Задача 2. Составить уравнение нормали (в вариантах 2.1 – 2.12) или уравнение касательной (в вариантах 2.13 – 2.31) к данной кривой в точке с абсциссой .

2.1.

Уравнение нормали: .

y₀= (4*2-2²)/4=1

y'= 1-2x/4

y₀'= 1-4/4=0

Уравнение нормали имеет вид:

х=х₀

х=2

2.2.

Уравнение нормали: .

y₀= 2*4-2*3-1=1

y'= 4х+3

y₀'= -4*2+3=-5

Уравнение нормали имеет вид:

у-1=1/5(х+2)

у=1/5х+7/5

2.3.

Уравнение нормали: .

y₀= -1-(-1)³=0

y'=1-3х²

y₀'= 1-3*(-1)²=-2

Уравнение нормали имеет вид:

у=1/2(х+1)

у=1/2х+1/2

2.4.

Уравнение нормали: .

y₀= 4²+8√4-32=0

y'= 2х+4/√х

y₀'= 2*4+4/√4=10

Уравнение нормали имеет вид:

у=-1/10(х-4)

у=-1/10+2/5

2.5.

Уравнение нормали: .

y₀= 1+√1³=2

y'= 1+3х²/2√х³

y₀'= 1+3/2=5/2

Уравнение нормали имеет вид:

у-2=-2/5(х-1)

у=-2/5х+12/5

2.6.

Уравнение нормали: .

y₀= ³√64-20=4-20=-16

y'= 2/(3³√х)

y₀'= 2/3³√(-8)=-1/3

Уравнение нормали имеет вид:

у+16=3(х+8)

у=3х+8

2.7.

Уравнение нормали: .

y₀= (1+√4)/(1-√4)=-3

y'= ((1/(2√х))*(1-√х)+(1+√х)*1/(2√х))/(1-√х)²=1/(√(х)*(1-√х)²)

y₀'= 1/(√4*(1-√4))=-1/2

Уравнение нормали имеет вид:

у+3=2(х-4)

у=2х-11

2.8.

Уравнение нормали: .

y₀= 8⁴√16-70=-54

y'= 8/(4⁴√х³)=2/⁴√х³

y₀'= 2/⁴√16³=1/4

Уравнение нормали имеет вид:

у+54=-4(х-16)

у=-4х+10

2.9.

Уравнение нормали: .

y₀= 2-3+1=0

y'= 4х-3

y₀'= 4-3=1

Уравнение нормали имеет вид:

у=-х+1

2.10.

Уравнение нормали: .

y₀= (3²-3*3+6)/3²=2/3

y'= ((2х-3)х²-(х²-3х+6)2х)/х⁴=(2х³-3х²-2х³+6х²-12х)/х⁴=(3х-12)/х³

y₀'= (3*3-12)/3³=-1/9

Уравнение нормали имеет вид:

у-2/3=9(х-3)

у=9х-79/3

2.11.

Уравнение нормали: .

y₀= √64-3³√64=-4

y'= 1/(2√х)-1/(3³√х²)

y₀'= 1/2√64-1/3³√64²=1/16-1/48=1/24

Уравнение нормали имеет вид:

у+4=-24(х-64)

у=-24х+1532

2.12.

Уравнение нормали: .

y₀= (2³+2)/(2³-2)=5/3

y'= (3х²(х³-2)-3х²(х³+2))/(х³-2)²=(3х²(-4))/(х³-2)²=(-12х²)/(х³-2)²

y₀'= (-12*2²)/(2³-2)²=-48/36=-4/3

Уравнение нормали имеет вид:

у-5/3=3/4*(х-2)

у=3/4*х+1/6

2.13.

Уравнение касательной: .

y₀= 2+3=5

y'= 4х

y₀'= -4

Уравнение касательной имеет вид:

у-5=-4(х+1)

2.14.

Уравнение касательной: .

y₀= (1+6)/(1+1)=7/2

y'= (29х²⁸(х⁴+1)-4х³(х²⁹+6))/(х⁴+1)²=(29х³²+29х²⁸-4х³²-24х³)/(х⁴+1)²=(25х³²+29х²⁸-24х³)/(х⁴+1)²

y₀'= (25+29-24)/4=15/2

Уравнение касательной имеет вид:

у-7/2=15/2*(х-1)

у=7,5х-4

2.15.

Уравнение касательной: .

y₀= 2+1=3

y'= 2-1/х²

y₀'= 2-1=1

Уравнение касательной имеет вид:

у-3=х-1

у=х+2

2.16.

Уравнение касательной: .

y₀= -2(1+2)/(3(1+1))=-1

y'= -2/3*(8х⁷(х⁴+1)-4х³(х⁸+2))/(х⁴+1)²=-2/3*(4х¹¹+8х⁷-8х³)/(х⁴+1)²

y₀'= -2/3*(4+8-8)/(1+1)²=-2/3

Уравнение касательной имеет вид:

у+1=-2/3*(х-1)

у=-2/3*х-1/3

2.17.

Уравнение касательной: .

y₀= (1+1)/(1+1)=1

y'= (5х⁴(х⁴+1)-4х³(х⁵+1))/(х⁴+1)²=(х⁸+5х⁴-4х³)/(х⁴+1)²

y₀'= (1+5-4)/(1+1)²=1/2

Уравнение касательной имеет вид:

у-1=1/2*(х-1)

у=1/2*х+1/2

2.18.

Уравнение касательной: .

y₀=(1+9)/(1-5)=-5/2

y'= (16х¹⁵(1-5х²)+10х(х¹⁶+9))/(1-5х²)²=(16х¹⁵-70х¹⁷+90х)/(1-5х²)²

y₀'= (16-70+90)/(1-5)²=9/4

Уравнение касательной имеет вид:

у+5/2=9/4*(х-1)

у=9/4*х-19/4

2.19.

Уравнение касательной: .

y₀=3(1-2)=-3

y'= 1/(³√х²)-3/√х

y₀'= 1-3=-2

Уравнение касательной имеет вид:

у+3=-2(х-1)

у=-2х-1

2.20.

Уравнение касательной: .

y₀= 1/(3*2+2)=1/8

y'= -3/(3х+2)²

y₀'= -3/(3*2+2)²= -3/64

Уравнение касательной имеет вид:

у-1/8= -3/64*(х-2)

у= -3/64*х+7/32

2.21.

Уравнение касательной: .

y₀= -2/(4+1)= -2/5

y'= (х²+1-2х²)/(х²+1)²= (1-х²)/(х²+1)²

y₀'= (1-4)/(4+1)²= -3/25

Уравнение касательной имеет вид:

у+2/5= -3/25*(х+2)

у= -3/25*х-16/25

2.22.

Уравнение касательной: .

y₀= 1/3*(9-9+3)=1

y'= 2/3*х-1

y₀'= 2-1=1

Уравнение касательной имеет вид:

у-1= х-3

у= х-2

2.23.

Уравнение касательной: .

y₀= 2/(1+1)=1

y'= (2х²+2-4х²)/(х²+1)²=(2-2х²)/(х²+1)²

y₀'= (2-2)/(1+1)²= 0

Уравнение касательной имеет вид:

у= -1

2.24.

Уравнение касательной: .

y₀= -2(1+3)= -8

y'= -2/(3³√х²)-3/(√х)

y₀'= -2/3-3= -11/3

Уравнение касательной имеет вид:

у+8= -11/3*(х-1)

у= -11/3*х-13/3

2.25.

Уравнение касательной: .

y₀= (1+3)/(3+1)= 1

y'= (6х(3+х²)-2х(1+3х²))/(3+х²)²= 16х/(3+х²)²

y₀'= 16/(3+1)²= 1

Уравнение касательной имеет вид:

у-1= х-1

у=х

2.26.

Уравнение касательной: .

y₀= 14-15+2=1

y'= 7/√х-5/³√х²

y₀'= 7-5= 2

Уравнение касательной имеет вид:

у-1= 2(х-1)

у= 2х-1

2.27.

Уравнение касательной: .

y₀= 3-1= 2

y'= 3/(4⁴√х³)-1/(2√х)

y₀'= 3/4-1/2= 1/4

Уравнение касательной имеет вид:

у-2= 1/4*(х-1)

у= 1/4*х+7/4

2.28.

Уравнение касательной: .

y₀= (3-2)/3= 1/3

y'= 1-2х²

y₀'= 1-2= -1

Уравнение касательной имеет вид:

у-1/3= -х+1

у= -х+4/3

2.29.

Уравнение касательной: .

y₀= 4/10+3= 17/5

y'= 1/5*х

y₀'= 2/5

Уравнение касательной имеет вид:

у-17/5= 2/5*(х-2)

у=2/5*х+13/5

2.30.

Уравнение касательной: .

y₀= (16-8-3)/4= 5/4

y'= ½*х-1/2

y₀'= 4/2-1/2= 3/2

Уравнение касательной имеет вид:

у-5/4= 3/2*(х-4)

у= 3/2*х-19/4

2.31.

Уравнение касательной: .

y₀= 6-16/3= 2/3

y'= 2/³√х²-4/(3⁴√х³)

y₀'= 2-4/3= 2/3

Уравнение касательной имеет вид:

у-2/3= 2/3*(х-1)

у= 2/3*х