1.     МОДЕЛІ ПОВЕДІНКИ СПОЖИВАЧІВ
В теорії споживання вважається, що споживач керується принципом рацiональностi: вiн завжди прагне максимізувати свою корисність, i єдине, що його стримує, — це обмежений дохід:
max u(x)                                                    (1.1)
                                              px = M                                                                                                   
де х=(х₁,...,х_n)′ – вектор-стовпчик обсягів споживчих товарів, що придбав споживач за заданих цін; n – число різноманітних товарів; u(х) –  функція корисності споживача; р = (p₁,…,p_n) – вектор-рядок цін товарів; М – обсяг доходу споживача.
Це задача на умовний екстремум, i її розв’язок зводиться до знаходження безумовного екстремуму функції Лагранжа:
L(x,λ)=u(x)-λ(px-M).
Необхідними умовами локального екстремуму є:
                                                          (1.2)
                            (1.3)
Точка екстремуму справді визначає точку максимуму, оскільки матриця Гессе U(х)= є вiд’ємно визначеною. З виразу (1.3) бачимо, що споживач за фіксованого доходу так обирає набір , що в цій точці відношення граничної корисності дорівнює відношенню цін:

Якщо розв’язати (1.2), (1.3) відносно , отримаємо функцію попиту споживача:

2. РІВНЯННЯ СЛУЦЬКОГО
Розглянемо, як зміниться попит споживача, що визначається моделлю (1.1), якщо зміниться ціна одного з товарів. Нехай ціна n-го товару зросла на . Це приводить до такої зміни попиту на товари
             (2.1)
де р – вектор-рядок цін; U – матриця Гессе;  – вектор-стовпчик попиту на товари;  – множник Лагранжа;  – індекс n за дужками біля матриці означає, що взято й n-й стовпчик.
Проаналізуємо зміст складових, що входять у рівняння (2.1).
Зміна попиту за збільшення ціни з компенсацією доходу. Нехай дохід споживача збільшився на таку величину , яка компенсує споживачеві збільшення ціни на n-й товар (благо) на .
Збільшення ціни з компенсацією доходу приводить до такої зміни попиту:
                  (2.2)
Тобто друга складова у правій частині рівняння (2.1) — це зміна попиту, якщо зростання ціни n-го товару на  компенсується збільшенням доходу на .
Зміна попиту за зміни доходу. Якщо дохід змінюється на , то відповідно змінюється попит:
                                                      
                                             (2.3)
Об’єднуючи вирази (2.1), (2.2), (2.3), отримаємо рівняння Слуцького, яке є серцевиною теорії корисності:
                                         (2.4)
Оскільки вивчається зміна попиту за зростання ціни на n-й товар, що не компенсується підвищенням доходу, то друга складова в (2.4) (з від’ємним знаком) знімає штучний приріст по спричинений компенсуючим зростанням доходу.
Ефект доходу полягає у змiнi споживання внаслідок зміни реального доходу, яка виникла через зміну цін.
Ефект заміщення полягає у змiнi споживання внаслідок зміни відносних цін.
Графік представлено на малюнку 2.1

Малюнок 2.1 - Графік
3. МОДЕЛІ ПОВЕДІНКИ ВИРОБНИКІВ
 
Моделі оптимального (раціонального) вибору виробника (фірми). Нехай виробнича фірма випускає один продукт (чи багато продуктів, але з постійною структурою). Позначимо річний випуск у натурально-речовiй формі через Х – кількість одиниць продукту одного виду, вектор-стовпчик можливих обсягів різних видів ресурсів через х = (х₁, ..., х_n)′. Тоді технологія фірми визначатиметься її виробничою функцією, яка виражає зв'язок між випуском i витратами ресурсів:
Х=F(х).
Припускається, що F(х) двiчi неперервно диференційована, неокласична, i матриця її других похідних є вiд’ємно визначеною.
Якщо  – вектор-рядок цін ресурсів, а р – ціна продукції, то кожному вектору витрат х вiдповiдає прибуток:
                                         (3.1)
У (3.1)  – вартість річного випуску фірми, або її річний дохід,  – витрати виробництва чи вартість витрат ресурсів за рік.
Якщо не вводити інших обмежень, крім невід’ємних обсягів витрат ресурсів, то задача знаходження максимуму прибутку набере вигляду:
                                        (3.2)
Це задача нелiнiйного програмування з n умовами невід’ємності:  Необхідними умовами існування екстремуму є умови Куна-Таккера:
    (3.3)
Якщо в оптимальному розв’язку використовуються всi види ресурсів, тобто , то умови (3.3) матимуть вигляд:
                                (3.4)


тобто в оптимальній точці вартість граничного продукту даного ресурсу повинна дорівнювати його цiнi.
Розглянемо задачу знаходження максимуму випуску за заданого обсягу витрат
                                   (3.5)
Це задача нелiнiйного програмування з одним лiнiйним обмеженням i умовою невiд’ємностi змінних. Побудуємо функцію Лагранжа

і знайдемо її максимум за умови невiд’ємностi змiнних. Для цього необхідно, щоб виконувались умови Куна-Таккера:
                  (3.6)
Як бачимо, якщо покласти , умови (3.6) збiгаються з умовами (3.3).