Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

Владимирский Государственный Университет

Доклад

по теории кодирования

на тему:

Теория кодирования в среде MATLAB

Владимир 2010

Пакет Communications Toolbox

Применяется научными, коммерческими и военными организациями для разработки новых алгоритмов кодирования, шифрования, модуляции и передачи данных с учетом различных эффектов искажения и интерференции. Ключевые возможности

• Средства вычислений в конечных полях Галуа.

• Средства визуализации сигналов: глазковая диаграмма, сигнальное созвездие и др.

• Специальные средства визуализации нестационарных параметров канала.

• Средства вычисления, анализа и сравнения коэффициента битовой ошибки (BER).

• Готовые функции и средства разработки алгоритмов кодирования источника, помехоустойчивого кодирования, перемежения, модуляции, демодуляция и эквализации.

Генерация проверочной и порождающей матриц для кода Хэмминга

• Синтаксис:

h = hammgen(m); h = hammgen(m,pol); [h,g] = hammgen(...); [h,g,n,k] = hammgen(...);

• Описание:

Для всех вариантов синтаксиса длина кодового слова обозначается как n. Величина n равна 2^m – 1 для некоторого целочисленного m, большего или равного трем. Длина блока исходного сообщения обозначается как k, она равна n – m.

Пример:

Приведенная ниже команда выводит на экран проверочную и порождающую матрицы для кода Хэмминга с длиной кодового слова 7 = 2³ – 1 и длиной блока исходного сообщения 4 = 7 – 3.

[h,g,n,k] = hammgen(3)

h = 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 g = 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 n = 7 k = 4

Следующая команда использует явно заданный примитивный полином 1 + x² + x³, показывая тем самым, что вид проверочной матрицы зависит от выбора примитивного полинома. Чтобы в этом убедиться, сравните выведенную ниже матрицу h1 с матрицей h из предыдущего примера.

h1 = hammgen(3,[1 0 1 1])

h1 = 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1

Генерация порождающего полинома для циклического кода

• Синтаксис:

pol = cyclpoly(n,k); pol = cyclpoly(n,k,opt);

• Описание:

Для всех вариантов синтаксиса полином представляется в виде строки, содержащей коэффициенты полинома в порядке возрастания степеней.

pol = cyclpoly(n,k)

Возвращает вектор-строку, представляющий один из нетривиальных порождающих полиномов для циклического кода с длиной кодового слова n и длиной блока исходного сообщения k.

pol = cyclpoly(n,k,opt)

Производит поиск одного или нескольких нетривиальных порождающих полиномов для циклических кодов с длиной кодового слова n и длиной блока исходного сообщения k. Результат pol зависит от входного параметра opt.

Пример:

Первая из приведенных ниже команд дает представления для трех порождающих полиномов циклического кода (15, 4).

Вторая команда показывает, что порождающим полиномом с максимальным весом (числом ненулевых коэффициентов) является 1 + x + x² + x³+ x⁵+ x⁷+ x⁸+ x¹¹.

Третья команда демонстрирует, что для циклического кода (15, 4) не существует порождающих полиномов с весом (числом ненулевых коэффициентов), равным трем.

c1 = cyclpoly(15,4,'all') c1 = 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 c2 = cyclpoly(15,4,'max') c2 = 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 c3 = cyclpoly(15,4,3) No generator polynomial satisfies the given constraints. c3 = []

Генерация проверочной и порождающей матриц для циклического кода

• Синтаксис:

parmat = cyclgen(n,pol); parmat = cyclgen(n,pol,opt); [parmat,genmat] = cyclgen(...); [parmat,genmat,k] = cyclgen(...);

• Описание:

n - длина кодового слова

k - размер блока исходного сообщения.

Полином может породить циклический код с длиной кодового слова n и размером блока исходного сообщения k тогда и только тогда, когда этот полином имеет степень (n – k) и является делителем полинома xⁿ – 1. (В двоичном конечном поле GF(2) xⁿ – 1 — это то же самое, что и xⁿ + 1.) Отсюда следует, что k равняется n минус степень порождающего полинома. Входной параметр opt определяет, должна итоговая матрица соответствовать систематическому или несистематическому коду.

Пример:

pol = cyclpoly(7,4); [parmat,genmat,k] = cyclgen(7,pol) parmat = 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 genmat = 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 k = 4

>> [parmat,genmat,k]= cyclgen(7,cyclpoly(7,4),'nonsys')

parmat =

1 1 1 0 1 0 0

0 1 1 1 0 1 0

0 0 1 1 1 0 1

genmat =

1 0 1 1 0 0 0

0 1 0 1 1 0 0

0 0 1 0 1 1 0

0 0 0 1 0 1 1

k =

4

//полученная проверочная матрица соответствует несистематическому циклическому коду

Преобразование порождающей матрицы в проверочную и обратно

• Синтаксис:

parmat = gen2par(genmat); genmat = gen2par(parmat);

• Описание:

parmat = gen2par(genmat)

Преобразует двоичную порождающую матрицу genmat, представленную в стандартной форме, в соответствующую проверочную матрицу parmat.

genmat = gen2par(parmat)

Преобразует двоичную проверочную матрицу parmat, представленную в стандартной форме, в соответствующую порождающую матрицу genmat.

Пример:

Приведенные ниже команды преобразуют проверочную матрицу для кода Хэмминга в соответствующую порождающую матрицу и обратно.

parmat = hammgen(3)

parmat =

1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1

genmat = gen2par(parmat)

genmat =

1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1

parmat2 = gen2par(genmat) % Результат должен быть равен parmat

parmat2 =

1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1

Расчет кодового расстояния для линейного блокового кода

• Синтаксис:

wt = gfweight(genmat); wt = gfweight(genmat,'gen'); wt = gfweight(parmat,'par'); wt = gfweight(genpoly,n);

• Описание:

Кодовое расстояние для линейного блокового кода равно минимальному числу различающихся элементов в произвольной паре кодовых слов.

wt = gfweight(genmat)

Возвращает кодовое расстояние для линейного блокового кода с порождающей матрицей genmat.

wt = gfweight(genmat,'gen')

Возвращает кодовое расстояние для линейного блокового кода с порождающей матрицей genmat.

wt = gfweight(parmat,'par')

Возвращает кодовое расстояние для линейного блокового кода с проверочной матрицей parmat.

wt = gfweight(genpoly,n)

Возвращает кодовое расстояние для циклического кода с длиной кодового слова n и порождающим полиномом genpoly. Параметр genpoly должен быть вектором-строкой, содержащим коэффициенты порождающего полинома в порядке возрастания степеней.

Пример:

Приведенные ниже команды показывают три способа вычисления кодового расстояния для циклического кода (7,4).

n = 7; % Порождающий полином для циклического кода (7,4) genpoly = cyclpoly(n,4)

genpoly =

1 0 1 1

>> [parmat, genmat] = cyclgen(n,genpoly)

parmat =

1 0 0 1 1 1 0

0 1 0 0 1 1 1

0 0 1 1 1 0 1

genmat =

1 0 1 1 0 0 0

1 1 1 0 1 0 0

1 1 0 0 0 1 0

0 1 1 0 0 0 1 wts = [gfweight(genmat,'gen'), gfweight(parmat,'par'), gfweight(genpoly,n)] wts =

3 3 3

Генерация таблицы зависимости векторов ошибок от синдрома (таблицы декодирования) для двоичных кодов

• Синтаксис:

t = syndtable(parmat);

• Описание:

t = syndtable(parmat)

Возвращает таблицу декодирования для двоичного корректирующего кода с длиной кодового слова n и длиной сообщения k. Параметр parmat — проверочная матрица кода, имеющая (n – k) строк и n столбцов. Результат t — двоичная матрица, содержащая 2^{n – k} строк и n столбцов. r-я строка матрицы t представляет собой вектор ошибок для принятого двоичного кодового слова, синдром декодирования которого имеет десятичное целочисленное значение r – 1. (Синдром декодирования равен произведению принятого кодового слова и транспонированной проверочной матрицы.) Иными словами, строки матрицы t представляют собой лидеры смежных классов (coset leaders) из стандартного расположения (standard array) для данного кода.

Пример:

Для кода Хэмминга (7, 4).

m = 3; n = 2^m-1; k = n-m; parmat = hammgen(m) % Проверочная матрица parmat =

1 0 0 1 0 1 1

0 1 0 1 1 1 0

0 0 1 0 1 1 1

trt = syndtable(parmat) % Таблица декодирования trt =

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

Пусть принятое кодовое слово - [1 1 0 1 1 0 0]

Путем умножения проверочной матрицы на транспонированное кодовое слово вычисляется синдром декодирования.

parmat*[1;1;0;1;1;0;0]

ans =

2

3

1

В двоичной системе счисления получили – [0 1 1]. Десятичное значение синдрома 3. Соответствующий вектор ошибок, таким образом, следует брать из четвертой (3 + 1) строки таблицы декодирования:

trt(4,:)

ans =

0 0 0 0 1 0 0

Итак следует инвертировать пятый разряд принятого кодового слова –

[1 1 0 1 0 0 0]