В.Б.Кирьянов
ЗАДАЧА РАВНОВЕСИЯ
Лекции по математическим методам микроэкономики
Кафедра высшей математики. С.ПбУЭФ, 1996
ЭКОНОМИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
Глава первая. ЗАДАЧИ РАВНОВЕСНОГО УПРАВЛЕНИЯ
. . . по самой своей природе математические методы

не могут прилагаться непосредственно к действительности,

а только к математическим моделям того или иного круга явлений.
Л.В.Канторович и А.Б.Горстко [      , c.6].
СОДЕРЖАНИЕ ПЕРВОЙ ГЛАВЫ

2

1.1. Задача затрат

            1. Классификация задач.

            2. Векторные обозначения.

            3. Табличное представление.

            4. Количественная часть задачи затрат.

7

1.2. Ценовая часть задачи затрат

            1. Оценивание изделий.

            2. Ценовые условия равновесия.

            3. Равновесные цены изделий.

            4. Правила двойственного соответствия.

            5. Транспонирование.

11

1.3. Задача выпуска

            1. Табличное представление.

            2. Количественная часть задачи выпуска.

            3. Ценовая часть задачи выпуска.

            4. Каноническая пара задач.

16

1.4. Задача равновесия

            Физическое содержание задачи равновесия.
1.5. История и литература

1.1. Задача затрат

            1.Классификация задач. Начнем изучение задачи равновесия с простых экономических примеров.

            Рассматривая массовое производство каких-нибудь обычных изделий, например - строительство жилых домов (производство автомобилей, компьютеров и т.п.),- мы увидим: всякое такое дело оказывается состоящим из двух взаимосвязанных производств: производства строительных материалов (автомобильных агрегатов, микросхем и проч.) и собственно строительства (сборочного производства). При этом, производство строительных материалов представляет собою процесс разложения сложного природного сырья в ряд простых изделий, например: круглого леса в доски стандартных размеров,- и наоборот: строительное производство есть процесс сборки из простых строительных материалов различных сложных построек. Для нас здесь важно то, что в развитом народном хозяйстве оба эти производства - и произвольный лесопильный завод, и какая-нибудь строительная артель - действуют на различных рынках: в нашем случае - на рынке пиломатериалов и на рынке строительных услуг,- и являются, вообще говоря,  независимыми друг от друга. В терминах народохозяйственной модели "затра­ты-выпуск" Леонтьева (см.1.5.1) задача разложения сырья является задачей затрат, а задача сборки изделий - задачей выпуска.

            Кроме того: всякий управляющий промышленным производством, независимо от того, действует ли он в перерабатывающей или сборочной областях промышленности,  участвует во внешней рыночной деятельности двояким образом:  и как потребитель, покупающий сырье для своего производства, и как производитель, продающий произведенные им изделия.  Покупка сырья составляет его расход, а продажа изделий - доход. По этой причине, задача разумного управления промышленным предприятием оказывается для него состоящей из двух задач: задачи минимизации расходов и, одновременно, - задачи максимизации доходов того же самого промышленного производства. Такая пара задач называется взаимно двойственной.

            В итоге, множество задач научного производственного управления образуется из задач четырех видов: из задачи разложения сырья и задачи сборки изделий, каждая из которых, в свою очередь, распадается в пару прямой и ей двойственной подзадач:





Их точной модельной постановке и посвящена первая глава наших лекций.




            2.Векторные обозначения.  И промышленное сырье, и изделия из него являются товарами, и как всякие товары описываются парой взаимосвязанных величин:  количеством q (от quantity) и ценой p (от price). Поэтому описание производства как преобразования сырья в изделия имеет дело с двумя их связанными парами: количествами и ценами сырья, и количествами и ценами изделий.  Для удобства различения этих величин те из них, которые относятся к сырьевым или первичным товарам, мы будем снабжать первым значком “1”, а относящиеся к производимым или вторичным товарам - значком “2”, например:  q ¹  и  p₁,  q ²  и  p₂ .

            При использовании m видов сырья для производства n видов изделий: m, n = 1, 2,
¼, как их количества, так и цены становятся многокомпонентными или векторными величинами. В матричном исчислении их представляют одностолбцовыми или однострочными матрицами, различение которых связано с несимметричностью закона матричного умножения по правилу “строка на столбец”. Нам будет удобно первые значки количественным векторам приписывать сверху и их составляющие  q ¹₁ , ¼, q ¹_m  и  q ²₁ , ¼, q ²_n  в матричном представлении записывать в виде одностолбцовых   m
´ 1  и  n
´ 1  матриц соответственно:





а те же первые значки ценовым векторам мы будем приписывать снизу:  p₁ и p₂ , и их составляющие p₁ ¹ , ¼, p₁ ^m  и p₂ ¹ , ¼, p₂ ⁿ  записывать в виде однострочных  1
´ т  и 1
´ n  матриц:

р₁ = ( p₁ ¹  ¼  p₁ ^m ) ;     р₂ = ( p₂ ¹  ¼  p₂ ⁿ).
            Имеющие одни и те же пространственные размерности количественный и ценовый векторы одного и того же наборов товаров мы будем называть взаимно-двойст­венными векторами. Они обладают тем свойством, что их матричное произведение по правилу “строка на столбец”, например:





дает одноклеточную  1
´ 1  матрицу или “скаляр” (число)  á p₁ , q ¹ ñ - сумму покомпонентных произведений перемножаемых векторов, называемую их скалярным произведением или, коротко, сверткой этих векторов.

            На протяжении всех наших лекций сторочные латинские буквы с двумя значками будут обозначать одномерные величины или числа, те же буквы с одним значком - соответствующие векторы, а буквы без значков - матрицы или операторы. Причем всегда нижний значок матричных составляющих будет нумеровать строки, а верхний - столбцы.



            3.Табличное представление. Задача затрат представляет собою задачу переработки m взаимозаменяемых видов “сложного” сырья в n видов “простых” изделий. В линейном случае ее технология задается n
´ m таблицей неотрицательных чисел  a₁ ¹, ¼, a_n ^m :

a_l  ^k [количество l-изделий / на единицу k-сырья] ³ 0 ;


l = 1,
¼ , n;  k = 1,
¼ , m;   m, n = 1, 2,
¼  ,
составляющих матрицу выпуска  a. В целом, вместе с двумя парами векторов  q ¹ и  p₁ , и  q ² и  p₂  всех своих товаров, задача затрат описывается m
´n+2(m+n) величинами и естественно представляется в следующем табличном виде:





            Всякое производство, будь то разложение сырья или сборка изделий, является преобразованием сырья в изделия как в отношении их количеств, так и цен:





- и поэтому из 2m+2n его количественных и ценовых величин одна их половина предопределяет другую. Так, в задаче затрат нам задается рыночный спрос на выпускаемые изделия (план их производства) в виде неотрицательного вектора спроса изделий q₂  с  n  составляющими:

 q ²_l [количество. l-изделий] ³ 0;  l = 1,
¼ , n,
а дополнительный ему вектор  q ¹ спроса на потребляемое сырье подлежит определению в условиях заданных цен - неотрицательного вектора закупочных цен сырья p₁  с  m  составляющими

p₁ ^k [рубли / за единицу k-сырья]
³ 0;  k = 1,
¼ , m.
            Заданные постоянные задачи называются, также, ее параметрами, а искомые неизвестные - переменными. Для отличения параметров задачи от ее переменных мы будем снабжать параметры дополнительным значком - ноликом “   ^° “ сверху.




            4.Количественная часть задачи затрат. Предложение изделий.  В прямой части задачи затрат относительно заданных цен  p₁ на потребляемое сырье ищется наименее расходное значение его вектора спроса q ¹ . По этой причине прямая часть задачи производственного управления называется, также, ее количественной частью.

            Выпуская  a_l ^k единиц l-изделий из каждой затрачиваемой единицы k-сырья, из  q ¹₁ ,
¼ , q ¹_m  единиц сырья всех m видов изготовляют  q ²₁ ,
¼ , q ²_n :
q ²₁ =  a ₁ ¹ q ¹₁  +
¼ +  a ₁ ^m q ¹_m   ;

¼

q ²_n =  a _n ¹ q ¹₁  +
¼ +  a _n ^m q ¹_m   ,


единиц изделий каждого вида. Количества предлагаемых изделий каждого вида представляются линейными функциями  q ²_l =  q ²_l (q ¹):
q ²_l =  q ²_l (q ¹) =  á a _l , q ¹ ñ ;   l = 1,
¼ , n ,
количеств затрачиваемого сырья в виде скалярных произведений  áa _l , q ¹ñ  m-мерного столбцового вектора  q ¹  затрат сырья с m-мерными строчными векторами  a₁ ,
¼ , a _n  матрицы затрат a:

a₁ =  ( a₁ ¹ 
¼   a ₁ ^m ) ,


¼

a_n =  ( a_n ¹ 
¼   a _n ^m )



- векторами выпуска изделий каждого вида из всего ассортимента потребляемого сырья.

            В обычных матричных обозначениях набор линейных функций  q ²_l =  q ²_l (q ¹)  образует n-мерный столбцовый вектор предложения изделий q ². Матричное представление полученных балансовых соотношений:




описывает осуществляемый m
´n матрицей выпуска a линейное преобразование  m  количеств потребляемого сырья всех видов в  n  количества производимых из него изделий.




            5.Множество допустимых планов.  Допустимыми являются такие закупки сырья  q ¹, при которых предложение производимых из него изделий  q ²  удовлетворяет заданному на них спросу  q ²:





            Полученные ограничения:
a ₁ ¹ q ¹₁  +
¼ +  a ₁ ^m q ¹_m  
³  q ²₁ ;

¼

a _n ¹ q ¹₁  +
¼ +  a _n ^m q ¹_m   
³  q ²_n ,
являются прямыми или количественными необходимыми условиями равновесия. Их решения называются множеством допустимых планов задачи.

            Как мы увидим позднее (см.     ), множество решений полученной системы неравенств, вообще говоря, неоднозначно, допуская любое неотрицательное перепроизводство изделий  Dq ² :

Dq ² º q ²
-  q ²
³ 0 .
            6.Равновесное потребление сырья. Издержки данного производства, то есть сто­имость приобретаемых по заданным закупочным ценам  p₁ ¹ ,
¼ , p₁^m  потребных количеств q ¹₁ ,
¼ , q ¹_m  всех видов сырья, образует их линейную функцию  L(q ¹):
L(q ¹) =  p₁ ¹ q ¹₁ +
¼ +  p₁^m  q ¹_m  =  á p₁ ,  q ¹ñ ,
называемую функцией стоимости, а также целевой функцией рассматриваемой задачи. Количественная часть задачи равновесного управления состоит в отыскании на области допустимых планов закупок сырья план закупок q ¹  наименьшей стоимости L(q ¹):





            Минимизирующее функцию стоимости задачи допустимое значение искомого вектора  q ¹ называется его равновесным значением или, еще, оптимальным планом задачи, а полученная задача - задачей равновесного (или, что то же самое - оптимального) производственного управления. В общем случае требование минимизации стоимости обеспечивает единственность ее решения.

	q 11  ¼  q 1m
p2 1 ¼ p2 n	a1 1  ¼  a1 m ¼  ¼   ¼ an1  ¼  an m	q 21 ¼ q 2n
	p11  ¼  p1 m

b 1 =

a1 1 ¼ an 1

; . . . ,  b m =

a1 m ¼ an m

p1 =  ( p1 1 ¼ p1 1)	a1 1  ¼  a1 m ¼  ¼  ¼ an1  ¼  an m	= p 2 a,

p1 =  p2  a £  p1 .

p2 :   á p2 , q 2ñ =  max á p2 , q 2ñ p2                ½  p2 a £  p1

.

	q 1
p2	a	q 2	,
	p1

а t =	a1 1  ¼  a1 m ¼  ¼  ¼ an1  ¼  an m	t   º	a1 1  ¼  an 1 ¼  ¼  ¼ a1 m  ¼  an m	.

(q 1) t =	q 11 ¼ q 1m	t = ( q 11  ¼   q 1m)    и   (p1) t =  ( p1 1  ¼   p1 m) t =	p1 1 ¼ p1 m	.

	q 21  ¼  q 2n
p1 1 ¼ p1 m	c1 1  ¼  c1 n ¼  ¼  ¼ cm1  ¼  cm n	q 11 ¼ q 1m
	p21  ¼  p2 n

q 2 :   á p2 , q 2ñ =  max á p2 , q 2ñ q 2                ½ c  q 2 £  q 1

.

d 1 º

c1 1 ¼ cm 1

, ¼ , d n º

c1 n ¼ cm n

,

p1 :   á p1 , q 1ñ º  min á p1 , q 1ñ p1              ½  p1 c ³  p2   .

	q 1			q 1 :   min  á p1 , q 1ñ     при  a q 1 ³  q 2 ,
p2	a	q 2	:
	p1			p2 :   max  á p2 , q 2ñ     при  p2 a £  p1 .

1.4. Задача равновесия

            Физическое содержание задачи равновесия. В трехмерном случае: m, n
£ 3, наша задача имеет простое физическое истолкование. Во внешнем силовом поле постоянной во времени и пространстве напряженности  p₁  скалярная линейная функция координат L(q ¹):

L(q ¹) = áp₁ , q ¹ñ ,
является потенциальной энергией  находящегося в точке q ¹ пробного тела единичной массы (заряда). Все налагаемые на перемещения пробного тела дополнительные ограничения называются в механике связями. Ограничения нашей задачи
q ¹:    a q ¹
³  q ²
задают в пространстве ее переменной  q ¹ выпуклую многогранную область допустимых перемещений. В итоге, каноническая задача оптимального производственного управления:
 q ¹:  min á p₁ , q ¹ñ   при  a q ¹
³  q ²  - ?
- физически представляет собою задачу вычисления в ограниченной области простран­ства координат q ¹ точки наименьшей потенциальной энергии L(q ¹) пробного тела единичной массы в постоянном внешнем силовом поле p₁ .

            Точка наименьшей потенциальной энергии называется точкой статического равновесия и задача ее определения - задачей статического равновесия. По этой причине линейную задачу оптимального производственного планирования мы будем называть так, как об этом заявлено в названии, а именно - линейной задачей статического равновесия.

            Особенностью линейных задач является независимость их свойств от геометричеких размерностей их величин. Это обстоятельство используется для распространения трехмерной терминологии на линейные задачи равновесия любой пространственной размерности.

            Возьмем в качестве пробного тела идеальный маленький шарик (то есть шарик, с диаметром, меньшим длины самого короткого ребра допустимой области, без трения покоя перекатывающийся между всеми ее угловыми точками) и поместим его в образуемую системой ограничений выпуклую многогранную область. Основные свойства задачи равновесия становятся физически очевидными свойствами его поведения в этих условиях.

            Так, условие невыкатывания шарика из области ограничений под действием приложенной к нему внешней силы является признаком существования решения задачи равновесия. Геометрически он состоит в условии принадлежности вектора силы  p₁  выпуклой оболочке коэффициентных векторов всех ограничений.

            Точка равновесия, если она существует, располагается на границе области допустимых перемещений и, более того, - в одной из угловых точек границы.

            Выпуклая области имеет выпуклую границу и наоборот. Физически, это обстоятельство равносильно условию свободного перемещения шарика по границе в поисках точки своего равновесия. Способ последовательного приближения к точке равновесия посредством движения по ребрам граничной поверхности называется "симплекс-мето­дом" решения задачи линейного программировани. Задача оптимизации заданной фун­кции на заданной поверхности называется в механике задачей управления.

            Грани точки равновесия называются равновесными гранями.  В точке равновесия со стороны каждой равновесной грани на шарик действует сила реакции опоры, направленная прямоугольно этой грани вдоль вектора ее нормали. Признак равновесия выражает собою содержание третьего закона Ньютона, по которому в точке равновесия вес пробного тела уравновешивается суммой сил реакций опор. Равновесные цены выпускаемых изделий являются коэффициентами  p₂  этого разложения.

            Если некоторая грань является равновесной, то она проходит на нулевом расстоянии от точки равновесия и, потому, с ее стороны на шарик действует ненулевая сила реакции опоры; если же грань неравновесна, то она располагается на строго положительном расстоянии от точки равновесия и, потому, сила реакции с ее стороны равняется нулю. В теории задачи равновесия эта пара свойств получила название дополняющей нежесткости.

            Отсутствие вырождения в виде прямоугольности вектора напряженности силового поля одной из равновесных граней служит признаком единственности решения задачи равновесия. При непрерывных значениях параметров точная пропорциональность координат вектора p₁ и какого-то вектора a_l нормали грани невероятна и может быть лишь следствием округления численных значений их координат. Такое вырождение задачи называется случайным и легко снимается малыми изменениями или “шевелением” параметров. Отношения, сохраняющиеся при шевелении их параметров, называются случаем общего положения или, по-просту, - общим случаем.
Основная литература
            1. Л.В.Канторович. Экономический расчет наилучшего использования ресурсов. М., 1960

            2. Дж.Данциг. Линейное программирование, его применения и обобщения. М., “Прогресс”, 1966

            3. Д.Б.Юдин и Е.Г.Гольштейн. Линейное программирование: теория, методы и приложения. М., “Наука”,1969

            4. М.Интрилигатор. Математическкие методы оптимизации и экономическая теория. М., “Прогресс”, 1975