Задача Аксиоматика векторного пространства
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-29Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
2. Применение векторов к решению геометрических задач
В ряде случаев при решении задач на вычисление применение векторов предпочтительнее конструктивных подходов, связанных с использованием дополнительных построений, применения элементарной алгебры и тригонометрии.
Чтобы успешно решать геометрические задачи посредством векторов, требуется не только знание законов векторной алгебры, знакомство с понятием разложения вектора в базисе , умение переводить геометрический факт на язык векторов, но и определенная методика при составлении плана решения. Отметим несколько важных положений.
1. Если требуется вычислить расстояние или угол, то надо применять скалярное умножение векторов.
2. При введение векторов можно идти двумя путями:
а) выбрать точку от которой откладывается известные векторы;
б) векторы изображать направленными отрезками, связанными с рассматриваемыми в задаче фигурами, не откладывая их от одной точки.
3. Если задача планиметрическая, то целесообразно выделить два неколлинеарных вектора в качестве базисных и остальные векторы выразить через них; если же задача стереометрическая, то в качестве базиса следует выбрать три некомпланарных вектора. При этом введение начальной точки необязательно.
4. В ряде случаев, например при решении задач на многогранные углы,
вычисления упрощаются, если ввести единичные векторы, отложенные от вершины многогранного угла.
Примеры задач, решаемых векторным методом.
Решение.
Пусть
Согласно условию
Вектор
Аналогично 
.
Угол между векторами находится по формуле:
но,
длины векторов
Таким образом
Тогда
Ответ:
Задача. На ребрах прямоугольного трехгранного угла с вершиной О отложены равные отрезки ОА, ОВ, ОС. Из точки О на плоскости ABC опущен перпендикуляр ОН. Доказать, что если точка Н1 симметрична точке Н относительно вершины О, то тетраэдр Н1 ABC правильный.
Решение:
Примем вершину О трехгранного угла за начало векторов. Тогда
Следовательно,
Найдем
Учитывая, что
Далее находим:
Это значит , что отрезки H1A и H1B равны и образуют угол 60°, т.е. треугольник H1AB правильный.
Аналогично устанавливается, что две другие грани H1BC и H1CA являются равносторонними треугольниками и вследствие этого тетраэдр правильный.
Задача. Доказать, что можно построить треугольник, стороны которого равны и параллельна медианам данного треугольника ABC.
Решение.
’, C
’. Выразим векторы, представляющие медианы треугольника ABC, через
Составим сумму сторон треугольника ABC
Но так как векторы
точка Е и F – середина рёбер АВ и CD соответственно. Доказать, что середины отрезков СЕ, DE, AF
и BF
являются вершинами параллелограмма.
Решение. Пусть К, L, М, N - середины отрезков СЕ, DE, AF и BF, соответственно. Доказать, что середины отрезков СЕ, DE, AF и BF являются вершинами параллелограмма.
Докажем равенство векторов
Ч. Т. Д.
Задача. Точки К, L, M на сторонах АС, ВС, АВ треугольника ABC таковы, что
Решение.
Обозначим через О точку пересечения отрезков MN и KL и через х отношение KO : KL. Тогда
Так как точка О лежит на прямой MN, то
Ответ: KO : OL = 2:3
1, DB
1, DC
1 – медианы граней BCD, ACD и ABD тетраэдра ABCD соответственно. Точки К, М, N делят отрезки DA
1, DB
1, DC
1 в отношении
Решение.
Пусть плоскость KMN пересекает ребра DA, DB и DC тетраэдра ABCD в точках Р, Q, R соответственно.
Точки А1, В1, С1 – середины отрезков ВС, АС, АВ соответственно. Следовательно,
Решив эту систему, (например, сложив (1) и (2), и вычтя (3) получим
Пусть
имеем
Таким образом,
Пусть теперь
Ответ:
Задача. Основанием пирамиды SABC является равносторонний треугольник ABC, длина стороны которого равна
Решение. Обозначим
Выберем в качестве базиса векторы
Тогда, из треугольника BCS:
Ответ:
