Пошукова робота на тему:

Власні числа і власні вектори квадратної матриці, характеристичне рівняння.

План

• Власні числа і власні вектори лінійного перетворення.

• Характеристичне рівняння.

• Властивості власних векторів і власних значень.

4.3.4. Власні вектори і власні значення лінійного перетворення

            Означення. Ненульовий вектор  який задовольняє умові

                                      ,                                    (4.17)

називається власним вектором лінійного перетворення а число власним значенням. Говорять, що власний вектор  відповідає власному значенню

            Задача знаходження всіх власних векторів лінійного перетворення має важливе значення як для кінцево вимірних просторів, так і у випадку нескінченновимірних просторів. Ми розглянемо її для лінійного простору  кінцевого виміру

            Якщо в просторі  вибраний базис, то рівність (4.17) можна записати в координатах як що зв’зує матрицю перетворення  і координатний стовпчик  вектора або

                                                                   (4.18)

де одинична матриця  В розгорнутому вигляді (4.18) можна записати так:

             (4.18^/)

Із рівності (4.18^/) знаходимо координати власного вектора  Це система  лінійних алгебраїчних рівнянь з  невідомими. Оскільки власний вектор ненульовий вектор, то не всі його координати повинні бути рівними нулю. Однорідна система (4.18^/) має нетривіальні розв’язки тільки тоді, коли її визначник дорівнює нулю, тобто

                   (4.19)

Рівняння (4.19) називається характеристичним рівнянням. Із характеристичного рівняння знаходяться всі власні значення лінійного перетворення Ясно, що в дійсному просторі комплексні корені не можуть бути власними значеннями.

            Знайшовши із рівняння (4.19) всі власні значення , ми кожне із них підставляємо в систему (4.18^/) і знаходимо власні вектори , що відповідають цим власним значенням.

            Приклад. Знайти власні значення та власні вектори лінійного перетворення що задається в деякому базисі матрицею

             Р о з в ‘ я з о к. Запишемо характеристичне рівняння (4.19)

, тоді  і власні значення матриці   Нехай  власний вектор, що відповідає власному значенню  Для визначення його координат запишемо систему рівнянь (4.18^/)

загальний розв’язок якої буде 

Оскільки ми шукаємо ненульові розв’язки однорідної системи, то, покладаючи  і  одержимо два власних вектори, що відповідають власному значенню  

  і  причому

Приведемо без доведення деякі властивості власних векторів і власних значень.

            1⁰.  Власні вектори , що відповідають попарно різним власним значенням , лінійно незалежні.

            2⁰. Якщо  і матриці лінійного перетворення  в різних базисах, то характеристичні многочлени цих матриць співпадають, тобто

            3⁰. Якщо деяке власне значення  перетворення  є коренем характеристичного рівняння кратності то йому відповідає не більше лінійно незалежних власних векторів.

            4⁰. Власні значення симетричної матриці дійсні, а власні вектори, що відповідають різним власним значенням ортогональні.

            5⁰. Матриця лінійного перетворення  в базисі має діагональний вигляд тоді і тільки тоді, коли всі вектори базису – власні вектори перетворення, причому на головній діагоналі знаходяться його власні значення.

6⁰. Якщо всі корені характеристичного многочлена матриці

різні, то існує така матриця  із визначником, що не дорівнює нулю, що матриця  діагональна.