Терема Ферма. Бесконечный спуск для нечётных показателей n.
Получены другие формулы для решений уравнения Пифагора x^2+y^2=z^2, отличные от формул древних индусов, и делающие возможным доказательство для всех нечётных  значений показателя  n  тем же способом бесконечного спуска Ферма, что и для  n=4.
Ферма (потом Эйлер) доказывали эту теорему для частного случая n = 4 способом бесконечного спуска с помощью формул древних индусов:   x= a - b ,    y=2ab,    z= a + b .
Другие формулы:   x =  + b,  y =  + a,   z =  + a + b        (1).
В (1) a и b любые взаимно простые положительные целые числа, одно из них – чётное, другое – нечётное. Пусть a – чётное, b – нечётное:   a=2c , b=d , откуда =2cd.
После подстановки значений a и b в (1) получим:
X = d(2c+d);   Y= 2c(c+d);   Z= 2c(c+d)+ d                                  (2),
где  c и d  любые целые положительные числа;  c,d  и их суммы  взаимно просты;
X,Y,Z – взаимно простые тройки решений уравнения Пифагора. Если определены и целы c и d, то определены и целы все три числа X,Y,Z.
Предположим, что уравнение  Ферма  x + y = z  имеет тройку целых положительных решений x,y,z при нечётном целом положительном значении показателя n, n>2. Запишем это уравнение следующим образом:
                                           (x ) + (y ) = (z )                         (4).
Так как рассматривается  возможность существования целых решений  уравнений  Ферма  и (4) , то должно выполняться  следующее условие:
           x = X;   y = Y;   z = Z;      где   X,Y,Z  из (2)              (5).
Чтобы числа x,y,z были целыми, из всех трёх чисел X,Y,Z должны извлекаться целочисленные корни степени n  (n – нечётное положительное целое число):
x = = ( ) ;   y = = ( ) ;   z = .
Для упрощения достаточно рассмотреть два целых числа  и  ( n – нечётное ):
 = =   и   = = .
Подкоренные выражения содержат сомножители не имеющие общих делителей, кроме 1, поэтому каждый сомножитель должен являться целым числом в степени n:
d = g ; 2 c = h , следовательно,    = ;  = .
Так как x,  – целые,  x – по условию, а  – из-за нечётн. n, то g + h = k , где  k – целое.
Тройка решений  g,h,k  удовлетворяет уравнению Ферма, но все три числа меньше числа  x первой тройки решений, потому что наибольшее число k из g,h,k  меньше , так как =g ,  а  <x,  так как  x=( ) . Число k заведомо меньше числа  z.
Повторим те же рассуждения для второй тройки решений  g,h,k, начиная с (4): 
 (g ) + (h ) = (k ) ; g = =( ) ;  h = =( ) ;  k = .
 = =   и   = = .
d = p ; 2 c = q , следовательно,    = ;   = .
p + q = r , где  r – целое число. Все три числа  p,q,r  меньше числа   из второй тройки решений и r<k. Таким же образом получается 4-я тройка решений, 5-я  и т.д. до .
При данных конечных целых положительных числах x,y,z не может существовать бес-конечной последовательности уменьшающихся целых положительных троек решений. Ряд натуральных чисел конечен. Отсюда целых положительных троек решений для целых положительных нечётных (и всех простых) значений показателя n (n>2) не существует.     
       Для чётных n=2m не кратных 4: (x ) +(y ) =(z ) , m – нечётное. Если нет целых троек решений для показателя m, то их нет и для 2m (это показал Эйлер). Для n=4 и n=4k (k=1,2,3…)  уже доказано, что целых положительных троек решений не существует.
А. Ф. Горбатов