Формулы, возможно неизвестные, для решений уравнения Пифагора
Выведены формулы (возможно ранее неизвестные, в широко доступной литературе не встречаются) для решений уравнения Пифагора x^2 + y^2 = z^2. Формулы отличаются от общеизвестных формул древних индусов и вавилонян. Формулы древних индусов:
x= a – b ,  y=2ab,  z= a + b ,  a > b.  
Вывод других формул
Известно, что уравнение         x  + y  = z                            (1)
имеет целые решения, например, общеизвестные тройки чисел Пифагора. Таких решений, доказал ещё Евклид, имеется бесконечное множество. Тройку целых положительных чисел x,y,z не имеющих общих делителей, назовём оригинальным решением уравнения (1). Далее оригинальные решения будут обозначаться большими буквами X,Y,Z. Пусть далее везде  x < y < z.
Так как x, y и z числа целые, то существуют целые положительные числа a и b, такие, что x = z – a и y = z – b, где b < a, так как по условию x < y. Тогда уравнение (1) запишется следующим образом:   ( z - a) + (z - b)  = z    (2).
После возведения в степень и группирования из (2) получится следующее уравнение:
z – 2 (a + b ) z + ( a + b ) = 0                                     (3).
В результате решения уравнения (3) относительно z получим:
                      z =  + a + b;  x =  + b;  y =  + a;                (4).
Корень  не может быть отрицательным в результате решения уравнения (3), потому что по условию не может быть отрицательным или равным нулю ни одно из чисел x,y.
Все три числа целого решения содержат корень , который определяет такие решения и должен быть целочисленным. Кроме того, для получения оригинальных решений числа a и b должны быть взаимно просты, т.е. не иметь общих делителей отличных от 1.
Число  является целым в следующих случаях:
  - случай 1: a=2c , b=d , =2cd; после подстановки значений a и b в (4) получим:
                     X=d(2c+d); Y=2c(c+d); Z=2c(c+d)+ d ;        (5),
здесь a>b, a – чётное число, b – нечётное, следовательно, X,Z – нечётные, Y – чётное;
  - случай 2: a=c , b=2d , =2cd; после подстановки значений a и b в (4) получим:
                         X=2d (c+d); Y=c(c+2d); Z=c(c+2d)+ 2d (6),
здесь a>b, a – нечётное число, b – чётное, следовательно, X – чётное, а Y и Z – нечётные;
примечание: в случаях 1 и 2 числа c и d целые и взаимно простые, потому что таковыми являются a и b. Если определены и целы c и d, то определены и целы все числа X,Y,Z.
Следствия
Общие формулы (4 6) для решений уравнения (1) доказывают бесконечность множества троек целых решений и могут быть использованы для получения целых решений, не имеющих общих делителей. При этом должно всегда быть a>b, а также a и b должны быть взаимно просты. Так как число b меньшее из последних двух, то удобно обозначать ряды решений по его значению, например, если b=1, то ряд решений P1 (Пифагор).
Ряд P1: b= d =1 , a=2c , =2c , где c=1,2,3,…
Подставляя d и c в (5) получим неограниченный ряд оригинальных целых решений X, Y, Z:
     X = 2c+1;  Y = 2c(c+1);  Z = 2c(c+1)+1.
Первые решения этого ряда: 3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 9,40,41; 11,60,61; 13,84,85; 15,112,113; 17,144,145; 19,180,181; 21,220,221; 23,264,265; 25,312,313; 27,364,365; 29,420,421; …   
Ряд P2: b=2d = , a=c , =2c , где c=3,5,7,…
Последовательность c начинается с 3, потому что a > b, и нечётна, чтобы не было общих делителей с b. После подстановки d=1 и c в (6):
X = 2(c+1);  Y = c(c+2);  Z = c(c+2)+2.
Первые решения этого ряда: 8,15,17; 12,35,37; 16,63,65; 20,99,101; 24,143,145; 28,195,197; 32,255,257; 36,323,325; 40,399,401; 44,483,485; 48,575,577; 52,675,677; 56,783,785;…
Ряд P8: b=2d = , a=c , =4c , где c=3,5,7,…
                            X = 4(c+2);  Y = c(c+4);  Z = c(c+4)+8. 
20,21,29; 28,45,53; 36,77,85; 44,117,125; 52,165,173; 60,221,229; 68,285,293; 76,357,365; 84,437,445; 92,525,533; 100,621,629; 108,725,733; 116,837,845; 124,957,965; …
Ряд P9: b= d =3 , a=2c , =6c . где  c mod 3 0, c=4,5,7,8,10,11,…
33,56,65; 39,80,89; 51,140,149; 57,176,185; 69,260,269; 75,308,317; 87,416,425; 93,476,485; 105,608,617; 111,680,689; 123,836,845; 129,920,929; 141,1100,1109; 147,1196,1205; и т.д.
Диофант в своей «Арифметике» рассматривал особую группу троек целых решений уравнения (1), так называемые «хромые» треугольники, катеты которых, т.е. X и Y, отличаются на 1.
Для случая 1 условие существования таких решений:  d = 2c – 1.
Ряд D1: 3, 4, 5;  119, 120, 169; 4059, 4060, 5741;  137903, 137904, 195025;  4684659, 4684660, 6625109;  159140519, 159140520, 225058681;  5406093003, 5406093004, 7645370045;  183648021599, 183648021600, 259717522849; …
Для случая 2 условие существования таких решений: 2d = c – 1.
Ряд D2: 20,21,29;  696 ,697, 985;  23660, 23661, 33461;  803760, 803761, 1136689; 27304196, 27304197, 38613965; 927538920, 927538921, 1311738121;
31509019100, 31509019101, 44560482149;
1070379110496, 1070379110497, 1513744654945; …
Первый и наименьший такой треугольник – 3,4,5, для которого c=d=1 (случай 1). С помощью простых формул, исходя из него, могут быть вычислены сколько угодно много других «хромых» треугольников (m=1,2,3,…):
d = c + d ;    c = 2d  + 1;    X,Y,Z рассчитываются по (6);
c = c + d ;   d = 2c  – 1;  X,Y,Z рассчитываются по (5).
Например, вычислить 1-й треугольник ряда D2:
d = c + d  = 1 + 1 = 2;  c = 2d  + 1 = + 1 = 9;  c  = 3.
 X = 2d (c+d ) = 2*2(3+2) = 20;   Y = c(c+2d ) = 3(3+2*2 ) = 21;
 Z = c(c+2d )+ 2d = 3(3+2*2)+2*2 = 29.
Следующим является треугольник 2 ряда D1:
 c = c + d  = 3 + 2 = 5;  d = 2c  – 1 = 2*25 – 1 = 49;  d  = 7.
X = d(2c+d) = 7(2*5+7) = 119;   Y = 2c(c+d) = 2*5(5+7) = 120;
Z = 2c(c+d) + d = 2*5(5+7)+7 = 169.
Формулы (4) могут быть использованы для доказательства большой теоремы Ферма, методом бесконечного спуска, для всех нечётных (в т.ч. всех простых > 2) значений показателя степени n.