МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Выпускная квалификационная работа
Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа
Выполнил
студент 5 курса
математического факультета
Чупраков Дмитрий Вячеславович
_____________________/подпись/
Научный руководитель:
д.ф-м.н., профессор Е.М. Вечтомов
_____________________/подпись/
Рецензент:
к.ф-м.н., доцент В.В. Чермных
_____________________/подпись/
Допущена к защите в ГАК
Зав. кафедрой ______________________д.ф-м.н., профессор Е.М. Вечтомов
                                      (подпись)                                “__” _________
Декан факультета _____________________к.ф-м.н., доцент В.И. Варанкина
                                      (подпись)                                “__” _________
Киров
2005

Содержание

  Содержание. 2
Введение. 3
Глава 1. 5
1.1. Базовые понятия и факты.. 5
1.2. Простое расширение Q⁺(a) 5
1.3. Минимальное соотношение алгебраического элемента над полуполем рациональных неотрицательных чисел. 7
Глава 2. Однопорожденные полуполя. 9
2.1. Структура простого расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел  9
2.2. Расширения полуполя неотрицательных действительных чисел комплексным числом. 11
2.3. Расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел комплексным числом  12
2.4. Примеры.. 20
Литература. 22

 

Введение

Теория полуполей – одно из интенсивно развивающихся разделов общей алгебры, являющейся обобщением теории полей. Одним из основных способов исследования полей является построение их расширений. Поэтому естественно исследовать расширения полуполей. Эта проблема освещена в статье А.В.Ряттель [3] и диссертации И.И.Богданова. Но в них рассматриваются случаи упорядочиваемых расширений. Интересно рассмотреть неупорядочиваемые расширения. Этому вопросу посвящена данная квалификационная работа
Целью квалификационной работы является исследование однопорожденных расширений полуполей неотрицательных рациональных чисел и неотрицателных действительных чисел комплексным числом на предмет выявления признаков и свойств, позволяющих упростить поиск расширений, являющихся полуполями.
Выпускная квалификационная работа состоит из двух глав. В главе 1 представлены предварительные сведения, необходимые для изучения однопорожденных расширений полуполей. Глава 2 посвящена исследованию однопорожденных расширений полуполей.
В работе принята сквозная тройная нумерация теорем и лемм, где первое число – номер главы, второе – номер параграфа, третье – номер в параграфе. Например, теорема 2.1.1 – первая теорема первого параграфа второй главы.
Основными результатами работы являются:
·        Теорема 2.2.1. Любое расширение , где , является полем С.
·        Теорема 2.3.1. Если , то  – поле тогда и только тогда, когда Q⁺(-a²) – поле, позволяющая выявлять полуполя вида .
·        Теорема 2.3.6. Если минимальный многочлен f-g порождает полуполе то, он либо имеет положительный действительный корень, либо корень , такой что  и последовательность (**), заданная числами p и q, не содержит отрицательных элементов.
Последовательность     задается следующим образом:
               
Эта теорема помогает сократить область поиска расширений, являющихся полуполями.
·        Теорема 2.3.7. Для комплексных чисел  расширение , минимальное соотношение которого имеет положительный корень, является полуполем.

Глава 1.

1.1. Базовые понятия и факты

Определение: Алгебра <P, +, ×> называется полуполем, если
(1)   <Р, +> – коммутативная полугруппа с 0;
(1)(2)   <Р, ×> – группа с 1;
(1)(3)   Дистрибутивность
a.    
a.b.    
(4)  
Не сложно показать, что Q⁺ является полуполем.
Определение: Пусть Р – подполуполе полуполя F, , тогда простым расширением полуполя P с помощью элемента a называется наименьшее подполуполе полуполя F, содержащее множество P и элемент a. Простое расширение P с помощью a обозначается P(a).

1.2. Простое расширение Q⁺(a)

Теорема 1.2.1. Произвольное полутело либо аддитивно идемпотентно, либо содержит копию Q⁺ в качестве полутела.
Доказательство. Предположим, что S – неидемпотентное полутело, т.е. найдется такой ненулевой элемент sÎS, что s+s¹s. Откуда
.
Рассмотрим суммы единиц. Через  обозначим сумму k единиц (при kÎN). Так как любое полутело является антикольцом, то . Покажем, что суммы различного числа единиц в S различны. Допустим от противного, что  при некоторых натуральных m<n. Положим l=n-mÎN. Тогда . Прибавляя к обеим частям этого равенства элемент , получим
.
Применяя эту процедуру несколько раз, будем иметь
 для любого tÎN.
По свойству Архимеда, найдется такое tÎN, что tl>n. При k=tl имеем  и n<k. Тогда
.
Откуда 1=1+1 ( ). Получили противоречие.
Следовательно, полутело S содержит аддитивную копию N. Но тогда S содержит и частные сумм 1, т.е. содержит копию полуполя Q⁺, причем, очевидно, операции в Q⁺ и S согласованы.
■
Теорема 1.2.2. - простое расширение полуполя Q⁺.
Доказательство. Заметим, что Q⁺(a) – полуполе. Кроме того, а Î Q⁺(a). Это не сложно увидеть, взяв . Очевидно .
Предположим, что есть полуполе P меньшее Q⁺(a), содержащее а и Q⁺. Тогда оно содержит все выражения вида . Так как P – полуполе, то . Таким образом, . Так как P – минимальное полуполе, то . То есть, –простое расширение полуполя Q⁺.
■
Аналогично доказывается следующее утверждение.
Теорема 1.2.3. - простое расширение поля Q.

1.3. Минимальное соотношение алгебраического элемента над полуполем рациональных неотрицательных чисел

Пусть а – алгебраическое число. Тогда минимальный многочлен F числа а имеет степень ≥ 1. Тогда обозначим через f многочлен, составленный из положительных одночленов многочлена F, а многочлен g составим из отрицательных членов, взятых с противоположными знаками. Тогда . , тогда .
Покажем, что любое равенство  получается из , где . Заметим, что , так как а – корень , а  – минимальный многочлен для a. Представим , где  составлен из положительных одночленов многочлена h, а  ‑ составлен из отрицательных одночленов многочлена h, взятых с противоположным знаком. Таким образом,

Приведем подобные члены в паре , и найдем такой , что
,  
не имеют подобных членов.
Аналогично найдем , что
 и
 
не имеют подобных членов.
Получаем

Так как  не имеют подобных членов и  не имеют подобных членов, то
,     или
, .
Найдем значения этих многочленов в точке а.
, .
Итак,
,
.
То есть,  тогда и только тогда, когда .
Будем говорить, что Q⁺(a) порождается минимальным соотношением .

Глава 2. Однопорожденные полуполя

2.1. Структура простого расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел

Для простого расширения  справедливы следующие теоремы.
Теорема 2.1.1. Пусть  простое расширение , a – алгебраический элемент над . Тогда эквивалентны следующие утверждения:
(1)  – поле;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) .
Доказательство.
·     (1)®(2): Пусть  – поле. Так как  - простое расширение поля Q элементом a. То . Однако, . Таким образом, .
·     (2)®(3): Заметим, что достаточно показать, что
.
Пусть его нет, тогда покажем, что никакой ненулевой элемент  не будет обратим. Рассмотрим
 и
,
тогда
.
По предположению, этот многочлен – тождественный ноль. А значит. . Так как , то . То есть, оба многочлена – нулевые. Мы же брали ненулевой многочлен b. Это показывает справедливость (3).
·     (3)®(4): Пусть , тогда . Так как (f – g)(a) = 0, то h(a) = 0.
·     (4)®(5): Пусть , покажем, что .
Так как h(a)=0, то . Покажем, что . Рассмотрим
.
Если b₀≠0, то
.
Если h₀=0, то
.
Так как a≠0, то
.
Тогда
.
Итак, .
·     (5)®(1): Пусть , покажем, что Q⁺(a) – поле. Действительно, мы знаем, что Q⁺(a) – полуполе. Рассмотрим bÎQ⁺(a), тогда . b + (‑b)=0. То есть, Q⁺(a) – поле.
Итак, мы показали, что все утверждения равносильны.                                ■
Доказанный факт влечет следующую теорему.

Теорема 2.1.2. Пусть Q⁺(a) простое расширение Q⁺, a – алгебраический элемент над Q⁺. Тогда эквивалентны следующие утверждения:
(1) Q⁺(a) –полуполе;
(1)(2) ;
(1)(3) ;
(4) ;
(5) .
Доказательство. Несложно установить равносильность утверждений (1) ‑ (4), исходя из предыдущей теоремы. Докажем условие равносильность их утверждению (5).
Из условия (5) следует, что никакой элемент не обратим по сложению. Тогда Q⁺(a) не является полем, а значит Q⁺(a) – полуполе. Докажем, что из (3) следует (5). Действительно, согласно условию (3),
("hÎQ⁺[a], h≠0) h(a)≠0.
То есть, если h(a)=0, то h=0. Пусть h(a)=(x+y)(a)=0. Тогда
.
Тогда (x_i+y_i)=0.
Так как x_iÎQ⁺ и y_iÎQ⁺, то x_i=y_i=0. А значит, x=y=0.
Теорема доказана.
■

2.2. Расширения полуполя неотрицательных действительных чисел комплексным числом

Теорема 2.2.1. Любое расширение , где , является полем С.
Доказательство. Пусть ,  и при a > 0. Тогда  находится строго в первой или четвертой четверти комплексной плоскости.
Очевидно, существует натуральное n, что  лежит строго во второй или третьей четверти. То есть, , где c < 0, . Значит,  и . По теореме 2.1.1,  – поле. Очевидно, что . То есть,  является полем С.
Аналогично рассматривается случай                                                     ■

2.3. Расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел комплексным числом

Теорема 2.3.1. Если , то  – поле тогда и только тогда, когда Q⁺(-a²) – поле.
Доказательство. По теореме 2.1.1 Q⁺(ai) – поле равносильно существованию
f¹0, f(ai)=0.
Так как все степени aiÎQ⁺(ai). Рассмотрим некоторый многочлен
.
Равенство выполняется тогда и только тогда, когда действительная и мнимая часть равны нулю.
То есть,


Это верно тогда и только тогда, когда Q⁺(-a²) – поле.
Получили, что Q⁺(ai) – поле тогда и только тогда, когда Q⁺(-a²) – поле.     ■
Как следствие получаем более ценные утверждения.
Следствие 1. Если , то Q⁺(ai) – полуполе тогда и только тогда, когда Q⁺(-a²) – полуполе.
Следствие 2. Если  и Q⁺(-b²) – полуполе, aÎQ⁺(-b²), то Q⁺(a + bi) – полуполе.
Теорема 2.3.2. Пусть  – комплексный корень квадратного трехчлена f(x) неприводимого над Q. Тогда  – полуполе в том и только том случае, когда f(x) имеет положительный действительный корень.
Доказательство. Пусть  удовлетворяет минимальному соотношению, являющемуся квадратным уравнением без положительных корней. Тогда , где D – дискриминант минимального соотношения.
Рассмотрим минимальный многочлен, соответствующий данному минимальному значению. Он имеет вид . Если b, c ≥ 0, то имеем многочлен из . Пусть многочлен имеет два отрицательных корня, тогда , . То есть . Если многочлен не имеет действительных корней, то
                                                    (*)
То есть, .
Рассмотрим .
При  получаем многочлен из Q⁺[x]. Пусть . Введем обозначения:
, , ,
, , .
Тогда многочлен примет вид . Умножим его на , получим многочлен . Если , то это искомый многочлен иначе умножим его на .
Докажем, что, проделав такую операцию достаточно большое количество раз, мы получим многочлен из Q⁺. Докажем, что найдется такие k, что . При этом . Для начала найдем дискриминант уравнения .

То есть, дискриминант D_l+1 имеет тот же знак, что и D_l. Так как D₀<0, то пользуясь методом математической индукции заключаем, что любой дискриминант D_l<0.
Рассмотрим неравенство , подставим , . Получим
.
То есть,
.
Зная, что  заметим
.
Итак, для доказательства нам достаточно установить, что
.
То есть,
.
Пусть аналогичными рассуждениями мы установили, что нам достаточно доказать неравенство
.
Тогда
.
Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получим, что
.
Используя оценку  и деля на положительный элемент  , получаем
.
Обозначим . Рассмотрим отображение , заданное по правилу . При , . Отображение является сжимающим. Оно имеет единственную неподвижную точку. Найдем ее: . Откуда . Заметим, что . Последовательность стремится к 4. То есть, нам достаточно установить, что , а это следует из (*). Итак, мы доказали, что . То есть, мы нашли такой многочлен, , что . Итак, мы доказали, что если  удовлетворяет минимальному соотношению, являющемуся квадратным уравнением без положительных корней, то  – поле.                           ■
Следствие 1. Если  – мнимый корень квадратного трехчлена, то  ‑ поле.
Следствие 2. Любое простое расширение  является полем , порожденным минимальным соотношением 2 степени.
Доказательство.
Заметим, что . Покажем, что для любого aÎQ найдется такой квадратный многочлен , что  - его корень многочлена. Для этого достаточно представить . Возьмем такой , что , тогда . Очевидно, . Таким образом, нам удалось найти многочлен из . То есть,  - поле.                 ■
Рассмотрим последовательность действительных чисел :
                                        (**)
Будем говорить, что последовательность  задается числами p и q.
Лемма 2.3.3. Существует n, что .
Доказательство. Пусть . Покажем, что последовательность  убывающая.
,
то есть .
Пусть , тогда

Так как ,  то
Пользуясь методом математической индукции, заключаем, что , то есть  - убывающая.
Так как  - монотонно убывающая и ограничена снизу 0, то существует . Тогда .
То есть, . Но тогда
,
,
что невозможно для . То есть, .        ■

Лемма 2.3.4. Если , то существует , что .
Доказательство. Запишем а и b в виде десятичных дробей:
,  Так как , то существует k, что  и .
Тогда . Рассмотрим число .

То есть, .                                                                                              ■

Теорема 2.3.5. Если  и , то
.
Доказательство. По лемме 2.3.3, . Пусть .
Если n=1, то . Рассмотрим .

То есть,
.
Так как . По лемме 2.3.4 . Тогда
.
Рассмотрим n > 1.
Пусть .
Покажем, что
Раскроем скобки и сгруппируем члены при x^j.

То есть,


Заметим, что . Для существования , по лемме 2.3.4, достаточно выполнения условий  и , то есть, . Обозначим . Так как , то  и . Для существования  достаточно доказать существование  и . То есть, . Обозначим . Повторим эту операцию n-2 раза. Получим, что . По лемме 2.3.4,  существует, если  и . Эти условия следуют из того, что  и .
Таким образом, доказано существование
                                                                                                                          ■
Теорема 2.3.6. Если минимальный многочлен f-g порождает полуполе то, он либо имеет положительный действительный корень, либо корень , такой что  и последовательность (**), заданная числами p и q, не содержит отрицательных элементов.
Доказательство. Пусть многочлен f-g не имеет положительных действительных корней, и для всех корней вида , где , последовательность (**), заданная числами p и q, содержит отрицательный элемент. Тогда, по теореме 2.3.5, для каждого множителя вида  существует многочлен , что . Рассмотрим многочлен .  так как  и . Кроме того , а остальные множители многочлена  имеют вид  или . То есть, . Таким образом . По теореме 2.1.1, минимальный многочлен порождает поле.                                 ■
Теорема 2.3.7. Для комплексных чисел  расширение , минимальное соотношение которого имеет положительный корень, является полуполем.
Доказательство. Пусть a' – положительный корень минимального соотношения. Предположим, что  – поле. Тогда существует многочлен f с положительными коэффициентами, делящийся на минимальный многочлен. Значит f(a')=0. Но . Значит a' – не является корнем многочлена f. То есть  – полуполе.                                                                                                                           ■

2.4. Примеры

1.     Рассмотрим . Оно удовлетворяет минимальному соотношению . По теореме 2.3.7,  - полуполе. Аналогично доказывается, что  – полуполе.
2.      – полуполе. Для доказательства нужно воспользоваться теоремой 2.3.1.
2.3.     Покажем, что  – полуполе. Во-первых, заметим, что . Рассмотрим . По теореме 2.3.7,  ‑ полуполе. Тогда, по теореме 2.3.1,  – полуполе. . То есть,  – полуполе.
4.     , минимальное соотношение которого имеет вид , есть полуполе. Действительно, многочлен  имеет положительный корень, а значит  - полуполе.
Теперь приведем примеры полей.
5.      является полем, потому что его минимальный многочлен имеет вид .
6.      Пусть  удовлетворяет минимальному соотношению . Его минимальный многочлен  делит . То есть,  – поле. Несложно видеть, что . Итак, .
7.     Пусть  удовлетворяет минимальному соотношению . Тогда  – поле.
8.     Пусть  , если , то  – поле. Так как , то  Если  , то . Рассмотрим последовательность (**), порожденную p и q. . По теореме 2.3.7,  – поле.

Литература

1.     Вечтомов Е.М. Введение в полукольца. – Киров: Изд-во Вятского гос. пед. ун-та, 2000
2.     Вечтомов Е.М. О свойствах полутел // Матем. вестник педвузов Волго-Вятского региона. – 2001, вып. 3. – Киров: Изд-во Вят. гос. пед. ун-та. – С. 11-20.
3.     Ряттель А.В. Однопорожденные полукольца с делением // Матем. вестник педвузов Волго-Вятского региона. – 2002, вып. 4.– Киров: Изд-во Вятского госпедуниверситета. – С. 39-45.