Шпаргалка Шпаргалка по Математическому анализу
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-29Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего
от 25%

Подписываем
договор
Числовые множества: ограниченность, супремум, инфимум
1.Множество {x}, элементами которого являются числа, называется числовым множеством.
2. Множество вещественных чисел {x} называется ограниченным сверху (снизу), если существует число M ( m ) такое, что
Число M называется верхней гранью числового множества {x}. Аналогично, число m называется нижней гранью числового множества {x}.
Верхних (нижних) граней бесконечно много, так как любое число, большее M (меньшее m), есть также верхняя (нижняя) грань.
3. Наименьшая из верхних граней называется точной верхней гранью или супремумом числового множества {x} (обозначение sup{x}).
4. Наибольшая из нижних граней называется точной нижней гранью или инфимумом числового множества {x} (обозначение inf{x}).
Более точно, эти понятия выражаются следующими свойствами:
Супремум sup{x}
Инфимум inf{x}
Теорема о существовании супремума и инфимума числового множества.
Если числовое множество {x} не пусто и ограничено сверху, то у него существует sup{x}.
Если числовое множество {x} не пусто и ограничено снизу, то у него существует inf{x}.
Предел последовательности и предел функции
1.Числовой последовательностью (в дальнейшем просто последовательностью) называется упорядоченное счетное множество чисел
{x1, x2, x3, ... }.
Обратите внимание на два момента.
*В последовательности бесконечно много чисел. Если чисел конечное число – это не последовательность!
*Все числа упорядочены, то есть расположены в определенном порядке.
2. Предел последовательности.
Основное определение. Число a называется пределом последовательности {xn} при n стремящимся к бесконечности, если
Подчеркнем, что N зависит от e.
Варианты определения.
Говорят, что
Говорят, что
3.Число b называется предельным значением (пределом) функции f(x) при x стремящимся к a
Односторонние пределы
1.Число b есть предел слева (справа) функции f(x) при x стремящимся к a, если
(
Обозначение
Если,
2.Теорема, устанавливающая связь понятий предела функции и предела последовательности.
Для того, чтобы существовал
Свойства предельных значений.
Предельные значения имеют такие же свойства, что и предел последовательности:
Бесконечно малые и бесконечно большие
1.Функция f(x) называется бесконечно малой при x®a, если.
* Если существует
* Если
Обозначение a=o(b).
* Если
Имеется стандартная бесконечно малая величина b(x)=x – a. Тогда, если существует
то говорят, что a(x) является бесконечно малой k-го порядка, и обозначают это так
Слагаемое
2.Определение. Функция f(x) называется бесконечно большой при x®a, если
* Если существует
* Если
* Если
Имеется стандартная бесконечно большая величина
есть бесконечно большая k-го порядка и записывают это следующим образом:
Возрастающие и убывающие функции
1.Пусть f(x) определена и непрерывна на промежутке
-
Непрерывность
1.Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если
Более подробно это расшифровывается следующим образом:
*
*
*Обозначим
2.Функция f(x) называется непрерывной на множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Производная.
1.Пусть функция f(x) непрерывна в точке x. Тогда производной
где
*Геометрический смысл производной состоит в том, что численно она равна тангенсу угла между касательной, проведенной к кривой в точке x, и осью абсцисс OX
Дифференциал
1.Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х, если ее приращение
Линейная часть приращения функции, то есть слагаемое
*Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируемой в точке х, необходимо и достаточно, чтобы она имела производную в этой точке. При этом
Геометрический смысл дифференциала изображен на рис. 3.5. Заметьте, что производная есть отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной:
Выпуклость.
1. Функция f(x) называется выпуклой на отрезке [a, b], если
Его отличительной особенностью является то, что график выпуклой функции лежит под хордой, соединяющей две любые ее точки.
2. Функция f(x) называется вогнутой на отрезке [a, b], если
Его отличительной особенностью является то, что график вогнутой функции лежит над хордой, соединяющей две любые ее точки.(выпуклость, вогнутость :-) )
Экстремум
1.Пусть f(x) определена и непрерывна на промежутке
*Говорят, что функция f(x) имеет в точке x0 локальный максимум (минимум) если
Частные производные
1.рассмотрим на примере ф-ции 2х переменных
x=f(x,y), точка A(x0,y0)
Dz=f(x0+Dx, y0+Dy)-f(x0,y0) - полное приращение.
Частное приращение по х (по у):
DxZ=f(x0+Dx, y)-f(x0, y0)
DyZ=f(y0+Dy, x)-f(x0, y0)
Частная производная ф-ция:
*Полный дифференциал dZ=dxZ+dyZ=Z`xdx +Z`ydy
dZ=¶Z/¶x*dx+=¶Z/¶y*dy
Чтобы найти полный дифференциал ф-ции надо найти частные производные от этой ф-ции по всем независимым переменным, умножить их на дифференциал этих переменных, рез-ты сложить.
Теорема о вложенных отрезках.(Лемма о вложенных отрезках)
1.Множество, элементами которого являются отрезки, называется системой отрезков.
2.Система замкнутых отрезков
*
*
*Для любой системы замкнутых стягивающихся отрезков существует единственная точка, принадлежащая всем отрезкам.
Доказательство.
1. Рассмотрим множество
а)
б)
Поэтому, существует конечный
2. Рассмотрим множество
а)
б)
поэтому существует конечный
3. Так как по условию
Обозначим этот общий предел через c:
4. Так как
5. Докажем, что точка c единственная. Предположим противное, что
Теоре́ма Вейерштра́сса (Теорема справедлива как для вещественных, так и для комплексных чисел. Она также справедлива для последовательностей точек n-мерного евклидова пространства)
*Из любой ограниченной числовой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство
Ниже приведён набросок доказательства для вещественной прямой:
Так как последовательность ограничена, то существует отрезок, содержащий все an.
Разделим его пополам. Выберем тот, который содержит бесконечное число членов последовательности. Если оба содержат бесконечное число членов последовательности, то выберем один из них.
Продолжим деление отрезков по индукции.
Получим последовательность вложенных отрезков, которая по построению стягивающаяся, следовательно имеет одну общую точку.
Далее построим подпоследовательность, что бы k-й элемент содержался в отрезке определённом на k-ом шаге. Так как в любом таком отрезке содержится бесконечное число an это возможно.
Полученная подпоследовательность имеет предел.
Основные теоремы о пределах
*Функция не может иметь более одного предела.
*Пусть заданные на одном и том же множестве функции
имеют в точке а пределы, равные соответственно:
Признаки существования предела последовательности
*Если числовая последовательность
*Если в некоторой окрестности точки x0 (или при достаточно больших значениях x) функция f(x) заключена между двумя функциями j(x) и y(x), имеющими одинаковый предел A при
Сравнение б.м. и б.б. функций
Две б.м. функций сравниваються между собой с помощью их отношения(сумма, разность и произведение).
Рассмотрим правило сравнения б.м. функций:
*Пусть при х®х0 функции a(х) и b(х) являються б.м., т.е. Lima(х){при х®х0}=0 и Limb(х){при х®х0}=0, тогда Правила:1)Если Lima(х)/b(х){при х®х0}=0, то a(х) – б.м. более высокого порядка, чем b(х). 2)Если Lima(x)/b(х){при х®х0}=А¹0, то a(х) иb(х) – б.м. одного порядка. 3)Если Lima(х)/b(х){при х®х0}=1, то a(х) и b(х) – эквивалентные б.м.. Иногда нужно оценивать как высок порядок б.м. более высокого порядка, поэтому 4)Если Lima(х)/
Замечания: Для сравнения б.м. функций, при х®∞, х®+\-∞, х®х0+\-. Существует аналогичное правило.
Замечательные пределы
*1-й замечательный предел.
Возьмем круг радиуса 1, обозначим
радианную меру угла MOB через Х.
Пусть 0 < X < π/2. На рисунке |АМ| = sin x, дуга МВ численно равна центральному углу Х, |BC| = tg x. Тогда
Разделим все на
Т.к.
*2-й замечательный предел.
Пусть х→∞. Каждое значение х заключено между двумя положительными целыми числами:
Если x→∞, то n→∞, тогда
По признаку о существовании пределов:
Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке.
Рассмотрим некоторые свойства функций непрерывных на отрезке. Эти свойства приведём без доказательства.
Функцию
Теорема 1. Функция, непрерывная на отрезке [a,b], хотя бы в одной точке этого отрезка принимает наибольшее значение и хотя бы в одной – наименьшее.
*Теорема утверждает, что если функция
Ясно, что таких точек может быть и несколько, например, на рисунке показано, что функция
Замечание. Утверждение теоремы можно стать неверным, если рассмотреть значение функции на интервале (a,b). Действительно, если рассмотреть функцию
Также теорема перестаёт быть верной для разрывных функций. Приведите пример.
Следствие. Если функция
Теорема 2. Пусть функция
Эта теорема имеет простой геометрический смысл: если точки графика непрерывной функции
Эта теорема допускает следующее обобщение.
Теорема 3 (теорема о промежуточных значениях). Пусть функция
Таким образом, непрерывная функция, переходя от одного своего значения к другому, обязательно проходит через все промежуточные значения. В частности,
Следствие. Если функция
Классификация точек разрыва.
Разрывы функции
1.Точки, где функция f(x) не является непрерывной, называются точками разрыва функции f(x).
Для классификации точек разрыва рассмотрим предел слева
* Устранимый разрыв.
Он имеет место, когда выполнено условие
В данном случае достаточно изменить значение функции в точке x0, чтобы разрыва не стало.
* Разрыв первого рода (скачок).
Разрыв первого рода (скачок) получается тогда, когда односторонние пределы
* Разрыв второго рода.
Если хотя бы один из
Вид разрывов второго рода очень разнообразен. Пример такого разрыва приведен на рис. 2.3. На нем изображен случай, когда f(x0 – 0) конечен, а f(x0 + 0) равен +¥.
Геометрический смысл производной.
KN=Dy, MK=Dx
DMNK/tg2=Dy/Dx
вычислим предел левой и правой части:
limtga=lim(Dy/Dx) Dx®0
tga0=y`
a®a0
При Dx®0 секущая MN®занять положение касательной в точке M(tga0=y`, a®a0)
Геометрический смысл производной заключается в том, что есть tg угла наклона касательной, проведенной в точке x0.
Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
*Если функция f ( x ) дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке. Обратное неверно: непрерывная функция может не иметь производной.
*С л е д с т в и е . Если функция разрывна в некоторой точке, то она не имеет производной в этой точке.
П р и м е р . | Функция y = | x | ( рис.3 ) всюду непрерывна, но она не имеет производной при x = 0 , так как в этой точке не существует касательной к графику этой функции. ( Подумайте, почему ? ) |
Лагранжа
Отношение f(b)-f(a) / b-a есть угловой коэффициент секущей АВ, а величина f I(c) – угловой коэффициент касательной к кривой в точке x=c, следовательно геометрический смысл т. Лагранжа заключается в следующем: на графике y=f(x) найдется точка C(c;f(c)) в которой касательная к графику функции параллельна секущей АВ.
СЛЕДСТВИЕ:
Если, производная функции yi=0 на некотором промежутке, то ф-я постоянна на этом промежутке.
Если две ф-ии имеют равные производные на некотором промежутке, то они отличны друг друга на постоянное слагаемое.
Теорема Лагранжа
Если f(x) непрерывна на [a;b], дифференцируема на (a;b), то найдется хотя бы одна точка
*ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Положим в т. Коши φ(x)=x
Подставим эти значения в формулу:
Что и требовалось доказать.
Правило Лопиталя
Если
То f(x) и φ(x) в некоторой окрестности содержат точку x=x0 удовлетворяющую всем условиям т. Коши.
*Предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
при условии, что предел правой части равенства существует.
*Правило Лопиталя применимо и в том случае когда:
Аргумент x стремится к бесконечности
*Если отношение производных f I и φi при x стрем. к беск. Снова приводит к неопределенности вида 0/0 или ∞/∞.
При выполнении требуемых условий правило Лопиталя можно использовать повторно.
Признак возрастания и убывания функции.
Если ф-я f(x) дифференцируема на интервале (a;b) и
*Исследование ф-ии на возрастание и убывание:
f(x)=x3-6x2-9x+1
D(f): (+∞;-∞)
f I(x)=3x2-12x+9= 3(x-3)(x-1)
f I > 0
f I < 0 при х прин.(1;3)
Функция убывает на (1;3)
Признаки существования экстремума
*Необходимое условие экстремума дается теоремой Ферма. Если во внутренней точке x0 функция f(x) имеет локальный экстремум, то в ней
*Достаточное условие экстремума. Пусть в точке x0 выполнено условие
а) n=2m – четное число. Тогда в точке x0 имеет место локальный экстремум, причем если
б) n=2m+1 – нечетное число. Тогда в точке x0 локального экстремума нет (это – точка перегиба).
Выпуклость и вогнутость линий точки перегиба
*Линия называется выпуклой, если она пересекается с любой своей секущей не более чем в 2х точках.
*Линия наз-ся вогнутой, если она целиком лежит по 1 сторону от касательной, проведенной в любой ее точке.
*Точка перегиба - точка, отделяющая выпуклый участок дуги от вогнутого.
*Необходимый признак выпуклости и вогнутости: если линия на интервале выпуклая, то ее 2я производная <=0; если линия на интервале вогнутая, то ее f``(x)>=0
*Достаточный признак: если f``(x) всюду в интервале “-”, то линия в интервале выпуклая; если f``(x)>0, то линия вогнутая
*Признаки точки перегиба: чтобы X0 была т. перегиба, <=> чтобы у`` в этой точке = 0 и меняла знак при переходе х через х0.
Геометрический смысл дифференциала
limy=A, y=A+a
limDy/Dx=y`, Dy/Dx=y`+a, Dy=y`Dx+aDx
Dx®0
Dy=y`Dx+e, где e-б.м.в., величина более высокого порядка малости,, чем Dx(a), и ее можно отбросить.
dy=y`Dx
Дифференциалом ф-ции наз. величина, пропорциональная б.м. приращению аргумента Dх и отличающаяся от соответствующего приращения ф-ции на б.м.в. более высокого порядка малости, чем Dх.
Если y=x, то dy=dx=x`Dx=Dx, dx=Dx
Если y¹x, то dy=y`dx, y`=dy,dx
*Геометрический смысл: дифференциал - изменение ординаты касательной, проведенной к графику ф-ции в точке (x0,f(x0)) при изменении x0 на величину Dx
*Св-ва:
1. (U±V)`=U`±V`, то (U±V)`dx=U`dx±V`dx, d(U±V)=d(U±V)
2. (UV)`=U`V+V`U, то (UV)`dx=V`dU+U`dV
3.d(c)=c`dx=0*dx=0
4. d(U/V)`=(V`dU-U`dV)/V2.
Инвариантная форма дифференциала
Пусть y
=
f
(
x
),
x
=
g
(
t
), т.е у- сложная функция.
Тогда dy
=
f
¢
(
x
)
g
¢
(
t
)
dt
=
f
¢
(
x
)
dx.
Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли х независимой переменной или функцией какой- то другой переменной, в связи с чем эта форма записи называется инвариантной формой записи дифференциала.ъ
Однако, если х- независимая переменная, то
dx = Dx, но
если х зависит от t, то Dх ¹ dx.
Таким образом форма записи dy = f¢(x)Dx не является инвариантной.
Формула Тейлора.
1.Многочлен Тейлора n-го порядка функции f(x) в точке x0 назыв.
2.Остаточным членам формулю Тейлора n-го порядка наз.:
*Если функция
F
(
x
) (
n
+1) – дефферен. в окресности точки
x
0, то для любого
x
из этой окресн. сущ. т. с(
x
0,
x
)
Геометрический смысл частных производных
*(допустим
В пространстве XYZ условие y = y0 описывает плоскость P,
перпендикулярную оси OY и пересекающую эту ось в точке y0. Плоскость P
пересекается с графиком функции z = f(x,y), вдоль некоторой линии L, как
показано на рисунке 1. Тангенс угла между плоскостью XOY и касательной к
линии L в точке с координатами x0,y0 равен частной производной по x функции
z = f(x,y) в этой точке. В этом состоит геометрический смысл частной
производной.
Аналогичное заключение можно сделать относительно частной производной
по y.
Общая схема исследования ф-ции необходима для построения графика.
Найти:
-обл. определения ф-ции
-точки разрыва и интервалы, где ф-ция явл-ся непрерывной
-поведение ф-ции в окрестностях точки разрыва, вертикальной асимптоты
-т. пересечения графика с осями координат
-симметрия графика (чет./нечет):
f(-x)=x симметрична относительно осей
f(-x)=-x симметрична относительно О(0,0)
-периодичность
-интервалы монотонности
-точки экстремума
-наибольшее и наименьшее значение
-выпуклость, вогнутость
-точки перегиба
-поведение ф-ции в безконечности, наклонная и горизонтальные асимптоты
-нанесение на график.
Производные
(u(x)+-v(x))'=u'(x)+-v'(x)
(c*u(x))=c*u'(x)
(u(x)+-v(x))'=u'(x)+-v'(x)
(u(x)/v(x))'=(u'(x)*v(x)+ u(x)*v'(x))/v2(x)
u(v(x))'=u'v+v'x
(xa)'=a*xa-1
(sin(x))'=cos(x)
(cos(x))'=-sin(x)
(tg(x))'=1/cos2(α)
(ctg(x))'=-1/sin2(α)
(ex)'= ex
(ln(x))'=1/x
(loga(x) )'=1/xln(a)
(arcsin(x))'=1/√(1-x2)
(arccos(x))'=-1/√(1-x2)
(arctg(x))'=1/(1+x2)
(a x)'=axln(a)
касательная
y-y0=y`( x0)(x- x0)
нормаль
y-y0=(-1/y`( x0))*(x- x0)
Логарифмы
y=ax, x=loga(y)
y=aloga(y)
logb(a1a2)= logb(a1)+logb(a2)
logb(a1/a2)= logb(a1)-logb(a2)
logb(ak)=k logb(a)
logb(a)=logc(a)/logc(b)
(n+1)!=n!(n+1)
n!=1*2*3*4*…*n
Ckn=n!/(n-k)!*k!
Лимиты
[c/∞]=0 [c/0]= ∞ [0/∞]=0 [∞/0]= ∞
первый замечательный предел
lim[(sin(x))/x] (при х→0)=1 lim[(arcsin(x))/x] (при х→0)=1
lim[(1-cos(x))/x2] (при х→0)=1/2 lim[(tg(x))/x] (при х→0)=1
lim[(arctg(x))/x] (при х→0)=1
lim[1/f(x)]=1/lim f(x)
lim[(x/sin(x))] (при х→0)=1
(1+x)1/x (при х→0)=e=2.718
второй замечательный предел
lim
lim[(ln(1+x)/x] (при х→0)=1 lim[(loga(1+x)/x] (при х→0)=1/ln(a)
lim[(ex-1)/x] (при х→0)=1 lim[((1+x)a-1)/x] (при х→0)=a
lim[(ax-1)/x] (при х→0)=ln(a)
lim [f(x)
х
1.sin x~ x tg x ~ x
arcsin x ~ x arctg x ~x
(1- cos x)~ x ex-1 ~x
ax-1 ~xlna ln(1+x)~x
log
(1+x)
Тригонометрия
cos2(α)+sin2(α)=1
cos(α-β)= cos(α) cos(β)+sin(α)sin(β)
cos(α+β)= cos(α) cos(β)-sin(α)sin(β)
sin(α+β)=sin(α) cos(β)+cos(α)sin(β)
sin(α-β)=sin(α) cos(β)-cos(α)sin(β)
tg(α+β)=(tg(α)+tg(β))/(1-tg(α)tg(β))
tg(α-β)=(tg(α)-tg(β))/(1+tg(α)tg(β))
cos(π/2-α)=sin(α)
sin(π/2-α)=cos(α)
cos(2α)= cos2(α)-sin2(α)
cos(2α)= 1-2 sin2(α)
cos(2α)=2cos2(α)-1
sin(2α)=2cos(α)sin(α)
tg(2α)=2tg(α)/(1-tg2(α))
sin2(α)=(1-cos(2α))/2
cos2(α)=(1+ cos(2α))/2
tg2(α)=(1-cos(2α))/(1+ cos(2α))
sin(α)=2tg(α/2)/(1+tg2(α/2))
cos(α)= (1-tg2(α/2))/ (1+ tg2(α/2))
sin(α)sin(β)=(1/2)(cos(α-β)-cos(α+β))
cos(α)cos(β)=(1/2)(cos(α-β)+cos(α+β))
sin(α)cos(β)=(1/2)(sin(α+β)+cos(α-β))
sin(α)-sin(β)=2sin((α-β)/2)cos((α+β)/2)
sin(α)+sin(β)=2sin((α+β)/2)cos((α-β)/2)
cos(α)+cos(β)=2cos((α+β)/2)cos((α-β)/2)
cos(α)-cos(β)=2sin((α+β)/2)sin((β- α )/2)
tg2(α)+1=1/cos2(α)
1+ctg2(α)=1/sin2(α)
2sin2(α)=1- cos2(α)
sin2(α)=(1- cos2(α))/2
Асимптоты
.
Опр. Часть графика называется бесконечной ветвью если при движении точки по этой части, расстояние между ей и началом координат стремится к бесконечности.
Опр. Прямая называется асимптотой бесконечной ветви графика функции, если при удалении точки от начала координат по этой ветви, расстояние до данной прямой стремится к нулю.
Теорема 1
: x=a (вертикальная прямая) – является асимптотой для бесконечно вертикальной ветви графика функции y=f(x), тогда когда f(x)®µ, при x®a.
Теорема 2
: Критерий существования наклонной асимптоты прямая y=kx+b является асимптотой для правой (левой) ветви графика функции тогда, когда существует предел при :
Док-во
: Точка M0(x0,y0) и прямая
L: Ax+By+Cz=0, то расстояние
асимптота =>
d(M,l)®0=>
kx-f(x)+b®0
тогда f(x)-kx®b
при x®+µ
Дифференцирование функций заданных параметрически.
Пример 1:
Пример
2
:
Аналитические
признаки поведения функции.
Теорема
: Критерий постоянства фун.
Функция f(x)=const на промежутке [a,b], тогда, когда f’(x)=0 на интервале (a,b).
Док-во
: f(x)=c => f’(x)=c’=0 возьмем "xÎ[a,b] и применим т. Лангранжа f(x) [a,b] по т. Лангранжа f(x)-f(a)=f’(c)(x-a); cÎ(a,x); f(x)-f(a)=0; f(x)=f(a) для любого x => f(x)=const.
Теорема
: Достаточный признак возрастания функции. Если f’(x)>0, (a,b), то f(x) возрастает на [a,b].
Док-во
:
возьмем x1, x2 Î[a,b]: x1<x2 => f(x2)>f(x1)
применим т. Лангранжа f(x) на [x1,x2]
по этой теореме f(x2)-f(x1)=f’(c)(x2-x1)>0 => f(x2)>f(x1).Замечание: данные условия не являются необходимыми.
Теорема
: достаточный признак убывания функции. Если f’(x)<0 на (a,b), то f(x) убывает на [a,b].
Док-во 1
: подобно предыдущему.
Док-во 2
: g(x)=-f(x),тогда g’(x)=-f’(x)>0
=> g(x) - возрастает => f(x) – убывает.
Несложно показать, что если функция возрастает (убывает) на [a,b], то ее произв. не отрицат.(положит.) на (a,b).
f(x) возрастает: [a,b]=>f’(x)Ê0 (a,b).
Признаки экстремума функций.
Опред
: точка x0 называется точкой max (min) если существ. такая окрестность данной точки, что в x0 фун. принимает наибольшее (наименьшее) значение.
Точка х0 наз. точкой экстремума, если эта точка max или min данной функции.
Теорема
: Необходимый признак экстремума функции.
Если х0 точка экстремума f(x), то :
1). Либо не существует f’(x0)
2). Либо f’(x0)=0
Док-во
:
1). Не сущест. f’(x0)
2). Сущест. f’(x0) - по т. Ферма f’(x0)=0
Замечание: данные условия не являются достаточными.