Свидетельство Украины № 27312 о регистрации авторского права
КРАТКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
Аⁿ+ Вⁿ = Сⁿ*                                    /1/
где n- целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах A, B, С.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Из формулировки Великой теоремы Ферма следует: если n – целое положительное число, большее двух, то при условии, что два из трех чисел А, В или С - целые положительные числа, одно из этих чисел не является целым положительным числом.
Доказательство строим, исходя из основной теоремы арифметики, которая называется «теоремой о единственности факторизации» или «теоремой о единственности разложения на простые множители целых составных чисел». Возможны нечетные и четные показатели степени n. Рассмотрим оба случая.
1. Случай первый: показатель степени n - нечетное число.
В этом случае выражение /1/ преобразуется по известным формулам следующим образом:
Аⁿ + Вⁿ = Сⁿ = (A+B)[A^n-1-A^n-2·B +A^n-3·B²- …-A·B^n-2+B^n-1] /2/
Полагаем, что A и B – целые положительные числа.
*Числа А, В и С должны быть взаимно простыми числами.
Из уравнения /2/ следует, что при заданных значениях чисел A и B множитель (A+B) имеет одно и тоже значение при любых значениях показателя степени n, следовательно, он является делителем числа С.
Допустим, что число С - целое положительное число. С учетом принятых условий и основной теоремы арифметики должно выполняться условие:
Сⁿ = Aⁿ + Bⁿ =(A+B)ⁿ∙ Dⁿ , /3/
где множитель Dⁿ должен быть целым числом и, следовательно, число D также должно быть целым числом.
Из уравнения /3/ следует:
 /4/
Из уравнения /3/ также следует, что число [Cⁿ = Aⁿ + Bⁿ] при условии, что число С – целое число, должно делиться на число (A+B)ⁿ . Однако известно, что:
Aⁿ + Bⁿ < (A+B)ⁿ /5/
Следовательно:
- дробное число, меньшее единицы. /6/
- дробное число.

Отсюда следует, что при нечетном значении показателя степени n уравнение /1/ великой теоремы Ферма не имеет решения в целых положительных числах.
При нечетных показателях степени n >2 число:
< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.
Из анализа уравнения /2/ следует, что при нечетном показателе степени n число:
Сⁿ = Аⁿ + Вⁿ = (A+B)[A^n-1-A^n-2·B +A^n-3·B²- …-A·B^n-2+B^n-1]
состоит из двух определенных алгебраических множителей, при этом при любом значении показателя степени n неизменным остается алгебраический множитель (A+B).
Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах при нечетном показателе степени n >2.
2.    Случай второй: показатель степени n - четное число.
Суть великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение /1/ перепишем следующим образом:
Aⁿ = Cⁿ - Bⁿ /7/
В этом случае уравнение /7/ преобразуется следующим образом:
Aⁿ = Cⁿ - Bⁿ = (С+B)∙(C^n-1 + C^n-2 · B + C^n-3∙ B² +…+ C ∙ B^n-2 + B^n-1 ). /8/
Принимаем, что С и В – целые числа.

Из уравнения /8/ следует, что при заданных значениях чисел B и C множитель (С+B) имеет одно и тоже значение при любых значениях показателя степени n, следовательно, он является делителем числа A.
Допустим, что число А – целое число. С учетом принятых условий и основной теоремы арифметики должно выполняться условие:
Аⁿ = Сⁿ - Bⁿ =(С+B)ⁿ∙ Dⁿ , /9/
где множитель Dⁿ должен быть целым числом и, следовательно, число D также должно быть целым числом.
Из уравнения /9/ следует:
 /10/
Из уравнения /9/ также следует, что число [Аⁿ = Сⁿ - Bⁿ] при условии, что число А – целое число, должно делиться на число (С+B)ⁿ . Однако известно, что:
Сⁿ - Bⁿ < (С+B)ⁿ /11/
Следовательно:
- дробное число, меньшее единицы. /12/
- дробное число.
Отсюда следует, что при нечетном значении показателя степени n уравнение /1/ великой теоремы Ферма не имеет решения в целых положительных числах.
При четных показателях степени n >2 число:
< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.
Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах и при четном показателе степени n >2.
Из изложенного следует общий вывод: уравнение /1/ великой теоремы Ферма не имеет решения в целых положительных числах А, В и С при условии, что показатель степени n >2.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ОБОСНОВАНИЯ
В том случае когда показатель степени n – четное число, алгебраическое выражение (Cⁿ - Bⁿ) раскладывается на алгебраические множители:
C² – B² = (C-B) ∙ (C+B); /13/
C⁴ – B⁴ = (C-B) ∙ (C+B) (C² + B²); /14/
C⁶ – B⁶ = (C-B) ∙ (C+B) · (C² –CB + B²) ∙ (C² +CB+ B²); /15/
C⁸ – B⁸ = (C-B) ∙ (C+B) ∙ (C² + B²) ∙ (C⁴ + B⁴). /16/
Приведем примеры в числах.
ПРИМЕР 1: В=11; С=35.
C² – B² = (2² ∙ 3) ∙ (2 · 23) = 2⁴ · 3 · 23;
C⁴ – B⁴ = (2² ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (2 · 673) = 2⁴ · 3 · 23 · 673;
C⁶ – B⁶ = (2² ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (31²) ·(3 · 577) =2 ∙ 3 ∙ 23 ∙ 31² ∙ 577;
C⁸ – B⁸ = (2² ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (2 · 673) ∙ (2 · 75633) = 2⁵ ∙ 3 ∙ 23 ∙673 ∙ 75633.

ПРИМЕР 2: В=16; С=25.
C² – B² = (3²) ∙ (41) = 3² ∙ 41;
C⁴ – B⁴ = (3²) ∙ (41) · (881) =3² ∙ 41 · 881;
C⁶ – B⁶ = (3²) ∙ (41) ∙ (2² ∙ 3) ∙ (13 · 37) · (3 ∙ 7 · 61) = 3³ · 7 ∙ 13· 37 ∙ 41 ∙ 61;
C⁸ – B⁸ = (3²) ∙ (41) ∙ (881) ∙ (17 ·26833) = 3² ∙ 41 ∙ 881 ∙ 17 ·26833.
Из анализа уравнений /13/, /14/, /15/ и /16/ и соответствующих им числовых примеров следует:
- при заданном показателе степени n, если он четное число, число Аⁿ = Сⁿ - Bⁿ раскладывается на вполне определенное количество вполне определенных алгебраических множителей;
- при любом показателе степени n, если он четное число, в алгебраическом выражении (Cⁿ - Bⁿ) всегда имеются множители (C-B) и (C+B);
- каждому алгебраическому множителю соответствует вполне определенный числовой множитель;
- при заданных значениях чисел В и С числовые множители могут быть простыми числами или составными числовыми множителями;
- каждый составной числовой множитель является произведением простых чисел, которые частично или полностью отсутствуют в составе других составных числовых множителей;
- величина простых чисел в составе составных числовых множителей увеличивается с увеличением этих множителей;
- в состав наибольшего составного числового множителя, соответствующего наибольшему алгебраическому множителю, входит наибольшее простое число в степени, меньшей показателя степени n (чаще всего в первой степени).

ВЫВОДЫ:
дополнительные обоснования подтверждают заключение о том, что великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах.