Введение.

Изгиб - вид деформации, характеризующийся искривлением (изменением кривизны) оси или срединной поверхности деформируемого объекта (бруса, балки, плиты, оболочки и др.) под действием внешних сил или температуры. Изгиб связан с возникновением в поперечных сечениях бруса изгибающих моментов. Если из шести внутренних силовых факторов в сечении бруса отличным от нуля является только один изгибающий момент, изгиб называется чистым:



Если в поперечных сечениях бруса кроме изгибающего момента действует также поперечная сила – изгиб называется поперечным:



В инженерной практике рассматривается также особый случай изгиба— продольный И. (рис. 1, в), характеризующийся выпучиванием стержня под действием продольных сжимающих сил. Одновременное действие сил, направленных по оси стержня и перпендикулярно к ней, вызывает продольно-поперечный изгиб (рис. 1, г).



Рис. 1. Изгиб бруса: а — чистый: б — поперечный; в — продольный; г — продольно-поперечный.

Брус, работающий на изгиб, называется балкой. Изгиб называется плоским, если ось балки после деформации остается плоской линией. Плоскость расположения изогнутой оси балки называется плоскостью изгиба. Плоскость действия нагрузочных сил называется силовой плоскостью. Если силовая плоскость совпадает с одной из главных плоскостей инерции поперечного сечения, изгиб называется прямым. (В противном случае имеет место косой изгиб). Главная плоскость инерции поперечного сечения - это плоскость, образованная одной из главных осей поперечного сечения с продольной осью бруса. При плоском прямом изгибе плоскость изгиба и силовая плоскость совпадают.

Задача о кручении и изгибе бруса (задача Сен-Венана) имеет большой практический интерес. Приложение теории  изгиба, установленной Навье, составляет обширный отдел строительной механики и имеет громадное практическое значение, так как оно служит основанием для расчета размеров и поверки прочности разнообразных частей сооружений: балок, мостов, элементов машин и пр.
ГЛАВА I

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 1. основные уравнения

Вначале дадим общую сводку основных уравнений для задач рав­новесия упругого тела, которые составляют содержание раздела тео­рии упругости, называемого обычно статикой упругого тела.

Деформированное состояние тела вполне определяется тензором поля деформации  или полем перемещений  Компоненты тензора деформации  связаны с перемещениями  дифференциальными зависимостями Коши :

                                                                     (1)     

Компоненты тензора деформации должны удовлетворять дифферен­циальным зависимостям Сен-Венана:

                    (2)

 

которые являются необходимыми и достаточными условиями интег­рируемости уравнений (1).

Напряженное состояние тела определяется тензором поля напря­жений Шесть независимых компонент симметричного тензора () должны удовлетворять трем дифференциальным уравне­ниям равновесия:

                                                                           (3)                        

Компоненты тензора напряжений  и перемещения  связаны шестью уравнениями закона Гука:

                        (4)              

где




некоторых случаях уравнения закона Гука приходится исполь­зовать в виде формулы

                         ,                          (5)

где


Уравнения (1)—(5) являются основными уравнениями стати­ческих задач теории упругости. Иногда уравнения (1) и (2) называют геометрическими уравнениями, уравнения (3) — статиче­скими уравнениями, а уравнения (4) или (5) — физическими урав­нениями. К основным уравнениям, определяющим состояние линейно-упруго­го тела в его внутренних точках объема , необходимо присоединить условия на его поверхности  Эти условия называются граничными условиями. Они определяются либо заданными внешними поверхност­ными силами  либо заданными перемещениями  точек поверх­ности тела. В первом случае граничные условия выражаются равен­ством :

                                                                         (6)

где — компоненты вектора t поверхностной силы,  — компо­ненты единичного вектора п, направленного по внешней нормали к поверхности  в рассматриваемой ее точке.

Во втором случае граничные условия выражаются равенством

                                                                          (7)

где  — заданные на поверхности функции.

Граничные условия могут также иметь смешанный характер, когда на одной части  поверхности тела заданы внешние поверхностные си­лы а на другой части  поверхности тела заданы перемещения:

                                                                               (8)


Возможны и иного рода граничные условия. Например, на некото­ром участке поверхности тела заданы только некоторые компоненту вектора перемещения и, кроме того, также не все компоненты  вектора поверхностной силы.
§ 2. основные задачи статики упругого тела
В зависимости от вида граничных условий различают три типа ос­новных статических задач теории упругости.

Основная задача первого типа состоит в опре­делении компонент тензора поля напряжений  внутри области , занятой телом, и компонент  вектора перемещения точек внутри области  и точек поверхности  тела по заданным массовым силам  и поверхностным силам

Искомые девять функций должны удовлетворять основным уравне­ниям (3) и (4), а также граничным условиям (6).

Основная задача второго типа состоит в опреде­лении перемещений  точек внутри области  и компонент тензо­ра поля напряжений  по заданным массовым силам  и по за­данным перемещениям  на поверхности тела.

Искомые функции  и  должны удовлетворять основным уравнениям (3) и (4) и граничным условиям (7).

Заметим, что граничные условия (7) отражают требование о непре­рывности определяемых функций  на границе  тела, т. е. когда внутренняя точка  стремится к некоторой точке поверхности , функция  должна стремиться к заданному значению  в данной точке поверхности.

Основная задача третьего типа или смешан­ная задача состоит в том, что по заданным поверхностным си­лам  на одной части поверхности тела  и по заданным переме­щениям  на другой части поверхности тела  а также, вообще говоря, по заданным массовым силам  требуется определить компо­ненты тензора напряжений  и перемещения , удовлетво­ряющие основным уравнениям (3) и (4) при выполнении смешан­ных граничных условий (8).

Получив решение данной задачи, можно определить, в частности, усилия связей на , которые должны быть приложены в точках по­верхности , чтобы реализовать заданные перемещения  на этой поверхности, а также можно вычислить перемещения то­чек поверхности .
§ 3. прямая и обратная задачи теории упругости
Различают две постановки задач теории упругости: прямую и обратную. Прямая задача состоит в решении одной из основных задач указанных трех типов (см. § 2), т. е. в определении девяти функций  и  определяющих напряженно-деформированное сос­тояние тела в зависимости от внешнего воздействия на него.

Решение прямой задачи часто сопряжено с большими математи­ческими трудностями.

Обратная задача состоит в том, что, задавшись либо пе­ремещениями  как непрерывными функциями  либо компонентами тензора напряжений, т. е. шестью функциями определяют из основных уравнений (1)—(4) и соответ­ствующих граничных условий все остальные функции, а также внешние силы, осуществляющие заданные перемещения  или заданные функ­ции

Решение обратной задачи значительно проще, чем решение прямой задачи. Особенно просто решается обратная задача, если задаться перемещениями . При заданных непрерывных функциях  дифференциальные зависимости Сен—Венана тождественно удовлетворяются и, следовательно, в этом случае они не используют­ся. Решение этой обратной задачи выполняется в следующем порядке: на основании формулы закона Гука (4) определяются компоненты тен­зора напряжений , соответствующие принятым функциям  а из уравнений равновесия (3) и граничных условий (6) определяются внешние силы, при которых осуществляются заданные перемещения.

Если задаваться компонентами тензора напряжений , то решение обратной задачи будет несколько сложнее. В этом случае перемещения   находятся интегрированием уравнений (1), что возможно, если компоненты тензора деформации , которые определяются формулой (5) закона Гука по принятым функциям ,, будут удовлетворять дифференциальным зависимостям Сен-Венана (2). Следовательно, компонентами тензора напряжений , надо задаваться так, чтобы выполнялись условия совместности (2). Это обстоятельство и осложняет решение данной обратной задачи. Но решение и этой обратной задачи для односвязной области проще, чем решение прямой задачи.
§ 4. полуобратный метод сен-венана
Решение прямой задачи как в перемещениях, так и в напряжениях требует интегрирования довольно сложной системы дифференциаль­ных уравнений в частных производных и, как правило, сопряжено со значительными математическими трудностями. Поэтому при реше­нии прямой задачи часто используют приближенные методы, например метод сеток, прямые методы вариационных задач (методы Ритца, Буб­нова—Галеркина, Канторовича и др.), а также получивший за пос­леднее время широкое применение метод конечных элементов. В неко­торых же случаях решение можно эффективно получить с помощью так называемого полуобратного метода Сен-Венана.

Сущность полуобратного метода Сен-Венана состоит в том, что при решении конкретной задачи, например, в напряжениях задаются из соображений физического характера задачи некоторыми компонен­тами тензора напряжений и затем определяют остальные компоненты ,,из уравнений равновесия (3) при выполнении условий сов­местности Бельтрами—Мичелла:

                             (9)

или (когда массовые силы  постоянны или в частности равны 0)

                                                                (10)                       

и граничных условий (6).

Может случиться, что сделанные предположения о значениях не­которых компонент тензора напряжений будут противоречить или уравнениям равновесия, или граничным условиям, или условиям совместности Бельтрами—Мичелла. В этих случаях следует сделать иные предположения о значениях части компонент , исходя, например, из известных решений аналогичных задач. В этом смысле полуобратный метод Сен-Венана не является совершенным. Однако когда сделанные предположения о значениях некоторых компонент тензора напряжений или для некоторых компонент вектора перемещения, если задача решается в перемещениях, не противоречат всем основным уравнениям граничной задачи, то полученное решение полуобратным методом является точным и на основании теоремы о единственности однозначным.

Сен-Венан в 1855 применил полуобратный метод при решении за­дачи об упругом равновесии призматического бруса произвольного по­перечного сечения, находящегося под действием поверхностной наг­рузки на его торцах. Эта задача, представляющая большой прак­тический интерес (кручение и изгиб призматического бруса), назы­вается задачей Сен - Венана.




ГЛАВА II

Изгиб прямых брусьев
§ 1. постановка задачи и  основные уравнения
Имеем брус постоянного поперечного сечения, ограниченного про­извольным контуром  (рис. 2):



Рис. 2

Начало координат совместим с цент­ром тяжести закрепленного левого торца бруса, направив по его оси координатную ось а оси  и  — по главным осям поперечного се­чения так, чтобы система осей  была правая. Длину бруса обоз­начим через .

Рассмотрим изгиб бруса силой , направленной параллельно оси   к которой приводятся поверхностные силы  на незакрепленном правом торце (. Предполагается, что массовые силы , а боковая поверхность бруса свободна от сил .

Задачу будем решать в напряжениях полуобратным методом Сен-Венана, т. е. сделав определенные предположения относительно значе­ний некоторых компонент тензора напряжений. Допустим, что

                              (11),

где  -  момент инерции поперечного сечения относительно оси .

Остальные две искомые компоненты тензора напряжений  и  должны удовлетворять уравнениям равновесия (3), условиям сов­местности Бельтрами (10) и граничным условиям (6).

Уравнения равновесия (3) с учетом предположений (11) примут вид:

                                    (12)

                                   (13)

Из уравнений (12) вытекает, что компоненты  и  не зависят от координаты  и, следовательно, во всех поперечных сечениях каж­дая из них является одной и той же функцией только и. Эти функ­ции  и  должны удовлетворять уравнению равно­весия (13) и условиям совместности Бельтрами. При принятых зна­чениях (11) для других компонент тензора напряжений первые четыре уравнения (10) удовлетворяются тождественно, а остальные два при­водятся к виду

                                                       (14)

Обратимся теперь к граничным условиям (6). Для боковой поверх­ности бруса, свободной от внешних сил  первые два условия удовлет­воряются тождественно, поскольку  , а третье принимает вид:

                                                                  (15)

Так как (рис.1):



то условие (15) на контуре  сечения приводится к следующему:

                           ^{=0                            (16)}

Итак, решение поставленной задачи сводится к нахождению функ­ций  и  , подчиняющихся уравнению равновесия (13), условиям совместности (14) и условию (16) на контуре  по­перечного сечения.

Для всех точек торцов бруса (   поэтому граничные условия (6) на торцах запишем так:

,                       (17)

т. е. напряжения  и  на поперечных сечениях бруса должны рас­пределяться так же, как и соответствующие поверхностные силы и  на его торцах.

Легко обнаружить, что уравнение равновесия (13) удовлетворяет­ся при условиях

          (18)

Где  — функция напряжений;  — введенная С. П. Ти­мошенко произвольная функция только координаты

Подставив выражения (18) для  и  в граничное условие (16), получим



т.е граничное условия для функции

                                                      (19)

Принимая выражения (18), условия совместности (14) приводим к следующим уравнениям:

                               (20)


Согласно второму уравнению (20),  не зависит от оэтому интегрирование первого уравнения (20) по дает:

                                              (21)


    

где С — постоянная интегрирования.

Покажем, что постоянная  имеет простой механический смысл. Производная по угла поворота  произвольной элементарной пло­щадки в плоскости поперечного сечения вокруг оси на основании






и

                            

 равна

                                     

Заменяя в последнем равенстве и их значениями по форму­лам закона Гука

  

 

 

и учитывая равенства (18), получаем:

             (22)


Подстановка значения  из уравнения (22) в (21) приводит к равенству:

                                                                      (23)

Из этого равенства следует, что угол поворота на единицу длины бруса состоит из двух относительных углов поворота элементар­ной площадки. Один из них линейно зависит от координаты элемен­тарной площадки и является результатом искажения поперечного се­чения в его плоскости при изгибе бруса (см. рис.3);


Рис. 3

другой — по­стоянный, на который поворачиваются все элементарные площадки поперечного сечения, т. е. так же, как и при кручении бруса. Напри­мер, для элементарных площадок поперечного сечения в окрестностях точек оси  на основании равенства (23) имеем:

 

                                                                 (24)

т. е. указанные элементарные площадки, как и поперечное сечение в целом, получают относительный угол поворота, с которым по­стоянная  связана равенством (24).

Подставим полученное выражение для  в уравнение (21):

                                         (25)                               

Таким образом, поперечный изгиб бруса силой , приложенной в направлении главной центральной оси его поперечного сечения, мо­жет сопровождаться кручением бруса. Однако путем параллельного переноса линии действия силы кручение бруса можно устранять.

Тогда постоянная  будет равна нулю и основное уравнение (21) примет вид:

                                                     (26)

Уравнение (26) и граничное условие (19) определяют функцию напряжений , когда указанным приемом кручение бруса устранено.

Произвольную функцию  можно выбрать таким образом, что­бы правая часть уравнения (8.9) обращалась в нуль. При этом функция  на контуре  поперечного сечения будет постоянной величиной, ко­торую можно принять равной нулю. В этом случае задача изгиба бруса будет аналогична задаче определения прогиба равномерно натянутой мембраны на жесткий контур, совпадающий с контуром поперечного сечения бруса, и испытывающей непрерывную нагрузку, определяе­мую правой частью уравнения (26).
§ 2. центр изгиба
Как уже было отмечено, поперечный изгиб бруса может сопровож­даться кручением. Это происходит, как правило, тогда, когда главная центральная ось поперечного сечения, с которой совпадает линия дей­ствия изгибающей силы , не является осью симметрии сечения. Воз­никающее в этом случае кручение мож­но устранить путем приложения изгиба­ющей силы  по линии, параллельной главной центральной оси и проходящей через определенную точку в плоскости поперечного сечения, называемую цент­ром изгиба. Центром изгиба называется точка, относительно которой сумма моментов всех касательных сил  возникающих при поперечном  изгибе,    равна нулю. Очевидно,  что для  определения положения центра изгиба не­обходимо предварительно решить задачу изгиба, т. е. определить функции  и   Обозначим координаты центра изгиба через  (рис. 4).



Рис.4

Тогда по определению имеем:

                                      (27)

или

                                                                        (28)

Здесь M – момент сил  и относительно начала координат :

                                                     (29)   
и  – поперечные силы в направлении осейи :
                                                                             (30)

                                                                               (31)

Если брус изгибается только силой , параллельной главной цен­тральной оси то  равенство (28) принимает вид:

                                                                                       (32)
Учитывая выражения (18) для и  формуле (29) можно при­дать   вид

          

Первый интеграл в последнем равенстве преобразуем с учетом:



Тогда в случае односвязного (сплошного) поперечного сечения имеем:

                          (33)

Формулы (32) и (33) позволяют определить координату цент­ра изгиба, когда брус изгибается силой , линия действия которой параллельна главной плоскости .

Центр изгиба всегда расположен на оси симметрии сечения. Если сечение имеет две оси симметрии, то центр изгиба совпадает с точкой их пересечения, т. е. с центром тяжести сечения.
ГЛАВА III

Частные случаи задачи об изгибе бруса

§ 2. ЦЕНТР ИЗГИБА ДЛЯ БРУСА С ПОЛУКРУГЛЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ

Предполагается, что изгибающая сила  приложена в центре изгиба (рис. 6) в направлении, перпендикулярном к оси симметрии сечения, и, следовательно, брус не скручивается.



Рис. 6

Чтобы иметь наиболее простую запись уравнения контура сечения, начало координат О совместим не с центром тяжести сечения, а с центром полуокружности контура. Тогда уравнение (26) запишется так:
                                                     (52)

где— координата   центра тяжестипоперечного се­чения. Примем:

                                                                         (53)

тогда граничное условие (19) для функции напряжений Ф на полу­окружности  контура сечения приводится к виду

                                                                                   (54)

Постоянное значение функции на полуокружности АВК можно принять равным нулю:

                                                                              (55)

На прямолинейном участке  контура сечения , поэтому согласно граничному условию (19) функция  на участке  должна удовлетворять также и условию (54), а с учетом непрерывности функции   принимаем

                                                                                     (56)

Подставим выражение (53) для функции  в уравнение (52):


                                                                      (57)


где

                                    (58)

На основании мембранной аналогии правая часть уравнения (57) пропорциональна нагрузке на мембрану, равномерно натянутую на жесткий полукруглый контур. Это обстоятельство позволяет заклю­чить, что функция напряжений  должна быть четной относительно координаты , поэтому будем искать ее в следующем виде:

                                                                                                    (59)
Ссылаясь на (57), убеждаемся, что

(

поэтому подстановка выражения (59) для функции  в уравнение (57) дает
Отсюда находим, что при постоянных:

                                           (60)

выражение (59) для функ­ции  удовлетворяет урав­нению (57). Обратимся к граничным условиям для функции Ф. Очевидно, что на прямо­линейном участке кон­тура () условие (56) выполняется только при нечетных значе­ниях

Следовательно, выраже­ние (59) на полуокружно­сти  контура (принимает вид:

,

а чтобы удовлетворялось условие (55),  необходимо

                               (61)

Для определения коэффициентов ряда равенства (61) умножим последнее на и проинтегрируем в пределах от  .


Учитывая,   что



и



Находим

                                                                          (62)

Тогда выражение (59) для функции напряжений  принимает

вид:


*                        (63)
Определим координату центра изгиба. Для этого предвари­тельно вычислим момент  по формуле (33), которая c учетом выра­жения (63) приводится к виду:



Поскольку , то

 

 


 


Тогда

                                              (64)

И на основании равенства (32) находим координату

                  (65)

Ряд в последнем равенстве сходится весьма быстро. Ограничиваясь первыми   четырьмя   членами   ряда,   находим

              (66)          
При получим  и расстояние между центром изгиба   и центром тяжести поперечного сечения  будет