Творческая работа Доказательство Великой теоремы Ферма для степени n 3 2
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-29Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
Файл
:
FERMA-n3
-
new
© Н. М. Козий, 200
9
Украина, АС № 2
8607
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ
Ф
ЕРМА
ДЛЯ ПОКАЗАТЕЛЯ СТЕПЕНИ
n=3
Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
Аn
+ В
n
= С
n (1)
где n- целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах.
Суть Великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение (1) запишем следующим образом:
Аn
= С
n
-В
n (2)
Рассмотрим частное решение уравнения (2) при показателе степени n=3.
В этом случае уравнение (2) запишется следующим образом:
A3 = C3 – B3 = (C-B)∙(C2 + C·B +B2) (3)
Обозначим: C – B
=
K
(4)
Отсюда: C=B+K; B=C-K (5)
Из уравнений (3), (4) и (5) имеем:
A3 = K[C2+ C∙(C-K) + (C-K)2] =3K·C2 -3K2 ∙C +K3
(6)
Отсюда: 3K·C2 -3K2 ∙C
– (
A3 – K3) = 0 (7)
Уравнение (7) рассматриваем как квадратное параметрическое уравнение с параметрами А и К и переменной величиной С. Решая его, получим:
C =
(8)
Число C
будет целым только при условии, если:
Отсюда: 12K∙A3 – 3K4 = 9N2 ·K4
A3 = K3∙
A = K
Из анализа формулы (10) следует, что для того чтобы число A могло быть целым числом, число N должно быть нечетным числом.
Из анализа формулы (10) также следует, что если A
– целое число, то должно быть:
A3 = K3∙ Y3, (12)
где:
Y3 =
Отсюда: A = K∙ Y
=
K
Для ответа на вопрос, имеет ли уравнение (14) решение в целых числах, воспользуемся арифметической прогрессией и определим ее сумму:
Sn = 1 + 2 + 3 + ∙∙∙ +n = 0,5n∙(n+1) (15)
По аналогии с уравнением (15) определим сумму арифметической прогрессии:
SN = 1 + 2 + 3 + ∙∙∙ +0,5∙(N-1), (16)
где: N- нечетное число, входящее в уравнение (14).
Тогда: SN = 0,5{ 0,5[N-1]∙[0,5(N-1) + 1]} =
(17)
Запишем вспомогательное уравнение, составленное на основании анализа расчетов, выполненных по формуле (13):
Y3 = 1 + 6∙SN (18)
Из уравнения (18) следует, что все числа Y3
нечетные.
Из уравнений (17) и (18) получим:
Y3 = 1 + 6∙
=
, т.е. получили уравнение (13). (19)
т.е. получили уравнение (13).
Из уравнения (19) следует: Y =
Таким образом, для анализа уравнения (13) воспользуемся эквивалентным ему уравнением (19), записанным с учетом уравнения (17) в виде:
Y3 = 1 + 6∙
= 1 + 6∙SN (21)
Из уравнения (21) следует: SN =
Полагаем, что
Y
- целое число. Из уравнения (22) следует, что для того чтобы сумма SN была целым числом, число Y
должно быть нечетным числом. Задаваясь значениями числа Y
, определим по уравнению (22) соответствующие им значения суммы
SN
:
Y
= 3, SN = 4,333…; Y
= 5, SN = 20,666…; Y
= 7
,
SN
1
= 57;
Y
= 9, SN = 121,333…; Y
= 11, SN = 221,666…; Y
= 13
,
SN
2
= 366;
Y
= 15, SN =562,333…; Y
= 17,
SN = 818,666…; Y
= 19, SN
3
= 1143; Y
= 21, SN =1543,333…; Y
= 23, SN = 2027,666…; Y
= 25, SN
4
= 2604.
Из анализа приведенных расчетов следует, что есть значения числа Y, для которых сумма SN – дробное число. А поскольку сумма арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел, не может быть дробным числом, то для таких значений целого числа Y в соответствии с формулами (13), (17) и (19) не существует целого числа N
, т. е.:
N
=
Есть также такие значения числа Y, для которых сумма SN – целое число. Эти числа имеют особенность - они равны:
Y
= 7
=1 +
6∙1
; Y
= 13
=1 +
6∙
2; Y
= 19
=1 +
6∙
3; Y
= 25
=1 +
6∙
4.
Отсюда следует, что для чисел:
Y
= 1 +
6∙
m, где: m =1, 2, 3,…
, сумма SN – целое число.
Тогда в соответствии с формулой (17) имеем:
N=
Подставляя ранее полученные значения целых чисел SN, получим:
N=
= 21
,377… N=
N=
Отсюда следует, что и при целых числах SN число N
- дробное число. Это объясняется тем, что полученные целые числа SN
1
,
SN2
,
SN3
,
SN4 на самом деле не являются суммами арифметических прогрессий, т. е.:
SN1
=57 ≠ 1
+
2
+
3
+
∙∙∙
+
p
;
SN2
=
366
≠ 1
+
2
+
3
+
∙∙∙
+
r;
SN3
=
1143
≠ 1
+
2
+
3
+
∙∙∙
+
s
;
SN4
=
2604
≠ 1
+
2
+
3
+
∙∙∙
+
t.
Следовательно, в соответствии с
формулами (19), (20) и (23) если N
-целое число, то Y - дробное число. И, наоборот, если Y
- целое число, то N - дробное число.
Таким образом, поскольку при любом заданном целом числе N>1 число Y всегда дробное число, то в соответствии с формулой (14) число A – также всегда дробное число.
При N
=
1
из уравнения (14) следует A
=
K, а из уравнения (8): С=А=К. В этом случае из уравнения (5) следует: В=0.
Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах для показателя степени n=3.
Автор Козий Николай Михайлович,
инженер-механик
E-mail: [email protected]
