Доклад Сопряженная однородная задача
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-25Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
![](https://bukvasha.net/assets/images/emoji__ok.png)
Предоплата всего
от 25%
![](https://bukvasha.net/assets/images/emoji__signature.png)
Подписываем
договор
Сопряженная однородная задача
План.
1. Сопряженный оператор.
2. Сопряженная однородная задача.
3. Условия разрешимости.
Сопряженный оператор.
Обозначим через
где
Как и в предыдущем параграфе, интегрирование соотношения (2) по частям дает:
Обозначим дифференциальный оператор, входящий в подынтегральное выражение в правой части (3) через
При этом соотношение (3) перепишется так:
Оператор
Как и в предыдущем параграфе, дифференциальное уравнение:
будем называть сопряженным дифференциальному уравнению:
Если же
Таким образом, оператор
При этом:
Так как любое дифференциальное уравнение вида (7) можно преобразовать в самосопряженную форму, умножив на функцию
Дифференцируя соотношение (5) по
Правая часть этой формулы может быть записана как:
где
Отметим, что:
Сопряженная однородная задача.
Введем следующее невырожденное линейное преобразование
где
Заметим, что указанное преобразование может быть выполнено бесчисленным множеством способов, в зависимости от выбора матрицы А. При заданном ненулевом векторе
При этом (11) можно переписать как:
или
где
Билинейная форма
Для того чтобы найти граничные условия сопряженной задачи, положим в соотношении (13)
Из формулы (21) следует, что однородные граничные условия, эквивалентны равенствам:
С учетом равенств (16) и (17) соотношение (15) принимает вид:
При ненулевом векторе
имеет вид:
где
Один из определителей:
матриц-блоков
должен быть отличным от нуля. Чтобы иметь возможность сравнить эти результаты с теми. которые были получены в предыдущем параграфе, предположим. что
Например, положим
При этом матрица А примет вид:
Из формулы (19) следует, что
Тогда
Подставляя матрицы (20) и (9) в соотношение (14) имеем (14а):
Для того, чтобы краевые задачи были самосопряженными необходимо, чтобы
Разрешая равенства относительно
Сравнивая граничные условия (24) и (25), заключаем, что они совпадают тогда и только тогда, когда:
Краевая задача при
Условие разрешимости.
Определив сопряженную краевую задачу, вернемся к решению неоднородной задачи. Используя определение (25), перепишем формулу Грина в виде:
тогда из соотношения (27) вытекает, что условие разрешимости имеет вид:
Для того, чтобы сравнить условие (27) с условием разрешимости, используем связь
При этом соотношение (27) принимает вид:
Если иметь дело с граничными условиями общего вида можно выразить какие-либо два из граничных значений через два других.