Задача

Задача Численное решение задачи Заремба

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-29

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 29.3.2025





Введение

Под краевыми задачами понимают задачи, в которых требуется найти функцию или систему функций, удовлетворяющих в заданной области некоторому дифференциальному уравнению или системе дифференциальных уравнений, а на границе области - заданным условиям. Такие краевые задачи, когда задана область, в которой отыскивается функция, удовлетворяющая внутри области заданному дифференциальному уравнению и заданным условиям на границе области, позднее стали называть прямыми краевыми задачами. Эти задачи проникли в математику в конце XVIII века (Л. Эйлер, П. Лаплас), однако теория их продолжает развиваться. В данной работе рассмотрена одна из краевых задач, сформулированная польским математеком С. Зарембой.


1 Задача Заремба


1.1 Постановка задачи

Общая постановка задачи Заремба определена следующим образом: определить функцию и, удовлетворяющую уравнению Лапласа в некоторой области D, если на одной части (S) границы этой области заданы значения самой функции, а на остальной части (S') границы заданы значения её производной по нормали, т.е.:

                      (1)

           (2)

       (3)

1.2 Сущность аналитического решения

Возможно сведение поставленной задачи к интегральному уравнению первого рода, ядром которого будет функция Грина, однако это не приведёт к какому-либо результату. Т.к. в общем случае невозможно решить как полученное уравнение, так и выяснить будет ли  оно разрешимым (Пикар установил критерий разрешимости такого уравнения, но в данном случае неизвестно, применим ли этот критерий).

Суть аналитического решиния задачи состоит в предварительном решении некоторой смешанной задачи, очень близкой к поставленной выше: определить ньютонов потенциал v простого слоя, несомого данной поверхностью, зная плотность этого простого слоя на одной части поверхности и зная, что на остальной части поверхности этот потенциал равен нулю.
После решения указанной задачи решение основной задачи легко сведётся к уравнению Фредгольма второго рода, исследование которого выполняется значительно легче, однако все равно представляет собой нетривиальную и не всегда разрешимую задачу.


2. Частный случай задачи. Численное решение

2.1 Описание частного случая задачи Заремба

Рассмотрим задачу Заремба для случая, когда область D ограничена двумя вложенными окружностями. Не умаляя общности, предположим, что центр внутренней окружности совпадает с началом координат. Тогда обозначим внешнюю окружность как S, а внутреннюю как S'.



Рисунок 1 – Общий вид области D

2.2 Разностное решения задачи

Построим численное решение задачи Заремба в поставленных условиях.

Рассмотрим вышеописанную задачу в полярных координатах :



Уравнение Лапласа в полярных координатах:

                             (1')

Краевые условия:

                                  (2')

       (3')

Рассмотрим сетку  на области D с шагом  по  и  по . Запишем разностную схему на данной сетки. Назовем узел регулярным, если все соседние с ним узлы (в пределах одного шага по  или по ) лежат внутри области D. Нерегулярными назовем узлы, для которых не выполняется определенное выше условие, т.е. такие, для которых найдется хотя бы один соседний узел, который не попадает в область D. Также рассмотрим множество граничных «узлов», т.е. точек пересечения границы области D сеткой.



Рисунок 2 – пример сетки


Аппроксимация оператора Лапласа для регулярных узлов:

,

,



Для нерегулярных узлов запишем аналогичные уравнения на неравномерной сетке, с учетом известных значений функции и производной.

Пример:



Рисунок 3 – пример нерегулярного шаблона

Предположим, что , а , тогда:





Тогда, согласно (1'):



В регулярных узлах:






            (4)



   (5)





Подбные соображения справедливы и для

.

Выше указанные суждения можно применить и для нерегулярных узлов, учтя следующий факт:




Заключение

В работе рассмотрена задача Заремба – смешанная краевая задача для уравнения Лапласа и изучен метод ее аналитического решения.

Описан частный случай задачи, и для данного случая составлена разностная схема, позволяющая найти решение указанной задачи.


Приложение А

 (справочное)

Библиографический список

1.             Заремба С. Об одной смешанной задаче, относящейся к уравнению Лапласа. УМН, вып. 1:3-4(13-14) , 1946 г., стр. 125–146

2.             Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы: Учеб. пособие для вузов.—М.: Наука, 1989.

3.             Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.



1. Реферат Дизайн как искусство 20 века
2. Реферат Расчёт и построение механических характеристик двигателя постоянного тока с независимым возбу
3. Реферат Механические колебания
4. Реферат Конъюнктуры мирового рынка товаров
5. Контрольная работа по Стратегическому маркетингу
6. Реферат на тему Классификация товаров на примере обуви
7. Курсовая на тему Система государственного регулирования оплаты труда в Республике Беларусь на материалах РУП Гомельэнерго
8. Курсовая Качество продукции и пути его повышения. Стандартизация и сертификация и их роль в повышении кач
9. Реферат на тему Характеристика отруйних речовин за дією на організм людини
10. Реферат на тему The Prince Essay Research Paper Niccolo Machiavelli