Министерство образования Российской Федерации
Вятский государственный гуманитарный университет
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Выпускная квалификационная работа
Обратимые матрицы над кольцом Z_n
Выполнила:
Студентка V курса
Математического факультета
Сычева О. Г.


Научный руководитель:
д.ф.-м.н., профессор
Вечтомов Е. М.


Рецензент:
к.ф.-м.н., доцент
Чермных В. В.


Допущена к защите в ГАК

Зав.кафедрой                                                                  Вечтомов Е М.

«   »

Декан факультета                                                            Варанкина В. И.

«   »

Киров 2003

Содержание:

Введение………………………………………….…………………….2 стр.
§1 Основные понятия………………………………………………….3 стр.
§2 Обратимые матрицы над полем Z_p
п.1 формула для подсчета обратимых матриц порядка 2 ……….10 стр.
п.2 формула для подсчета обратимых матриц порядка 3 ……….11 стр.
п.3 общая формула подсчета обратимых матриц над полем Z_p ..16 стр.
§3 Обратимые матрицы над Z_n ………………………………………17 стр.
Литература …………………………………………………………….27 стр.

Введение
Теория матриц является одним из основных вопросов линейной алгебры.
Цель данной работы: подсчитать количество обратимых матриц над кольцом вычетов и по возможности получить формулу для их вычисления. Для вычисления количества обратимых матриц воспользовались теорией определителей и полным перебором всех возможных вариантов получения элементов в кольцах вычетов.
Вся работа разбита на два этапа:
В §2 показан метод построения обратимых матриц второго и третьего порядков над полем Z_p . В конце параграфа построена гипотеза формулы подсчета количества обратимых матриц n–го порядка над полем Z_p .
В §3 приведен алгоритм построения обратимых матриц второго порядка над некоторыми кольцами вычетов (приведены конкретные примеры). В конце параграфа построена гипотеза формулы подсчета количества обратимых матриц второго порядка над кольцом классов вычетов Z_n .

§1. Основные определения.
Матрицей называется прямоугольная таблица, заполненная некоторыми математическими объектами. Чаще всего рассматриваются матрицы, заполненные элементами из некоторого поля P.
Элементы матрицы обозначаются одной буквой с двумя индексами, указывающими "адрес" элемента - первый индекс дает номер строки, содержащий элемент, второй - номер столбца. Если матрица имеет m строк и n столбцов, то говорят, что матрица имеет размерность  (или - размеров ). Мы будем обозначать матрицы заглавными латинскими буквами, а ее элементы - такими же буквами, но строчными. Таким образом, матрица (размеров ) записывается в форме:
.
Матрица, состоящая из одних нулей, называется нулевой.
Будем обозначать ее 0.
Матрица, имеющая одно и то же число n строк и столбцов, называется квадратной. Число n называется порядком квадратной матрицы.
Элементы матрицы, у которых оба индекса равны (i=j) называются диагональными, а воображаемая прямая, соединяющая все диагональные элементы матрицы называется главной диагональю.
Квадратная матрица, у которой все элементы, за исключением элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.
Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается Е.:

Две матрицы считаются равными, если они одного размера и у них совпадают соответствующие элементы.
Две матрицы A=(a_ij) и B=(b_ij) одного и того же размера можно складывать, их суммой будет матрица того же размера C=(c_{i j}), , т.е. чтобы получить сумму двух матрицы достаточно сложить соответственные элементы этих матриц.
Произведение элемента c из поля на матрицу A=(a_ij) определяется следующим образом: cA=(ca_ij).
Для любой матрицы A существует противоположная -A такая, что
A+(-A)=0.
Все перечисленные свойства непосредственно следуют из определений и свойств операций в поле.
Рассмотрим матрицу A=(a_ij) размером  и матрицу B=(b_ij) размером  (т.к. произведение матриц определено лишь в том случае, когда число столбцов в первой матрице равно числу строк во второй). Для таких матриц введем действие умножения матрицы на матрицу, в результате чего получается матрица C=(c_ij) размером , где .
Итак, матрицы можно складывать, умножать их на скаляр, а также умножать матрицу на матрицу. Эти действия обладают свойствами:
По сложению:
1.   (A+B)+C=A+(B+C) – ассоциативность;
2.   A+B=B+A – коммутативность;
3.   Существует нейтральный элемент – матрица 0: A + 0 = 0 + A = A;
4.   Для матрицы A существует обратный элемент -A: A + (-A)=0;
По умножению матриц на скаляр:
5.   ;
6.   ;
7.   ;
8.   ;
По умножению матриц:
9.   Произведение матриц в общем случае не  коммутативно, т.е. AB ВА;
10. (AB)C=A(BC) – ассоциативность;
11. (cA)B=A(cB)=cAB;
12. Дистрибутивность умножения относительно сложения (правая и левая) (A₁+A₂)B=A₁B+A₂B, A(B₁+B₂)=AB₁+AB₂;
13. Существует единственный нейтральный элемент E
(если A – квадратная): EA = AE = A. Если же A размером , то
E_mA = AE_n = A.
14. Произведение матрицы А на нулевую матрицу дает в результате так же нулевую матрицу (существуют случаи, когда нулевая матрица получается в результате перемножения ненулевых матриц).
Для квадратных матриц фиксированного порядка n действия сложения и умножения определены всегда, и их результатами являются квадратные матрицы того же порядка. Таким образом, квадратные матрицы фиксированного порядка образуют кольцо.
Определителем n-го порядка квадратной матрицы А, называется алгебраическая сумма n! членов, которыми являются всевозможные произведения по n элементов, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца, причем член берется со знаком плюс, если его индексы составляют четную перестановку, и со знаком минус – если нечетную перестановку.
,
где (a₁, a₂, ..., a_n) пробегает все перестановки чисел 1, 2, ..., n; множитель  равен +1, если (a₁, a₂, ..., a_n) - четная перестановка, и равен –1, если нечетная.
Минором элемента a_ij называется определитель (n-1) – порядка, полученный из данного определителя n-го порядка, путем вычеркивания i-й строки и j-го столбца.
Минор a_ij элемента обозначается М_ij.
Алгебраическим дополнением элемента a_ij называется минор этого элемента, взятый со знаком (-1)^i+j.
Алгебраическое дополнение элемента обозначается А_ij=(-1)^i+j× М_ij.
Матрица B называется обратной для матрицы A, если AB=BA=E,
где E - единичная матрица. Равенство AB=BA показывает (нетрудно видеть, используя правило умножения матриц), что число строк и столбцов матрицы A должно быть одинаково.
Таким образом, обратная матрица имеет смысл только для квадратных матриц. Далее мы будем рассматривать только квадратные матрицы.
Если матрица А имеет обратную, то она единственна.
Покажем это. Пусть АВ=СА=Е и С В, тогда заметим: С=СЕ=С(АВ)=(СА)В=ЕВ=В. Что противоречить условию.
Определитель произведения любых двух матриц n-го порядка равен произведению их определителей.
Докажем. Рассмотрим единичные столбцы n-го порядка:
, , …,
Возьмем произведение матрицы АВ на столбец единичных столбцов (т.е. столбец из n n-мерных столбцов)

Тогда = ×1= × = =
= = = = .
 Что требовалось доказать.
Заключение данной теоремы также выполняется и для случая, когда элементы матриц взяты из кольца вычетов Z_n.
Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю и не вырожденной в противном случае.
Для всякой невырожденной матрицы существует обратная матрица.
Покажем это. Пусть A=(a_ij) –невырожденная квадратная матрица ( ). Рассмотрим матрицу А^*= , где А_ij – алгебраическое дополнение элементов определителя , причем алгебраические дополнения i-й сроки стоят в i-ом столбце.
Найдем произведение С=АА^*, где С=(с_ij)


 и т.д.
Найдя все элементы матрицы С по описанному выше алгоритму,
в итоге, получим следующее: , т.е. . Значит матрица А^* - обратная  к невырожденной матрице А.
Для вырожденной матрицы обратной матрицы не существует. Иначе если вырожденная матрица А ( ) имеет обратную А^*, тогда верными будут следующие равенства: А·А^*=Е, , , .
 Что в принципе не верно.
Нужно отметить, что невырожденной матрицей над Z_n называется матрица, определитель которой является обратимым элементом в Z_n .

§2. Обратимые матрицы над полем Z_p
В данном параграфе попытаемся вывести формулу для подсчета количества обратимых матриц в поле Z_p, где p – простое.
1. Формула для подсчета обратимых матриц порядка 2.
Будем рассматривать матрицы .
Алгебраическое дополнение к элементу  есть определитель матрицы  порядка 1, т.е. . Алгебраическое дополнение к элементу  есть определитель матрицы  порядка 1, т.е. .
Нужно найти количество всех невырожденных матриц
(когда ). При этом
            (1.1)
Формулу выведем в 2 этапа.
1)                Пусть  (р-1 штук),  (р-1 штук),
 (по р штук)     (1.2).
Тогда количество матриц, удовлетворяющих данным условиям, вычисляется по формуле
(р-1)²р²          (1.3)
Мы утверждаем, что по этой же формуле вычисляется количество матриц, определитель которых не обращается в нуль, при условии, что , .
В условии (1.2) не учитываются матрицы вида  с неравным нулю определителем, количество которых нужно прибавить.
Но сосчитали матрицы вида  с определителем обращающимся в нуль, количество которых нужно вычесть.
 Докажем, что количество матриц в обоих случаях одинаково.
а)  (р-1 штук),  и . Из (1.1) получаем равенство . Значит . При заданном  (где =1,2…р-1) элемент  однозначно выражается через  и  (количество невырожденных матриц  – р-1). Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)³ штук.
б) ,  и . Значит . Отсюда . Элемент  однозначно выражается через , , , которые принимаю не нулевые значения. Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)³ штук
Значит формула (1.3) при условии (1.2) верна.
2)           Пусть . Тогда  , а из (1.1) получаем что  и  (как в первом этапе, случае а). Тогда количество таких матриц вычисляется по формуле
(р-1)²×р  (1.4)
Этими этапами мы перебрали все случаи невырожденных матриц.
Складывая формулы (1.3) и (1.4) полученные в этапах 1) и 2) получаем формулу для нахождения количества обратимых матриц порядка 2 над полем Z_p
(р-1)²×р×(р+1)   (1.5)
2. Формула для подсчета обратимых матриц порядка 3.
Будем рассматривать матрицы .
Алгебраические дополнения к элементам ,  и  есть определители матриц ,  и  соответственно, порядка 2, при чем ,  и .
Нужно найти количество всех невырожденных матриц ( ).
 При этом
        (2.1)
Формулу выведем в 3 этапа.
1)           Пусть  (р-1 штук),  (их количество по формуле (1.5)),  (по р штук) (2.2).

Тогда количество таких матриц вычисляется по формуле

(р-1)³р⁵(р+1)          (2.3)
Мы утверждаем, что по этой же формуле вычисляется количество матриц, определитель которых не обращается в нуль, при условии, что , .
При условии (2.2) не учитываются матрицы вида  с неравным нулю определителем, количество которых нужно прибавить. Но сосчитали матрицы вида  с определителем обращающимся в нуль, количество которых нужно вычесть.
Докажем, что количество матриц в обоих случаях одинаково:
а)  (р-1 штук),  и . Из (2.1) получаем равенство .
а1) Пусть =0. Тогда  и . Значит элементов  всего р-1 штук, количество невырожденных матриц  - (р-1)²р(р+1). Т.к  то из выражения  получаем равенство , т.е. хотя бы один из этих элементов не равен нулю. Пусть . Из того, что  получаем . Элементом , принимающим любое значение, можем однозначно задать элемент . Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)⁴×р²×(р+1) штук.
а2) Если ¹0, .Тогда  и . Значит элементов  всего р-1 штук, количество невырожденных матриц  - (р-1)²р(р+1). Т.к , то, из выражения  получаем . Пусть . Домножим равенство  ( ) на . Заменим  на  (из того, что ). Получим равенство . Вынесем  за скобки  и т.к.  делаем вывод, что . Значит и  ( ). Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)⁵×р×(р+1) штук.
а3) Если ¹0,  и  получаем (р-1)⁴×р²×(р+1) штук матриц удовлетворяющих этим условиям (рассуждение как в пункте а1)
а4) Если ¹0, ,  и  получаем
(р-1)⁵×р×(р+1) штук матриц удовлетворяющих этим условиям (рассуждение как в пункте а2)
а5) Если ¹0, ,  и . Из того, что  получаем . Пусть . Равенство  ( )  умножим на  и заменим  на  ( ). Получим равенство . Вынося  за скобки ( ), замечаем, что элемент  однозначно выражается через  (  - р-1 штук). Но тогда  тоже выражается через эти элементы. Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)⁶×р×(р+1)штук.
Таким образом, общее количество матриц удовлетворяющих условию пункта а) подсчитывается по формуле
(р-1)⁴×р×(р+1)×(р²+2р-1) (получается суммированием формул полученных в пунктах а1-а5).
б)  (р-1 штук),  ((р-1)²×р×(р+1)) штук). Т.к. , значит        (2.4)
б1) Пусть =0. Тогда из (2.4) выводится равенство
         (2.5)
а из (2.5) получим . Распишем (2.5): . Т.е.  однозначно выражается через элемент , которых может быть р штук, и через элементы , , , , . Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)⁴×р²×(р+1).
б2) Если ¹0, .Тогда получим опять равенство (2.5) и из него . Элементов  всего р-1 штук. Т.к , то получаем  что . Пусть . Умножив равенство (2.5) на , выражая  и произведя замену  на  получим равенство . А т.к.  и  делаем вывод, что  и  выражаются через все остальные элементы матрицы. Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям
(р-1)⁵×р×(р+1) штук.
б3) Если ¹0,  и  получаем (р-1)⁴×р²×(р+1) матриц удовлетворяющих этим условиям (рассуждения как в
пункте б1)
б4) Если ¹0, ,  и  получаем
(р-1)⁵×р×(р+1) матриц удовлетворяющих этим условиям (рассуждения как в пункте б2)
б5) Пусть ¹0, ,  и . Из того, что , получаем . Пусть . Тогда преобразовывая (2.4) получаем, что  однозначно выражается через  и все остальные элементы.
Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)⁶×р×(р+1) штук.
Таким образом, общее количество матриц удовлетворяющих условию пункта б) подсчитывается по формуле
 (р-1)⁴×р×(р+1)×(р²+2р-1) (получается суммированием формул полученных в пунктах б1-б5).

Значит формула (р-1)³р⁵(р+1) для случая 1) при условии (2.2) верна.
2) Пусть ,  (количество их р-1),  (количество высчитывается по формуле (1.5)) и  (по р штук). Тогда из (2.1) получаем
.
Тогда количество таких матриц вычисляется по формуле
(р-1)³р⁴(р+1)        (2.6)
Мы утверждаем, что по этой же формуле вычисляется количество матриц, определитель которых не обращается в нуль, при условии, что ,  и .
Но при этих условиях не учитываются матрицы вида  с неравным нулю определителем, количество которых нужно прибавить. Но сосчитали матрицы вида  с определителем обращающимся в нуль, количество которых нужно вычесть.
Докажем, что количество матриц в обоих случаях одинаково:
а) ,  и . Из (2.1) получаем равенство , , а из того что  получаем что, например, элемент  однозначно выражается через элемент  (р штук) и все остальные элементы. А значит количество матриц с данными условиями (р-1)⁴р²(р+1).
б) ,  и . Из (2.1) получаем равенство , . А из  можем однозначно выразить, например, элемент  через элемент  (р штук) и все остальные элементы. А значит количество матриц с данными условиями (р-1)⁴р²(р+1).
3) Пусть , ,  (количество их p-1),  (количество высчитывается по формуле (1.5)) и  (по р штук).
Тогда количество таких матриц вычисляется по формуле
(р-1)[(р-1)²р(р+1)]×р×р×р                  (2.7)
Этими этапами мы перебрали все случаи невырожденных матриц порядка 3. складывая формулы (2.3), (2.6) и (2.7), полученные в этапах 1), 2) и 3) получаем формулу для нахождения количества обратимых матриц порядка 3 матриц над полем Z_p
(р-1)³р³(р+1)(р²+р+1)   (2.8)
3. Общая формула для подсчета обратимых матриц над полем Z_p.
Используя алгоритм, описанный в предыдущих пунктах, для выведения формулы подсчета количества обратимых матриц, можем получить частные формулы для матриц произвольных порядков.
Например:
Для матриц порядка 4:
(р-1)⁴р⁶(р+1)(р²+р+1)(р³+р²+р+1).
Для матриц порядка 5:
(р-1)⁵р¹⁰(р+1)(р²+р+1)(р³+р²+р+1)( р⁴+р³+р²+р+1), и т.д.
Анализируя полученные результаты, можем сделать выводы, что общая формула для получения количества обратимых матриц порядка n над полем Z_p выглядит так:

Данную формулу тождественными преобразованиями можно привести к виду:

§3. Обратимые матрицы над кольцом Z_n  

Из теоремы доказанной в § 1 следует, что для определителей матриц A и B выполняется равенство |A·B|=|A|·|B|.

Для обратимых матриц A и B следует A·B=E.Следовательно |A·B|=|A|·|B|=|E|=1.
Таким образом, получаем: определитель обратимой матрицы является обратимым элементом.
Попытаемся сосчитать количество обратимых матриц над некоторыми кольцами вычетов по составному модулю.
Обратимые матрицы над Z₄.

*	0	1	2	3
0	0	0	0	0
1	0	1	2	3
2	0	2	0	2
3	0	3	2	1

Всего различных матриц второго порядка над Z₄: 4⁴=256.

В Z₄ обратимыми элементами являются 1и3. Рассмотрим сколько обратимых матриц с определителем равным 1: |A|=ad-bc=1.
Разобьем на следующие варианты:
1. ad=3. Возможные случаи:
1)           a=1 Ù d=3,
2)           a=3 Ù d=1,
bc=2. Возможные случаи:
1)       b=1 Ù c=2,
2)         b=2 Ù c=1,
3)         b=2 Ù c=3,
4)         b=3 Ù c=2.
Получили с данным условием 8 обратимых матриц.
2. ad=2. Возможно 4 случая (см. предыдущий пункт).
bc=1. Возможные случаи:
1)    b=c=1,
2)    b=c=3.
Получили с данным условием 8 обратимых матриц.
3. ad=1. Возможно 2 случая (см. предыдущий пункт).
bc=0. Возможные случаи:
1)    b=0 Ù c=1,
2)    b=0 Ù c=2,
3)    b=0 Ù c=3,
4)    b=1 Ù c=0,
5)    b=2 Ù c=0,
6)    b=3 Ù c=0,
7)    b=c=0,
8)    b=c=2.
Получили сданным условием 16 обратимых матриц.
4. ad=0. Возможно 8 случаев (см. предыдущий пункт).
bc=3. Возможно 2 случая (см. первый пункт).
Получили с данным условием 16 обратимых матриц.
Таким образом, по данной классификации получаем 8+8+16+16+16=48 обратимых матриц, определитель которых равен 1. Аналогичную классификацию можно составить для обратимых матриц с определителем равным 3, и число таких матриц будет также равно 48.
Следовательно, из 256 квадратных матриц второго порядка над Z₄ обратимыми являются 96.
Обратимые матрицы над Z₆.

*	0	1	2	3	4	5
0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5
2	0	2	4	0	2	4
3	0	3	0	3	0	3
4	0	4	2	0	4	2
5	0	5	4	3	2	1

Всего различных матриц второго порядка над Z₆: 6⁴=1296.

В Z₆ обратимыми элементами являются 1 и 5. Аналогично рассмотрим, сколько обратимых матриц с определителем равным 1:
|A|=ad-bc=1.
Разобьем на следующие варианты:
1. ad=5. Возможные случаи:
1)    a=1 Ù d=5,
2)    a=5 Ù d=1,
bc=4. Возможные случаи:
1)    b=1 Ù c=4,
2)    b=4 Ù c=1,
3)    b=2 Ù c=5,
4)    b=5 Ù c=2,
5)    b=c=2,
6)    b=c=4.
Получили с данным условием 12 обратимых матриц.
2. ad=4. Возможно 6 случаев (см. предыдущий пункт).
bc=3. Возможные случаи:
1)    b=3 Ù c=1,
2)    b=1 Ù c=3,
3)    b=3 Ù c=5,
4)    b=5 Ù c=3,
5)    b=c=3.
Получили с данным условием 30 обратимых матриц.
3. ad=3. Возможно 5 случаев (см. предыдущий пункт).
bc=2. Возможные случаи:
1)    b=2 Ù c=1,
2)    b=1 Ù c=2,
3)    b=2 Ù c=4,
4)    b=4 Ù c=2,
5)    b=4 Ù c=5,
6)    b=5 Ù c=4.
Получили с данным условием 30 обратимых матриц.
4. ad=2. Возможно 6 случаев (см. предыдущий пункт).
bc=1. Возможные случаи:
1)    b=c=1,
2)    b=c=5.
Получили с данным условием 12 обратимых матриц.
5. ad=1. Возможно 2 случая (см. предыдущий пункт).
bc=0. Возможные случаи:
1)    b=0 Ù c=1,
2)    b=0 Ù c=2,
3)    b=0 Ù c=3,
4)    b=0 Ù c=4,
5)    b=0 Ù c=5,
6)    b=1 Ù c=0,
7)    b=2 Ù c=0,
8)    b=3 Ù c=0,
9)    b=4 Ù c=0,
10)      b=5 Ù c=0,
11)      b=2 Ù c=3,
12)      b=3 Ù c=2,
13)      b=3 Ù c=4,
14)      b=4 Ù c=3,
15)      b=c=0.
Получили с данным условием 30 обратимых матриц.
6. ad=0. Возможно 15 случаев (см. предыдущий пункт).
bc=5. Возможно 2 случая (см. первый пункт).
Получили с данным условием 30 обратимых матриц.
Таким образом по данной классификации получаем 12+30+30+12+30+30=144 обратимых матриц, определитель которых
равен 1. Аналогичную классификацию можно составить для обратимых матриц с определителем равным 5, и число таких матриц будет также равно 144.
Следовательно, из 1296 квадратных матриц второго порядка над Z₆ обратимыми являются 288.
Обратимые матрицы над Z₈

*	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7
2	0	2	4	6	0	2	4	6
3	0	3	6	3	4	7	2	5
4	0	4	0	4	0	4	0	4
5	0	5	2	7	4	1	6	3
6	0	6	4	2	0	6	4	2
7	0	7	6	5	4	3	2	1

Всего различных матриц второго порядка над Z₈: 8⁴=4096.

В Z₈ обратимыми элементами являются 1, 3, 5 и 7. Аналогично рассмотрим, сколько обратимых матриц с определителем равным 1
|A|=ad-bc=1.
Аналогично предыдущим пунктам будем придерживаться той же классификации:
1. ad=7. Возможно 4 случая.
bc=6. Возможно 8 случаев.
Получили с данным условием 32 обратимых матрицы.
2. ad=6. Возможно 8 случаев.
bc=5. Возможно 4 случая.
Получили с данным условием 32 обратимых матрицы.
3. ad=5. Возможно 4 случая.
bc=4. Возможно 12 случаев.
Получили с данным условием 48 обратимых матриц.
4. ad=4. Возможно 12 случаев.
bc=3. Возможно 4 случая.
Получили с данным условием 48 обратимых матриц.
5. ad=3. Возможно 4 случая.
bc=2. Возможно 8 случаев.
Получили с данным условием 32 обратимых матрицы.
6. ad=2. Возможно 8 случаев.
bc=1. Возможно 4 случая.
Получили с данным условием 32 обратимых матрицы.
7. ad=1. Возможны 4 случая .
bc=0. Возможно 20 случаев.
Получили с данным условием 80 обратимых матриц.
8. ad=0. Возможно 20 случаев.
bc=7. Возможно 4 случая.
Получили с данным условием 80 обратимых матриц.
Таким образом, обратимых матриц, определитель которых
равен 1 —384.
Следовательно, из 4096 квадратных матриц второго порядка над Z₈ обратимыми являются 1536.
Обратимые матрицы над Z₉

*	0	1	2	3	4	5	6	7	8
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8
2	0	2	4	6	8	1	3	5	7
3	0	3	6	0	3	6	0	3	6
4	0	4	8	3	7	2	6	1	5
5	0	5	1	6	2	7	3	8	4
6	0	6	3	0	6	3	0	6	3
7	0	7	5	3	1	8	6	4	2
8	0	8	7	6	5	4	3	2	1

Всего различных матриц второго порядка над Z₉: 9⁴=6561.

В Z₉ обратимыми элементами являются 1, 2, 4, 5, 7 и 8.
1. ad=8. Возможно 6 случаев.
bc=7. Возможно 6 случаев.
Получили с данным условием 36 обратимых матриц.
2. ad=7. Возможно 6 случаев.
bc=6. Возможно 12 случаев.
Получили с данным условием 72 обратимых матриц.
3. ad=6. Возможно 12 случаев.
bc=5. Возможно 6 случаев.
Получили с данным условием 72 обратимых матриц.
4. ad=5. Возможно 6 случаев.
bc=4. Возможно 6 случаев.
Получили с данным условием 36 обратимых матриц.
5. ad=4. Возможно 6 случаев.
bc=3. Возможно 12 случаев.
Получили с данным условием 72 обратимых матриц.
6. ad=3. Возможно 12 случаев.
bc=2. Возможно 6 случаев.
Получили с данным условием 72 обратимых матриц.
7. ad=2. Возможно 6 случаев.
bc=1. Возможно 6 случаев.
Получили с данным условием 36 обратимых матриц.
8. ad=1. Возможно 6 случаев.
bc=0. Возможно 21 случай.
Получили с данным условием 126 обратимых матриц.
9. ad=0. Возможно 21 случай.
bc=8. Возможно 6 случаев.
Получили с данным условием 126 обратимых матриц.
Таким образом, обратимых матриц, определитель которых равен 1 -648.
Следовательно, из 6561 квадратных матриц второго порядка над Z₉ обратимыми являются 3888.
Обратимые матрицы над Z₁₀

Всего различных матриц второго порядка над Z₁₀: 10⁴=1000.

В Z₁₀ обратимыми элементами являются 1, 3, 7 и 9.
1. ad=9. Возможно 4 случая.
bc=8. Возможно 12 случаев.
Получили с данным условием 48 обратимых матриц.
2. ad=8. Возможно 12 случаев.
bc=7. Возможно 4 случая.
Получили с данным условием 48 обратимых матриц.
3. ad=7. Возможно 4 случая.
bc=6. Возможно 12 случаев.
Получили с данным условием 48 обратимых матриц.
4. ad=6. Возможно 12 случаев.
bc=5. Возможно 9 случаев.
Получили с данным условием 108 обратимых матриц.
5. ad=5. Возможно 9 случаев.
bc=4. Возможно 12 случаев.
Получили с данным условием 108 обратимых матриц.
6. ad=4. Возможно 12 случаев.
bc=3. Возможно 4 случая.
Получили с данным условием 48 обратимых матриц.
7. ad=3. Возможно 4 случая.
bc=2. Возможно 12 случаев.
Получили с данным условием 48 обратимых матриц.
8. ad=2. Возможно 12 случаев.
bc=1. Возможно 4 случая.
Получили с данным условием 48 обратимых матриц.
9. ad=1. Возможно 4 случая.
bc=0. Возможно 27 случаев.
Получили с данным условием 108 обратимых матриц.
10. ad=0. Возможно 27 случаев.
bc=9. Возможно 4 случая.
Получили с данным условием 108 обратимых матриц.
Таким образом, обратимых матриц, определитель которых
равен 1 —720.
Следовательно, из 10000 квадратных матриц второго порядка над Z₁₀ обратимыми являются 2880.
Используя выше изложенный метод, было также вычислено количество обратимых матриц для колец вычетов по модулям:10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21. В результате всех вычислений были получены следующие данные (ниже также использованы формулы полученные в §2):

Zn	формула	количество
2	(p-1)2p(p+1)	6
3	(p-1)2p(p+1)	48
4	-	96
5	(p-1)2p(p+1)	480
6	-	288
7	(p-1)2p(p+1)	2016
8	-	1536
9	-	3888
10	-	2880
11	(p-1)2p(p+1)	13200
12	-	4608
13	(p-1)2p(p+1)	26208
14	-	12096
15	-	23040
16	-	24576
17	(p-1)2p(p+1)	78336
18	-	23328
19	(p-1)2p(p+1)	123120
20	-	43520
21	-	96768

В итоге анализа полученных результатов эмпирическим путем была получена следующая формула для вычисления количества обратимых матриц второго порядка над кольцом вычетов по произвольному модулю.
Пусть Z_n -кольцо вычетов по модулю n, причем n=p₁^k1p₂^k2…p_m^km ,
Тогда количество обратимых матриц второго порядка равно:
(p₁-1)²(p₂-1)²…(p_m-1)²p₁p₂…p_m(p₁+1)(p₂+1)…(p_m+1)(p₁⁴)^k1-1(p₂⁴)^k2-1…(p_m⁴)^km-1
Литература
1.  Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Просвещение, 1966.
2.  Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа, 1979.
3.  Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1975.