Доклад

Доклад Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-25

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 27.4.2025


Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени

Валентин Подвысоцкий

Уравнение:

X4 + TX2 + PX + Q = 0

(1)

имеет четыре корня X1, X2, X3, X4.

Известно, что:

X1 + X2 + X3 + X4 = 0,

(2)

X1X2 + X1X3 + X1X4 + X2X3 + X2X4 + X3X4 = T,

(3)

X1X2X3 + X1X2X4 + X1X3X4 + X2X3X4 = –P,

(4)

X1X2X3X4 = Q.

(5)

Путем простых алгебраических преобразований из соотношений (2), (3), (4) получаем:

X1X2 + X3X4 = T + (X1 + X2)2,

(6)

(X1 + X2)(X1X2 – X3X4) = P.

(7)

Составляем квадратное уравнение:

Y2 – (X1X2+X3X4)Y + X1X2X3X4 = 0,

(8)

где Y1 = X1X2, Y2 = X3X4.

Используя ф-лы (5), (6), (7) и обозначая A = (X1 + X2)2 перепишем уравнение (8) в виде:

Y2 – (T + A)Y + Q = 0.

Решая уравнение (8) получаем:

X1X2 = 1/2(T + A2 + ([T + А]2 – 4Q)1/2),

(9)

X3X4 = 1/2(T + A2 – ([T + A]2 – 4Q)1/2).

(10)

Таким образом, используя ф-лы (9), (10) получаем:

X1X2 – X3X4 = ([T + A]2 – 4Q)1/2.

(11)

Учитывая, что A1/2 = X1 + X2 перепишем формулу (7) в виде:

X1X2 – X3X4 = Р/А1/2.

(12)

Подставляя в ф-лу (12) ф-лу (11) получаем

P/A1/2 = ([T + A]2 – 4Q)1/2.

(13)

Путем простых алгебраических преобразований из ф-лы (13) получаем кубическое уравнение относительно переменной А:

A3 + 2TA2 + (T2 – 4Q)A – P2 = 0.

(14)

Таким образом решение уравнение четвертой степени (1) сводится к решению кубического уравнения (13), где A=(X1+X2)2 и двух квадратных уравнений:

X2 – (X1 + X2)X + X1X2 = 0,

(15)

X2 – (X3 + X4)X + X3X4 = 0.

(16)

Используя ф-лы (9), (10) и учитывая, что X1 + X2 = – (X3+X4) перепишем ф-лы (15), (16) в виде:

X2 – A1/2X + 1/2(T+A + ([T + A]2 – 4Q)1/2) = 0,

(17)

X2 + A1/2X + 1/2(T+A – ([T + A]2 – 4Q)1/2) = 0.

(18)

Полное уравнение четвертой степени X4 + KX3 + TX2 + PX + Q = 0 сводится уравнению (1) путем замены переменной X на переменную Y = X + K/4.

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.n-t.org/


1. Реферат на тему Telegraph Essay Research Paper The telegraphThe telegraph
2. Реферат на тему Analysing War On Wilfred Owen Essay Research
3. Биография Толль, Юхан Кристофер
4. Реферат Водяна оболонка Землі
5. Реферат Glaucus atlanticus
6. Реферат Дети рисуют
7. Реферат Борьба с производством наркотиков в Афганистане
8. Реферат на тему George Orwell Essay Research Paper George Orwell
9. Сочинение на тему Пастернак б. л. - когда строку диктует чувство...
10. Реферат Зворотний зв язок із читачем