Задача Численное решение задачи Заремба
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-29Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
Введение
Под краевыми задачами понимают задачи, в которых требуется найти функцию или систему функций, удовлетворяющих в заданной области некоторому дифференциальному уравнению или системе дифференциальных уравнений, а на границе области - заданным условиям. Такие краевые задачи, когда задана область, в которой отыскивается функция, удовлетворяющая внутри области заданному дифференциальному уравнению и заданным условиям на границе области, позднее стали называть прямыми краевыми задачами. Эти задачи проникли в математику в конце XVIII века (Л. Эйлер, П. Лаплас), однако теория их продолжает развиваться. В данной работе рассмотрена одна из краевых задач, сформулированная польским математеком С. Зарембой.
1 Задача Заремба
1.1 Постановка задачи
Общая постановка задачи Заремба определена следующим образом: определить функцию и, удовлетворяющую уравнению Лапласа в некоторой области D, если на одной части (S) границы этой области заданы значения самой функции, а на остальной части (S') границы заданы значения её производной по нормали, т.е.:
1.2 Сущность аналитического решения
Возможно сведение поставленной задачи к интегральному уравнению первого рода, ядром которого будет функция Грина, однако это не приведёт к какому-либо результату. Т.к. в общем случае невозможно решить как полученное уравнение, так и выяснить будет ли оно разрешимым (Пикар установил критерий разрешимости такого уравнения, но в данном случае неизвестно, применим ли этот критерий).
Суть аналитического решиния задачи состоит в предварительном решении некоторой смешанной задачи, очень близкой к поставленной выше: определить ньютонов потенциал v простого слоя, несомого данной поверхностью, зная плотность этого простого слоя на одной части поверхности и зная, что на остальной части поверхности этот потенциал равен нулю.
После решения указанной задачи решение основной задачи легко сведётся к уравнению Фредгольма второго рода, исследование которого выполняется значительно легче, однако все равно представляет собой нетривиальную и не всегда разрешимую задачу.
2. Частный случай задачи. Численное решение
2.1 Описание частного случая задачи Заремба
Рассмотрим задачу Заремба для случая, когда область D ограничена двумя вложенными окружностями. Не умаляя общности, предположим, что центр внутренней окружности совпадает с началом координат. Тогда обозначим внешнюю окружность как S, а внутреннюю как S'.
Рисунок 1 – Общий вид области D
2.2 Разностное решения задачи
Построим численное решение задачи Заремба в поставленных условиях.
Рассмотрим вышеописанную задачу в полярных координатах
Уравнение Лапласа в полярных координатах:
Краевые условия:
Рассмотрим сетку
Рисунок 2 – пример сетки
Аппроксимация оператора Лапласа для регулярных узлов:
Для нерегулярных узлов запишем аналогичные уравнения на неравномерной сетке, с учетом известных значений функции и производной.
Пример:
Рисунок 3 – пример нерегулярного шаблона
Предположим, что
Тогда, согласно (1'):
В регулярных узлах:
Подбные соображения справедливы и для
Выше указанные суждения можно применить и для нерегулярных узлов, учтя следующий факт:
Заключение
В работе рассмотрена задача Заремба – смешанная краевая задача для уравнения Лапласа и изучен метод ее аналитического решения.
Описан частный случай задачи, и для данного случая составлена разностная схема, позволяющая найти решение указанной задачи.
Приложение А
(справочное)
Библиографический список
1. Заремба С. Об одной смешанной задаче, относящейся к уравнению Лапласа. УМН, вып. 1:3-4(13-14) ,
2. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы: Учеб. пособие для вузов.—М.: Наука, 1989.
3. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.
