модель Кейнса используется в экономической теории для демонстрации тезиса о действии рыночных механизмов, приводящих систему в состояние равновесия, если товаропроизводителям выгодно делать инвестиции и расширять производство при наличии избыточного спроса. Напомним, что ключевая гипотеза Кейнса “спрос создает предложение” выражает действие именно этого механизма.

Упрощенная модель Кейнса, изложенная в таком виде практически во всех учебниках макроэкономики, формирует у читателей убеждение, что макроэкономическая система всегда устойчива в указанном выше смысле и любое изменение точки равновесия связано в конечном итоге со смещением функции спроса. Оказывается, однако, что одного действия рассмотренного механизма недостаточно: новое состояние равновесия, как мы увидим дальше, может и не наступить.

Рождение хаоса

Статистические данные, характеризующие динамику национальной экономики, говорят о неравномерности развития: темпы экономического роста изменяются во времени. Открытие Кондратьевым “длинных волн экономики” (об этом свидетельствуют периодические спады и подъемы темпов роста макроэкономических показателей приблизительно через каждые 50 лет) дало импульс для развития теории циклов, в результате чего в экономической теории были разработаны разнообразные модели, обладающие свойством цикличности. К их числу относится, например, модель Самуэльсона—Хикса, в которой колебания национального дохода объясняются единственной причиной — колебаниями совокупного спроса. Однако действие гипотезы Кейнса может и без дополнительных допущений приводить к циклической, а то и хаотической динамике переменных.

В качестве примера рассмотрим следующую модификацию упрощенной модели Кейнса, для построения которой снова вернемся к ее ключевой гипотезе. Как было сказано, традиционная, более того — общепринятая трактовка этого принципа формализуется с помощью уравнения (3). Однако из гипотезы Кейнса вовсе не следует, что значение предложения (национального дохода) в каждый последующий момент времени должно быть равно значению спроса в предыдущий момент. Строго говоря, она определяет лишь направление изменения национального дохода, поэтому более последовательной и общей является такая ее формализация: знаки приращений национального дохода и избыточного спроса совпадают. В этом случае рост национального дохода происходит, если спрос выше предложения, а снижение национального дохода — если спрос ниже предложения. Такому условию удовлетворяет не только рассмотренная модель, но и следующее, уже нелинейное, одномерное отображение:

YS(t+1) = YS(t)exp{g[YD(t)–YS(t)]}, (5)

где g > 0 — коэффициент реакции экономики на дисбаланс между спросом и предложением. Уравнение (5) может быть сведено чисто формально к уравнению Риккера, задающему итерационный процесс:

yt+1 = Aytexp(–yt). (6)

Здесь yt = qYS (t), где q = g(1 – c), A = exp(qYE).

Уравнение Риккера (6) впервые было использовано в математической биологии при анализе динамики популяций. Оно обладает свойством бифуркации удвоения периода, которое заключается в следующем: при сравнительно малых значениях бифуркационного параметра A равновесное решение уравнения устойчиво; при увеличении этого параметра равновесие нарушается — возникают циклы периода 2, 4, 8 и т.д., а при еще больших значениях бифуркационного параметра наступает детерминированный хаос. Это хорошо видно на рис.2 и рис.3 (слева), где итерационный процесс (6) изображен на плоскости при различных значениях бифуркационного параметра A с использованием графиков функций y = xAe–x и y = x. Здесь используется тот же прием, что и при рассмотрении динамики национального дохода в упрощенной модели Кейнса (см. рис.1).

Рис.2. Динамическая спираль — циклы периода 2 (слева) и 4. Здесь со временем устанавливаются циклы: переменная yt принимает последовательно значения y1 и y2 (в первом случае) или значения y1, y2, y3 и y4 (во втором). Переходы при итерационном процессе показаны цветом.

Рис.3. Детерминированный хаос. Слева изображена фазовая диаграмма, характеризующая динамику переменной yt. Справа — соответствующее изменение yt во времени.

Рассмотрим внимательно рис.3 (справа), где показана динамика переменной yt на небольшом временном промежутке. У читателя может сложиться впечатление, что здесь переменная yt изменяется случайным образом, хаотично. Но так как динамика системы описывается детерминированным уравнением (6), эту особенность стали называть детерминированным хаосом.

Для иллюстрации свойства бифуркации удобно использовать бифуркационные диаграммы, которые в случае одномерного отображения представляют собой множество точек плоскости, абсциссы которых равны значениям бифуркационного параметра, а ординаты — установившимся значениям рассматриваемой переменной (рис.4). На рисунке видно, как по мере роста параметра A меняется характер решения. Сначала решение соответствует состоянию равновесия, затем становится периодическим, с циклическими колебаниями переменной yt между двумя значениями (кривая “раздваивается”), и, наконец, переходит к детерминированному хаосу (тонированная область на диаграмме).

До сих пор мы говорили об одномерном отображении, которое возникало при моделировании динамики национального дохода в духе упрощенной модели Кейнса. Однако макроэкономика — сложная система, и ее развитие характеризуется многими переменными. Мы разработали различные нелинейные динамические модели, в которых рассматривалась динамика ряда макропеременных, в том числе ставки процента и уровня цен. Естественно, что усложнение объекта исследования (в частности, учет взаимовлияния товарного и денежного рынков) приводило к усложнению модели: увеличивалась не только размерность отображения, но и число бифуркационных параметров.

Выполненные нами вычислительные эксперименты свидетельствуют: при увеличении размерности модели усложняется поведение рассматриваемой динамической системы, что видно из сравнения рис.4 и 5. Однако основное свойство одномерного отображения (6) — свойство бифуркации — также присуще построенным двумерному и трехмерному точечным отображениям, моделирующим взаимовлияние конечного продукта, уровня цен и ставки процента. Здесь, как и в одномерном случае, состояние равновесия макроэкономической системы сменяется циклами периодов 2, 4, 8 и т.д., которые переходят в область хаоса; хаотичное изменение сменяется на циклическое с периодами 5, 6 и выше, после чего период может снизиться, потом снова возможно хаотическое поведение и т.д. При этом область устойчивости равновесного решения достаточно узкая (см. рис.5).

Рис.4. Бифуркационная диаграмма одномерного отображения (6) и ее увеличенный фрагмент (справа). По оси абсцисс откладываются значения параметра A, по оси ординат — значения переменной yt при 490