Задача 20. Показать, что функция удовлетворяет уравнению (1).

20.1.

y'= e^{-x^2/2}-x²e^{-x^2/2}= e^{-x^2/2}(1-x²)

xe^{-x^2/2}(1-x²)=xe^{-x^2/2}(1-x²)

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.2.

y'= (xcosx-sinx)/x²

(xcosx-sinx)/x+sinx/x=cosx

cosx=cosx

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.3.

y'= -10e^-2x+e^x/3

-10e^-2x+e^x/3+10e^-2x+2e^x/3=e^x

e^x=e^x

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.4.

y'= -cx/√(1-x²)

-cx(1-x²)/√(1-x²)+2x+cx√(1-x²)=2x

2x=2x

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.5.

y'= √(1-x²)-x²/√(1-x²)= (1-2x²)/√(1-x²)

x√(1-x²)(1-2x²) = x-2x³

√(1-x²)

x-2x³= x-2x³

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.6.

y'= c*tgx/cosx

c*tgx/cosx-c*tgx/cosx=0

0=0

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.7.

y'= 3/(3x+c)²

3/(3x+c)²=3/(3x+c)²

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.8.

y'= e^x/(c+e^x)

e^x/(c+e^x)= e^x/e^{ln(c+e^x)}

e^x/(c+e^x)=e^x/(c+e^x)

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.9.

dy= (2x-c)dx/(2√(x²-cx))

(x2+x2-cx)dx-(2x√(x2-cx)(2x-c)dx)/(2√(x²-cx))=0

0=0

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.10.

dy= (cx-xlnx+1)dx

(x-x(c-lnx))dx+x(cx-xlnx+1)dx=0

0=0

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.11.

y'= e^tgx/2/(2cos²x/2)= e^tgx/2/(cosx+1)

sinx*e^tgx/2/(cosx+1)= e^tgx/2lne^tgx/2

tgx/2= tgx/2

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.12.

y'= (1-x+1+x)/(1-x)²=2/(1-x)²

2/(1-x)²= 1-2x+x²+1+2x+x²

(1-x)²(1+x)

2/(1-x)²=2/(1-x)²

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.13.

y'= 1-b²

(1-bx)²

b+x – x(1-b²) = b + x²(1-b²)

1+bx (1-bx)² (1-bx)²

b + x²(1-b²)=b + x²(1-b²)

(1-bx)² (1-bx)²

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.14.

y'= 1-2x _

³√(2+3x-3x²)²

(1-2x) ³√(2+3x-3x²) = 1-2x _

³√(2+3x-3x²)^{2 3}√(2+3x-3x²)

1-2x _= 1-2x _

³√(2+3x-3x²) ³√(2+3x-3x²)

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.15.

y'= 4e^x = e^x _

4(1+e^x)√(ln((1+e^x)/2)²+1) (1+e^x)√(ln((1+e^x)/2)²+1)

e^x(1+e^x)√(ln((1+e^x)/2)²+1) = e^x

(1+e^x)√(ln((1+e^x)/2)²+1)

e^x=e^x

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.16.

dy= 3dx _

3xcos²ln3x

(1+tg²ln3x)dx = 3xdx _

3xcos²ln3x

dx/cos²ln3x= dx/cos²ln3x

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.17.

y'= 2/(x³√(2/x²-1))

1+2/x²-1- 2x√(2/x²-1)/(x³√(2/x²-1))=0

0=0

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.18.

y'= x-1 _

3x√(x-lnx-1)²

lnx+x-lnx-1-3x(x-1)√(x-lnx-1)² = 0

3x√(x-lnx-1)²

0=0

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.19.

y'= 7/(ax+1)²

a+7x/(ax+1) – 7x/(ax+1)² = a(1+7x²/(ax+1)²)

a(1+7x²/(ax+1)²)= a(1+7x²/(ax+1)²)

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.20.

y'= -a² _

2x²√(a/x-1)cos²√(a/x-1)

a²+a²tg²√(a/x-1)- 2a²x√(ax-x²) = 0

2x²√(a/x-1)cos²√(a/x-1)

a²/cos²√(a/x-1) – a²/cos²√(a/x-1)=0

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.21.

y'= 1 _

8 ⁴√(√x+√(x+1))

8x _ ⁴√(√x+√(x+1)) = -1 _

8 ⁴√(√x+√(x+1)) ⁴√(√x+√(x+1))³√(x+1)

-1 _= -1 _

⁴√(√x+√(x+1))³√(x+1) ⁴√(√x+√(x+1))³√(x+1)

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.22.

y'= e^{x^2}(1+2x²+2x)

e^{x^2}(1+2x²+2x) – 2xe^{x^2}(1+x)=2xe^{x^2}

2xe^{x^2}=2xe^{x^2}

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.23.

y'= 2x²-4x⁵-x⁶-2x³-1

x²(x³+1)²

x(x³+1)( 2x²-4x⁵-x⁶-2x³-1) + (2x³-1)(2x²+1) = x³-2

x²(x³+1)² x(x³+1) x

x³-2= x³-2

x x

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.24.

y'= (1+2x)e^{x+x^2}+2e^x

(1+2x)e^{x+x^2}+2e^x - e^{x+x^2}+2e^x = 2xe^{x+x^2}

2xe^{x+x^2}=2xe^{x+x^2}

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.25.

y'= -cosx-xsinx+3

-xcosx+x²sinx+3x = -xcosx+3x+ x²sinx

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.26.

y'= -cosx-1 _

2√(sinx+x)³

-2sinx(cosx+1)+ cosx = xcosx-sinx

2√(sinx+x)³ √(sinx+x) √(sinx+x)³

xcosx-sinx = xcosx-sinx

√(sinx+x)³ √(sinx+x)³

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.27.

y'= 2x³-4x²+2x-1

(x-1)²

x(x-1)(2x³-4x²+2x-1) + x/(x-1)+x² = x²(2x-1)

(x-1)²

x²(2x-1)= x²(2x-1)

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.28.

y'= (cosx+xsinx)/cos²x

(cosx+xsinx)/cos²x-xtgx/cosx = secx

1/cosx=secx

secx= secx

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.29.

y'= n(x+1)^n-1(e^x-1)+(x+1)ⁿe^x

n(x+1)^n-1(e^x-1)+(x+1)ⁿe^x - n(x+1)ⁿ(e^x-1)/(x+1) = (x+1)ⁿe^x

(x+1)ⁿe^x =(x+1)ⁿe^x

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.30.

y'= 2xcosx-2sinx-x²sinx

x²

xsinx(2xcosx-2sinx-x²sinx) + (sinx-xcosx)(2sinx+xcosx) = sinxcosx-x

x² x

sinxcosx-x= sinxcosx-x

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).

20.31.

y'= 2x-4x³ = 1-2x²

2√(x⁴-x²) √(x²-1)

-x√(x⁴-x²)( 1-2x²) - x⁴+x² = x⁴

√(x²-1)

x⁴= x⁴

Равенство выполняется. Функция удовлетворяет уравнению (1).