Статья Закон Кулона. Поле и потенциал распределенной системы зарядов в вакууме

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-29

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Принимаю Политику конфиденциальности

Скидка 25% при заказе до 22.6.2025

Закон Кулона. Поле и потенциал распределенной системы зарядов в вакууме

М.И. Векслер, Г.Г. Зегря

Пусть O - начало координат, P - точка, в которой ищется поле, A - точка, в которой расположен заряд q. Вектор $\vec{OP}$ обычно обозначают $\vec{r}_p$ , вектор $\vec{OA}$ обозначают $\vec{r} '$ . Тогда напряженность электрического поля и потенциал, создаваемые зарядом, записываются как:

$\vec{E} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \cdot\frac{(\vec{r}_p-\vec{r} ')}{|\vec{r}_p-\vec{r} '|^3} \varphi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{q} {|\vec{r}_p-\vec{r} '|}$

(1)

Задача. Найти поле, которое в точке $\vec{r}_p = 3\vec{i}+5\vec{j}$ создает заряд q, находящийся в точке $\vec{r} '=9\vec{i}-3\vec{j}$ .

Ответ: $\vec{E}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{-6\vec{i} +8\vec{j}}{1000}$

При наличии распределенного заряда, создающего поле, необходимо провести интегрирование:

$\vec{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int\frac{(\vec{r}_p-\vec{r} ') {\rm d}q}{|\vec{r}_p-\vec{r} '|^3} \varphi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int\frac{{\rm d}q}{|\vec{r}_p-\vec{r} '|}$

(2)

При этом $\vec{r} '$ пробегает всевозможные положения из начала координат в точки, где есть заряд dq. Последний записывается как

${\rm d}q = \left{\begin{array}{ll} \rho {\rm d}V &- {\rm объемный заряд, Kл/cм^3}\\ \sigma {\rm d}S &- {\rm поверхностный заряд, Kл/cм^2}\\ \lambda {\rm d}l &- {\rm линейный заряд, Kл/cм^1}\\ {\rm просто} q &-{\rm точечный заряд (интегрирования нет)} \end{array} \right.$

Если рассматривается равномерно заряженная зарядом Q объемная (объема V), поверхностная (площади S) или линейная (длины L) область, то, соответственно,

$\rho = \frac{Q}{V}, \sigma = \frac{Q}{S}, \lambda = \frac{Q}{L}$

(3)

Как записать dV, dS и dl? Это зависит исключительно от геометрии:

${\rm d}V = \left{\begin{array}{ll} {\rm d}x {\rm d}y {\rm d}z &- {\rm элемент объема куба}\\ r^2{\rm d}r\sin\theta {\rm d}\theta {\rm d}\varphi &-{\rm элемент объема шара}\\ {\rm d}r{\rm d}z{\rm d}\varphi &- {\rm элемент объема цилиндра}\\ \end{array} \right.$

${\rm d}S = \left{\begin{array}{ll} {\rm d}x{\rm d}y &- {\rm элемент площади нa плоскости}\\ r{\rm d}r{\rm d}\varphi &- {\rm элемент площади круга}\\ R{\rm d}z{\rm d}\varphi &- {\rm элемент площади боковой поверхности цилиндра}\\ R^2\sin\theta {\rm d}\theta {\rm d}\varphi &- {\rm элемент площади сферы}\\ \end{array} \right.$

${\rm d}l = \left{\begin{array}{ll} {\rm d}x &- {\rm элемент длины на прямой}\\ R{\rm d}\varphi &- {\rm элемент длины окружности}\\ \end{array} \right.$

Задача. Нить, равномерно заряженная с плотностью λ0, имеет длину 2a и расположена в плоскости xy вдоль оси x симметрично относительно оси y. Найти поле на оси y как функцию y.

Ответ: $\vec{E}=\frac{\lambda_0a}{2\pi\varepsilon_0y\sqrt{y^2+a^2}} \vec{j}$

Задача. Найти потенциал в центре пластины в форме полудиска. Внутренний и внешний радиусы R1 и R2, заряд σ = σ0sinφ, где φ- угол в плоскости xy.

Решение: Потенциал рассчитываем по стандартной формуле (2):

$\varphi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int\frac{{\rm d}q}{|\vec{r}_p-\vec{r} '|}$

При этом

$\vec{r}_p$	=	$\vec{0}$
$\vec{r} '$	=	$r\cos\varphi\vec{i}+r\sin\varphi\vec{j}$

Соответственно,

$\vec{r}_p-\vec{r} '$	=	$-r\cos\varphi\vec{i}- r\sin\varphi\vec{j}$
$\|\vec{r}_p-\vec{r} '\|$	=	r

С учетом формы тела, создающего поле,

dq = σ(r, φ)· dS = σ0sinφ· rdr dφ

причем φ изменяется в пределах от 0 до π, а r - от R1 до R2. Теперь можно продолжить интегрирование формулы для φ:

$\varphi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{R_1}^{R_2}\frac{\sigma_0\sin \varphi\cdot r{\rm d}r{\rm d}\varphi}{r} = \frac{\sigma_0} {4\pi\varepsilon_0}(R_2-R_1)\cdot 2 = \frac{\sigma_0(R_2-R_1)} {2\pi\varepsilon_0}$

Задача. Найти поле на оси кольца радиуса R, заряженного как λ = λ0cosφ. Кольцо расположено в плоскости xy.

Ответ: $\vec{E}=-\frac{\lambda_0R^2}{4\varepsilon_0 (z^2+R^2)^{3/2}} \vec{i}$

Задача. Найти потенциал на оси z цилиндрической поверхности радиуса R. Цилиндр заряжен как σ = σ0cosφ и расположен соосно с z, занимая область –L... 0.

Ответ: φ(z) = 0

Задача. Найти поле в центре шарового сектора с внутренним и внешним радиусами R1, R2, занимающего область φ = 0... 2π, θ = 0... π/4, равномерно заряженного зарядом ρ0.

Решение: Заряженный объект (шаровой сектор) является объемным, так что

dq = ρ dV = ρ0· r2drsinθdθdφ

где использовано выражение для элемента объема шара. У нас начало координат совпадает с точкой, где ищется поле, так что

$\vec{r}_p = \vec{0}$

Вектор $\vec{r} '$ запишется:

$\vec{r'} = r\sin\theta\cos\varphi\vec{i} +r\sin\theta\sin\varphi\vec{j} +r\cos\theta\vec{k}$

При этом

$\left{\begin{array}{ll} \vec{r}_p-\vec{r} ' &= -r\sin\theta\cos\varphi\vec{i} - r\sin\theta\sin\varphi\vec{j} - r\cos\theta\vec{k}\\ |\vec{r}_p-\vec{r} '| &= r \end{array} \right.$

Теперь у нас уже есть все составные компоненты для проведения интегрирования. Пределы интегрирования вытекают из условия задачи:

$\vec{E}$	=	$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int\frac{(\vec{r}_p-\vec{r} ') {\rm d}q}{\|\vec{r}_p-\vec{r} '\|^3} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot$
		$\cdot\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi/4} \int\limits_{R_1}^{R_2}\frac{-r\sin\theta\cos\varphi\vec{i}- r\sin\theta\sin\varphi\vec{j}-r\cos\theta\vec{k}}{r^3}\cdot \rho_0\cdot r^2 \mbox{d}r \sin\theta\mbox{d}\theta\mbox{d}\varphi$

Совершенно очевидно, что члены, содержащие cosφ или sin φ, при интегрировании по φ от 0 до 2π дадут ноль (это интегрирование по периоду), поэтому их можно дальше не выписывать.

$\vec{E}$	=	$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi/4}\int\limits_{R_1}^{R_2} \frac{-r\cos\theta\vec{k}}{r^3}\cdot \rho_0\cdot r^2{\rm d}r\sin \theta{\rm d}\theta{\rm d}\varphi=$
	=	$-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot (R_2-R_1)\cdot 2\pi \cdot\rho_0\cdot \int\limits_{0}^{\pi/4}\cos\theta\sin\theta{\rm d} \theta\cdot\vec{k} =$
	=	$-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot (R_2-R_1)\cdot 2\pi \cdot\rho_0\cdot \left.\frac{\sin^2\theta}{2}\right\|_0^{\pi/4}\cdot\vec{k} = -\frac{\rho_0(R_2-R_1)}{8\varepsilon_0}\vec{k}$

Направление вектора $\vec{E}$ против оси z естественно из симметрии задачи. Если заряд положителен, то поле должно быть ориентировано от заряженного сектора, что и имеет место.

Список литературы

1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.

2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.

3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://edu.ioffe.ru/r

Bukvasha