5. В каких точках центральный меридиан пересекается с горизонтом?
6. Как проходит плоскость горизонта относительно поверхности земного шара?
3 уровень: 5 – 6 баллов.
1. Найдите на координаты звездной карте и назовите объекты, имеющие координаты:
1) a = 15 ч 12 мин, d = –9^о; 2) a = 3 ч 40 мин, d = +48^о.
2. Определите по звездной карте экваториальные координаты следующих звезд:
1) a Большой Медведицы; 2) β Кита.
3. Выразите 9 ч 15 мин 11 с в градусной мере.
4. Найдите на звездной карте и назовите объекты, имеющие координаты:
1) a = 19 ч 29 мин, d = +28^о; 2) a = 4 ч 31 мин, d = +16^о30^/.
5. Определите по звездной карте экваториальные координаты следующих звезд:
1) a Весов; 2) g Ориона.
6. Выразите 13 ч 20 мин в градусной мере.
7. В каком созвездии находится Луна, если ее координаты a = 20 ч 30 мин, d = –20^о?
8. Определите по звездной карте созвездие, в котором находится галактика Μ31, если ее координаты a = 0 ч 40 мин, d = +41^о.
4 уровень. 7 – 8 баллов
1. Самые слабые звезды, какие можно получить на фотографии крупнейшим в мире телескопом, это звезды 24-й звездной величины. Во сколько раз они слабее, чем звезды 1-й величины?
2. У звезды блеск меняется от минимума к максимуму на 3 звездные величины. Во сколько раз меняется ее блеск?
3. найдите отношение блеска двух звезд, если их видимые звездные величины равны соответственно m₁ = 1,00 и m₂ = 12,00.
4. Во сколько раз Солнце выглядит ярче, чем Сириус, если звездная величина Солнца m₁ = –26,5 и m₂ = –1,5?
5. Вычислить во сколько раз звезда a Большого Пса ярче звезды a Лебедя.
6. Вычислить во сколько раз звезда Сириус ярче Веги.

3. Работа с картой.
Определение координат небесных тел.

Горизонтальные координаты.

A – азимут светила, отсчитывается от точки Юга по линии математического горизонта по часовой стрелке в направлении запад, север, восток. Измеряется от 0^о до 360^о или от 0^ч до 24^ч.

h – высота светила, отсчитывается от точки пересечения круга высоты с линией математического горизонта, по кругу высоты вверх до зенита от 0^о до +90^о, и вниз до надира от 0^о до –90^о.

http://www.college.ru/astronomy/course/shell/images/Fwd_h.gifhttp://www.college.ru/astronomy/course/shell/images/Bwd_h.gifЭкваториальные координаты

Определить положение точки на Земле помогают географические координаты – широта j и долгота l. Определить положение звезд на небесной сфере помогают экваториальные координаты – склонение d и прямое восхождение a.
Для экваториальных координат основными плоскостями служат плоскость небесного экватора и плоскость склонений.
Отсчет прямого восхождения ведется от точки весеннего равноденствия ^ в сторону, противоположную суточному вращению небесной сферы. Прямое восхождение обычно отсчитывают в часах, минутах и секундах времени, но иногда и в градусах.
Склонение выражается в градусах, минутах и секундах. Небесный экватор делит небесную сферу на северное и южное полушария. Склонения звезд северного полушария могут быть от 0 до 90°, а южного полушария – от 0 до –90°.
Экваториальные координаты дают преимущество над горизонтальными координатами:
1) Созданы звездные карты и каталоги. Координаты постоянны.
2) Составление географических и топологических карт земной поверхности.
3) Осуществление ориентирования на суше, море космосе.
4) Проверка времени.
Упражнения.
Горизонтальные координаты.
1. Определить координаты главных звезд созвездий входящих в осенний треугольник.
2. Найти координаты a Девы, a Лиры, a Большого Пса.
3. Определить координаты своего зодиакального созвездия, в какое время его удобнее всего наблюдать?
Экваториальные координаты.
1. Найдите на звездной карте и назовите объекты, имеющие координаты:
1) a = 15^ч 12^м, d = –9^о; 2) a =3^ч 40^м, d = +48^о.
2. Определите по звездной карте экваториальные координаты следующих звезд:
1) a Большой Медведицы; 2) b Кита.
3. Выразите 9^ч 15^м 11^с в градусной мере.
4. Найдите на звездной карте и назовите объекты, имеющие координаты
1) a = 19^ч 29^м, d = +28^о; 2) a = 4^ч 31^м, d = +16^о 30^/.
5. Определите по звездной карте экваториальные координаты следующих звезд:
1) a Весов; 2) g Ориона.
6. Выразите 13^ч 20^м в градусной мере.
7. В каком созвездии находится Луна, если ее координаты a = 20^ч 30^м, d = –20^о.
8. Определите по звездной карте созвездие, в котором находится галактика M 31, если ее координаты a 0^ч 40^м, d = 41^о.
4. Кульминация светил.
Теорема о высоте полюса мира.
Узловые вопросы: 1) астрономические способы определения географической широты; 2) с помощью подвижной карты звездного неба определить условие видимости светил в любую заданную дату и время суток; 3) решение задач с использованием соотношений, связывающих географическую широту места наблюдения с высотой светила в кульминации.
Кульминация светил. Отличие между верхней и нижней кульминации. Работа с картой определение времени кульминаций. Теорема о высоте полюса мира. Практические способы определения широты местности.

Z

Z/

P

P/

S

N

Q

Q/

M1

M2

M1/

M2/

j

O

Используя рисунок проекции небесной сферы записать формулы высоты в верхней и нижней кульминации светил, если:
а) звезда кульминирует между зенитом и точкой юга;
б) звезда кульминирует между зенитом и полюсом мира.
Используя теорему о высоте полюса мира:
– высота полюса мира (Полярной звезды) над горизонтом равна географической широте места наблюдения
.
Угол  – как вертикальный, а . Зная, что  – это склонение звезды, то высота верхней кульминации будет определяться выражением:
.
Для нижней кульминации звезды M₁:
.
Домой дать задание получить формулу для определения высоты верхней и нижней кульминации звезды M₂.
Задание для самостоятельной работы.
1. Описать условия видимости звезд на 54^о северной широты.
2. Установите подвижную звездную карту на день и час занятий для г. Бобруйска (j = 53^о).
Ответьте на следующие вопросы:
а) какие созвездия находятся над горизонтом в момент наблюдения, какие созвездия находятся под горизонтом.
б) какие созвездия восходят в данный момент, заходят в данный момент.
3. Определите географическую широту места наблюдения, если:
а) звезда Вега проходит через точку зенита.

б) звезда Сириус в верхней кульминации на высоте 64^о13^/ к югу от точки зенита.
.
в) высота звезды Денеб в верхней кульминации равна 83^о47^/ к северу от зенита.
.
г) звезда Альтаир проходит в нижней кульминации через точку зенита.
.
Самостоятельно:
Найдите интервалы склонений звезд, которые на данной широте (г. Бобруйск):
а) никогда не восходят; б) никогда не заходят; в) могут восходить и заходить.
Задачи для самостоятельной работы.
1. Чему равно склонение точки зенита на географической широте Минска (j = 53^о54^/)? Ответ сопроводите рисунком. [53^о54^/]
2. В каких двух случаях высота светила над горизонтом в течение суток не изменяется? [Либо наблюдатель находится на одном из полюсов Земли, либо светило находится в одном из полюсов мира]
3. С помощью чертежа, докажите, что в случае верхней кульминации светила к северу от зенита оно будет иметь высоту h = 90^о + j – d.
4. Азимут светила 315^о, высота 30^о. В какой части неба видно это светило? В юго-восточной
5. В Киеве на высоте 59^о наблюдалась верхняя кульминация звезды Арктур (d = 19^о27^/). Какова географическая  широта Киева? [50^о27^/]
6. Каково склонение звезд, кульминирующих в месте с географической широтой j в точке севера? [90^о – j]
7. Полярная звезда отстоит от северного полюса мира на 49^/46^//. Чему равно ее склонение?
8. Можно ли видеть звезду Сириус (d = –16^о39^/) на метеорологических станциях, расположенных на о. Диксон (j = 73^о30^/) и в Верхоянске (j = 67^о33^/)? [На о. Диксон нет, в Верхоянске нет]
9. Звезда, описывающая над горизонтом дугу в 180^о от восхода до захода, во время верхней кульминации отстоит от зенита на 60^о. Под каким углом в данном месте небесный экватор наклонен к горизонту? [30^о]
10. Выразить прямое восхождение звезды Альтаир в дуговых метрах.
11. Звезда отстоит от северного полюса мира на 20^о. Всегда ли она находится над горизонтом Бреста (j = 52^о06^/)? [Всегда]
12. Найдите географическую широту места, в котором звезда в верхней кульминации проходит через зенит, а в нижней касается горизонта в точке севера. Каково склонение этой звезды? j = 45^о; [d = 45^о]
13. Азимут светила 45^о, высота 45^о. В какой стороне неба нужно искать это светило?
14. При определении географической широты места искомая величина была принята равной высоте Полярной звезды (89^о10^/14^//), измеренной в момент нижней кульминации. Правильно ли такое определение? Если нет, то в чем ошибка? Какую поправку (по величине и знаку) нужно внести в результат измерения, чтобы получить правильное значение широты? [49^о46^/]
15. Какому условию должно удовлетворять склонение светила, чтобы это светило было незаходящим в пункте с широтой j; чтобы оно было не восходящим?
16. Прямое восхождение звезды Альдебаран (a–Тельца) равно 68^о15^/.Выразите его в единицах времени.
17. Восходит ли в Мурманске (j = 68^о59^/) звезда Фомальгаут (a–Золотой Рыбы), склонение которой равно –29^о53^/? [Не восходит]
18. Докажите по чертежу, по нижней кульминации звезды, что h = d – (90^o – j).
Домашнее задание: § 3. к. в.

5. Измерение времени.
Определение географической долготы.
Узловые вопросы: 1) различия между понятиями звездного, солнечного, местного, поясного, сезонного и всемирного времени; 2) принципы определения времени по данным астрономических наблюдений; 3) астрономические способы определения географической долготы местности.
Ученики должны уметь: 1) решать задачи на расчет времени и дат летосчисления и перевод времени из одной системы счета в другую; 2) определять географические координаты места и времени наблюдения.
Вначале урока проводится самостоятельная работа 20 мин.
1. Используя подвижную карту, определите 2 – 3 созвездия видимые на широте 53^о в Северном полушарии.
2. Определить азимут и высоту звезды на момент урока:
1 Вариант. a Б. Медведицы, a Льва.
2 Вариант. b Ориона, a Орла.
3. Используя карту звездного неба, найдите звезды по их координатам.
Основной материал.
Сформировать понятия о сутках и других единицах измерения времени. Возникновение любой· них (сутки, неделя, месяц, год) связано с астрономией и основано на продолжительности космических явлении (вращения Земли вокруг своей оси, обращения Луны вокруг Земли и обращения Земли вокруг Солнца).
Ввести понятие звездного времени.
Обратить внимание на следующие; моменты:
– продолжительность суток и года зависит от того, в какой системе отсчета рассматривается движение Земли (связана ли она с неподвижными звездами, Солнцем т. д.). Выбор системы отсчета отражается в названии единицы счета времени.
– продолжительность единиц счета времени связан с условиями видимости (кульминациями) небесных светил.
– введение атомного стандарта времени в науке было обусловлено неравномерностью вращения Земли, обнаруженной при повышении точности часов.
Введение поясного времени обусловлено необходимостью согласования хозяйственных мероприятий на территории, определяемой границами часовых поясов.
Пояснить причины изменения продолжительности солнечных суток на протяжении года. Для этого следует сопоставить моменты двух последовательные кульминаций Солнца и какой-либо звезды. Мысленно выбираем звезду, которая в первый раз кульминирует одновременно с Солнцем. В следующий раз кульминация звезды и Солнца одновременно не произойдет. Солнце будет кульминировать примерно на 4 мин позже, т. к. на фоне звезд оно переместится примерно на 1^// вследствие движения Земли вокруг Солнца. Однако это перемещение не является равномерным вследствие неравномерности движения Земли вокруг Солнца (об этом учащимся станет известно после изучения законов Кеплера). Существуют и другие причины, по которым промежуток времени между двумя последовательными кульминациями Солнца непостоянен. Возникает необходимость использования среднего значения солнечного времени.
Привести более точные данные: средние солнечные сутки на 3 мин 56 с короче звездных суток, а 24 ч 00 мин 00 с звездного времени равны 23 ч 56 мин 4 с среднего солнечного времени.
Всемирное время определяется как местное среднее солнечное время на нулевом (гринвичском) меридиане.
Вся поверхность Земли условно разделена на 24 участка (часовых пояса), ограниченных меридианами. Нулевой часовой пояс расположен симметрично относительно нулевого меридиана. Часовые пояса нумеруются от 0 до 23 с запада на восток. Реальные границы часовых поясов совпадают с административными границами районов, областей или государств. Центральные меридианы часовых поясов отстоят друг от друга на 15^о (1 ч), поэтому при переходе из одного часового пояса в другой время изменяется на целое число часов, а число минут и секунд не изменяется. Новые календарные сутки (а также и новый календарный год) начинаются на линии перемены даты, проходящей в основном по меридиану 180^о в. д. вблизи северо-восточной границы Российской Федерации. Западнее линии перемены даты число месяца всегда на единицу больше, чем к востоку от нее. При пересечении этой линии с запада на восток календарное число уменьшается на единицу, а при пересечении с востока на запад календарное число увеличивается на единицу. Это исключает ошибку в счете времени при перемещениях людей, путешествующих из Восточного в Западное полушарие Земли и обратно.
Календарь. Ограничиться рассмотрением краткой истории календаря как части культуры. Необходимо выделить три основных тина календарей (лунный, солнечный и лунно-солнечный), рассказать, что положено в их основу, и более детально остановиться на юлианском солнечном календаре старого стиля и григорианском солнечном календаре нового стиля. Порекомендовав соответствующую литературу, предложите ученикам подготовить к следующему уроку краткие сообщения о разных календарях или организовать специальную конференцию на данную тему.
После изложения материала об измерении времени нужно перейти к обобщениям, связанным с определением географической долготы, и тем самым подытожить вопросы об определении географических координат с помощью астрономических наблюдений.
Современное общество не может обходиться без знания точного времени и координат пунктов на земной поверхности, без точных географических и топографических карт, необходимых для мореплавания, авиации и многих других практических вопросов жизнедеятельности.
Вследствие вращения Земли разность между моментами наступления полудня или кульминацией звезд с известными экваториальными координатами в двух пунктах земной поверхности равна разности значений географической долготы этих пунктов, что дает возможность определения долготы конкретного пункта из астрономических наблюдений Солнца и других светил и, наоборот, местного времени в любо·пункте с известной долготой.
Чтобы вычислить географическую долготу местности, необходимо определить момент кульминации какого-либо светила с известными экваториальными координатами. Затем с помощью специальных таблиц (или калькулятора) время наблюдений переводится из среднего солнечного в звездное. Узнав по справочнику время кульминации этого светила на гринвичском меридиане, мы сможем определить долготу местности. Единственную сложность здесь представляет точный перевод единиц времени из одной системы в другую.
Моменты кульминации светил определяют с помощью пассажного инструмента – телескопа, укрепленного особым образом. Зрительная труба такого телескопа может быть повернута только вокруг горизонтальной оси, а ось закреплена в направлении запад-восток. Таким образом, инструмент поворачивается от точки юга через зенит и полюс мира к точке севера, т. е. он отслеживает небесный меридиан. Вертикальная нить в поле зрения трубы телескопа служит отметкой меридиана. В момент прохождения звезды через небесный меридиан (в верхней кульминации) звездное время равно се прямому восхождению. Впервые пассажный инструмент был изготовлен датчанином О. Ремером в 1690 г. За более чем триста лет принцип инструмента не изменился.
Отметить тот факт, что необходимость в точном определении моментов и промежутков времени стимулировала развитие астрономии и физики. Вплоть до середины XX в. астрономические способы измерения, хранения времени и эталоны времени лежали в основе деятельности мировой Службы времени. Точность хода часов контролировалась и корректировалась астрономическими наблюдениями. В настоящее время развитие физики привело к созданию более точных способов определения и эталонов времени. Современные атомные часы дают ошибку в 1 с за 10 млн. лет. С помощью этих часов и других приборов были уточнены многие характеристики видимого и истинного движения космических тел, открыты новые космические явления, в том числе изменения в скорости вращения Земли вокруг своей оси приблизительно на 0,01 с в течение года.
При закреплении изученного материала с учащимися можно решить следующие задачи.
Задача 1.
Определить географическую долготу места наблюдения, если:
а) в местный полдень путешественник отметил 14^ч13^м по гринвичскому времени.

С учетом того, что 1^ч = 15^о и 1^м = 15^/, имеем .
б) по сигналам точного времени 8^ч00^м00^с геолог зарегистрировал 10^ч13^м42^с местного времени.

С учетом того, что
1^ч = 15^о, 1^м = 15^/ и 1 с = 15^//, имеем .
в) штурман лайнера в 17^ч52^м37^с местного времени принял сигнал гринвичского времени 12^ч00^м00^с.

С учетом того, что
1^ч = 15^о, 1^м = 15^/ и 1 с = 15^//, имеем .
г) путешественник в местный полдень отметил 17^ч35^м.

С учетом того, что 1^ч = 15^о и 1^м = 15^/, имеем .
Задача 2.
Путешественники заметили, что по местному времени затмение луны началось в 15^ч15^м, тогда как по астрономическому календарю оно должно было состояться в 3^ч51^м по гринвичскому времени. Какова долгота их места нахождения.

Задача 3.
25 мая в Москве (2 часовой пояс) часы показывают 10^ч45^м. Какое среднее, поясное и летнее время в этот момент в Новосибирске (6 часовой пояс, l₂ = 5^ч31^м).
Зная московское летнее время , найдем всемирное время T_o:
.
В этот момент в Новосибирске:
 – среднее время.
 – поясное время.
 – летнее время.
Сообщения для учащихся:
1. Арабский лунный календарь.
2. Турецкий лунный календарь.
3. Персидский солнечный календарь.
4. Коптский солнечный календарь.
5. Проекты идеальных вечных календарей.
6. Счет и хранение времени.

6. Гелиоцентрическая система Коперника.
Узловые вопросы: 1) сущность гелиоцентрической системы мира и исторические предпосылки ее создания; 2) причины и характер видимого движения планет.
Фронтальная беседа.
1. Истинными солнечными сутками называют промежуток времени между двумя последовательными одноименными кульминациями центра солнечного диска.
2. Звездными сутками называют промежуток времени между двумя последовательными одноименными кульминациями точки весеннего равноденствия, равный периоду вращения Земли.
3. Средние солнечные сутки – это промежуток времени между двумя одноименными кульминациями среднего экваториального Солнца.
4. Для наблюдателей, находящихся на одном и том же меридиане, кульминация Солнца (как и любого другого светила) происходит одновременно.
5. Солнечные сутки отличаются от звездных на 3^м56^с.
6. Разность значений местного времени в двух пунктах земной поверхности в один и тот же физический момент равна разности значений их географических долгот.
7. При пересечении границы двух соседних поясов с запада на восток часы надо перевести на один час в перед, а с востока на запад – на один час назад.
Рассмотреть пример решения задачи.
Корабль, покинувший Сан-Франциско утром в среду 12 октября и взявший курс на запад, прибыл во Владивосток ровно через 16 суток. Какого числа месяца и в какой день недели он прибыл? Что необходимо учесть при решении этой задачи? Кто и при каких обстоятельствах впервые в истории столкнулся с подобным?
При решении задачи нужно учесть, что на пути из Сан-Франциско во Владивосток корабль пересечет условную линию, называемую линий перемены дат. Проходит она по земному меридиану с географической долготой 180^о, либо близко к нему.
При пересечении линии перемены даты в направлении с востока к западу (как в нашем случае) одна календарная дата выбрасывается из счета.
Поэтому корабль прибыл во Владивосток 12 + 16 + 1 = 29 октября, которая являлась субботой.
Впервые с этим столкнулся Магеллан и его спутники во время кругосветного путешествия.
Основной материал.
Птолемей Клавдий (ок. 90 – ок. 160), древнегреческий ученый, последний крупный астроном античности. Дополнил звездный каталог Гиппарха. Соорудил специальные астрономические инструменты: астролябию, армиллярную сферу, трикветр. Описал положение 1022 звезд. Разработал математическую теорию движения планет вокруг неподвижной Земли (используя представление видимого движения небесных тел при помощи комбинаций круговых движений – эпициклов), позволявшую вычислить их положение на небе. Вместе с теорией движения Солнца и Луны она составила т. н. птолемееву систему мира. Достигнув высокой по тем временам точности, теория, тем не менее, не объясняла изменение блеска Марса и другие парадоксы античной астрономии. Система Птолемея изложена в его главном труде «Альмагест» («Великое математическое построение астрономии в ХIII книгах») – энциклопедии астрономических знаний древних. В «Альмагесте» приведены также сведения по прямолинейной и сферической тригонометрии, впервые дано решение ряда математических задач. В области оптики исследовал преломление и рефракцию света. В труде «География» дал свод географических сведений античного мира.
В течение полутора тысяч лет теория Птолемея являлась основным астрономическим учением. Весьма точная для своей эпохи, она со временем стала сдерживающим фактором в развитии науки и была заменена на гелиоцентрическую теорию Коперника.
Правильное понимание наблюдаемых небесных явлений и места Земли в Солнечной системе складывалось веками. Окончательно сломил представление о неподвижности Земли Николай Коперник. Коперник (Kopernik, Copernicus) Николай (1473 – 1543), великий польский астроном.
Создатель гелиоцентрической системы мира. Совершил переворот в естествознании, отказавшись от принятого в течение многих веков учения о центральном положении Земли. Объяснил видимые движения небесных светил вращением Земли вокруг оси и обращением планет (в т. ч. Земли) вокруг Солнца. Свое учение изложил в сочинении «О вращениях небесных сфер» (1543), запрещенном католической церковью с 1616 по 1828 годы.
Коперник показал, что именно вращением Земли вокруг Солнца можно объяснить видимые петлеобразные движения планет. Центром планетной системы является Солнце.
Ось вращения Земли отклонена от оси орбиты на угол, равный примерно 23,5°. Если бы не было этого наклона, смены времен года не существовало бы. Регулярная смена времен года – следствие движения Земли вокруг Солнца и наклона оси вращения Земли к плоскости орбиты.
Поскольку при наблюдениях с Земли на движение планет вокруг Солнца накладывается еще и движение Земли по своей орбите, планеты перемещаются по небосводу то с востока на запад (прямое движение), то с запада на восток (попятное движение). Моменты смены направления называются стояниями. Если нанести этот путь на карту, получится петля. Размеры петли тем меньше, чем больше расстояние между планетой и Землей. Планеты описывают петли, а не просто движутся туда-сюда по одной линии исключительно из-за того, что плоскости их орбит не совпадают с плоскостью эклиптики.
Планеты делятся на две группы: нижние (внутренние) – Меркурий и Венера – и верхние (внешние) – остальные шесть планет. Характер движения планеты зависит от того, к какой группе она принадлежит.
Наибольшее угловое удаление планеты от Солнца называется элонгацией. Наибольшая элонгация у Меркурия – 28°, у Венеры – 48°. При восточной элонгации внутренняя планета видна на западе, в лучах вечерней зари, вскоре после захода Солнца. При западной элонгации внутренняя планета видна на востоке, в лучах утренней зари, незадолго до восхода Солнца. Внешние же планеты могут находиться на любом угловом расстоянии от Солнца.
Угол фазы Меркурия и Венеры изменяется в пределах от 0° до 180°, поэтому Меркурий и Венера сменяют фазы так же, как и Луна. Около нижнего соединения обе планеты имеют наибольшие угловые размеры, но выглядят, как узкие серпы. При угле фазы j = 90^о, освещается половина диска планет, фаза Φ = 0,5. В верхнем соединении нижние планеты освещены полностью, но плохо видны с Земли, так как находятся за Солнцем.
Конфигурации планет.

Земля

Нижнее соединение

Верхнее соединение

Восточная элонгация

Западная элонгация

Земля

Противостояние

Соединение

Восточная квадратура

Западная квадратура

Внутренние планеты

Внешние планеты

Домашнее задание: § 3. к. в.

7. Конфигурации планет. Решение задач.
Узловые вопросы: 1) конфигурации и условия видимости планет; 2) сидерический и синодический периоды обращения планет; 3) формула связи между синодическим и сидерическим периодами.
Ученик должен уметь: 1) решать задачи с применением формулы, связывающей синодический и сидерический периоды обращения планет.
Теория. Указать основные конфигурации для верхних (нижних) планет. Дать определение синодического и сидерического периодов.
Допустим, в начальный момент времени минутная стрелка и часовая совпадают. Промежуток времени, через который стрелки встретятся вновь, не будет совпадать ни с периодом оборота минутной стрелки (1 ч), ни с периодом оборота часовой стрелки (12 ч). Этот промежуток времени называется синодическим периодом – время, через которое повторяются определенные положения стрелок.
Угловая скорость минутной стрелки , а часовой – . За синодический период S часовая стрелка часов пройдет путь
,
а минутная
.
Вычитая пути, получим , или
.
Записать формулы, связывающие синодический и сидерический период и рассчитать повторение конфигураций для ближайшей к Земле верхней (нижней) планеты. Необходимые табличные значения найти в приложениях.
2. Рассмотреть пример:
– Определить сидерический период планеты, если он равен синодическому. Какая реальная планета Солнечной системы ближе всего подходит к этим условиям?
По условию задачи T = S, где T – сидерический период, время обращения планеты вокруг Солнца, а S – синодический период, время повторения одинаковых конфигурация с данной планетой.
Тогда в формуле
, сделаем замену S на T: планета находится бесконечно далеко. С другой стороны , сделав аналогичную замену
дня.
Наиболее подходящей планетой является Венера, период которой 224,7 суток.
Решение задач.
1. Каков синодический период Марса, если его звездный период равен 1,88 земного года?
Марс является внешней планетой и для него справедлива формула
.
2. Нижние соединения Меркурия повторяются через 116 суток. Определите сидерический период Меркурия.
Меркурий является внутренней планетой и для него справедлива формула
.
3. Определите звездный период Венеры, если ее нижние соединения повторяются через 584 суток.
[225 суток]
4. Через какой промежуток времени повторяются противостояния Юпитера, если его сидерический период равен 11,86 г?
[399 сут]

8. Видимое движение Солнца и Луны.
Узловые вопросы: 1) суточное движение Солнца на различных широтах; 2) изменение видимого движения Солнца в течение года; 3) видимое движение и фазы Луны; 4) Солнечные и лунные затмения. Условия затмений.
Ученик должен уметь: 1) применять астрономические календари, справочники, подвижную карту звездного неба для определения условий протекания явлений, связанных с обращением Луны вокруг Земли и видимым движением Солнца.
Самостоятельная работа 20 мин
Основной материал.
При формировании эклиптики и зодиака нужно оговорить, что эклиптика является проекцией плоскости земной орбиты на небесную сферу. По причине обращения планет вокруг Солнца почти в одной плоскости их видимое движение на небесной сфере будет осуществляться вдоль и вблизи эклиптики с переменной угловой скоростью и периодическим изменением направления движения. Направление движения Солнца по эклиптике противоположно суточному движению звезд, угловая скорость – около 1^о в сутки.
Дни солнцестояния и равноденствия.
Движение Солнца по эклиптике является отражением вращения Земли вокруг Солнца. Эклиптика пролегает через 13 созвездий: Рыбы, Овен, Телец, Близнецы, Рак, Лев, Дева, Весы, Скорпион, Стрелец, Козерог, Водолей, Змееносец.
Змееносец не считается зодиакальным созвездием, хотя лежит на эклиптике. Представление о знаках зодиака сложилось несколько тысяч лет назад, когда эклиптика не проходила по созвездию Змееносца. В древности точных границ не было и знаки соответствовали созвездиям символически. В настоящее время зодиакальные знаки и созвездия не совпадают. Например, точка весеннего равноденствия и зодиакальный знак Овна находятся в созвездии Рыб.
Для самостоятельной работы.
Используя подвижную карту звездного неба, установите, под каким созвездием вы родились, т. е. в каком созвездии было Солнце в момент вашего рождения. Для этого соедините линией северный полюс мира и дату вашего рождения и посмотрите, в каком созвездии эта линия пересекает эклиптику. Объясните, почему результат расходится с указанным в гороскопе.

Телец (_)

Овен (^)

Рыбы (i)

Водолей (h)

Козерог (g)

Стрелец (f)

Скорпион (e)

Весы (d)

Дева (c)

Лев (b)

Рак (a)

Близнецы (`)

Разобрать явление прецессии земной оси. Прецессией называется медленное конусообразное вращение земной оси с периодом 26 тыс. лет под действием сил тяготения со стороны Луны и Солнца. Прецессия меняет положение небесных полюсов. Около 2700 лет назад вблизи северного полюса находилась звезда a Дракона, названная китайскими астрономами Царственной звездой. Расчеты показывают, что к 10000 году Северный полюс мира сблизится со звездой a Лебедя, а в 13600 г. на месте Полярной звезды будет a Лиры (Вега). Таким образом, в результате прецессии точки весеннего и осеннего равноденствия, летнего и зимнего солнцестояния медленно перемещаются по зодиакальным созвездиям. Астрология предлагает сведения, устаревшие 2 тыс. лет назад.
Видимое движение Луны на фоне звезд происходит вследствие отражения действительного движения Луны вокруг Земли, которое сопровождается изменением внешнего вида нашего спутника. Видимый край диска Луны называется лимбом. Линия, разделяющая освещенную и неосвещенную Солнцем части диска Луны, называется терминатором. Отношение площади освещенной части видимого диска Луны ко всей его площади называется фазой Луны.
Различают четыре основных фазы Луны: новолуние, первая четверть, полнолуние и последняя четверть. В новолуние Φ = 0, в первую четверть Φ = 0,5, в полнолуние фаза равна Φ = 1,0, а в последнюю четверть снова Φ = 0,5.
В новолуние Луна проходит между Солнцем и Землей, к Земле обращена темная, не освещенная Солнцем сторона Луны. Правда, иногда в это время диск Луны светится особым, пепельным светом. Слабое свечение ночной части лунного диска вызвано солнечным светом, отраженным Землей к Луне. Через два дня после новолуния на вечернем небе, на западе, вскоре после захода Солнца, появляется тоненький серпик молодой луны.
Через семь суток после новолуния растущая Луна видна в форме полукруга на западе или юго-западе, вскоре после захода Солнца. Луна находится на 90° к востоку от Солнца и видна по вечерам и в первой половине ночи.

Фаза Луны		Время видимости	В какой стороне неба видна
Новолуние	Ф = 0	Не видна
Первая четверть	Ф = 0,5	Вечер, первая половина ночи	Запад
Полнолуние	Ф = 1	Вся ночь	Противоположно Солнцу
Последняя четверть	Ф = 0,5	Вторая половина ночи, утро	Восток

Через 14 суток после новолуния наступает полнолуние. Луна при этом находится в противостоянии с Солнцем, и к Земле обращено все освещенное полушарие Луны. В полнолуние Луна видна всю ночь, восходит Луна во время захода Солнца, заходит – во время восхода Солнца.
Через неделю после полнолуния стареющая Луна предстает перед нами в фазе своей последней четверти, в виде полукруга. В это время к Земле обращена половина освещенного и половина неосвещенного полушария Луны. Луна видна на востоке, перед восходом Солнца, во второй половине ночи
Полная Луна повторяет по небу суточный путь Солнца, проходимый им за полгода до этого, поэтому летом полная Луна не удаляется далеко от горизонта, а зимой, напротив, поднимается высоко.
Земля обращается вокруг Солнца, поэтому от одного новолуния к следующему Луна оборачивается вокруг Земли не на 360°, а несколько больше. Соответственно, синодический месяц на 2,2 дня больше сидерического.
Промежуток времени между двумя последовательными одинаковыми фазами Луны называется синодическим месяцем, его продолжительность 29,53 суток. Сидерический же месяц, т.е. время, за которое Луна делает один оборот вокруг Земли относительно звезд, составляет 27,3 суток.
Солнечные и лунные затмения.
В древности солнечные и лунные затмения вызывали у людей суеверный ужас. Считалось, что затмения предвещают войны, голод, разорение, массовые болезни.
Покрытие Солнца Луной называется солнечным затмением. Это очень красивое и редкое явление. Солнечное затмение наступает, если в момент новолуния Луна пересекает плоскость эклиптики.
Если диск Солнца полностью закрывается диском Луны, то затмение называют полным. В перигее Луна бывает ближе к Земле на 21 000 км от среднего расстояния, в апогее – дальше на 21 000 км. От этого изменяется угловые размеры Луны. Если угловой диаметр диска Луны (около 0,5^о) оказывается немного меньше углового диаметра диска Солнца (около 0,5^о), то в момент максимальной фазы затмения от Солнца остается видимым яркое узкое кольцо. Такое затмение называется кольцеобразным. И, наконец, Солнце может не полностью скрываться за диском Луны из-за несовпадения их центров на небе. Такое затмение называется частным. Наблюдать такое красивое образование, как солнечная корона, можно лишь во время полных затмений. Такие наблюдения даже в наше время многое могут дать науке, поэтому наблюдать в ту страну, где будет солнечное затмение, приезжают астрономы из многих стран.
Солнечное затмение начинается с восходом Солнца в западных районах земной поверхности и заканчивается в восточных районах при заходе Солнца. Обычно полное солнечное затмение длится несколько минут (наибольшая продолжительность полного солнечного затмения 7 мин 29 сек будет 16 июля 2186 года).
Луна движется с запада на восток, поэтому солнечное затмение начинается с западного края солнечного диска. Степень покрытия Солнца Луной называется фазой солнечного затмения.
Солнечные затмения можно видеть только в тех областях Земли, по которым проходит полоса тени Луны. Диаметр тени не превышает 270 км, поэтому полное затмение Солнца видно лишь на малом участке земной поверхности.
Плоскость лунной орбиты в пересечении с небом образует большой круг – лунный путь. Плоскость земной орбиты пересекается с небесной сферой по эклиптике. Плоскость лунной орбиты наклонена к плоскости эклиптики под углом 5^о09^/. Период обращения Луны вокруг Земли (звездный или сидерический период) Р₎ = 27,32166 земных суток или 27 сут 7 час 43 мин.
Плоскость эклиптики и лунный путь пересекаются друг с другом по прямой линии, называемой линией узлов. Точки пересечения линии узлов с эклиптикой называются восходящим и нисходящим узлами лунной орбиты. Лунные узлы непрерывно перемещаются навстречу Луне, то есть к западу, совершая полный оборот за 18,6 года. Ежегодно долгота восходящего узла уменьшается примерно на 20^о.
Так как плоскость лунной орбиты наклонена к плоскости эклиптики под углом в 5^о09^/, Луна во время новолуния или полнолуния может находиться далеко от плоскости эклиптики, и диск Луны пройдет выше или ниже диска Солнца. При этом затмения не происходит. Чтобы произошло солнечное или лунное затмение, необходимо, чтобы Луна во время новолуния или полнолуния находилась вблизи восходящего или нисходящего узла своей орбиты, т.е. недалеко от эклиптики.
В астрономии сохранились многие знаки, введенные в глубокой древности. Символ восходящего узла означает голову дракона Раху, набрасывающегося на Солнце и вызывающего, по индийским легендам, его затмение.
Во время полного лунного затмения Луна полностью уходит в тень Земли. Полная фаза лунного затмения продолжается гораздо дольше, нежели полная фаза солнечного затмения. Форма края земной тени при лунных затмениях послужила древнегреческому философу и ученому Аристотелю одним из веских доказательств шарообразности Земли. Философы Древней Греции подсчитали, что Земля примерно втрое больше Луны, просто исходя из продолжительности затмений (точная величина этого коэффициента 3,66).
Луна в момент полного лунного затмения в действительности лишается солнечного света, поэтому полное лунное затмение видно из любой точки полушария Земли. Затмение начинается и заканчивается одновременно для всех географических точек. Однако местное время этого явления будет разное. Так как Луна движется с запада на восток, то первым входит в земную тень левый край Луны.
Затмение может быть полным или частным в зависимости от того, входит Луна в земную тень полностью или проходит вблизи ее края. Чем ближе к лунному узлу происходит лунное затмение, тем больше его фаза. Наконец, когда диск Луны накрывает не тень, а полутень, случаются полутеневые затмения. Невооруженным глазом их заметить нельзя.
Во время затмения Луна прячется в тень Земли и, казалось бы, каждый раз должна исчезать из виду, т.к. Земля непрозрачна. Однако земная атмосфера рассеивает солнечные лучи, которые попадают на затмевающуюся поверхность Луны «в обход» Земли. Красноватый цвет диска обусловлен тем, что сквозь атмосферу лучше всего проходят красные и оранжевые лучи.
Каждое лунное затмение различно по распределению яркости и цвета в земной тени. Цвет затмившейся Луны часто оценивается по специальной шкале, предложенной французским астрономом Андре Данжоном:
1. Затмение очень темное, в середине затмения Луна почти или совсем не видна.
2. Затмение темное, серое, детали поверхности Луны совершенно не видны.
3. Затмение темно-красное или рыжеватое, около центра тени наблюдается более темная часть.
4. Затмение красно-кирпичного цвета, тень окружена сероватой или желтоватой каймой.
5. Затмение медно-красного цвета, очень яркое, внешняя зона светлая, голубоватая.
Если бы плоскость орбиты Луны совпадала бы с плоскостью эклиптики, то лунные затмения повторялись бы каждый месяц. Но угол между этими плоскостями составляет 5^о и Луна дважды в месяц лишь пересекает эклиптику в двух точках, называемых узлами лунной орбиты. Об этих узлах знали еще древние астрономы, называя их Головой и Хвостом Дракона (Раху и Кету). Для того, чтобы произошло лунное затмение, Луна в полнолуние должна находится вблизи узла своей орбиты.
Лунные затмения происходят несколько раз в год.
Промежуток времени, через который Луна возвращается к своему узлу, называется драконическим месяцем, который равен 27,21 суток. Через такое время Луна пересекает эклиптику в точке, смещенной по отношению к предыдущему пересечению на 1,5^о к западу. Фазы Луны (синодический месяц) повторяются в среднем через 29,53 суток. Промежуток времени в 346,62 суток, за который центр диска Солнца проходит через один и тот же узел лунной орбиты, называется драконическим годом.
Период повторяемости затмений – сарос – будет равен промежутку времени, по истечении которого начала этих трех периодов будут совпадать. Сарос на древнеегипетском означает «повторение». Задолго до нашей эры, еще в древности, установили, что сарос продолжается 18 лет 11 суток 7 часов. Сарос включает в себя: 242 драконических месяца или 223 синодических месяца или 19 драконических лет. В течение каждого сароса происходит от 70 до 85 затмений; из них обычно бывает около 43 солнечных и 28 лунных. На протяжении года может произойти самое большое семь затмений – либо пять солнечных и два лунных, либо четыре солнечных и три лунных. Минимальное число затмений в году – два солнечных затмения. Солнечные затмения происходят чаще лунных, но наблюдаются в одной и той же местности они редко, так как эти затмения видны только в узкой полосе тени Луны. В какой-нибудь определенной точке поверхности полное солнечное затмение наблюдается в среднем 1 раз в 200 – 300 лет.
Домашнее задание: § 3. к. в.

9. Эклиптика. Видимое движение Солнца и Луны.
Решение задач.
Узловые вопросы: 1) суточное движение Солнца на различных широтах; 2) изменение видимого движения Солнца в течение года; 3) видимое движение и фазы Луны; 4) Солнечные и лунные затмения. Условия затмений.
Ученик должен уметь: 1) применять астрономические календари, справочники, подвижную карту звездного неба для определения условий протекания явлений, связанных с обращением Луны вокруг Земли и видимым движением Солнца.
1. На сколько смещается Солнце по эклиптике каждый день?
В течение года Солнце описывает по эклиптике круг в 360^о, поэтому

2. Почему солнечные сутки на 4 мин длиннее звездных?
Потому что, вращаясь вокруг собственной оси, Земля также движется по орбите вокруг Солнца. Земля должна сделать чуть больше одного оборота вокруг своей оси, чтобы для одной и той же точки Земли Солнце вновь наблюдалось на небесном меридиане.
.
Солнечные сутки на 3 мин 56 с короче звездных.
3. Объясните, почему Луна ежедневно восходит в среднем на 50 мин позже, чем накануне.
В данный день в момент восхода Луна находится в определенном созвездии. Спустя 24 ч, когда Земля совершит один полный оборот вокруг своей оси, это созвездие снова взойдет, но Луна за это время переместится примерно на 13^о в восточном направлении по отношению к звездам, и ее восход, поэтому наступит на 50 мин позже.
4. Почему до того, как космические аппараты облетели Луну и сфотографировали ее обратную сторону, люди могли видеть лишь одну ее половину?
Период вращения Луны вокруг своей оси равен периоду ее обращения вокруг Земли, так что она обращена к Земле одной и той же стороной.
5. Почему в новолуние Луна с Земли не видна?
Луна в это время находится по одну сторону от Земли, что и Солнце, поэтому к нам обращена темная, неосвещенная Солнцем половина лунного шара. В таком положении Земли, Луны и Солнца для жителей Земли может произойти солнечное затмение. Оно бывает не каждое новолуние, так как Луна проходит обычно в новолуние выше или ниже диска Солнца.
6. Опишите как изменилось положение Солнца на небесной сфере с начала учебного года до дня в который проводится этот урок.
По звездной карте находим положение Солнца на эклиптике 1 сентября и в день урока (например, 27 октября). 1 сентября Солнце находилось в созвездии Льва и имело склонение d = +10^о. Двигаясь по эклиптике, Солнце 23 сентября пересекло небесный экватор и перешло в южное полушарие, 27 октября оно находится в созвездии Весов и имеет склонение d = –13^о. То есть к 27 октября Солнце движется по небесной сфере, все меньше поднимаясь над горизонтом.
7. Почему затмения не наблюдаются каждый месяц?
Поскольку плоскость лунной орбиты наклонена к плоскости земной орбиты, то, например, в новолунии Луна не бывает на линии, соединяющей центры Солнца и Земли, а поэтому лунная тень пройдет мимо Земли и солнечного затмения не будет. По аналогичной причине Луна не в каждое полнолуние проходит через конус земной тени.
8. Во сколько раз Луна быстрее Солнца перемещается по небу?
Солнце и Луна движутся по небу в направлении, противоположном суточному вращению неба. За сутки Солнце проходит приблизительно 1^о, а Луна – 13^о. Следовательно, Луна перемещается по небу в 13 раз быстрее Солнца.
9. Чем отличается по форме утренний серп Луны от вечернего?
Утренний серп Луны имеет выпуклость влево (напоминает букву C). Луна находится на расстоянии 20 – 50^о к западу (вправо) от Солнца. Вечерний серп Луны имеет выпуклость вправо. Луна находится на расстоянии в 20 – 50^о восточнее (левее) Солнца.
1 уровень: 1 – 2 балла.
1. Что называется эклиптикой? Укажите правильные утверждения.
A. Ось видимого вращения небесной сферы, соединяющая оба полюса мира.
Б. Угловое расстояние светила от небесного экватора.
B. Воображаемая линия, по которой Солнце совершает свое видимое годовое движение на фоне созвездий.
2. Укажите, какие из перечисленных ниже созвездий являются зодиакальными.
A. Водолей. Б. Стрелец. B. Заяц.
3. Укажите, какие из перечисленных ниже созвездий не являются зодиакальными.
A. Телец. Б. Змееносец. B. Рак.
4. Что называется звездным (или сидерическим) месяцем? Укажите правильное утверждение.
А. Период обращения Луны вокруг Земли относительно звезд.
Б. Промежуток времени между двумя полными затмениями Луны.
В. Промежуток времени между новолунием и полнолунием.
5. Что называется синодическим месяцем? Укажите правильное утверждение.
A. Промежуток времени между полнолунием и новолунием. Б. Промежуток времени между двумя последовательными одинаковыми фазами Луны.
B. Время обращения Луны вокруг своей оси.
6. Укажите длительность синодического месяца Луны.
A. 27,3 сут. Б. 30 сут. B. 29,5 сут.
2 уровень: 3 – 4 балла
1. Почему на звездных картах не указано положение планет?
2. В каком направлении происходит видимое годичное движение Солнца относительно звезд?
3. В каком направлении происходит видимое движение Луны относительно звезд?
4. Какое полное затмение (солнечное или лунное) продолжительнее? Почему?
5. Найдите на звездной карте созвездие, в котором Солнце находилось 1 мая.
6. Вследствие чего в течение года изменяется положение точек восхода и захода Солнца?
3 уровень: 5 – 6 баллов.
1. а) Что такое эклиптика? Какие созвездия на ней находятся?
б) Нарисуйте, как выглядит Луна в последней четверти. В какое время суток она видна в этой фазе?
2. а) Чем обусловлено годичное видимое движение Солнца по эклиптике?
б) Нарисуйте, как выглядит Луна между новолунием и первой четвертью.
3. а) Найдите на звездной карте созвездие, в котором сегодня находится Солнце.
б) Почему полные лунные затмения наблюдаются в одном и том же месте Земли во много раз чаще, нежели полные солнечные затмения?
4. а) Можно ли рассматривать годовое движение Солнца по эклиптике как доказательство обращения Земли вокруг Солнца?
б) Нарисуйте, как выглядит Луна в первой четверти. В какое время суток она видна в этой фазе?
5. а) Какова причина видимого света Луны?
б) Нарисуйте, как выглядит Луна во второй четверти. В какое время суток она выглядит в этой фазе?
6. а) Вследствие чего изменяется полуденная высота Солнца в течение года?
б) Нарисуйте, как выглядит Луна между полнолунием и последней четвертью.
4 уровень. 7 – 8 баллов
1. а) Сколько раз в течение года можно увидеть все фазы Луны?
б) Полуденная высота Солнца равна 30^о, а его склонение равно 19^о. Определите географическую широту места наблюдения.
2. а) Почему мы видим с Земли только одну сторону Луны?
б) На какой высоте в Киеве (j = 50^о) происходит верхняя кульминация звезды Антарес (d = –26^о)? Сделайте соответствующий чертеж.
3. а) Вчера наблюдалось лунное затмение. Когда можно ожидать ближайшее солнечное затмение?
б) Звезда Мира со склонением –3^о12^/ наблюдалась в Виннице на высоте 37^о35^/ южного неба. Определить географическую широту Винницы.
4. а) Почему полная фаза лунного затмения продолжается гораздо дольше, нежели полная фаза солнечного затмения?
б) Какова полуденная высота Солнца 21 марта в пункте, географическая высота которого равна 52^о?
5. а) Каков минимальный промежуток времени между солнечными и лунными затмениями?
б) На какой географической широте Солнце будет кульминировать в полдень на высоте 45^о над горизонтом, если в этот день его склонение равно –10^о?
6. а) Луна видна в последней четверти. Может ли через неделю быть лунное затмение? Ответ поясните.
б) Какова географическая широта места наблюдения, если 22 июня Солнце наблюдалось в полдень на высоте 61^о?

10. Законы Кеплера.
Узловые вопросы: 1)предмет, задачи, методы и инструменты небесной механики; 2) формулировки законов Кеплера.
Ученик должен уметь: 1) решать задачи с применением Законов Кеплера.
В начале урока проводится самостоятельная работа (20 мин).
Теория.
Первый закон Кеплера.
Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.
Второй закон Кеплера (закон равных площадей).
Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает равновеликие площади. Другая формулировка этого закона: секторальная скорость планеты постоянна.
Третий закон Кеплера.
Квадраты периодов обращений планет вокруг Солнца пропорциональны кубам больших полуосей их эллиптических орбит.
Современная формулировка первого закона дополнена так: в невозмущенном движении орбита движущегося тела есть кривая второго порядка – эллипс, парабола или гипербола.
В отличие от двух первых, третий закон Кеплера применим только к эллиптическим орбитам.
Скорость движения планеты в перигелии
,
где v_c– средняя или круговая скорость планеты при r = a. Скорость движения в афелии
.
Кеплер открыл свои законы эмпирическим путем. Ньютон вывел законы Кеплера из закона всемирного тяготения. Для определения масс небесных тел важное значение имеет обобщение Ньютоном третьего закона Кеплера на любые системы обращающихся тел.
В обобщенном виде этот закон обычно формулируется так: квадраты периодов T1 и T2 обращения двух тел вокруг Солнца, помноженные на сумму масс каждого тела (соответственно M₁ и M₂) и Солнца (М ), относятся как кубы больших полуосей a₁ и a₂ их орбит:
.
При этом взаимодействие между телами M₁ и M₂ не учитывается. Если рассмотреть движение планет вокруг Солнца, в этом случае , и , то получится формулировка третьего закона, данная самим Кеплером:
.
Третий закон Кеплера можно также выразить как зависимость между периодом T обращения по орбите тела с массой M и большой полуосью орбиты a (G – гравитационная постоянная):
.
Здесь необходимо сделать следующее замечание. Для простоты часто говорится, что одно тело обращается вокруг другого, но это справедливо только для случая, когда масса первого тела пренебрежимо мала по сравнению с массой второго (притягивающего центра). Если же массы сравнимы, то следует учитывать и влияние менее массивного тела на более массивное. В системе координат с началом в центре масс орбиты обоих тел будут коническими сечениями, лежащими в одной плоскости и с фокусами в центре масс, с одинаковым эксцентриситетом. Различие будет только в линейных размерах орбит (если тела разной массы). В любой момент времени центр масс будет лежать на прямой, соединяющей центры тел, а расстояния до центра масс r₁ и r₂ тел массой M₁ и M₂ соответственно связаны следующим соотношением:
.
Перицентры и апоцентры своих орбит (если движение финитно) тела также будут проходить одновременно.
Третий закон Кеплера можно использовать, чтобы определить массу двойных звезд.
Пример.
– Какова была бы большая полуось орбиты планеты, если бы синодический период ее обращения равнялся одному году?
Из уравнений синодического движения находим сидерический период обращения планеты. Возможны два случая:

Второй случай не реализуется. Для определения «а» пользуемся 3 законом Кеплера.

В солнечной системе такой планеты нет.
Эллипс определяется как геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух заданных точек (фокусов F₁ и F₂) есть величина постоянная и равная длине большой оси:
r₁ + r₂ = |AA^/| = 2a.
Степень вытянутости эллипса характеризуется его эксцентриситетом е. Эксцентриситет
е = ОF/OA.
При совпадении фокусов с центром е = 0, и эллипс превращается в окружность.
Большая полуось a является средним расстоянием от фокуса (планеты от Солнца):
a = (AF₁ + F₁A^/)/2.
Домашнее задание: § 6, 7. к. в.
1 уровень: 1 – 2 балла.
1. Укажите, какие из перечисленных ниже планет являются внутренними.
A. Венера. B. Меркурий. В. Марс.
2. Укажите, какие из перечисленных ниже планет являются внешними.
А.Земля. Б. Юпитер. В. Уран.
3. По каким орбитам движутся планеты вокруг Солнца? Укажите правильный ответ.
A. По окружностям. Б. По эллипсам. B. По параболам.
4. Как изменяются периоды обращения планет с удалением планеты от Солнца?
A. Чем дальше планета от Солнца, тем больше ее период обращения вокруг него.
Б. Период обращения планеты не зависит от ее расстояния до Солнца.
B. Чем дальше планета от Солнца, тем меньше ее период обращения.
5. Укажите, какие из перечисленных ниже планет могут находиться в верхнем соединении.
A. Венера. Б. Марс. B. Плутон.
6. Укажите, какие из перечисленных ниже планет могут наблюдаться в противостоянии.
A. Меркурий. Б. Юпитер. B. Сатурн.
2 уровень: 3 – 4 балла
1.Может ли быть Меркурий видим по вечерам на востоке?
2. Планета видна на расстоянии 120° от Солнца. Внешняя ли эта планета или внутренняя?
3. Почему соединения не считают удобными конфигурациями для наблюдения внутренних и внешних планет?
4. Во время каких конфигураций хорошо видны внешние планеты?
5. Во время каких конфигураций хорошо видны внутренние планеты?
6. В какой конфигурации могут быть и внутренние, и внешние планеты?
3 уровень: 5 – 6 баллов.
1. а) Какие планеты не могут находиться в верхнем соединении?
6) Чему равен звездный период обращения Юпитера, если его синодический период равен 400 сут?
2. а) Какие планеты могут наблюдаться в противостоянии? Какие не могут?
б) Как часто повторяются противостояния Марса, синодический период которого 1,9 года?
3. а) В какой конфигурации и почему удобнее всего наблюдать Марс?
б) Определите звездный период обращения Марса, зная, что его синодический период равен 780 сут.
4. а) Какие планеты не могут находиться в нижнем соединении?
б) Через какой промежуток времени повторяются моменты максимальной удаленности Венеры от Земли, если ее звездный период равен 225 сут?
5. а) Какие планеты могут быть видны рядом с Луной во время полнолуния?
б) Чему равен звездный период обращения Венеры вокруг Солнца, если ее верхние соединения с Солнцем повторяются через 1,6 года?
6. а) Можно ли наблюдать Венеру утром на западе, а вечером на востоке? Ответ поясните.
б) Какой будет звездный период обращения внешней планеты вокруг Солнца, если ее противостояния будут повторяться через 1,5 года?
4 уровень. 7 – 8 баллов
1. а) Как меняется значение скорости движения планеты при ее перемещении от афелия к перигелию?
б) Большая полуось орбиты Марса 1,5 а. е. Чему равен звездный период его обращения вокруг Солнца?
2. а) В какой точке эллиптической орбиты потенциальная энергия искусственного спутника Земли минимальна и в какой – максимальна?
6) На каком среднем расстоянии от Солнца движется планета Меркурий, если ее период обращения вокруг Солнца равен 0,241 земного года?
3. а) В какой точке эллиптической орбиты кинетическая энергия искусственного спутника Земли минимальна и в какой – максимальна?
б) Звездный период обращения Юпитера вокруг Солнца составляет 12 лет. Каково среднее расстояние Юпитера до Солнца?
4. а) Что такое орбита планеты? Какую форму имеют орбиты планет? Могут ли столкнуться планеты при своем движении вокруг Солнца?
б) Определить продолжительность марсианского года, если Марс удален от Солнца в среднем на 228 млн. км.
5. а) В какое время года линейная скорость движения Земли вокруг Солнца наибольшая (наименьшая) и почему?
б) Чему равна большая полуось орбиты Урана, если звездный период обращения этой планеты вокруг Солнца составляет
84 года?
6. а) Как изменяются кинетическая, потенциальная и полная механическая энергия планеты при ее движении вокруг Солнца?
б) Период обращения Венеры вокруг Солнца равен 0,615 земного года. Определите расстояние от Венеры до Солнца.

11.                  Искусственные спутники.
1. Могут ли космические аппараты двигаться по прямолинейным траекториям?
1Это возможно в двух случаях:
1) космический корабль движется с работающим двигателем;
2) космический аппарат движется с выключенным двигателем, но он должен иметь бесконечную скорость.
2. Какую скорость должен иметь космический корабль, движущийся по круговой орбите вокруг Земли?
При использовании реактивной тяги корабль может иметь любую скорость. С выключенным двигателем скорость корабля может быть только круговой, вычисляемой по формуле
, где M – масса Земли, R – радиус Земли, h – высота космического корабля над поверхностью Земли, G – гравитационная постоянная.
3. Нижний предел высот искусственных спутников Земли около 200 км, а искусственные спутники Луны летали на высоте всего около 15 км. Почему так резко отличались высоты ИСЗ и ИСЛ?
Искусственный спутник Земли не может двигаться на высотах меньших 200 км, так как из-за сопротивления атмосферы время его жизни будет мало (несколько суток или даже несколько часов). Предельная высота полета ИСЛ определяется, прежде всего, горным рельефом, так как атмосферы на Луне нет.
4. Искусственный спутник Земли движется по круговой орбите. Как изменится орбита ИСЗ, если скорость увеличить на небольшую величину? уменьшить?
Орбита в том и другом случае станет эллиптической. В первом случае, та точка орбиты, где произошло увеличение скорости, станет перигеем новой эллиптической орбиты, а во втором случае – при уменьшении скорости, ее апогеем.
5. Почему все искусственные спутники Земли, кроме стационарных, имеют эллиптические орбиты, а не круговые?
Предпочитают запускать спутник со скоростью несколько большей, чем круговая, так как при этом его время жизни заметно больше, чем спутника, запущенного с круговой скоростью.
6. Может ли искусственный спутник иметь такую орбиту, чтобы его трасса проходила бы только через Европу и Африку?
Такую трассу будет иметь суточный искусственный спутник Земли с наклонением орбиты i » 60^o.
7. Как с космического корабля, движущегося по круговой орбите, отправить на Землю какое-либо тело?
Это можно сделать тремя способами:
1) отбросить тело назад по орбите, то есть тем самым уменьшить его скорость и перевести на эллиптическую орбиту, лежащую внутри круговой;
2) тело надо бросить вниз, это тоже приведет его на внутреннюю эллиптическую орбиту;
3) сочетанием первого и второго способов.
8. После отделения спутника от последней ступени ракеты-носителя, последняя движется вначале за спутником, а затем обгоняет его? Почему?
Имея большее поперечное сечение, ракета-носитель сильнее тормозится атмосферой; вследствие чего снижаясь, она начинает двигаться с большей угловой скоростью вокруг Земли.
9. Какими параметрами орбит отличаются друг от друга экваториальные, полярные, синхронные, суточные, стационарные искусственные спутники Земли?
У полярных спутников ось вращения Земли лежит в плоскости орбиты; у экваториальных спутников плоскость орбиты совпадает с плоскостью экватора. Синхронные спутники имеют период обращения кратный периоду вращения Земли. У суточных спутников эти два периода совпадают. Геостационарный спутник – это экваториальный суточный спутник. Его под спутниковая точка не перемещается по поверхности Земли.
10. У искусственного спутника Земли горизонтальные координаты остаются неизменными. Какой вывод можно сделать о вращении Земли, наклонении, эксцентриситете и большой полуоси орбиты спутника?
Постоянство азимута и высоты ИСЗ означает, что это геостационарный спутник. Такой спутник может существовать только у вращающейся планеты. Орбита спутника единственная у данной планеты, она круговая, располагается в экваториальной плоскости Земли.
11. Показывают ли фазы искусственные спутники Земли?
Конфигурации искусственных спутников Земли и Луны совпадают. Изменение фазы оказывает влияние на изменение блеска ИСЗ.
12. Почему большинство искусственных спутников бывают видны на небе в вечерние часы после захода Солнца и предутренние, перед восходом Солнца?
В это время тень от Земли располагается близко к горизонту и спутник на большей части видимой траектории не затмевается.
13. Движение пилотируемого космического корабля в свободном полете осуществляется так, что его продольная ось всегда направлена по радиусу Земли. Вращается ли космический корабль? Какое естественное тело движется так же?
Космический корабль вращается вокруг собственной оси с периодом, равным периоду обращения корабля вокруг Земли. Аналогичная ситуация имеет место в системе Земля-Луна.
14. Какое естественное небесное тело движется под действием той же силы, что и искусственные спутники Земли?
Луна под действием силы притяжения к Земле.
15. Какие естественные небесные тела движутся под действием той же силы, что и автоматические межпланетные станции?
Все планеты Солнечной системы под действием силы притяжения к Солнцу.
16. Выполняется ли закон сохранения механической энергии для спутника, движущегося по эллиптической орбите? Какие превращения энергии происходят при переходе спутника из апогея в перигей?
Механическая энергия спутника, движущегося в вакууме, остается постоянной величиной. В апогее потенциальная энергия наибольшая; при переходе в перигей часть потенциальной энергии переходит в кинетическую.
17. Зачем нужны надувные спутники?
Спутники-баллоны применяют для изучения земной атмосферы и активности Солнца. Такие спутники, обладающие малой массой и большим поперечным сечением, легко реагируют на изменения плотности атмосферы.
18. Какой спутник и зачем сделан из урана?
В 1975 году Францией был запущен искусственный спутник Земли, изготовленный из урана-238. Его масса 47 кг, радиус 25 см. Поверхность покрыта уголковыми отражателями и обеспечивает точность световой локации от наземных объектов до 2 см. Использование материала большой плотности позволяет свести к минимуму силы сопротивления земной атмосферы.
19. Как заряжены искусственные спутники?
ИСЗ приобретают положительный заряд в результате облучения их космическими лучами, состоящими преимущественно из протонов и a – частиц.
20. На каких этапах полета космонавт имеет наибольший вес? наименьший вес?
На этапах взлета и посадки, когда космический корабль движется с ускорением, имеет место перегрузка; б свободном полете по орбите наблюдается невесомость.
21. Почему внутри космического корабля, находящегося в свободном полете, тела невесомы?
Космический корабль и находящиеся в нем тела падают на Землю с одинаковым ускорением, вследствие чего для тел исчезает реакция опоры. Это воспринимается как потеря веса. Это состояние называется динамической невесомостью.
22. Космонавт вышел в открытый космос. Сохранится ли у него состояние невесомости, если он находится на поверхности корабля?
В данном случае космонавт будет иметь вес вследствие притяжения к космическому кораблю, однако его значение будет пренебрежимо мало.
23. При каких условиях на космическом корабле вес космонавта оказывается равным его весу на поверхности Земли?
Возможны два варианта:
1) космический корабль должен двигаться поступательно с ускорением, равным ускорению свободного падения на поверхности Земли;
2) космический корабль должен вращаться с такой угловой скоростью, чтобы в месте нахождения космонавта на корабле центростремительное ускорение было равно 9.8 м/c².
24. Справедливы ли законы Паскаля и Архимеда внутри космического корабля, находящегося в свободном полете?
Закон Паскаля справедлив, а закон Архимеда не действует, так как и тело, и жидкость оказываются невесомыми.
25. Что происходит с жидкостью в закрытом сосуде на борту космического корабля?
Считаем, что жидкость занимает часть сосуда. Несмачивающая жидкость примет форму шара. Смачивающая жидкость растечется по поверхности сосуда.
26. Какие виды теплопередачи реализуются внутри космического корабля?
Из-за невесомости естественная конвекция практически не будет иметь места. Принудительная циркуляция газа обеспечивается при помощи вентиляторов; теплопроводность и лучеиспускание не зависят от невесомости.

12.                  Календарь.
1. В XI стол. в Персии был введен календарь, в основу которого положен цикл в 33 года; в этом цикле считалось 25 простых и 8 високосных годов. Определить величину года и ошибку персидского календаря.
Тогда в 33 годах будет 25 простых по 365 суток и 8 високосных по 366 суток. Средняя величина года поэтому равна 365,2424 ср. суток, т.-е. больше действительной только на 0,0002 ср. суток, что составит лишь в 5000 лет 1 сутки.
2. Каковы названия дней начала и конца простого года? – високосного года?
В простом году 365 суток, т. е. они состоят из 52 недель и 1 дня (365 = 52×7 + 1). Следовательно, он оканчивается тем же днем недели, каким начинается (т. е. какой день был 1-го января). Високосный год, очевидно, оканчивается днем, следующим за тем, которым год начинается.
3. «Цикл солнца» равняется 28 юлианским годам; определить, сколько недель содержит он? По прошествии его будут ли повторяться названия дней недели в прежние числа месяцев?
Простой год содержит 52 недели и 1 день, високосный 52 недели и 2 дня, поэтому в разные года дни недели падают на разные числа месяцев. Но так как в 28 юлианских годах содержится ровно 1461 неделя, то по прошествии 28 лет все числа месяцев будут повторяться в прежние дни недели.
4. Зная, что после 1-го года до Р. Хр. следовал сразу 1-й год по Р. Хр., определите, високосный или простой был 45-й год до Р. Хр., т.-е. год введения юлианского календаря?
Так как после 1-го года до Р. Хр. следовал сразу 1-й год по Р. Хр., т.-е. не было нулевого года, то 45-й год до Р. Хр. нужно считать високосным годом.
5. По постановлению Никейского собора (325 г.) православная церковь празднует пасху в первое воскресенье после первого весеннего полнолуния, т. е. после первого полнолуния, которое придется после 21-го марта.
Гаусс дал следующее простое правило для вычисления пасхи в юлианском календаре: разделив номер года на 19, 4 и 7, обозначим остатки через a, b, c; остаток  обозначим через d; остаток  через e; – тогда получим, что пасха в юлианском календаре будет (22 + d + e) марта.
Пользуясь этим правилом Гаусса, найти, когда была пасха в 1923 г.? 1030? 1954? и 2004 году по юлианскому календарю?
Для 1923 года вычисления по правилу Гаусса, дадут следующие значения: a = 4:, b = 3, c = 5, d = 1, е = 3. Следовательно, пасха в 1923 г. будет 26 марта по юлианскому календарю или 8 апреля по новому стилю. Для следующих годов предоставляется самостоятельно сделать эти вычисления.
6. Для римско-католической и протестантской церкви пасха вычисляется по несколько видоизмененной формуле Гаусса, а именно – разделив номер года на 19, 4 и 7, обозначим остатки через a, b, c; остаток  обозначим через d; остаток  через e; тогда получим, что пасха в григорианском календаре будет (22 + d + e) марта.
Пользуясь этим правилом Гаусса, найти, когда будет пасха в римско-католической и протестантской церкви в 1923 г.? 1954? 1981? 2004?
Для 1923 г. вычисления по правилу Гаусса дадут следующие значения: a = 4, b = 3, c = 5, d = 10, e = 0. Следовательно, Пасха в 1923г. в римско-католической церкви будет (22 + 10 + 0) марта или 1-го апреля по григорианскому календарю.
Для следующих годов предлагается самостоятельно сделать эти вычисления.
Замечание 1. В случаях, когда в вычислении получается d = 28 или d = 29, а e = 6, нужно брать неделей раньше. Такие исключительные случаи встречаются только в григорианском календаре и то очень редко, в юлианском же календаре их совершенно не бывает.
В последней задаче имели как раз эти два исключительные случая:
1) Для 1954 г. имеем: d = 28, e = 6, и день пасхи по григорианскому календарю в 1954 г. был 18-го апреля, а не 25 апреля, как получается по вычислению.
2) Для 1981 г. имеем: d = 29, e = 6, и день пасхи по григорианскому календарю в 1981 г. будет 19-го апреля, а не 26-го апреля, как это получается по вычислению.
Замечание 2. Для юлианского календаря правило Гаусса остается всегда справедливым; для григорианского же приведенные формулы справедливы только для периода с 1900 по 2099-й год, а для других периодов их нужно несколько изменить.
7. Чтобы определить день недели, если известна точная дата какого-нибудь события по старому стилю, Целлер предложил следующее правило: предположим, что p-й день q-ого месяца N-ого года по Р. Хр. будет r-ый день недели, считая от предыдущей субботы (т. е. при определении дня надо начинать счет с воскресенья). Тогда r есть остаток от деления на 7 числа:
.
При этом надо помнить, что величины, заключенные в { }, обозначают только целые части частного, а остаток от деления числителя на знаменатель отбрасывается. Кроме того, январь и февраль считаются, как 13-й и 14-й месяцы предыдущего года.
Пользуясь этим правилом, определить в какой день недели был казнен английский король Карл I, если известно, что казнь его была произведена 30 января 1649 года?
В этом случае
p = 30, q = 13, N = 1648;
тогда формула Целлера дает число
30 + 26 + 8 + 1648 + 412 = 2124,
Которое, после деления на 7, даст остаток r = 3, т. е. казнь Карла I была во вторник.
8. Америка была открыта Колумбом 12 октября 1492 г.; в какой день недели это было?
В этом случае
p = 12, q =10, N = 1492.
Остаток от деления на 7 образованного по формуле Целлера числа
12 + 20 + 6 + 1492 + 373 = 1903
будет r = 6, т. е. Колумб открыл Америку в пятницу.
9. В какой день недели был введен впервые на земном шаре григорианский календарь?
Григорианский календарь введен после 4-го октября 1582 г.: за 4-м октября следовало сразу 15-е октября (а не 5-е октября). При помощи формулы Целлера легко найти, что 4-е октября 1582 г. было в четверг, а 15-е октября 1582 г. в пятницу. Следовательно григорианский календарь введен в пятницу (5/15 октября 1582 г.).

13.                  Небесная сфера.
1. В месте, широта которого j = +45^о (с. ш.), наблюдалась звезда, у которой был азимут в A = 120^о, а высота h = 30^o; найти ее часовой угол a и склонение d.
Построим небесную сферу для данного места, как это указано выше.
Отложим на глаз по горизонту ИSK= a = 120^o, проведем через зенит Z и точку K вертикал, круг ZMK, на нем отложим ИКМ = h = 30^o, тогда в точке M и будет находиться данная звезда. Проведя через M и P круг склонения, круг PMR, получим искомые: часовой угол a = ИEWQR, который приблизительно будет равен 275^o и склонение d = ИRМ, равное приблизительно +40^o.
2. В месте, широта которого +35^o (с. ш.), наблюдалось светило, у которого часовой угол a = 30^о, а склонение было d = +40^о; найти высоту h и азимут A этого светила.

Высота h = NКМ = 60^о.
Азимут A = NSK = 135^o западный.
3. В месте, лежащем на земном экваторе (широта j = 0^o), наблюдали звезду, у которой азимут A = 40^o, а зенитное расстояние z = 20^o. Найти часовой угол a и склонение d этой звезды.
Часовой угол a = NEQK = 340^o.
Склонение d = NRM = –15^o.
4. Найти для мест, лежащих на земном экваторе, высоту и азимут светила, у которого наблюдался часовой угол a = 4h (часам) и полярное расстояние его было от северного полюса мира p = 50^o.
Часовой угол a = 4^h = 60^o. Следовательно, из чертежа получим: Высота h = NKM = 30^o.
Азимут A = NSK = 130^o западный.
5. Наблюдатель находится на северном полюсе Земли (j = +90^o). Положение точки весеннего равноденствия g известно (рисунок); у светила прямое восхождение a = 120^о, а склонение d = +60^о. Найти высоту и азимут светила.
Высота h = NKM = 40^o.
Азимут A = NEK = 85^o.
6. В месте, широта которого равна + 20^o (с. ш.), у светила наблюдался часовой угол a = 310^о, а склонение d = –5^о. Найти высоту и азимут светила.
Высота h = NKM = 35^o. Азимут A = NSK = 75^o восточный.
7. В месте, широта которого равна –45^o (ю. ш.), наблюдалась звезда на высоте 45^о и в азимуте 100^о восточном. Найти часовой угол и склонение этой звезды.
Если широта места южная, то будет виден южный полюс мира над горизонтом, а северный будет под горизонтом. Чтобы построить в этом случае небесную сферу, нужно отложить высоту северного полюса мира (широта места) под горизонт от точки севера (N). Положение точек горизонта не изменяется, а также не изменится и направление вращения небесной сферы, – оно всегда совершается по часовой стрелке, если смотреть на небесный экватор с северного полюса мира.
Из рисунка найдем: часовой угол a = NEWQR == 320^o и склонение d = NRM = –20^o.
8. В месте, широта которого южная и равна j = –30^o, у светила был часовой угол t = 5^h30^m, а склонение d = –60^o. Найти высоту и азимут этого светила.
Имеем часовой угол t = 5^h30^m = 82,5^o. Тогда получим:
Высота h. = NKM = 30^o.
Азимут A = NSK = 45^o западный.
9. В городе (j = + 60^о), зная положение на небе точки весеннего равноденствия g (см. рисунок), найти высоту и азимут светила, у которого прямое восхождение a = 300^о, а склонение d = + 70^о.
Азимут A = NSK = 120^o восточный. Высота h = NKM = 70^o.
10. В Магеллановом проливе, широта –60^o (ю. ш.), наблюдали светило, у которого был часовой угол t = 20^h, а полярное расстояние p = 15^o от южного полюса мира. Найти высоту и азимут этого светила.
Имеем часовой угол t = 20^h = 300^o. Получим:
Высота h = NKM = 75^o. Азимут A = NSK = 25^o восточный.
Указание. Если в задаче назван город, где производилось наблюдение, то это означает, что нам известны широта и долгота места наблюдения. Табличные данные. Если в задаче названа звезда, которую наблюдали, то это означает, что экваториальные координаты этой звезды нам известны.
11. Определить звездное время в момент восхода, наибольшую высоту и азимут восхода Сириуса (a Б. Пса) в Петербурге.
Построим небесную сферу для Петербурга, зная, что широта города равна 60^о северная. Выпишем из таблицы прямое восхождение и склонение Сириуса: a = 7^h, d = –17^o.
Для данного склонения проведем небесную параллель светила KL. Через точку восхода Сириуса (точка K) и полюс мира P проведем круг склонения KRP. Тогда из чертежа на глаз определится часовой угол Сириуса в момент восхода Сириуса так: t = NEQR = 20^h (приблизительно)
Отсюда в момент восхода Сириуса будет: звездное время
s = t + a = 20^h + 7 = 27^h или 3^h. Т. е. звездное время в момент восхода Сириуса в Петербурге равно 3 часам.
Наибольшая высота Сириуса будет: h = NSL = 30^o – 17^o = 13^o. Азимут восхода Сириуса будет: A = NSK = 60^o восточный.
12. В Ялте 7-го февраля в 10^h вечера наблюдали Регул (a Льва). Определить, на какой высоте и в каком азимуте наблюдалась в этот момент в Ялте эта звезда?
Выписываем из таблицы широту Ялты: j = +45^о, и координаты Регул (a Льва): a = 10^h, d= +12^o.
Вычислением находим звездное время момента наблюдения так: 7-го февраля в 0^h звездное время s = 21^h. 7-го февраля 10^h веч. время = 21^h + 10^h = 31^h или 7^h.
Тогда, начертив небесную сферу для Ялты, мы определим на рисунке сразу положение точки весеннего равноденствия (g) для данного момента, так как часовой угол точки весеннего равноденствия равняется звездному времени в данный момент, т. е. в этом случае 7^h.
Теперь, зная координаты Регул (a Льва), проведем на чертеже сперва круг склонения RP (a = NgER = 10^h), а затем нанесем на этом круге склонения и положение M самой звезды a Льва (d = NRM = +12^o).
Проведя вертикал через точку M, получим искомый ответ: азимут: A = NSK = 70^o восточный (прибл.), высота: h = NKM = 40^o (прибл.).
13. Определить показание средних часов 3-го декабря в момент нахождения Арктура (a Волопаса) на высоте 45^o на восточной части неба в Петербурге. А также найти азимут Арктура в этот момент.