В свою очередь, реализация позволяет воссоздание модели по некоторому формализованному описанию свойств и поведений используя существующий теоретический аппарат и прикладной инструментарий. Как следствие этого, модель подвержена влиянию технологических особенностей использованного аппарата и существующих ограничений применяемого инструментария. Таким образом, любая реализация является источником снижения адекватности модели и полученного из него объекта реального мира.
Как видно из вышеизложенного, в обоих случаях возникают проблемы адекватности. Причем, проблема адекватности возникает как при получении общей теоретической модели из предмета реального мира, так и при синтезе программной реализации из конкретной теоретической модели.
Вышеописанные случаи можно рассматривать также и с точки зрения используемых средств: декомпозиции и синтеза. При абстрагировании происходит разделение рассматриваемого предмета на множество значимых и незначимых сущностей. Таким образом, при помощи декомпозиции достигается представление целостной системы в виде совокупности подсистем. При реализации происходит обратный процесс: из множества отобранных и формализованных сущностей синтезируется объект, свойства и поведение которого подобны свойствам и поведению исходного объекта.
Глубина проводимой декомпозиции определяется особенностями каждой конкретной реализации и зависит от требований, предъявляемых к системе, и ресурсов, выделенных для ее реализации. Чем глубже декомпозиция, тем меньше размер элементарных единиц систем и тем точнее уровень воспроизведения. В то же время, чем больше глубина, тем больше количество элементов, сложнее отношения между ними, тем сложнее последующая реализация самой системы. Декомпозицию принято делать до такой глубины, чтобы можно было обеспечить измеримость полученных составных элементов без потери управляемости процессов.
В настоящей статье предлагается методология, которая предполагает проведение декомпозиции процесса документооборота до совокупности элементов и их отношений между собой. Эти элементы можно разделить на три категории: участники, состояния документов и действия участников. Участники документооборота – это сотрудники организации, производящие генерирование, движение и терминирование документов.  По сути, участники воспринимаются системой через совокупность их обязанностей и могут описываться как ключевые участники, на роли которых назначаются реальные исполнители. Состояния документов –  это конечный список состояний, которые могут принимать документы в процессе моделируемого документооборота. Представление документов в виде конечного дискретного списка состояния получается в результате применения декомпозиции к общему жизненному циклу документа. Действия участников – это конечный список возмущающих воздействий, инициируемых участниками, возникновение которых приводит к изменению текущего состояния одного или нескольких документов.
Таким образом, формально процесс документооборота может быть представлен в виде трех конечных множеств и связей элементов этих множеств между собой. Математическая нотация этого процесса может быть представлена в виде тройки , где
 – формальная модель документооборота;
 – множество участников;
 – множество действий;
 – множество состояний документов.
Эта нотация означает следующее: «Документооборот – это множество действий, производимых множеством участником над множеством состояний документов». Множество  определяется как конечное множество ролей, которые могут быть назначены фактическим участникам документооборота.  определяется как конечное множество действий, выполнение которых допустимо в пределах рассматриваемой системы документооборота.  – конечное множество состояний, которые могут принимать документы после произведения действий из множества  участником из множества .
3.1. Концептуальная модель
Концептуальная модель основывается на подходах, описанных в работах признанного специалиста в области создания систем корпоративного документооборота Майкл Саттона [3], В.М. Глушкова [2] и автора этой статьи [8]. В концептуальной модели на уровне концепции решаются вопросы масштабности системы и ее интеграции в общую систему организации. Для создания модели устанавливается взаимосвязь между необходимостью внедрения системы электронного документооборота и ее будущими пользователями.
Концептуальная модель разрабатывается таким образом, чтобы руководство организации могло наглядно представить себе будущую систему в общем виде и через это понимание была обеспечена поддержка реализации системы высшим руководством организации. Создание и внедрение информационной системы по сути является расширением существующей системы управления организации возможностями информационных технологий. Поэтому поддержка и понимание первого руководителя организации является критичным критерием для успешности внедрения информационной системы. В.М. Глушков назвал такой подход принципом первого руководителя и не просто упоминает о нем, а акцентирует внимание на важности обеспечения этого фактора.
Для построения концептуальных моделей согласно вышеоописанным принципам надо получить данные, которые смогут достаточно адекватно описать моделируемый процесс. Для этого целесообразно общий процесс декомпозировать на совокупность элементов нижнего уровня согласно заданной выше нотации. Общий процесс декомпозируется на три основные части: участники, действия и состояния. Эти части, каждая из которых является целостным технологическим элементом системы, далее декомпозируются на элементарные составляющие. Полученные элементы группируются в множества ,  и .
Для получения множества участников  используются данные, полученные на этапе анализа системы документооборота [9]. На этом этапе выявляются характерные повторяющиеся участки, свойственные для установившихся ролей. Для этой общности строится список ролей. На основании списка ролей определяются ключевые участники, которые могут быть назначены для выполнения описанных ролей.
Критерием успешности проведенной декомпозиции являются полнота и невырожденность множества . То есть декомпозиция может быть проведена с избыточностью таким образом, чтобы одному физическому участнику соответствовало несколько ролей. Допустима ситуация, в которой одному и тому же действию в реальной жизни может соответствовать несколько действий формализованных ролевых персон. В то же время недопустимо вырождение множества , то есть ситуация, в которой физическому участнику не установлено никакой роли.
Множество состояний  получается путем составления конечного списка состояний, допустимых для документов, обращающихся в данном документообороте. По сути происходит дискретизация жизненного цикла документа. Документ, который изменяется и движется в реальном времени, представляется в виде совокупности дискретных состояний.  Каждое такое состояние характеризуется формализуемостью формы, то есть состояние может быть представлено в виде конечного количества полей и реквизитов документа. Состояния являются дискретными, конечными и описуемыми.
Множество действий  получается путем декомпозиции действий, производимых в реальной системе документооборота, на конечную совокупность элементарных действий. Каждое такое действие влечет за собой изменение состояния одного или нескольких документов из множества . Возможен случай, когда в результате действия происходит изменение состояния само на себя. В таких случаях говорят о цикличности процесса. Несмотря на то, что цикличная организация весьма опасна с точки зрения окончания процесса, этот способ очень широко присутствует в реальных системах документооборота, так как позволяет прозрачно организовать бесконечные процедуры, имеющие выход по заданному критерию.
3.2. Функциональная модель
Функциональная модель документооборота – это описание модели системы на языке выполняемых ею функций. Электронный документооборот как любая задача информационных технологий является вторичной по отношению к автоматизируемому объекту. Реализация основывается на наличии некоторого исходного объекта, обладающего определенными свойствами и интерфейсом взаимодействия с внешним миром. Исходным объектом систем электронного документооборота является документооборот, реализующийся организацией в реальном мире. Процессы этого документооборота имеют на своем входе некоторые исходные документы и по выполнении критериев окончания генерируют на выходе конечные документы.  Таким образом, упрощенно документооборот можно представить как некий инструментарий, обеспечивающий движение документов от исходного состояния к конечному.
Возвращаясь к заданной в разд. 3 нотации, можно сказать, что в множестве представлены некоторые состояния, которые имеют специальные свойства, определяющие эти состояния как конечные. Состояния, обладающие таким свойством, будем называть конечными состояниями. По достижении конечного состояния, процесс, которые реализует переход в данное состояние, считается окончившимся. Кроме конечных состояний, существуют еще и начальные, которые могут быть как некоторым состоянием из множества , так и пустым состоянием. Маршрут движения документа – последовательность действий, которые происходят в рамках процесса документооборота при достижении документов конечного состояния из начального. Таким образом, функциональная модель документооборота может быть представлена в виде совокупности начальных состояний, связанных с конечными состояниями маршрутами движения. Это можно наглядно отобразить в виде детерминированного или недетерминированного конечного автомата.
Рассмотрим данные, которыми оперируют системы документооборота вне зависимости от прикладной области и способа реализации. Входные данные – информация, которая поступает в систему  – некоторый начальный набор состояний, возникновение которых указывает на начало работы системы. Окончательные результаты – данные, которые получаются в результате обработки системой входных данных – набор состояний, при достижении которых система принимает решение об окончании работы. Промежуточные результаты – результаты переработки исходных данных, которые используются при получении окончательных результатов, но сами из системы не выдаются. По сути, промежуточный результат – набор состояний, которые входят в общее множество состояний, но не являются ни начальными, ни конечными состояниями. Все эти состояния имеют одну значимую общность – исходные данные. Окончательные и промежуточные результаты могут быть описаны в форме слов в алфавите системы.
При рассмотрении функциональной модели документооборота можно говорить об исходных данных, промежуточных и окончательных результатах как об элементах информационного потока. Эти элементы можно перенумеровать и обозначить через . Общая совокупность всех элементов информационного потока составляет информационный базис системы. Информационный базис не зависит от программ переработки информации, а определяется, в основном, внешними функциями системы.
Между элементами потока существуют отношение вхождения и отношение порядка. Отношение вхождения имеет вид строки , которая означает, что элемент, записанный слева от знака равенства, образуется непосредственно из элементов входа, записанных справа. Отношение порядка позволяет различать такты в движении потока. Исходные данные являются элементами нулевого порядка. На первом такте из исходных данных образуются элементы первого порядка. На втором такте из элементов нулевого и первого порядков образуются элементы второго порядка и т.д. Таким образом, порядок Πi элемента  на единицу больше максимального из порядков элементов .
Таким образом, мы имеем возможность представления моделируемого документооборота в виде последовательности дискретных событий. Общая совокупность этих событий состоит из конечного множества состояний. Состояниям могут быть присвоены признаки начальных, конечных или промежуточных результатов. Изменение состояний имеет детерминированную последовательность, которая может быть представлена в виде набора функций перехода. Приведенное выше описание позволяет сделать вывод о возможности представления систем документооборота детерминированным конечным автоматом.
В настоящей статье предлагается представлять моделируемую систему документооборота в виде детерминированного конечного автомата, заданного в виде нотации, описанной в [9]. Исходя из этой нотации, автомат, моделирующий документооборот, может быть представлен следующим образом:
,
где  – конечное множество состояний, тождественное множеству  из нотации, используемой в настоящей статье для представления документооборота;
 – конечное множество входных символов, образующих входной алфавит и представляющее собой данные, которые поступают на вход системы документооборота;
 – функция переходов, аргументами которой являются текущее состояние и входной символ, а значением – новое состояние;
 – начальное состояние (или множество начальных состояний) из множества ;
– множество заключительных, или допускающих состояний из множества .
Представление формальной модели документооборота с помощью автоматов представляется самостоятельный интерес и может явиться предметом самостоятельного исследования.
 
3.3. Логическая модель
 
После актуализации тройки множеств , , , описывающих формальную модель системы документооборота, и построения таким образом концептуальной модели появляется возможность построить логическую модель. По Майклу Саттону  [3] логическая модель должна дать ответ на вопросы «Что» и «Когда». Исходя из пользовательской схемы документооборота и протоколов взаимодействия элементов системы, определяется: «Что будет делать система?» и «Когда должен запускаться каждый из процессов?»
На логическом уровне решаются вопросы функциональных характеристик системы электронного документооборота типа ввод и вывод данных, обработка данных, протоколы политики безопасности, правила ведения дел, составление форм, а также форма и периодичность отчетов и т.п. Логика построения системы электронного документооборота на этом этапе не имеет привязки к конкретной системе, на которой она будет запущена. Установленное логическое построение может быть реализовано при различной аппаратной и программной реализации.
Возвращаясь к заданной в разделе 3 нотации, можно сказать, что на уровне реализации логической модели выделяются и однозначно устанавливаются связи, определяющие зависимость состояний из множества Ф. Логика документооборота представляется в виде последовательности действий, приводящих к смене состояний документов в системе документооборота. Таким образом, формируется логически связанная последовательность действий, преобразующая документ от начального состояния к требуемому - конечному.
Логическую модель наглядно можно представить в виде направленного плоского геометрического графа. Для установления соответствия графическому отображения введенной в данной статье нотации документооборота может быть использована так называемая парная грамматика. Парная грамматика представляет собой композицию двух грамматик, между правилами и нетерминальными символами, между которыми устанавливаются определенные соответствия. Таким образом, парная грамматика устанавливает связь между элементами языков, определенных двумя грамматиками. Эта связь может рассматриваться как определение перевода элементов одного языка в другой. В нашем случае рассматривается вариант, в котором первый язык – тройка множеств , , , а второй – набор графов с помеченными дугами и вершинами.
При построении графовой модели документооборота предлагается использовать следующий способ отображения документооборота: множество возможных состояний используется для обозначения вершин графа, а множество действий - для обозначения ребер графа. Используя нотацию, принятую для математического представления графа можно сказать, что  и . Направленность ребер отражает логику последовательности смены состояний.
            Таким образом, состояниям ,  сопоставляются вершины графа , и каждая пара вершин  и  соединена дугой, идущей от  к  в том и только том случае, когда состояние  является входным состоянием для . Полученный граф будем рассматривать как логическую модель документооборота.
            Пример такого графа приведен на рис. 2.
 SHAPE  \* MERGEFORMAT
           
Рис. 2. Фрагмент графовой модели системы документооборота
 
Пример расширенной логической модели приведен на рис. 3.
 SHAPE  \* MERGEFORMAT
Рис. 3. Фрагмент расширения логической графовой модели системы документооборота       
Схему можно усложнить, введя в нее вершины , соответствующие участникам системы документооборота, то есть элементам множества . Если участник работает с состоянием , то  является входом для . Из указанной вершины графа  проводится дуга, которая оканчивается в вершине . Таким образом, получается граф, состоящий из вершин  и  и ориентированных связей между ними. Отметим, что в этом графе нет дуг, выходящих из . Такой граф будем называть расширенной логической моделью документооборота.
Пользуясь известными свойствами графов, можно выявить ряд важных характеристик логических моделей документооборота. Приведенные ниже результаты будут получены с помошью применения базовых положений аппарата теории графов.
            Для математического задания графа воспользуемся его представлением с помощью матрицы инцидентности. Пусть задан граф , где  – непустое множество,  – множество не пересекающееся с ,   – отображение множества  на . Элементы и  соответственно называются вершинами и дугами, а  называется ориентированным отображением инцидентности ориентированного графа. Матрицей инцидентности ориентированного графа , содержащего  вершин, называется квадратная матрица A с  строками и  столбцами, в которой элементы , стоящие на пересечении i-й строки и j-го столбца, численно равны количеству дуг графа, идущих из i-й вершины в j-ю вершину.
            Ориентированным маршрутом (путем) длины n является последовательность (не обязательно различных) дуг  таких, что соответствующая им последовательность вершин формирует направленный граф. В нашей модели путь означает процесс создания документа от какого-то начального состояния до состояния, которое принимается конечным в правилах создаваемой модели.
            Кроме того, если обозначить  – как граф моделируемого документооборота, а  –  матрицей инцидентности заданого графа, можно утверждать, что:
1) элемент  матрицы , полученный возведением матрицы  в степень , равен числу различных путей длины , идущих от  к ;
            2) признаком контура (ошибка описания) служит появление ненулевых элементов на главной диагонали любой из матриц ;
            3) равенство нулю суммы элементов j-го столбца матрицы инцидентности служит формальным  признаком для выделения исходных данных;
4)  равенство нулю суммы элементов i-й строки указывает на наличие функциональных результатов;
5) если при некотором  нулю одновременно равняются суммы элементов строки и столбца, то указанное состояние  не используется в модели описываемого документооборота.
Отношение вхождения «состояние-участник» графа расширенной логической модели установлено только для активных состояний. Отличные от нуля элементы матрицы , где  – участник, указывают все активные состояния моделируемого документооборота. Ненулевые элементы тех же столбцов матрицы указывают как активные, так и пассивные состояния, используемые при достижении активных состояний. Остальные состояния, введенные в модель, формально являются избыточными, и их исключение не сможет ни позитивно, ни негативно сказаться на адекватности модели.
            Вышеописанные результаты получены непосредственно из базовых понятий теории графов, а само отображение модели документооборота с использованием аппарата теории графов представляет особый интерес и требует дополнительных исследований.
3.4. Структурная модель
Структурная модель реализует представление системы в виде четко выраженных структурных единиц, различающихся по организации и выполняемым задачам. При всем множестве задач, которые ставятся перед системами документооборота предприятий, можно провести разделение, выделив задачи, решающие общие проблемы подобными методами. Таким образом, можно получить компоненты, реализация которых сделает систему достаточной, то есть обеспечит выполнение необходимых требований.
С точки зрения решаемых системой задач можно выделить две основные структурные компоненты: модуль для проектирования бизнес-процессов и модуль, реализующий спроектированные процессы в деятельности предприятия. Обе компоненты используют одно общее хранилище, которое содержит образы предопределенных и экземпляры активных в данный момент бизнес-процессов. Майкл Саттон в [3] называет такое хранилище репозитарием и акцентирует внимание на концентрации усилий разработчиков и внедренцев систем ЭД на продуманные реализации.
Создание активных копий бизнес-процессов из образов, хранимых в библиотеке предопределенных процессов, позволяет организовать создание системы документооборота в соответствии с канонами объектно-ориентированного анализа и проектирования, описанными в  [10]. Непротиворечивость принципов объектно-ориентированного анализа и проектирования методологиям создания систем композитного документооборота уже рассматривалась автором настоящей статьи и подробнее с аспектами этого вопроса можно ознакомиться в [9].
Таким образом, можно представить достаточные условия создания системы как два структурных модуля. Назовем их «Архитектор»  и «Двигатель». «Архитектор» обеспечивает размещение в репозитарий троек вида  и поддержку процессов поддержания этих троек в состоянии, актуально отражающем деловые процессы предприятия. «Двигатель» обеспечивает использование репозитария для получения образов из библиотеки процессов и по этим образам – создание активных экземпляров, реализующих документарную деятельность предприятия.
3.5. Управленческая модель
Управленческая модель подразумевает представление документооборота в виде множества взаимодействующих процессов с установленными между ними связями. В этом случае процесс представляет собой совокупность действий, объединенных некоторой общностью. Представление общего процесса деятельности предприятия в виде совокупности процессов имеет ряд преимуществ. Например, позволяет руководству более наглядно представить деятельность своей организации, а подчиненным – представить выполняемую работу более понятной.
Хочется отметить, что управление процессами является одной из современных апробированных форм управления и широко используется во всем мире. Декомпозиция общей деятельности на совокупность процессов позволяет представить каждый процесс в формализованном виде, а именно – снабдить процессы четким описанием, описать входные и выходные параметры. Представленные таким образом процессы обладают свойствами управляемости и контролируемости. Это имеет целый ряд положительных последствий. Например, позволяет собственникам более эффективно управлять предприятием и контролировать нанятых высших управленцев. Кроме того, на управлении процессами управления основаны современные методологии систем управления качеством, предусмотренные ISO9000.
Математическое представление процесса в рамках введенной нотации можно представить как подмножества из множества тройки . Совокупность таких подмножеств представляет собой общую деятельность предприятия и является одной из форм представления, которая может быть получена в рамках формальной модели документооборота.
4. Выводы
 
В статье рассмотрен современный подход к построению концептуальной, функциональной, логической и структурных моделей системы электронного документооборота, позволяющий создать на их основе автоматизированные информационные системы для различных приложений.
            В качестве основ построения таких моделей предлагается использовать широко апробированный и хорошо зарекомендовавший себя аппарат теории графов, теории автоматов и др. Концептуальные положения этой статьи могут быть использованы  для решения теоретических проблем электронного документооборота и создания на их основе соответствующего прикладного программного обеспечения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 
1.  Справочник-словарь терминов АСУ / В.И. Вьюн, А.А. Кобозев, Т.А. Паничевская, Г.С. Теслер. – М.: Радио и связь, 1990. – 128 с.
2. Глушков В.М. Введение в АСУ. – К.: Техніка, 1972. – 312 с.
3. Саттон М.Дж. Корпоративный документооборот. – М.: Азбука, 2002. – 448 с.
4. Основи дискретної математики / Капітонова Ю.В., Кривий С.Л., Летичевський О.А., Луцький Г.М., Печурін М.К. – К.: Наукова думка, 2002. – 578 с.
5. Peter Grossman. Discrete mathematics for computing. – London: Macmillan Press, 1995. – 290 p.
6. Anderson J.A. Discrete mathematics with combinatorics. – New Jersey: Prentice Hall, 2001. – 807 p.
7. Booch G., Rumbauch, Jacobson The Unified Modeling Language. – NY.: Addison-Wesley, 1999 – 482 p.
8. Круковский М.Ю. Методология построения композитных систем докум