МЕТОД А.Ф.СМИРНОВА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК В СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМАХ
1.     ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОСЫЛКИ
1)Нагрузка приложена только в узлах стержневой системы и до потери устойчивости не вызывает изгиба стержней.
2)Материал работает в упругой стадии.
3)Перемещения при потере устойчивости малы по сравнению с размерами конструкции
4)При определении перемещений учитываются продольные силы только в тех стержнях,в которых они возникали до потери устойчивости.
Примечание: Если критические нагрузки определяются в статически неопределимой системе, то ее статическая неопределимость раскрывается методом сил.
Основная система выбирается в момент потери устойчивости .
Основная система-это статически определимая и геометрически неизменяемая система, полученная из заданной путем удаления лишних связей в деформированном состоянии.
Основную систему рекомендуется выбирать таким образом, чтобы сжато-изогнутые элементы не имели смещений вдоль своих осей.

1.2.Алгоритм расчета по методу А.Ф.Смирнова
Рассмотрим упругую систему, загруженную узловыми нагрузками.

В момент потери устойчивости система характеризуется наличием сжато-изогнутых и изогнутых элементов.
Деформированное состояние системы характеризуется вектором отклонений Y, имеющим размер(m×1):
              Y₁
              Y₂
              Y₃
     =   ...
(m×1)    ...
              Y_{n ,}
где m-число ненулевых координат вектора отклонений ,которые задаются только для сжато-изогнутых стержней.
Вектор отклонений можно определить по формуле Мора ,которая в матричной форме имеет вид
 (1.1)
При определении перемещений система разбивается на участки. В пределах каждого участка намечаются расчетные сечения по концам каждого участка и в тех точках сжато-изогнутых стержней, перемещение которых подлежит определению.
Обозначим : μ-число расчетных сечений
Для составления M_y необходимо в основной системе построить эпюры моментов от единичных сил приложенных в направлении искомых перемещений Y₁,Y₂,Y₃...Y_n.
Матрица М_у имеет размер(μ×m)
        
       
         Эпюра      Эпюра    Эпюра   …      Эпюра
                                                           
=
(μ×m)
G-размером (μ×μ)-матрица податливости всей системы.
Она формируется из матриц податливости отдельных участков.
М_р- матрица-столбец, элементами которой являются ординаты эпюр изгибающих моментов на тот период времени, когда заданная система находится в  критическом состоянии.
Для статически-неопределимых систем при определении М_р используется  матричный алгоритм метода сил:

  (1.2),
где   (1.3)-матрица ,раскрывающая статическую неопределимость системы.
 Если заданная система статически определимая ,то матрица  превращается  в единичную матрицу (μ×μ):    
=Е  (1.4)
Структура матрицы
         Эпюра      Эпюра    Эпюра   …      Эпюра
                                                                        
=
(μ×m)
-матрица столбец, элементами которой являются ординаты эпюры моментов ,построенной от действия внешних узловых сил в основной системе ,с учетом ее деформированного состояния.
Ординаты эп.  зависят от вектора перемещений  y
Получим матрицу  в виде:
  (1.5),
где: H-числовая матрица размером (μ×m),преобразующая вектор отклонений у в эпюру моментов грузового состояния
Тогда    (1.6)
Подставляя (1.6) в (1.1) получим вектор перемещений
  (1.7)
Обозначим : =k∙c    (1.8),
Где k-общий множитель ,полученный из множителей при перемножаемым матрицах Н и G
Тогда:  или ,обозначим  (1.9),
где :λ-собственное число матрицы ; -собственный  вектор матрицы
Преобразуем (1.9)
  (1.10)-УРАВНЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ МЕТОДА СМИРНОВА,
где ; .
Выражение (1.10) представляет собой систему однородных уравнений относительно  ,где матрица  составлена из коэффициентов при неизвестных  Y₁,Y₂,Y₃...Y_N.
Уравнение устойчивости (1.10) имеет два решения
1) Вектор перемещений  равен 0
              Y₁           0
              Y₂          0
Y₃         0
     =   ...     =  ...         (1.11)-начальная форма равновесия
              ... ...
              Y_n      0
2) Определитель ,составленный из коэффициентов при неизвестных  равен 0.
=0  (1.12)-характеристическое уравнение
Если раскрыть определитель,то получим  уравнение m¹⁰ порядка,где неизвестным будет λ.
Решение этого уравнения дает значения λ,λ₁,λ₂,λ₃…λ_m.
Минимальное значение Р_кр  составляет λ_max ( )
minP_кр=       (1.13),
где -наибольшее собственное число характеристической матрицы .
Собственный вектор характеристической матрицы  дает форму потери устойчивости.
2.ПОРЯДОК РАСЧЕТА СИСТЕМ НА УСТОЙЧИВОСТЬ МЕТОДОМ А.Ф.СМИРНОВА
1.Заданная система изображается в критическом деформированном состоянии.
Выявляются сжато-изогнутые и изогнутые элементы, назначается число ненулевых координат вектора отклонений для сжато-изогнутых элементов.
2.Ось системы разбивается на участки .Назначаются расчетные сечения  и правило знаков для  эпюр изгибающих моментов .
3.Определяется степень статической неопределимости n и, если n>0 выбирается основная система метода сил.
4.Формируются необходимые матрицы .
5.Вычисляется характеристическая матрица
,
где -для статически неопределимых систем;
=Е-для статически определимых систем
6.Решается  характеристическое уравнение =0  →
7.Определяется значение критической нагрузки:
minP_кр=
3.ФОРМИРОВАНИЕ МАТРИЦЫ ПОДАТЛИВОСТИ ДЛЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ ПРИ РАСЧЕТЕ НА УСТОЙЧИВОСТЬ
Матрица податливости всей системы формируется из матриц податливости отдельных участков  и имеет следующую структуру
                              0
             G=              G_k
          (μ×μ)                          G_k-матрица податливости участка k
 
Вид матрицы G_k зависит от типа участка (какую деформацию он испытывает).
1)Участок ,испытывающий только изгиб

G ,
где : l₀-длина любого участка ,принятого за основной
         B₀-жесткость любого участка ,принятого за основную
_;
2)Участки ,испытывающие деформацию сжатие с изгибом. Для такого участка  вид матрицы G_k зависит от того ,на сколько панелей разбита его длина
а)Длина участка разбита на две панели:

-длина участка
-длина панели
_;

б)Длина участка разбита на три панели:

_{; ;}

в)Длина участка разбита на четыре и более панелей:

В этом случае общая длина сжато-изогнутого элемента компонуется из подучастков с двумя или тремя панелями. Соответственно и компонуется матрица податливости.

                                 G_Ι
                                    G_k =          G_{Ι Ι}
                                       
4.ФОРМИРОВАНИЕ МАТРИЦЫ H
Матрица H-числовая матрица размером (μ×m), преобразующая вектор перемещений  в эпюру моментов грузового состояния.
;
Для построения матрицы H необходимо определить изгибающие моменты во всех расчетных сечениях основной системы от узловых нагрузок и построить эпюру М₀

Эпюра М₀ строится со стороны растянутых волокон с учетом деформированного состояния системы.



                           



М₀=
В матрицу H вписываются коэффициенты при перемещениях из каждого уравнения.
5.РЕШЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
Существует несколько методов решения характеристического уравнения . Все методы делятся на две группы:
1)Первая –позволяет вычислить все собственные числа( метод Крылова-Лузина и др.)
2)Вторая –позволяет вычислить наибольшее собственное число(и соответственно наименьшее значение критической нагрузки)
К этой группе относится метод последовательных приближений
 Метод итераций позволяет вычислить наибольшее собственное число характеристической матрицы .Вместе с определением собственного числа одновременно производится определение собственного вектора, соответствующего этому числу и удовлетворяющего равенству:
,
где -характеристическая матрица
-для статически неопределимых систем
=Е- для статически определимых
- собственное число характеристической матрицы
-собственный  вектор матрицы
Порядок решения:
1)Задаемся приближенным вектором перемещений -первое приближение;
2)Вычисляется: ,
где -второе приближение собственного вектора; -первое приближение собственного числа.
Вектор  следует сделать нормированным ,т.е. его наибольшую координату надо вынести за знак матрицы в виде множителя .
3)Далее вновь подсчитывается :
 и т.д.
4)Повторение процесса продолжается до тех пор ,пока значения координат векторов двух последних приближений не совпадут.
Величина найденная в последнем приближении принимается за искомое
6.ПРИМЕР.
Определить критическую силу методом А.Ф.Смирнова

; =Е- т.к. система статически определима
  = ; ;
;
;





;
=0
=0

С

С=

у1	1	0,5
Су1	118,5	30,5
у2	1	0,257
Су2	109,75	25,15
у3	1	0,229
Су3	108,74	24,54
у4	1	0,2257
Су4	108,62	24,46
у5	1	0,225

=108,62
у=
minP_кр= ;