.
Положим , где , тогда
.
.
.
Ответ: .

Алгебраическое решение

.
Так как , то . Значит, , поэтому можно раскрыть модуль

.
Ответ: .
Решение уравнения алгебраическим способом требует хорошего навыка проведения тождественных преобразований и грамотного обращения с равносильными переходами. Но в общем оба приема решения равноценны.
Пример 2. Решите уравнение
 [14].
Решение с помощью тригонометрической подстановки
Область определения уравнения задается неравенством , что равносильно условию , тогда . Поэтому можно положить . Уравнение примет вид

.
Так как , то . Раскроем внутренний модуль
.
Положим , тогда

.
Условию  удовлетворяют два значения    и .
.


.
Ответ: .
Алгебраическое решение

.
Возведем в квадрат уравнение первой системы совокупности, получим
.
Пусть , тогда . Уравнение перепишется в виде
.
Проверкой устанавливаем, что  – корень, тогда делением многочлена  на двучлен получаем разложение правой части уравнения на множители
.
От переменной  перейдем к переменной , получим
.
Условию  удовлетворяют два значения
.
Подставив эти значения в исходное уравнение, получаем, что  – корень.
Решая аналогично уравнение второй системы исходной совокупности, находим, что  тоже корень.
Ответ: .
Если в предыдущем примере алгебраическое решение и решение с помощью тригонометрической подстановки были равноценны, то в данном случае решение подстановкой выгоднее. При решении уравнения средствами алгебры приходится решать совокупность из двух уравнений, то есть дважды возводить в квадрат. После этого неравносильного преобразования получаются два уравнения четвертой степени с иррациональными коэффициентами, избавиться от которых помогает замена. Еще одна трудность – проверка найденных решений подстановкой в исходное уравнение.
Пример 3. Решите уравнение
 [31].
Решение с помощью тригонометрической подстановки
Так как , то . Заметим, что отрицательное значение неизвестного не может быть решением задачи. Действительно, преобразуем исходное уравнение к виду
.
Множитель в скобках в левой части уравнения положительный, правая часть уравнения тоже положительная, поэтому множитель  в левой части уравнения не может быть отрицательным. Вот почему , тогда , поэтому можно положить  Исходное уравнение перепишется в виде
.
Так как , то  и . Уравнение примет вид
.
Пусть . Перейдем от уравнения к равносильной системе
.
Числа  и  являются корнями квадратного уравнения
.
.
Ответ: .

Алгебраическое решение

Возведем обе части уравнения в квадрат

.
Введем замену , тогда уравнение запишется в виде


.
Второй корень является лишним, поэтому рассмотрим уравнение


.
Так как , то .
Ответ: .
В данном случае алгебраическое решение в техническом плане проще, но рассмотреть приведенное решение с помощью тригонометрической подстановки следует обязательно. Это связано, во-первых, с нестандартностью самой подстановки, которая разрушает стереотип, что применение тригонометрической подстановки возможно лишь, когда . Оказывается, если  тригонометрическая подстановка тоже находит применение. Во-вторых, представляет определенную трудность решение тригонометрического уравнения , которое сводится введением замены к системе уравнений. В определенном смысле эту замену тоже можно считать нестандартной, а знакомство с ней позволяет обогатить арсенал приемов и методов решения тригонометрических уравнений.
Пример 4. Решить уравнение
 [4].
Решение с помощью тригонометрической подстановки
Так как переменная  может принимать любые действительные значения, положим . Тогда
,
,так как .
Исходное уравнение с учетом проведенных преобразований примет вид


.
Так как , поделим обе части уравнения на , получим
.
Пусть , тогда . Уравнение примет вид
.
.
Учитывая подстановку , получим совокупность из двух уравнений
.
Решим каждое уравнение совокупности по отдельности.
1)                                                  .
.
 не может быть значением синуса, так как  для любых значений аргумента.

.
Откуда
.
Так как  и правая часть исходного уравнения положительна, то . Из чего следует, что .
2)                                                  .
.
Это уравнение корней не имеет, так как .

Итак, исходное уравнение имеет единственный корень

.
Ответ: .
Алгебраическое решение
Данное уравнение легко «превратить» в рациональное уравнение восьмой степени возведением обеих частей исходного уравнения в квадрат. Поиск корней получившегося рационального уравнения затруднен, и необходимо обладать высокой степенью изобретательности, чтобы справиться с задачей. Поэтому целесообразно знать иной способ решения, менее традиционный. Например, подстановку , предложенную И. Ф. Шарыгиным [57].
Положим , тогда

Преобразуем правую часть уравнения :
.
С учетом преобразований уравнение  примет вид
.
Введем замену , тогда
.
Второй корень является лишним, поэтому , а .
Ответ: .

Если заранее не известна идея решения уравнения , то решать стандартно возведением обеих частей уравнения в квадрат проблематично, так как в результате получается уравнение восьмой степени , найти корни которого чрезвычайно сложно. Решение с помощью тригонометрической подстановки выглядит громоздким. Могут возникнуть трудности с поиском корней уравнения , если не заметить, что оно является возвратным. Решение указанного уравнения происходит с применением аппарата алгебры, поэтому можно сказать, что предложенное решение является комбинированным. В нем сведения из алгебры и тригонометрии работают совместно на одну цель – получить решение. Также решение указанного уравнения требует аккуратного рассмотрения двух случаев. Решение заменой технически проще и красивее, чем с помощью тригонометрической подстановки. Желательно, чтобы учащиеся знали такой способ замены и применяли его для решения задач.

Подчеркнем, что применение тригонометрической подстановки для решения задач должно быть осознанным и оправданным. Использовать подстановку целесообразно в тех случаях, когда решение другим способом сложнее или вовсе невозможно. Приведем еще один пример,  который, в отличие от предыдущего, проще и быстрее решается стандартным способом.
Пример 5. Решить уравнение
 [51].
Решение с помощью тригонометрической подстановки
Так как переменная  может принимать любые действительные значения, можно положить . Уравнение примет вид
.
В силу того, что , можно раскрыть модуль

.
Так как , то .
Ответ: .

Алгебраическое решение

Проверкой убеждаемся, что  – корень.
Ответ: .

1.2 Рациональные уравнения
Тригонометрическая подстановка применяется при решении рациональных уравнений, когда уравнение не имеет рациональных корней или найденные рациональные решения не исчерпывают всего множества решений уравнения.
При решении иррациональных уравнений возможность введения тригонометрической подстановки была видна по структуре уравнения. В нескольких следующих задачах применение метода тригонометрической подстановки не так очевидно. Вот почему прежде чем ввести подстановку, нужно доказать законность такого введения.
Пример 1. Сколько корней имеет уравнение
 [37].
Решение этой задачи любым методом начинается одинаково. Докажем, что все корни данного уравнения принадлежат промежутку . Действительно, если
.
Но тогда в исходном уравнении слева стоит произведение больше восьми, а справа единица, что невозможно.
Решение с помощью тригонометрической подстановки
Положим . Тогда каждому корню  исходного уравнения будет соответствовать ровно один корень , где . Наоборот, каждому корню  уравнения соответствует ровно один корень исходного уравнения. Таким образом, задача может быть переформулирована так: сколько корней на промежутке  имеет уравнение
.
Так как  и , то можно взять . Заметим, что если  - корень данного уравнения, то и  тоже корень. Вот почему достаточно рассмотреть , то есть отыскать только положительные решения. С учетом выше изложенного исходное уравнение перепишется в виде


.
Так как , то можно обе части равенства умножить на , получим

.
Ответ: шесть корней.

Алгебраическое решение

Так как выражение от правой части равенства четное и  и , выясним вопрос о наличии корней на промежутке . Проверкой устанавливаем, что  – корень. Рассмотрим функции от правой и левой частей уравнения, то есть функции  и . Так как

и функция   непрерывна на числовой прямой, то найдутся такие значения  и , что . Поэтому на промежутке  уравнение имеет три корня, а на всей числовой прямой – шесть корней.
Ответ: 6 корней.
В данном случае можно решать любым способом, но если количество корней на небольшом промежутке достаточно велико, вычисления могут оказаться громоздкими, и сам метод неэффективным. В этом случае на помощь приходит метод тригонометрической подстановки. Надо заметить, что решить вопрос о количестве корней можно с помощью производной, но в данном случае такое решение мало эффективно, так как затруднительно найти нули производной.
Пример 2. Решить уравнение
.
Если для выше приведенных задач не удается найти нетрадиционный путь решения, то все равно остается вероятность справиться с задачей с помощью стандартных школьных рассуждений, правда, затратив при этом гораздо больше времени. Эта задача лишает такого выбора, так как ее решение другим способом не представляется возможным.
Решение с помощью тригонометрической подстановки
Поделим все члены уравнения на 2. Уравнение примет вид
.
Докажем, что все корни данного уравнения по модулю не превосходят единицы. Пусть , тогда . Получили, что при  левая часть уравнения по модулю больше единицы, а правая – меньше единицы, что невозможно.
Положим . Уравнение примет вид
.
Условию  удовлетворяют три значения
.
Поскольку кубическое уравнение не может иметь больше трех различных корней, то мы нашли все решения.
Ответ: .
                                   1.3 Показательные уравнения
Приведем пример задания, решить которое без введения тригонометрической подстановки не представляется возможным.
Пример 1. Решить уравнение .
Пусть , тогда уравнение перепишется в виде
.
Введем замену , получим
.
Это уравнение мы уже решали[1]. Его корни
.
Два последних значения меньше нуля, поэтому нам подходит только . Перейдем к переменной , а затем к переменной
.
Ответ: .

§2. Решение систем
В данном параграфе предложены системы повышенной сложности, решить которые, не зная специальных методов решения, сложно.
Пример 1. Решить систему уравнений
 [3].
Решение с помощью тригонометрической подстановки
Так как квадрат суммы чисел  и равен единице, то каждое из этих чисел по модулю не превосходит единицы и их можно рассматривать как синус и косинус некоторого угла. Поэтому можно положить  Второе уравнение системы примет вид
.
Условию  удовлетворяют четыре значения
.
        .
     .
   .
  .
Ответ: ; ; ; .

Алгебраическое решение

.
Пусть , тогда . Имеем



.
Подберем  так, чтобы многочлен, стоящий в правой части равенства, стал полным квадратом. Для этого он должен иметь один двукратный корень, то есть
.
Подбором находим, что  является корнем уравнения
.
Подставим  в уравнение , после чего оно примет вид
.
Перейдем к переменной

Подставив получившиеся значения переменной  во второе уравнение системы, найдем соответствующие значения переменной

Ответ: ; ; ; .
Пример 2. Сколько решений имеет система уравнений
[18].
Здесь представлена так называемая циклическая система уравнений. Подобные системы часто предлагаются на вступительных экзаменах в вузы с повышенными требованиями по математике [30]. Решить эти системы, не зная специальных методов решения, очень сложно. В данном случае подбором устанавливается решение . Попытки доказать, что система не имеет других решений, положительных результатов не дают. Неоценимую помощь в решении такого класса задач оказывает метод тригонометрической подстановки.
Перепишем систему в виде
.
Докажем, что все числа  по абсолютной величине не превосходят единицы. Пусть  – максимальное из чисел  и , то . Пришли к противоречию. Если число  – минимальное и , то . Опять пришли к противоречию. Итак .
Решение с помощью тригонометрической подстановки
Положим . Тогда , , .  Число решений исходной системы равно числу решений уравнения
.
Условию  удовлетворяет 27 решений
.
Ответ: .
Алгебраическое решение
Выразим переменную

.
Выяснить количество корней полученного уравнения с помощью производной или другим способом чрезвычайно трудно, поэтому в данном случае самый эффективный способ решение – решение с помощью тригонометрической подстановки.

§3. Доказательство неравенств
Как правило, навыки решения и доказательства неравенств, за исключением квадратичных, формируются на более низком уровне, чем уравнений. Эта особенность имеет объективную природу: теория неравенств сложнее теории уравнений. Тем не менее, многие приемы и методы решения неравенств совпадают с приемами и методами решения уравнений. В том числе, к доказательству неравенств применим метод замены переменной. При этом замена переменных, входящих в неравенство, с одной стороны, сокращает число переменных, а с другой, позволяет привести неравенство к виду, более удобному для исследования его свойств.
Пример 1.  Доказать, что  [43].
При  неравенство верное.
Решение с помощью тригонометрической подстановки
Для любых  найдется угол , что . Исходное неравенство примет вид
.
Так как , то . Умножим обе части неравенства на , получим



.
Второй множитель всегда положительный, а первый не превосходит 0, поэтому все произведение не положительно.
Алгебраическое решение
Выполним решение с помощью тождественных преобразований. Для этого рассмотрим разность




.
Оба решения по простоте реализации не уступают друг другу. Решение с помощью тригонометрической подстановки может быть дано как один из возможных способов решения.
Пример 2. Известно, что . Доказать, что  [9].
Решение с помощью тригонометрической подстановки
Так как сумма квадратов  и  равна единице, то каждое из чисел  и  по абсолютной величине не превосходит единицы, и их можно рассматривать как синус и косинус некоторого угла. Поэтому законна подстановка
.
Аналогично . Доказываемое неравенство запишется в виде
.
Алгебраическое решение
Алгебраическое решение в данном случае будет состоять в возведении обеих частей неравенства в квадрат и выполнении тождественных преобразований.


.
Обычно неравенство  при заданных условиях доказывается, когда изучаются приложения комплексных чисел. Но еще до изучения комплексных чисел оно может быть рассмотрено  с учащимися, причем доказательство с помощью тригонометрической подстановки довольно компактно. Единственное, на что в данном случае следует обратить внимание учащихся – полное обоснование введения подстановки.

§4 Задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции.
Задачи, связанные с поиском наибольшего и наименьшего значений функции, неспроста пользуются большой популярностью у составителей экзаменационных заданий: чтобы решить подобную задачу, приходится комбинировать приемы и методы из весьма различных разделов школьного курса математики. Первое, что приходит в голову при решении подобных задач, – исследовать функцию на наибольшее и наименьшее значения с помощью производной. Но у такого подхода есть недостаток: во многих задачах вступительных экзаменов в вузы  с повышенными требованиями по математике этот привычный путь решения сопряжен со значительными техническими трудностями. В условиях конкурса этот недостаток особенно ощутим. Часто, однако, удается избавиться от громоздких выкладок, применяя понятия и навыки из других разделов школьного курса математики. Например, из тригонометрии.
Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значение выражения  в области
 [25].
Решение с помощью тригонометрической подстановки
Уравнение  преобразуем так, чтобы в левой части получилась сумма квадратов: . Следовательно, каждое из выражений  и  по модулю не превосходит единицы и их можно рассматривать как синус и косинус некоторого угла. Положим . Выразим  через одну величину :
.
Ответ: наибольшее значение равно , наименьшее значение равно .

Алгебраическое решение
Уравнение  преобразуем так, чтобы в левой части получилась сумма квадратов: . Нам нужно найти наибольшее и наименьшее значения выражения  в точках окружности , то есть окружности с центром в точке  и радиусом . Пусть в точке с координатами  выражение  принимает наибольшее значение, тогда справедлива система

.
Так как ищем наибольшее значение выражения , то выбираем
.
.
Тогда наибольшее значение выражения  равно
.
Аналогично находим, что наименьшее значение выражения  равно
.
Ответ: наибольшее значение равно , наименьшее значение равно .
Пример 2. Найти наименьшее и наибольшее значения выражения , если  [24].
Решение с помощью тригонометрической подстановки
Уравнение  преобразуем так, чтобы в левой части получилась сумма квадратов:
.
Имеем, что сумма квадратов  и  равна единице, поэтому каждое из этих выражений по модулю не превосходит единицы и их можно рассматривать как синус и косинус некоторого угла. Вот почему можно положить . Выразим сумму квадратов  через одну величину :
.
Ответ: наименьшее значение , наибольшее значение .
Алгебраическое решение
Иногда уравнения с параметрами возникают при решении задач, казалось бы, не имеющих к ним никакого отношения. Если требуется найти, например, наименьшее значение функции , ответ можно получить, если найти множество всех ее значений. Хотя это и более общая задача, но ее решение оказывается более простым. Причем число  будет значением функции  тогда и только тогда, когда уравнение  имеет хотя бы один корень. Поэтому требуется найти все такие значения параметра  и среди них выбрать наименьшее число. Это число и будет наименьшим значением функции  [37]. Реализуем сказанное для решения данной задачи другим способом.
Перейдем к системе
,
то есть выясним, при каких значениях параметра  система имеет решения. Умножим второе уравнение на  и вычтем полученное уравнение из первого.
.
Получили однородное уравнение относительно переменных  и . Проверкой устанавливается, что при  система решений не имеет, поэтому уравнение можно разделить на
.
Чтобы это уравнение имело решения необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант был неотрицателен.
.
Итак, данная система равносильна системе
.
Покажем, что при  система имеет решения. Пусть  - корень первого уравнения, тогда  подставим во второе уравнение
.
Обратим внимание на то, что в промежутке  только положительные числа, значит, полученное уравнение имеет решения. Соответственно, имеет решение и вся система. Промежуток  и есть множество значений, принимаемых выражением  при условии, что
.
В данном случае решение с помощью тригонометрической подстановки проще как в техническом, так и в идейном смысле. Не зная заранее идеи второго способа, трудно догадаться свести задачу о нахождении наибольшего и наименьшего значений выражения к решению системы с параметром.
Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значение выражения , если  [16].
Как в предыдущем примере, в этом случае самый удобный подход – тригонометрическая подстановка. Решение системы, состоящей из двух неравенств и одного уравнения с параметром, довольно сложно.

Решение с помощью тригонометрической подстановки
Положим . Геометрический смысл такой замены: для каждой точки  кольца  определяются расстояние  до начала координат и угол наклона вектора  к положительному направлению оси абсцисс. Тогда неравенство  будет выполнено при . Произведем замену в данном выражении
= .
Так как множество значений выражения  – это отрезок , то множество значений выражения  – отрезок .
Ответ: наименьшее значение , наибольшее значение 3.
Пример 4. Среди всех решений системы
 [42].
Найдите такие, при которых выражение  принимает наибольшее значение.
Перепишем систему в виде

Так как сумма квадратов чисел  и  рана единице, то каждое из них по абсолютной величине не превосходит единицы, поэтому их можно рассматривать как синус и косинус некоторого аргумента. Вот почему будет законна подстановка . Аналогично обосновывается введение замены . Тогда неравенство системы перепишется в виде
 
  .
Запишем выражение  в виде
.
Наибольшее значение выражения  достигается тогда и только тогда, когда

Найдем

.

.
.
.
Ответ: .
Алгебраическое решение
Перепишем исходную систему в виде
.
Сложим равенства полученной системы
.
Сравним левые и правые части получившегося равенства и неравенства системы, получим


.
Рассмотрим квадрат выражения
.
Наибольшее значение выражения , а значит, наибольшее значение выражения  имеет место тогда и только тогда, когда , то есть . Можно записать
.
Подставим полученное выражение  в первое уравнение исходной системы и найдем
.
Так как необходимо найти наибольшее значение выражения  и  и  имеют одинаковый знак, то выбираем
.
.
Так как , то .
.
Ответ: .
Здесь решение с помощью тригонометрической подстановки компактнее, быстрее приводит к результату. Единственный и важный момент, на который следует указать учащимся, является необходимость обоснования введения тригонометрической подстановки. Тот факт, что, например,  и  по модулю не превосходят единицы, можно проиллюстрировать графически. Уравнение  задает окружность с центром в начале координат и радиуса 2.
Из рисунка видно, что   и  принимают значения из отрезка , тогда  и  изменяются на отрезке .

0

2

2

а

b

0

 


§5. Решение задач с параметрами
Решение задач с параметрами – один из труднейших разделов школьного курса математики. Здесь, кроме использования определенных алгоритмов решения уравнений или неравенств, приходится думать об удачной классификации, следить за тем, чтобы не пропустить много тонкостей. Уравнения и неравенства с параметрами – это тема, на которой проверяется подлинное понимание учеником материала. Поэтому, например, на вступительных экзаменах в вузы с повышенными требованиями по математике уравнения и неравенства с параметрами часто включают в варианты письменных работ.
Пример 1. Решите и исследуйте уравнение
[45].
Решение с помощью тригонометрической подстановки
Так как  , то , поэтому положим . Уравнение примет вид
.
Если , то данное уравнение корней не имеет.
Пусть . Так как , то . При этих значениях  имеем
.
То есть для того чтобы уравнение имело корни необходимо и достаточно, чтобы
.
Значит, если , то данное уравнение корней не имеет.
Пусть , то есть . Отсюда . Тогда данное уравнение имеет один корень
.
Если , то исходное уравнение имеет два корня
.
, .
Ответ: Если  или , то данное уравнение корней не имеет.
           Если , то уравнение имеет единственный корень .
Если , то уравнение имеет два корня .

Алгебраическое решение

.
Пусть . Выясним, при каких значениях  выполняется неравенство , то есть решим неравенство

.
Пусть , тогда рассмотрим неравенство

.
Ответ: Если  или , то данное уравнение корней не имеет.
           Если , то уравнение имеет единственный корень .
Если , то уравнение имеет два корня .
В данном случае оба решения равноценны, можно решать любым способом. Зато уже в следующем примере решение с помощью тригонометрической подстановки проще.
Пример 2. При каких а неравенство

имеет решение [13].
Неравенство  имеет решение при а большем наименьшего значения выражения .
Решение с помощью тригонометрической подстановки
Положим , тогда

, где .
Оценим выражение



.
Наименьшее значение выражения  равно . Значит, при  неравенство имеет решение.
Ответ: при  неравенство имеет решение.
Алгебраическое решение
Если , то неравенство примет вид
.
Значит, при  неравенство имеет решение.
Поделим числитель и знаменатель на , получим
.
Введем замену , тогда
.
Найдем наименьшее значение выражения .

.
То есть наименьшее значение выражения  равно . Тогда наименьшее значение выражения , а значит наименьшее значение выражения  равно .
Ответ: при  неравенство имеет решение.
Для данного задания самый удобный метод решения – решение с помощью тригонометрической подстановки. Во втором случае возникает проблема с тем, чтобы найти наименьшее значение выражения .  Если учащиеся умеют находить наименьшее значение функции с помощью производной, то выполнив все вычисления и проведя исследование, они справятся с задачей. Если подобное задание решать до изучения производной, то могут возникнуть трудности с определением наименьшего значения. В работе предложен прием сведения к уравнению с параметром, подробно описанный в предыдущем параграфе.

Глава 3
Опытное преподавание темы «Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач»
на факультативных занятиях по математике
         Одной из задач дипломной работы является опытное испытание эффективности разработанной методики изучения тригонометрической подстановки как метода решения алгебраических уравнений, неравенств, их систем, а также задач на отыскание наибольшего и наименьшего значений функции. Это испытание применяется для объективной и достоверной проверки гипотезы и предполагает одновременное использование целого ряда методов, например, наблюдения, диагностирующих контрольных работ и других.
Тригонометрическая подстановка как метод решения алгебраических задач рассматривается в курсе математики для классов с углубленным изучением предмета в плане ознакомления [57]. Но в силу значимости материала для развития творческих способностей учащихся и освоения ими эффективного приема и метода решения сложных конкурсных заданий целесообразно организовать более детальную работу с тригонометрической подстановкой. Поэтому возникает необходимость в разработке и проведении факультативных занятий, посвященных данной теме.
  Опытное преподавание темы «Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач» было осуществлено в 2005 году в 10 «Б» классе Физико-математического лицея. Цели опытного преподавания: исследование возможности введения на факультативных занятиях в классы с углубленным изучением математики тригонометрической подстановки и проверка эффективности разработанной методики преподавания. Этапы работы:
1.         Разработка факультативного курса на тему: «Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач» с учащимися классов с углубленным изучением математики.
2.         Проведение разработанного факультативного курса.
3.         Проведение диагностирующей контрольной работы.
4.         Проведение диагностирующей домашней контрольной работы.
5.         Анализ полученных результатов опытной работы.
Этап 1. Разработка факультативного курса на тему: «Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач» » с учащимися классов с углубленным изучением математики.
Факультативный курс был разработан на основе сравнительного анализа решения большого числа задач традиционным способом и с помощью тригонометрической подстановки. Данный курс состоит из пяти занятий, которые желательно провести в 10 классе сразу после изучения тригонометрии или в 11 классе в связи с подготовкой учащихся к итоговой аттестации и поступлению в вузы. В процессе разработки и проведения факультативных занятий были поставлены следующие цели:
1.         Продолжить изучение тригонометрической подстановки, но уже на факультативных занятиях.
2.         Углубить знания о методах решения алгебраических задач.
3.         Показать применение различных методов решения.
4.         Провести сравнительный анализ этих решений.
5.         Способствовать формированию у учащихся умения видеть рациональный метод решения математических задач и обосновывать его применение.
6.         Показать, как аппарат тригонометрии может быть применен для решения задач алгебры, усилить связи между алгеброй и тригонометрией.
7.         Развитие логического мышления.
8.         Формирование настойчивости, целеустремленности и трудолюбия через решение сложных конкурсных задач.
Этап 2. Проведение разработанного факультативного курса.
Разработанные занятия проводились один раз в неделю. Всего было проведено 5 занятий. Ниже предлагается разработка одного занятия. С разработками остальных занятий можно ознакомиться в приложении к работе.
Занятие №2.
Тема: применение тригонометрической подстановки при решении уравнений.
Цель:
1.         Продолжить изучение применения тригонометрической подстановки для решения иррациональных уравнений в случае, когда переменная  может принимать любые действительные значения.
2.         Выявить виды рациональных уравнений, для решения которых применяется тригонометрическая подстановка.
3.         Провести сравнительный анализ решения рациональных уравнений с помощью тригонометрической подстановки и без нее, выбрать наиболее рациональный метод решения.
4.         Рассмотреть применение тригонометрической подстановки как одного из способов решения задач с параметрами.
Содержание:
1.         Решить уравнение .
Перед началом решения задачи желательно обсудить с учащимися, какие возможные значения может принимать переменная  и чем данное иррациональное уравнение отличается от ранее решенных уравнений. Целесообразно, чтобы при решении данного уравнения класс был разделен на три группы: учащиеся, которые решают с помощью тригонометрической подстановки, с помощью замены  и возведением в квадрат. Решение задачи завершается тем, что заслушивается решение каждым способом, после чего происходит обсуждение сильных и слабых сторон каждого метода решения.
Перед тем, как приступить к рассмотрению рациональных уравнений, желательно вспомнить с учащимися, какие проблемы возникают при решении рациональных уравнений. Во-вторых, следует обратить внимание учащихся, что решение этих заданий следует начинать с исследования того, какие значения может принять переменная  с целью обоснования возможности введения тригонометрической подстановки. В первом примере желательно все необходимые рассуждения провести вместе с классом.
2.         Выяснить, сколько корней имеет уравнение .
Организовать работу с данным уравнением можно как в предыдущем случае, разделив класс на две группы, решающих алгебраическим способом и с помощью тригонометрической подстановки. После чего целесообразно организовать сравнительный анализ обоих способов решения.
3.         Решить уравнение .
4.         Сколько решений имеет уравнение в зависимости от параметра
.
На этом примере желательно дать учащимся еще один способ решения задач с параметрами – с помощью тригонометрической подстановки и обсудить, как по структуре уравнения с параметром можно понять, что метод тригонометрической подстановки можно применить к данному уравнению.
Домашнее задание:
1.         Решить уравнение .
2.         Выяснить, сколько корней имеет уравнение .
Литература: [3], [4], [12], [13], [23]-[25], [37]-[40], [45], [55]-[57].
Этап 3. Проведение диагностирующей контрольной работы.
Диагностирующая контрольная работа была организована после проведения всех занятий, предусмотренных факультативом, и заняла 1 урок. Учащимся было предложено  для обязательного решения 3 задачи и одно задание было вынесено на дополнительную оценку. При этом школьникам была предоставлена возможность самостоятельно выбрать метод решения каждой задачи. Цели контрольной работы:
1.         Выявить степень усвоения учащимися материала.
2.         Определить понимание необходимости обоснования введения тригонометрической подстановки.
3.         Сравнить эффективность решения с помощью тригонометрической подстановки и без нее.
4.         Выявить тот материал и те задания, которые вызывают наибольшие затруднения у учащихся.
План:
1.         Организация учащихся на выполнение контрольной работы.
2.         Выполнение работы по двум вариантам.
Содержание:
I Вариант
1.         Решить уравнение
2.         Найти наибольшее и наименьшее значения выражения  в области .
3.         Среди всех решений (а, b, с, d) системы найти такие, при которых выражение а+с принимает наибольшее значение
.
4.         Сколько решений имеет уравнение в зависимости от параметра
.
II Вариант
1.         Решить уравнение .
2.         Найти наибольшее и наименьшее  значения выражения  в области .
3.         Среди всех решений (а, b, с, d) системы найти такие, при которых выражение а+с принимает наибольшее значение
.

4.         Сколько решений имеет уравнение в зависимости от параметра
.
Оценивание: Правильно выполненное и аргументированное решение оценивалось знаком «+». Правильно выполненное решение с частичным обоснованием введения тригонометрической подстановки – знаком « ». Правильно выполненное решение без обоснования применения тригонометрической подстановки, но с указанием промежутка изменения  – знаком «*». Правильно выполненное решение без обоснования применения тригонометрической подстановки и без указания промежутка изменения  – знаком « ». Решение с ошибками – знаком « ». Отсутствие решения – знаком «–». Буква «д» рядом с одним из указанных выше знаков означает, что учащийся решал задание, не прибегая к тригонометрической подстановке. Буква «к» - учащийся в решении комбинирует тригонометрическую подстановку с другим способом решения. Буква «с» - учащийся представил два решения: с помощью тригонометрической подстановки и без нее.
Результаты: контрольная работа была написана 21 учеником класса из 22. Начнем с разбора обязательной части контрольной работы.
Первое задание – решение иррационального уравнения – все учащиеся выполнили с помощью тригонометрической подстановки, причем во всех работах было представлено полное обоснование возможности введения этой подстановки. В восьми работах решение оказалось с ошибками. Все учащиеся, использовавшие подстановку , где , допустили ошибки. Это было связано с тем, что в результате преобразований исходного уравнения в правой части получалась формула синуса тройного аргумента с отрицательным знаком, который был утерян. Потерю знака удалось избежать тем учащимся, которые выбрали подстановку , где . Ошибки в решении при такой подстановке были связаны с неверным отбором корней.
Второе и третье задания были посвящены нахождению наибольшего и наименьшего значений функции.
Второе задание всеми учащимися было решено верно, при этом в качестве метода решения был выбран метод тригонометрической подстановки. Но в отличие от решения первого задания, во втором только двое учащихся дали аргументированное решение с полным обоснованием возможности введения тригонометрической подстановки. В одной работе эта возможность не получила достаточно полного обоснования. Остальные восемнадцать учащихся приступили к решению без доказательства возможности введения замены, причем из них только один верно указал, что .
К решению третьего задания приступили двадцать учащихся из двадцати одного. Из них трое решали алгебраическим способом и полностью справились с решением. Один ученик начал решение алгебраическим способом, получил промежуточный результат, который использовал при решении с помощью тригонометрической подстановки, но все решение не было доведено до конца. Шестнадцать учащихся применили метод тригонометрической подстановки для решения, но ни в одной из этих работ не было обоснования введения этой подстановки, и только четверо указали, что . Из шестнадцати работ шесть содержат ошибки. В трех решение было завершено после того, как было найдено наибольшее значение выражения, в то время как задание состояло в том, чтобы найти такие решения системы, при которых данное выражение принимает наибольшее значение. В остальных трех работах были допущены вычислительные ошибки.
Перейдем к разбору дополнительного задания. Оно содержало уравнение с параметром, для которого требовалось исследовать количество решений в зависимости от параметра. Из двадцати одного ученика к заданию на дополнительную оценку приступили двадцать человек, из них половина верно справилась с ним. Семеро из верно решивших учащихся опирались на графическую иллюстрацию, трое – использовали алгебраический подход. Из не решивших десяти человек семеро привели исходное  уравнение с помощью тригонометрической подстановки к виду  и продолжили решение для . Они не учли, что аргумент правой части равенства . Трое не рассмотрели все возможные случаи.
Этап 3. Проведение диагностирующей домашней контрольной работы.
Домашняя контрольная работа была проведена после завершающего четвертого занятия перед написанием итоговой контрольной работы.
Содержание:
1.         Решите уравнение .
2.         Решите уравнение .
3.         Решите уравнение .
4.         Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения  в области .
Результаты:
Первые три задания были посвящены решению иррациональных уравнений. Причем решить первое уравнение было рекомендовано двумя способами: с помощью тригонометрической подстановки и без нее. Это было сделано с той целью, чтобы показать учащимся: не всегда введение тригонометрической подстановки упрощает решение. Иногда применение стандартного метода для решения задач оказывается более эффективным. Таким образом, уравнение было призвано обратить внимание учащихся не необходимость обдуманного введения тригонометрической подстановки. Пример не вызвал серьезных затруднений, из восемнадцати работ только в одной были ошибки. Как правило, для решения учащиеся выбирали и обосновывали подстановку
.
Одним учащимся был предложен другой вариант тригонометрической подстановки
,
но само решение оказалось более громоздким.
Со вторым заданием справились все учащиеся.
В третьем задании ошибки возникли у трех учащихся из восемнадцати и были связаны с неверным отбором корней.
Вновь наибольшие затруднения вызвало задание на нахождение наибольшего и наименьшего значений выражения. Даже среди тех, кто получил верный ответ, немногие обосновали введение тригонометрической подстановки.
Этап 4. Анализ полученных результатов опытной работы.
Результаты контрольной и домашней контрольной работ можно представить в виде диаграмм.
Процент учащихся, выбравших тригонометрическую подстановку
\s \s
В основном в качестве метода решения предложенных алгебраических задач учащиеся выбирали метод тригонометрической подстановки. Другим способом решали, если задание состояло в том, чтобы найти наибольшее значение выражения при заданных в системе условиях (как в контрольной работе) или если было рекомендовано решать другим способом (как в домашней контрольной работе).
Процент учащихся, верно справившихся с заданиями
\s \s
Из диаграмм видно, что наибольшие затруднения вызывали у учащихся задания двух типов. Во – первых, задания на нахождение наибольшего и наименьшего значений выражения. Во – вторых, иррациональные уравнения, область допустимых значений которых можно представить неравенством , где . А вот иррациональные уравнения, область допустимых значений которых определяется неравенством , традиционно решаются лучше.
Процент учащихся, обосновавших введение тригонометрической подстановки
\s \s
Во всех заданиях, где учащимся было предложено решить иррациональное уравнение, тригонометрическая подстановка была обоснована. Хуже обстояло дело с обоснованием введения тригонометрической подстановки, если речь шла о двух переменных. В этом случае учащиеся, как правило, приступали к решению, доводили его до верного ответа, но не обосновывали законность произведенной замены.
Так как только в двух случаях (в одном задании из контрольной и в одном задании из домашней контрольной работы) учащиеся предложили другое решение без использования тригонометрической подстановки

Сравним процент учащихся, решивших верно с помощью тригонометрической подстановки и без нее
\s
\s
Решение более привычным и отработанным способом для учащихся оказалось эффективнее, чем с помощью введения тригонометрической подстановки. И это не удивительно. Тема «Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач» является довольно сложной, речь идет о ее рассмотрении на факультативных занятиях только в классах с углубленным изучением математики. Пять факультативных занятий для того чтобы учащиеся овладели этим методом, безусловно, мало, о чем свидетельствуют результаты. Но ввиду того, что применение тригонометрической подстановки может оказать существенную помощь в решении некоторых классов задач (например, иррациональных уравнений, задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции и других), желательно продолжить работу с учащимися над овладением этим методом  и вернуться к нему в конце 11 класса. В пользу этого говорит еще и тот факт, что при решении предложенных задач учащиеся выбирали именно этот способ решения для получения ответа. Особенно удачно учащиеся использовали замену при решении иррациональных уравнений, видели возможность введения тригонометрической подстановки  и обосновывали это введение. Сама замена стала интересной для учащихся не только тем, что позволила решить непростые конкурсные примеры, но и указала на связь между алгеброй и тригонометрией, показала, что введение тригонометрической подстановки не только не усложняет решение, а в некоторых случаях существенно упрощает его, тем самым повышая значимость самой тригонометрии в глазах учащихся.

Заключение

При проведении исследования были поставлены и решены следующие задачи:
1.         Исследованы теоретические основы возможности введения тригонометрической подстановки.
2.         Проведена работа по подбору и объединению в одном источнике решений с помощью тригонометрической подстановки разнообразных алгебраических заданий: уравнений, неравенств, их систем, задач с параметрами и задач на отыскание наибольшего и наименьшего значений функции. Работа включает в себя задания, решение которых с помощью тригонометрической подстановки и без нее равноценны, задания, которые не могут быть решены стандартными алгебраическими приемами без применения тригонометрической подстановки и задания, которые решаются без тригонометрической подстановки проще.
3.         Проведен сравнительный анализ решения задач с помощью тригонометрической подстановки и без нее. Метод тригонометрической подстановки рассмотрен во многих источниках по математике, в том числе [3]-[6], [9]-[14], [16], [18], [22]-[25], [29]-[32], [37]-[39], [42]-[45], [47], [49], [51], [57]. Но практически ни в одном из них не был проведен сравнительный анализ решения задач с помощью тригонометрической подстановки и без нее и практически нет источников, в которых была бы представлена возможность применения тригонометрической подстановки для решения большого класса задач.
4.         На основе проведенного сравнительного анализа была разработана методика изучения тригонометрической подстановки при решении алгебраических задач на факультативных занятиях по математике в старших классах с углубленным изучением математики.
5.         Проведено опытное испытание эффективности разработанной методики в 10 классе ФМЛ.
Опытная работа показала, что введение факультативного курса «Применение тригонометрической подстановки  для решения алгебраических задач» в классы с углубленным изучением математики оправдано. В состав диагностирующей контрольной работы, которая была проведена на завершающем занятии факультативного курса, были включены задачи, которые допускали как алгебраический способ решения, так и решение с помощью тригонометрической подстановки. Школьникам была предоставлена свобода выбора метода решения каждого задания. Результаты работы показали, что учащиеся без особого труда выделяют задачи, в которых возможно ввести тригонометрическую подстановку; применяют ее для решения трудных и очень трудных конкурсных задач; осуществляют сравнение и выбор наиболее рационального способа решения. А значит, гипотеза, сделанная в начале дипломной работы, подтвердилась. Введение материала, связанного с тригонометрической подстановкой, на факультативных занятиях в классах с углубленным изучением математики способствует развитию творческих способностей учащихся и подготавливает их к вступительным экзаменам в вузы с повышенными требованиями к математике. Единственное, над чем еще можно поработать – грамотное обоснование введенной замены.

Литература
1.    Алгебра и математический анализ. 10 класс: Учебное пособие для школ и классов с углубленным изучением математики / Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2001. – С. 335.
2.    Алгебра и математический анализ. 11 класс: Учебное пособие для школ и классов с углубленным изучением математики / Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2001. – С. 288.
3.    Алексеев А. Тригонометрические подстановки / А. Алексеев, Л. Курляндчик // Квант. – №2. – 1995. – С. 40–42.
4.    Балаян Э. Н. Репетитор по математике для поступающих в вузы / Э. Н. Балаян. – Ростов–на–Дону: Изд-во Феникс, 2003. – С. 736.
5.    Болтянский В. Г. Лекции и задачи по элементарной математике / В. Г. Болтянский, Ю. В. Сидоров, М. И. Шабунин. – М.: Изд-во Наука, 1972. – С. 592.
6.    Вавилов В. В. Задачи по математике. Алгебра / В. В. Вавилов, И. И. Мельников, С. Н. Олехник, П. И. Пасиченко. – М.: Наука, 1988. – С. 439.
7.    Василевский А. Б. Методы решения задач / А. Б. Василевский. – Минск: Вышэйшая школа, 1974. – С. 240.
8.    Василевский А. Б. Обучение решению задач: Учебное пособие для педагогических институтов / А. Б. Василевский. – Минск: Вышэйшая школа, 1988. – С. 255.
9.    Вороной А. Н. Пять способов доказательства одного неравенства / А. Н. Вороной // Математика в школе. – №4. – 2000. – С. 12.
10.                       Вороной А. Н. Циклические системы уравнений / А. Н. Вороной // Математика в школе. – №7. – 2003. – С. 71-77.
11.                       Всероссийские математические олимпиады школьников: Книга для учащихся / Г. Н. Яковлев, Л. П. Купцов, С. В. Резниченко, П. Б. Гусятников. – М.: Просвещение, 1992. – С. 383.
12.                       Горнштейн П. И. Экзамен по математике и его подводные рифы / П. И. Горнштейн, А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир. – М.: Илекса, 2004. – С. 236.
13.                       Горнштейн П. И. Задачи с параметрами / П. И. Горнштейн, В. Б. Полонский, М. С. Якир. – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 2002. – С. 336.
14.                       Горнштейн П. И. Тригонометрия помогает алгебре / П. И. Горнштейн. – М.: Бюро Квантум, 1995. – С. 100-103. – Приложение к ж. «Квант», №3/95.
15.                       Громов А. И. Математика для поступающих в вузы. Методы решения задач по элементарной математике и началам анализа / А. И. Громов, В. М. Савчин. – М.: Изд-во РУДН Народная Компания Евразийский регион, 1997. – С. 264.
16.                       Дорофеев Г. В. Пособие по математике для поступающих в вузы. Избранные вопросы элементарной математики / Г. В. Дорофеев, М. К. Потапов, Н. Х. Розов. – М.: Просвещение, 1976. – С. 640.
17.                       Епифанова Т. Н. Отыскание экстремальных значений функций различными способами / Т. Н. Епифанова // Математика в школе. – №4. – 2000. – С. 52-55.
18.                       Зарубежные математические олимпиады / С. В. Конягин, Г. А. Тоноян, И. Ф. Шарыгин. – М.: Наука, 1987. – С. 416.
19.                       Канин Е. С. Учебные математические задачи: Учебное пособие / Е. С. Канин. – Киров: Изд-во ВятскогоГГУ, 2003. – С. 191.
20.                       Колягин Ю. М. Задачи в обучении математике / Ю. М. Колягин. – М.: Просвещение, 1977. – С. 143.
21.                       Лапушкина Л. И. Системы алгебраических уравнений / Л. И. Лапушкина, М. И. Шабунин // Математика в школе. – №6. – 1998. – С. 22-26.
22.                       Махров В. Г. Новый репетитор по математике для старшеклассников и абитуриентов / В. Г. Махров, В. Н. Махрова. – Ростов–на–Дону: Изд-во Феникс, 2004. – С. 544.
23.                       Мельников И. И. Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах / И. И. Мельников, И. Н. Сергеев. – М.: Изд-во Московского университета, 1990. – С. 303.
24.                       Мерзляк А. Г. Тригонометрия: Задачник по школьному курсу. 8-11 класс / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, Е. М. Рабинович. – М.: АСТ – ПРЕСС: Магистр, 1998. – С. 655.
25.                       Мерзляк А. Г. Неожиданный шаг или сто тринадцать красивых задач / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир. – Киев: Агрофирма Александрия, 1993. – С. 59.
26.                       Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учебное пособие для студентов пед. ин-тов по спец. 2104 «Математика» и 2105 «Физика» / Сост. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр. – М.: Просвещение, 1985. – С. 336.
27.                       Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учебное пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. Спец. / Сост. В. И. Мишин. – М.: Просвещение, 1987. – С. 414.
28.                       Мордкович А. Г. Беседы с учителями математики / А. Г. Мордкович. – М.: Школа – Пресс, 1995. – С. 272.
29.                       Морозова Е. А. Международные математические олимпиады. Задачи, итоги, решения. Пособие для учащихся / Е. А. Морозова. – М.: Просвещение, 1976. – С. 288.
30.                       Московский государственный университет // Математика в школе. – №10. – 2002. – С. 28-43.
31.                       Нараленков М. И. Вступительный экзамен по математике. Алгебра: как решать задачи: Учебно-практическое пособие / М. И. Нараленков. – М.: Изд-во Экзамен, 2003. – С. 448.
32.                       Олехник С. Н. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств: Справочник / С. Н. Олехник, М. К. Потапов, П. И. Пасиченко. – М.: Изд-во МГУ, 1991. – С. 143.
33.                       Петров В. В. Нестандартные задачи / В. В. Петров, Е. В. Елисеева // Математика в школе. – №8. – 2001. – С. 56-59.
34.                       Писаревский Б. М. Задачи об экстремумах / Б. М. Писаревский // Математика в школе. – №5. – 2004. – С. 47-51.
35.                       Письменный Д. Т. Математика для старшеклассников / Д. Т. Письменный. – М.: Айрис, Рольф, 1996. – С. 281.
36.                       Пойа Д. Обучение через задачи / Д. Пойа // Математика в школе. – №3. – 1970. – С. 89-91.
37.                       Потапов М. К. Готовимся к экзаменам по математике: Учебное пособие для поступающих в вузы и старшеклассников / М. К. Потапов, С. Н. Олехник, Ю. В. Нестеренко. – М.: Научно – технический центр «Университетский»: АСТ – Пресс, 1997. – С. 352.
38.                       Потапов М. К. Конкурсные задачи по математике / М. К. Потапов, С. Н. Олехник, Ю. В. Нестеренко. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. – С. 400.
39.                       Потапов М. К. Математика. Методы решения задач. Для поступающих в вузы: Учебное пособие / М. К. Потапов, С. Н. Олехник, Ю. В. Нестеренко. – М.: Дрофа, 1995. – С. 336.