Задача 3. Найти дифференциал .

3.1.

dy= arcsin(1/x)dx-x/√(1-1/x²)* dx/x²+((1+x/√(x²-1))/(x+√(x²-1)))dx= arcsin(1/x)dx-dx/√(x²-1)+ ((x+√(x²-1))/ ((x+√(x²-1))√(x²-1)))dx= arcsin(1/x)dx-dx/√(x²-1)+ dx/√(x²-1)= arcsin(1/x)dx

3.2.

dy= dx/cos2(2arccos√(1-2x²))*(-2/√(1-√(1-2x²)))*(-2x/√(1-2x²))= 4xdx/ (cos2(2arccos√(1-2x²))*√ (1-2x²-√(1-2x²)))

3.3.

dy= dx/√(1+2x)-((1+1/√(2x+1))/(x+√(1+2x))))dx= dx/√(1+2x)-((√(2x+1)+1)/(√(2x+1)*(x+√(2x+1))))dx= ((x+√(2x+1)- √(2x+1)-1)/( √(2x+1)*(x+√(2x+1))))dx= ((x-1)/(x+√(2x+1)))dx

3.4.

dy=2xarctg√(x²-1)dx-x²dx/(1+x²-1)-xdx/√(x²-1)= 2xarctg√(x²-1)dx-dx-xdx/√(x²-1)

3.5.

dy= dx/√(1-1/(1+2x2))*4x/2√(1+2x²)³= 2xdx/√(2x²(1+2x²)³/(1+2x²))= 2xdx/((1+2x²)√( 2x²))= √2dx/(1+2x²)

3.6.

dy= ln│x+√(x²+3)│dx+xdx/(x+√(x²+3))*(1+x/√(x²+3))= ln│x+√(x²+3)│dx+ xdx/(x+√(x²+3))*(x+√(x²+3))/√(x²+3)= ln│x+√(x²+3)│dx+ xdx/√(x²+3)

3.7.

dy= (сhx/(1+sh²x)+сhxlnchx+sh²x/chx)dx

3.8.

dy= ((-1/√(1-(x²-1)²/2x⁴))*(2√2x³-2√2x³+2√2x)/2x⁴)dx= -2√2xdx/(√2x²√(x⁴+2x²-1))= 2dx/(x√(x⁴+2x²-1))

3.9.

dy=((-2cosxsinx-(4cos³xsinx)/(2√(1+cos⁴x)))/(cos²x+√(1+cos⁴x)))dx=

((-sin2x*√(1+cos⁴x)-sin2x*cos²x)/(cos²x*√(1+cos⁴x)+1+cos⁴x))dx

3.10.

dy=((1+x/√(1+x²))/(x+√(1+x²))-xarctgx/√(1+x²)- √(1+x²)/ (1+x²))dx=

(1/√(1+x²)-xarctgx/√(1+x²)-1/√(1+x²))dx= -xarctgxdx/√(1+x²)

3.11. .

dy=((1+x²-2x²lnx)/(x(1+x²))-(( 1+x²)/2x²)*((2x(1+x²)-2x³)/( 1+x²)²))dx=

((x+x³-2x³lnx)/(x(1+x²)²)-(( 1+x²)x)/(x²(1+x²)²))dx=

((x+x³-2x³lnx-x-x³)/(x(1+x²)²)dx= -2xlnxdx/(1+x²)²

3.12.

dy=((e^x+ e^2x/√( e^2x-1))/( e^x+√( e^2x-1))+e^x/√(1-e^2x))dx=

(e^x(e^x+√( e^2x-1))/((e^x+√( e^2x-1))√( e^2x-1))+ e^x/√(1-e^2x))dx=

(e^x/√(e^2x-1)+e^x/√(1-e^2x))dx

3.13.

dy=(√(4-x²)-2x²/(2√(4-x²))+a/(2√(1-x²)))dx=((4-3x²)/√(4-x²)+a/(2√(1-x²)))dx

3.14.

dy=(1/(2tg(x/2)cos²(x/2))-(sinx-xcosx)/sin²x)dx=(1/(1-cosx)-(sinx-xcosx)/((1-cosx)(1+cosx)))dx=((1+cosx-sinx+xcosx)/(1-cos²x))dx

3.15.

dy=(2+(cosx-2sinx)/(sinx+2cosx))dx

3.16.

dy=(-1/(2√(ctgx)sin²x)-2tg²x/(6√(tg³x)cos²x))dx=((-cos⁴x*√(tg³x)-sin⁴x*√(ctgx))/(4cos⁴x*sin²x*√(ctgx*tg³x)))dx=((-cos⁴x*√(tg³x)-sin⁴x*√(ctgx))/(4cos³x*sin³x))dx=((-cos⁴x*tg²x-sin⁴x)/(4cos³x*sin³x*√(tgx)))dx=((-cos²x*sin²x-sin⁴x)/(4cos³x*sin³x*√tgx))dx=((-cos²x-sin²x)/(4cos³x*sinx*√tgx))dx=((-√ctgx)/(4cos³x*sinx))dx

3.17.

dy=((x/(x+√(x²+1)))*((2x(1+x/√(x²+1)-2(x+√(x²+1))))/(4x²)))dx=((x/(x+√(x²+1)))*((x√(x²+1)+x²-x√(x²+1)-x²-1)/x²))dx=-dx/(x²+x√(x²+1))

3.18.

dy=(1/3*³√((x-2)/(x+2))²*(x-2-x-2)(x-2)²)dx=(-4/(3(x-2)²)*3√((x-2)/(x+2))²)dx

3.19.

dy=((2x²-x²+1)/(x²(1+(x²-1)²/x²)))dx=((x²(x²+1))/(x²(x²+(x²-1)²)))dx=((x²+1)/(x⁴-x²+1))dx

3.20.

dy=(2x/(x²-1)+2x/(x²-1)²)dx=((2x³-2x+2x)/(x²-1)²)dx=(2x³/(x²-1)²)dx

3.21.

dy=(1/((1+(tg(x/2)+1)²)*(2cos²(x/2))))dx=(1/((1+tg²(x/2)+2tg(x/2)+1)*(2cos²(x/2))))dx=(1/(2(1+2sin(x/2)*cos(x/2)+1)))dx=dx/(4+2sinx)

3.22.

dy=((2+(2x+1)/√(x²+x))/(2x+2√(x²+x)+1))dx=((2√(x²+x)+2x+1)/(√(x²+x)*(2x+2√(x²+x)+))dx=dx/√(x²+x)

3.23.

dy=((-sin√x)/(2√xcos√x)+(tg√x)/(2√x)+√x/(2√xcos²√x))dx=((-sin√x)/(2√xcos√x)+(sin√x)/(2√xcos√x)+1/(2cos²√x))dx=((1+tg²x)/2)dx

3.24.

dy=(e^x(cos2x+2sin2x)+e^x(-2sin2x+4cos2x))dx=e^x(cos2x+2sin2x-2sin2x+4cos2x)dx=5e^xcos2xdx

3.25.

dy=((sinlnx-coslnx)+x((coslnx)/x+(sinlnx)/x))dx=(sinlnx-coslnx+coslnx+sinlnx)dx=2sinlnxdx

3.26.

dy=((e^2√(x-1)/(2√(x-1)))*(1/√(x-1))+(√(x-1)-1/2)*e^2√(x-1)*1/√(x-1))dx=(e^2√(x-1)*(1/(2x-2)+1-1/(2√(x-1))))dx=(e^2√(x-1)*((2x-1-√(x-1))/2x-2))dx

3.27.

dy=(-sinxlntgx+(cosx/tgx)*1/cos²x-1/(2tg(x/2)*cos²(x/2)))dx=(-sinxlntgx+cos²x/sinx-(1+tg²(x/2))/2tg(x/2))dx

3.28.

dy=(x/√(3+x²)-ln│x+√(3+x²)│-(x(1+x/√(3+x²)))/(x+√(3+x²)))dx=(x/√(3+x²)-ln│x+√(3+x²)│-(x(√(3+x²)+x))/((x+√(3+x²))√(3+x²))dx=(x/√(3+x²)-ln│x+√(3+x²)│-x/√(3+x²))dx=-ln│x+√(3+x²)│dx

3.29.

dy=(1/2√x-arctg√x-(1+x)/((1+x)*2√x))dx=(1/2√x-arctg√x-1/2√x)dx=-arctg√xdx

3.30.

dy=(arctgx+x/(1+x²)-(2x/√(1+x²))*1/(2√(1+x²)))dx=(arctgx+x/(1+x²)-x/(1+x²))dx=arctgxdx

3.31.

dy=(√(x²-1)+x/√(x²-1)+(1+x/√(x²-1))/(x+√(x²-1)))dx=(√(x²-1)+x/√(x²-1)+(x+√(x²-1))/(√(x²-1)(x+√(x²-1))))dx=(√(x²-1)+x/√(x²-1)+1/√(x²-1))dx=((x²-1+x+1)/√(x²-1))dx=(x²+x)dx/√(x²-1)