Об использовании квазираспределения Глаубера-Сударшана для описания динамического хаоса

К.Н. Югай, Омский университет, кафедра общей физики

Описание динамического хаоса на языке статистических понятий - функции распределения, средних, стохастических уравнений и т.д. - представляется естественным. Однако, как известно, даже в системе с развитым динамическим хаосом всегда существуют островки регулярного движения в фазовом пространстве или области хаотического движения расположены островками в фазовом пространстве регулярного движения [1]. Статистическое описание в динамических системах, очевидно, может быть справедливым только в области хаотического движения. Но отделить области хаотического движения от областей регулярного движения оказывается весьма сложной задачей. Кроме того, следует учитывать также, что существуют промежуточные области квазипериодического движения, где статистическое описание вряд ли применимо. Те же самые проблемы возникают при переходе к квантовым системам, находящимся в состояниях динамического хаоса, т.е. при описании квантового хаоса. Ниже мы рассматриваем один из возможных способов описания квантового хаоса.

Он заключается в переходе к когерентным состояниям и формулировке уравнения Фоккера-Планка для квазираспределения Глаубера-Сударшана и стохастических уравнений для средних по когерентным состояниям координаты и импульса. Это рассмотрение мы проведем для нелинейного осциллятора Даффинга, взаимодействующего с внешним гармоническим полем. Хаотические свойства такого осциллятора исследовались во многих работах (см.,например, [1-4]).

Пусть гамильтониан одномерного осциллятора Даффинга во внешнем гармоническом поле имеет вид:



где и - соответственно собственная частота осциллятора и частота внешнего поля с амплитудой F, - параметр нелинейности. Здесь масса осциллятора принята равной 1.

В силу периодичности гамильтониана H(t)=H(t+T), - период внешнего поля, можно воспользоваться методом квазиэнергетических состояний (см., например, [5]). В этом методе нестационарную задачу



можно свести к задаче на собственные значения для некоторого эффективного гамильтониана:



где - квазиэнергетические состояния при t=0, - квазиэнергия, определяемая с точностью до целого числа квантов , - эффективный гамильтониан, который можно найти, основываясь на гамильтониане (1). Квазиэнергетические состояния обладают свойством



Если теперь перейти к представлению взаимодействия



где



то в силу периодичности потенциала в представлении взаимодействия



волновые функции оказываются квазиэнергетическими состояниями. Они подчиняются уравнению



или интегральному уравнению



Используя уравнение (9), можно записать оператор эволюции U(t) в виде:



где




Учитывая, что



и имея в виду (3), находим, что



Переходя к представлению вторичного квантования и вычисляя оператор A(T,0) с точностью до членов , , F2, находим после простых, но громоздких вычислений выражение для :



где - соответственно операторы рождения и уничтожения, . Здесь введены следующие обозначения:




Уравнение для матрицы плотности с эффективным гамильтонианом (14) запишется в виде




Далее мы перейдем в пространство когерентных состояний - собственных состояний оператора уничтожения:



Известно, что когерентные состояния |z> могут быть выражены с помощью состояний линейного гармонического осциллятора:



Состояния Баргмана при этом определяются равенством



Матрица плотности в представлении Глаубера-Сударшана записывается в виде



где P(z,z*) - квазивероятность, d2z=dz1dz2, z=z1+iz2, z1 и z2 - вещественные числа. Из условия нормировки : вытекает соответствующее условие нормировки для квазивероятности P(z,z*):



Среднее значение любого нормального произведения операторов определяется следующим образом:




Как мы видим, функция P(z,z*) выступает здесь в качестве функции распределения.

Действие операторов и a на состояния Баргмана можно представить в виде



Матрица плотности (2.65) может быть записана также в виде



Найдем действие операторов и a на матрицу плотности (24), учитывая равенство (23):




Аналогичным образом можно найти действие других операторов на матрицу плотности . Таким образом, получаем следующие операторные соответствия, необходимые нам в дальнейшем:







Тогда из уравнения (16), учитывая операторные соответствия (27), получим уравнение для квазивероятности P:





Переходя к вещественным переменным z1 и z2: z=z1+iz2, z*=z1-iz2, получаем уравнения для квазивероятности P в виде уравнения Фоккера-Планка:



где






Уравнение (29) может быть записано в виде уравнения непрерывности



где поток Ji определяется следующим образом



Стационарные квазираспределения можно получить из условия



или



Поскольку матрица D в нашем случае не вырождена, из (34) получаем




Отсюда видно, что стационарное квазираспределение Ps существует только, если выполняется условие



поскольку левая часть равенства (35) представляет собой градиент некоторой функции, условием существования которого является равенство нулю ротора, т.е. (36). Вычисления в нашем случае показывают, что условие (36) не выполняется, т.е. стационарное квазираспределение Ps не существует. Впрочем, отсутствие стационарного квазираспределения ожидаемо, поскольку рассматриваемый осциллятор находится в переменном внешнем поле. Заметим кроме того, что поскольку этот осцилятор может находиться в состояниях динамического хаоса только при наличии внешнего поля, то можно утверждать, что в состояниях динамического хаоса квазираспределение P(z1,z2;t) всегда будет нестационарным.

Уравнению (29) соответствуют стохастические уравнения:



Легко показать, что



где - средние значения координаты и импульса в когерентном состоянии |z> , т.е.



Таким образом, мы имеем стохастические уравнения для средних в когерентном состоянии значений координаты и импульса:




где




То обстоятельство, что стохастические уравнения (39), (40) получены для средних и в когерентном состоянии, пожалуй, неудивительно, поскольку хорошо известно, что энергия осциллятора, вычисленная с помощью средних и , в когерентном состоянии наиболее близка по форме с энергией классического осциллятора, а соотношение неопределенностей минимизируется именно в когерентных состояниях.

И, наконец, заметим, что не все элементы диффузионной матрицы D являются положительно определенными:



Диагональные элементы этой матрицы D11 и D22 имеют разные знаки. Отрицательный коэффициент диффузии говорил бы, например, о том, что частицы диффундируют не в направлении, противоположном направлению градиента концентрации, что, конечно, в статистической системе, предоставленной самой себе, нереально. Однако в условиях динамического хаоса отрицательный элемент диффузионной матрицы, возможно, означает, что в системе возникают "потоки", имеющие одинаковое направление с градиентом. Заметим, что эти "потоки" возникают в пространстве когерентных состояний. Такое "нефизичное" поведение обусловлено, конечно, действием внешних сил. Возможно, что именно такое свойство системы и приводит к нерегулярности в высоковозбужденных состояниях частиц, т.е. к динамическому хаосу. Возможно также, что критические явления во вращательных спектрах [6-10] связаны с подобным поведением систем.

Список

литературы


Lichtenberg A.J. and Lieberman M.A. Regular and Stochastic Motion. New York: Springer, 1983.

Moon F.C. Chaotic Vibrations. New York: John Wiley & Sons, 1987.

Югай К.Н. Динамический хаос в высоковозбужденных состояниях квантового осциллятора Даффинга во внешнем гармоническом поле // Изв.вузов. Физика. 1993. N.3. С.90-94.

Yugay K.N. Dynamical chaos: applications to some optical problems // SPIE, High-Resolution Molecular Spectroscopy. 1991. V.1811. P.348-352.

Базь А.И., Зельдович Я.Б., Переломов А.М. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике. М.: Наука, 1971, 544 с.

Pavlichenkov I.M., Zhilinskii B.I. Rotation of molecules around specific axes: axes reorientation under rotational excitation // Chem. Phys. 1985. V.100. N.3. P.339-343.

Жилинский Б.И., Павличенков И.М. Симметрия и критические явления во вращательных спектрах изолированных микросистем // ДАН СССР. 1986. Т.288. N.2. С.355-359.

Жилинский Б.И., Павличенков И.М. Критические явления во вращательных спектрах // ЖЭТФ. 1987. Т.92. N.2. С.387-393.

Pavlichenkov I.M. Bifurcation in quantum  rotational spectra // SPIE, High-Resolution Molekular Spectroscopy. 1991. V.1811. P.12-25.

Жилинский Б.И. Теория сложных молекулярных спектров. М.: Изд-во МГУ, 1989. 200 с.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.omsu.omskreg.ru/