Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана С.В. Никитин, Омский государственный университет, кафедра математического анализа 1. Введение В 1973 г. Костант в своей работе [1] показал, что если G компактная группа и

ее алгебра Ли, то для элемента X из подалгебры Картана

алгебры

выполнено равенство
где

- ортогональная проекция (относительно формы Киллинга);

- группа Вейля алгебры

,

означает выпуклую оболочку множества A.
Теорема Костанта о выпуклости является обобщением более ранних результатов Шура и Хорна. В 1923 г. Шур доказал, что диагональ

эрмитовой матрицы A=(aij) порядка n с собственными числами

содержится в выпуклой оболочке множества

, где Sn - симметрическая группа, действующая на

перестановками координат. Затем Хорн показал, что каждая точка этой выпуклой оболочки может быть получена таким способом.
Таким образом, проекция орбиты

- это выпуклый многогранник с вершинами в точках

. В 1982 г. Guillemin и Stenberg [2], а также Atiyah [3] дали интерпретацию теоремы Костанта как теоремы о выпуклости отображения моментов. Следующий естественный шаг - нахождение проекции инвариантной меры с орбиты на подалгебру Картана. Существует формула Duistermaat-Heckman'а [4, 5] для преобразования Лапласа проекции инвариантной меры, по которой она может быть восстановлена, но представляет интерес и прямая геометрическая конструкция для нахождения проекции инвариантной меры, которая предложена в этой статье.
2. Предварительные сведения Пусть

- конечномерная вещественная простая компактная алгебра Ли,

- ее подалгебра Картана. Группа Ли G алгебры

действует на

с помощью коприсоединенного представления

:

, где

,

. Определим орбиту элемента

:
На каждой орбите

существует единственная с точностью до пропорциональности инвариантная мера

, т.е. такая, что для любой непрерывной функции

и для любого
Пусть

ортогональная проекция. Определим проекцию меры

на

- это мера

, задаваемая соотношением:
где

- финитная непрерывная функция на

. Мера

абсолютно непрерывна и

, где

- плотность проекции меры

. Нахождению плотности

и посвящена эта статья.
Введем некоторые обозначения:

- система корней алгебры

,

- множество положительных корней,

- их полусумма. Пусть

- решетка весов алгебры

, кроме того, пусть

обозначает множество

, где

- камера Вейля.

представляет собой множество всех старших весов

. Каждому неприводимому представлению группы G соответствует единственный старший вес

. Если

- характер этого представления, то формула Кириллова утверждает, что
где
Интеграл в правой части формулы Кириллова можно понимать как обратное преобразование Фурье от функции

:
Таким образом, формулу Кириллова можно переписать в следующем виде:
или
Пусть

неприводимое представление

. Обозначим множество весов

как

. Если

, то

обозначает кратность веса

в представлении

. Известно, что
Поэтому, применяя преобразование Фурье к обеим частям равенства, получаем:
где

- дельта-функция в точке

. Найдя функцию

, мы получим выражение для функции

:
или
Точное выражение для функции

в дальнейшем не требуется, нам достаточно знать, что это положительная, финитная, кусочно-непрерывная функция.
3. Функция
В этом разделе мы определим функцию

, через которую выражается функция

, а также укажем некоторые ее свойства.
В дальнейшем мы будем использовать следующие обозначения: d - ранг алгебры, т.е. размерность подалгебры Картана

, s - число положительных корней, r - разность s-d, которая строго больше нуля для всех алгебр Ли (кроме алгебры A1). Для того чтобы определить

, мы рассмотрим систему положительных корней

как проекцию набора из s попарно ортогональных векторов. Остановимся на этом более подробно.
Пусть

, где

- векторное пространство, порожденное

, т.е. линейная оболочка множества

,

. Рассмотрим некоторое векторное пространство L, в которое

вложено как подпространство векторов, имеющих ненулевыми первые d координат. Имеется естественная ортогональная проекция

. Нетрудно проверить, что если выбрать подходящую (достаточно большую) размерность пространства L, то в L можно найти набор из s векторов

таких, что (ei,ej)=0, если

и, кроме того,

. Пространство V - линейная оболочка векторов

, которые образуют в нем ортогональный базис. Введем следующее обозначение:
V+ - это конус в пространстве V, порожденный векторами

. Определим на

функцию

следующим образом:

где mes - мера Лебега на

.
Замечание.
В случае алгебры Ли A1 множество

0-мерно. В этом случае можно считать, что функция

имеет следующий вид:
Функция

определена всюду в

, непрерывна, кусочно-полиномиальна и определяется алгеброй

с точностью до пропорциональности, т.е. при выборе другого базиса

функция

лишь умножается на константу.
Можно рассматривать функцию

как непрерывное продолжение дискретной функции Костанта. Функция Костанта

, где

- решетка корней алгебры;

- это число способов представить

в виде суммы положительных корней, Q(0)=1. Пусть

- решетка в V. Тогда

равно числу элементов в множестве

, а

- это мера или объем

. Для примера функция Костанта

и функция

для алгебры Ли A2 связаны следующим образом:

,

. Формула Костанта для кратностей весов в неприводимом представлении со старшим весом

такова:
4. Основной результат Теорема.
Пусть

. Тогда проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления, проходящей через точку

, имеет плотность

:
Кроме того, функция

является непрерывной, кусочно-полиномиальной, инвариантной относительно действия группы Вейля

функцией, носитель которой содержится в множестве

.
НАБРОСОК ДОКАЗАТЕЛЬСТВА. Докажем равенство (*) для

. Сечение

орбиты

, проходящее через точку

, имеет размерность r, поэтому

. Таким образом, мы получаем:
Для вычисления

используется формула Костанта для кратностей весов. Если

, то
Затем обе части равенства умножаются на непрерывную финитную функцию

, интегрируются по

и, наконец, n устремляется к бесконечности (при этом сумма в правой части рассматривается как интегральная сумма). После некоторых преобразований получается следующее равенство:
Так как это верно для любой непрерывной функции

, то получаем (*) для всех

После этого, используя однородность функции

, (*), доказывается для всех

,

, где

,

, а затем, используя предельный переход, и для всех

. Непрерывность и кусочно-полиномиальность следуют из соответствующих свойств функции

.
Докажем инвариантность относительно действия группы Вейля, т.е. равенство

. Так как для функции j(X) выполнено равенство j(wX)=j(X), то верно и

. Далее, если

, то


Затем равенство

доказывается для всех

. Из равенства (*) легко получить, что

. Так как функция


-инвариантна, то

.
Список
литературы Kostant B. On convexity, the Weyl group and the Iwasawa decomposition // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 1973. N.6. С
.413-455. Guillemin V., Stenberg S. Convexity properties of the moment mapping // Invent. Math. 1982. N.67. С
.491-513. Atiyah M. Convexity and commuting hamiltonians // Bull. London Math. Soc. 1982. N.14. С
.1-15. Duistermaat J. J., and Heckman G. J. On the variation in the cohomology in the symplectic form of the reduced phase space // Invent. Math. 1982. N.69. С
.259-268. Neeb K.-H. A Duistermaat-Heckman formula for admissible coadjoint orbits, preprint. Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.omsu.omskreg.ru/