МИНИСТЕРСТВО  ВЫСШЕГО  И  ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО

ОБРАЗОВАНИЯ  РОССИЙСКОЙ  ФЕДЕРАЦИИ

Тульский  Государственный Университет
Лабораторная работа

по предмету

Методы вычислений
Выполнила студентка группы   550471B

Асеева А. П.

Проверил преподаватель:

А. В. Иванов

Тула-2009

Вариант 2



Математический анализ

> restart;

> Задача 1.   Вычислить конечные суммы.


sum(k^2+3*k+4,k=1..n);



> Задача 2.   Вычислить суммы ряда.


sum(9/(9*k^2+3*k-20),k=1..infinity);



> Задача 3.   Вычислить производную y'.


y:=(2*x^2-x-1)/(3*(sqrt(2+4*x)));

simplify(diff(y,x));





> Задача 4.   Вычислить предел.


limit((x^4-1)/(2*x^4-x^2-1),x=infinity);



> Задача 5.   Вычислить неопределенный интеграл.


int((x+cos(x))/(x^2+2*sin(x)),x);



> Задача 6.   Вычислить определенный интеграл.


int(1/(x*sqrt(x^2-1)),x=sqrt(2)..2);



> Задача 7.   Вычислить кратный интеграл.


> Int
(
Int
(
Int
((
x
^2+
y
^2)*
z
,
x
=0..3*
a
),
y
=0..2*
a
),
z
=0..
a
);



> value(%);



> Задача 8.   Разложить функцию в степенной ряд.


series(2*x^2-x+1,x,10);


Задача 9. Нахождение локальных экстремумов.

> y
:=2*
x
^2-
x
+1;



> minimize(y,location);



> maximize(y,location);



Дифференциальные уравнения и задачи линейного программирования

> restart;

> Задача 1. Найти решение дифференциального уравнения первого порядка


A:=diff(y(x),x)=(2*x+2*x*y(x)^2)/(x^2*y(x)-2*y(x));

dsolve(A);





> Задача 2. Найти решение дифференциального уравнения первого порядка


A:=diff(y(x),x)=(x+3*y(x)+4)/(3*x-6);

dsolve(A);





> Задача 3. Найти решение дифференциального уравнения второго порядка


A:=diff(y(x),x$2)=-2*sin(x)-2*diff(y(x),x)-5*y(x);

dsolve(A);





> Задача 4. Решить задачу линейного программирования с помощью пакета simplex.


with(simplex):

f:=0.5*x[1]+2*x[2];

u1:=x[1]+x[2]<=6;

u2:=x[1]-x[2]<=1;

u3:=0.5*x[1]-x[2]>=-4;

u4:=2*x[1]+x[2]>=6;

u5:=x[1]>=1;

u6:=x[2]>=1;

maximize(f,{u1,u2,u3,u4,u5,u6},NONNEGATIVE);

















> Задача 5. Решить задачу линейного программирования с помощью пакета simplex.

f:=x[1]+x[2]+x[3]+x[4];

u1:=x[1]+x[2]>=0;

u2:=x[1]+x[2]-x[3]+x[4]>=1;

u4:=x[1]>=1;

u5:=x[1]<=2;

u3:=x[2]+x[3]>=1;

minimize(f,{u1,u2,u3,u4,u5},NONNEGATIVE);
















Задачи на исследование функций

> restart;

> Задача 1.   Для функции y=f(x)

1) Найти её экстремумы, построить график.

y:=2*x^2-x^4:

extrema(y,{},x,'s');s;

plot(y,x=-10..10);





 

> Задача 2.   Для функции z=f(x,y)

1)построить её график.

plot3d(x^3+y^3-3*x*y,x=-10..10,y=-10..10);



> Задача 3.   Для функции z=f(x,y)

1) Найти её экстремумы, построить график.

z
:=x^3+y^3-3*y*x:

extrema(z,{},{x,y},'s');s;

plot3d(z,x=-10..10,y=-10..10);







Линейная

алгебра


> with
(
linalg
);

Задача 1.

Записать матрицу А и её транспонированную АТ.

> restart;

> with(linalg):

> A:=matrix([[2,-4,-3,0],[5,-1,1,3],[0,2,-2,1]]);

Запись матрицы А.



> AT
:=
transpose
(
A
);

Транспонированная матрица А.



> B
:=
matrix
([[2,1,-1,5],[0,4,1,-3],[-2,-1,-4,2]]);

Задача 2.  Сложить матрицы А и В.

Задание матрицы В.



> C
:=
evalm
(
A
+
B
);

Сложение  матриц А и В.



> BT
:=
transpose
(
B
);

Транспонированная матрица В.

Задача 3.  Умножить матрицу А на:

1) матрицу ВТ справа.

2) матрицу Вт слева.

3) вектор-столбец а1.

4) вектор-строку а2.



> evalm
(
BT
&*
A
);

Умножение матрицы А на транспонированную матрицу В справа.



> evalm
(
A
&*
BT
);

Умножение матрицы А на транспонированную матрицу В справа.



> a
1:=
matrix
(4,1,[2,-4,-2,1]);

Задание вектор-столбца а1.



> a
2:=
matrix
(1,3,[1,5,2]);

Задание вектор-строки а2.



> evalm
(
A
&*
a
1);

Умножение матрица А на вектор-столбец.



> evalm
(
a
2&*
A
);

Умножение вектор-строки на матрицу А.



> restart
;

Задача 4.
Для квадратной матрицы А:

1) проверить её симметричность.

2) вычислить её определитель.

3) умножить её на число d=-3.
1) Квадратная матрица называется симметричной матрицей,если ее элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны между собой, т.е.  ai,j=aj,i для всех i, j. В наешм случае матрица не симметричная.

> with(linalg):

> A:=matrix([[3,5,-1],[0,4,-5],[-1,4,-1]]);

Задание матрицы А.



> b:=matrix(3,1,[-1,4,-1]);



> det
(
A
);

2) Вычисление определителя матрицы.



> evalm
(-3*
A
);

Умножение на число.



Задача 5. Для квадратной матрицы А:

Найти обратную матрицу

> A
1:=
inverse
(
A
);



> evalm
(
A
&*
A
1);

Проверка равенства А*А1=Е, А1*А=Е.



> evalm(A1&*A);



> gausselim
(
A
);

Применили алгоритм гауссова исключения или гауссово преобразование.



> ffgausselim
(
A
);

Алгоритм гауссова исключения без деления. Для работы с символьными матрицами последняя команда предпочтительнее, поскольку исключает деление на ноль.



Задача 6. Решить систему линейных уравнений Ax=b.

1) с помощью правила Крамера.

2) с помощью обратной матрицы.

3) с помощью команды linsolve. 
3) Команда linsolve
(
A
,
B
) находит вектор (матрицу) X  который удовлетворяет уравнению A X = B.

> linsolve(A, b);



> A1:=inverse(A);



> X
:=
evalm
(
A
1&*
b
);

2) Решение с помощью обратной матрицы



1) С помощью правила Крамера:

A1:=concat(b,delcols(A,1..1));



> A2:=concat(concat(delcols(A,2..3),b),delcols(A,1..2));



> A3:=concat(delcols(A,3..3),b);



> x1:=det(A1)/det(A);



> x2:=det(A2)/det(A);



> x3:=det(A3)/det(A);


> restart
;

> with
(
linalg
):




Задача 7. Для системы АХ=0:

1) Найти ранг матрицы А.

> A:=matrix(3,4,[3,2,5,2,4,6,1,2,-1,-2,-3,0]);



> b:=matrix(3,1,[0,0,0]);



> rank(A);



2) Найти решение системы:

x
:=
linsolve
(
A
,
b
);



3) Найти базис  в пространстве решений системы, ортогонализовать его, ортонормировать.

V:=vector(4,[-10,7/2,-1,9]);


> normalize(V);

Задача 8.
   Для системы АХ=В

1) Найти ранг матрицы А.

A:=matrix(3,4,[3,2,5,2,4,6,1,2,-1,-2,-3,0]);



> b:=matrix(3,1,[-2,-4,-4]);



> rank(A);



2) Найти ранг расширенной матрицы А.

rank(concat(A,b));



3) Найти решение системы.

linsolve
(
A
,
b
);



Задача 9. Для системы АХ=В:

1) Найти ранг матрицы А.

A
:=
matrix
(3,3,[3,5,-1,0,4,5,2,0,1]);



> b:=matrix(3,1,[-1,4,-1]);



> rank(A);



2) Найти ранг расширенной матрицы

rank
(
concat
(
A
,
b
));



3) Найти число обусловленности матрицы А.

X:=vector([x,y,z]);



> g:=evalm(transpose(X)&*X);



> F:=evalm(X&*A);



> f:=evalm(transpose(F)&*F);



> Max[A]:=simplify(maximize(f/g));

Error, (in maximize) invalid input: minimize/continuous expects its 2nd argument, yFP, to be of type {name, list(name)}, but received _t[1][1] = -infinity
> Min[A]:=simplify(minimize(f/g));

Error, (in minimize/cell/function/multidependence/univariate) invalid input: minimize/continuous expects its 2nd argument, yFP, to be of type {name, list(name)}, but received _t[1][1] = -infinity
> mu:=simplify(sqrt(Max[A]/Min[A]));



Задача 10. Для системы АХ=В

1) найти ранг матрицы А

2) найти ранг расширенной матрицы А

3) записать нормальную систему

4) найти решение нормальной системы

5) найти псевдорешение исходной системы

A:=matrix(3,4,[1,3,5,-1,2,-1,-3,4,5,1,-1,7]);



> b:=matrix(3,1,[-2,-2,4]);



> rank(A);



> rank(concat(A,b));



> X:=matrix(4,1,[x1,x2,x3,x4]);



> evalm(transpose(A)&*A&*X)=evalm(transpose(A)&*b);



> F:=linsolve(evalm(transpose(A)&*A),evalm(transpose(A)&*b));


> K:=evalm(transpose(F)&*F);


> minimize(K,location);



> R:=linsolve(A,b);



> C:=-infinity;



> R:=matrix(4,1,[-5*C,C,7/2*C,5/2*C]);


Задача
11.   Для матрицы :

> restart;

> with(linalg):

> A:=matrix(3,3,[11,2,-8,2,2,10,-8,10,5]);



1) написать характеристический многочлен,

 charpoly
(
A
,
x
);



2) найти собственные значения,

 eigenvals
(
A
);



3) найти собственные значения и собственные векторы,

eigenvects(A);



4) из собственных векторов, размещая их в качестве столбцов, составить матрицу

 T:=matrix(3,3,[2,-2,1/2,2,1,-1,1,2,1]);



5) вычислить матрицу , убедиться, что получится диагональная матрица , диагональ которой составлена из собственных значений,

 d:=simplify(evalm(inverse(T)&*A&*T));



6) привести  к диагональному виду при помощи команды Jordan

jordan(A);



7) вычислить матрицы  и ,

 edt
:=
exponential
(
d
,
t
);



> eAt:=simplify(exponential(A,t));



8)  вычислить матрицу  , убедиться, что она совпадает с матрицей

 simplify(evalm(T&*edt&*inverse(T)));



9)  вычислить матрицу , убедиться, что она совпадает с матрицей .

 simplify(evalm(inverse(T)&*eAt&*T));


Задача 12.   Для матрицы :

1) найти ее собственные векторы и собственные значения,

 

eigenvects(A);



2) найти ее Жорданову форму  и матрицу перехода

B:=jordan(A,'T');

print(T);





3) проверить равенство .
 simplify(evalm(inverse(T)&*A&*T));



Задача 13.   Для симметричной матрицы :


with(linalg):

> A:=matrix(3,3,[2,1,2,3,2,0,1,0,2]);



> X:=vector(3,[x,y,z]);



1)  записать квадратичную форму  

evalm(transpose(X)&*A&*X);



2)  найти собственные значения и собственные векторы

eigenvects
(
A
);



3) ортогонализовать и нормировать собственные векторы и из них составить матрицу перехода ,

v1:=vector(3,[0, -2, 1]);



> v2:=vector(3,[1/3*5^(1/2),1,1/3]);



> v3:=vector(3,[-1/3*5^(1/2),1,1/3]);



> simplify(GramSchmidt({v3,v2,v1}));



> T:=matrix(3,3,[0,-1/3*5^(1/2),1/3*5^(1/2),-2,1/3,1/3,1,2/3,2/3]);

 

4) вычислить матрицу

B:=simplify(evalm(inverse(T)&*A&*T));



5) записать квадратичную форму ,

> Y:=matrix(3,1,[x,y,z]);



> simplify(evalm(transpose(Y)&*B&*Y));



6) проверить положительную и отрицательную определенность матрицы .

> definite(A,'positive_def');



> definite(A,'negative_def');



З
адача 14.   Для двух подпространств  и

1)       найти базис их суммы, ортогонализовать его,

a1:=vector(4,[0,2,-1,1]);

a2:=vector(4,[-3,2,1,3]);

a3:=vector(4,[-1,2,-3,0]);

b1:=vector(4,[0,-2,0,3]);

b2:=vector(4,[1,0,1,-2]);

b3:=vector(4,[3,1,2,-4]);













> sumbazis(a1,a2,a3,b1,b2,b3);