Пятый признак равенства.
Два сферических треугольника равны, если два угла одного сферического треугольника равны двум соответственным углам другого сферического треугольника, стороны, лежащие против двух равных углов, равны, а стороны, лежащие против двух других равных углов, одновременно меньше или больше .
Шестой признак равенства.
Два сферических треугольника равны, если все три угла одного сферического треугольника равны соответственным углам другого сферического треугольника.
Сравнивая первый признак равенства со вторым, третий с шестым, а четвёртый с пятым, можно заметить, что если для двух сферических треугольников выполнен признак каждой пары, для полярных по отношению к ним треугольников выполнен второй признак той же пары. Поэтому, так как из равенства двух сферических треугольников, очевидно, вытекает равенство полярных по отношению к ним треугольников, то из справедливости одного из признаков каждой пары вытекает справедливость второго из признаков той же пары.      
          

3.4. Равнобедренные сферические треугольники.

Сферический треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.
Всякий сферический треугольник, наложимый на треугольник, ему симметричный, - равнобедренный.
Действительно, мы знаем, что в силу того, что оба треугольника имеют противоположное расположение, невозможно наложить один треугольник на другой так, чтобы совпадали соответственные вершины, т.е. вершины, находящиеся первоначально на концах одного диаметра; если бы среди сторон треугольника не было равных между собой, то такое наложение было бы невозможно и ни каким другим образом.
Обратно, всякий равнобедренный сферический треугольник наложим на треугольник, ему симметричный.
Если треугольник А'В'С' симметричен треугольнику АВС и если АВ равно АС, то два треугольника АВС и А'С'В', имеющие (при выбранном порядке вершин каждого из них) одно и тоже расположение, равны по второму признаку равенства.
Теорема 2. В равнобедренном сферическом треугольнике углы, противолежащие равным сторонам, равны.
Действительно, при совмещении треугольника АВС (АВ=АС) с симметричным ему треугольником А'С'В' угол, совпадающий с углом В', есть угол С'; таким образом, оба эти угла равны, и тоже самое имеет место и для углов С и В'.
Обратно, всякий сферический треугольник, два угла которого равны, равнобедренный.
Действительно, если АВС сферический треугольник, в котором  ÐВ=ÐС и треугольник А'В'С' – треугольник, ему симметричный, то треугольники АВС и А'С'В', имеющие одинаковое расположение равны по первому признаку равенства, и, следовательно, АВ=А'С'=АС.

 

3.5. Большая окружность как кратчайшая

Теорема 3. Во всяком сферическом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон и больше их разности.
В самом деле, пусть АВС – произвольный сферический треугольник. Допустим, что из двух сторон АВ, АС сторона АС большая. Отложим на стороне АС дугу АВ', равную дуге АВ (рис.21). Проведем какую-нибудь плоскость, проходящую через точки В. В' и пересекающую лучи ОА и ОС (а не их продолжение) в точках А₁ и С₁. Треугольники ОА₁В и ОА₁В' равны_, (так как они имеют общую сторону ОА₁. равные стороны ОВ и ОВ' и равные углы при вершине О). Следовательно. А₁В=А₁В'. Так как точки А₁. В' и С₁ лежат на одной прямой, (являющейся пинией пересечения плоскостей ОАС и А₁ВС₁ ). Причем точка В' лежит между А₁ и С₁, то
В'С₁ = А₁С₁ - А₁В'=А₁С₁ - А₁В < ВС₁.
Рассмотрим теперь треугольники ОВС₁ и ОВ'С₁. В этих треугольниках ОС₁ – общая сторона и ОВ=ОВ', а третьи стороны связаны неравенством В'С₁<ВС_1. Следовательно, углы, лежащие в этих треугольниках против неравных сторон, связаны неравенством  ÐВ'ОС₁< ÐВОС₁. Поэтому дуга ÈВ'С, стягиваемая углом В'ОС, также меньше дуги ÈВС₁, стягиваемой углом ВОС₁. Иначе говоря,
ÈАС - ÈАВ = ÈАС - ÈАВ' = ÈВ'С< ÈВС,
т.е. каждая сторона сферического треугольника больше разности двух других его сторон. Отсюда, в свою очередь, вытекает, что
ÈАС < ÈАВ + ÈВС,
т.е. каждая сторона сферического треугольника меньше суммы двух других его сторон.
Следствие 1.  Во всяком сферическом треугольнике против большего угла лежит большая сторона, а против большей стороны лежит больший угол.
Доказательство: Пусть в сферическом треугольнике АВС имеет место неравенство ÐС=ÐB, тогда через вершину проходит внутри треугольника такая дуга CD, что ÐАВС=ÐВСD. Треугольник ВСD – равнобедренный и BD=CD, тогда верно неравенство
AC<AD+DC=AD+DB=AB
И обратно, пусть теперь AB>AC, тогда предположим, что ÐС=ÐВ. Отсюда следует, что АВ=АС или ÐС<ÐВ, но тогда АВ<АС. Получили противоречие с условием.
Следствие 2. Дуга большой окружности, меньшая полуокружности, короче всякой линии, состоящей из дуг нескольких больших окружностей, соединяющей те же точки сферы.

Рис. 21
В отличие от плоскости, где невозможны треугольники с двумя прямыми углами, на сфере возможны такие треугольники: это треугольники, у которых одна из вершин является полюсом противоположной стороны; стороны этих треугольников, лежащие против прямых углов, равны . Имеются на сфере и треугольники с тремя прямыми углами - это автополярные  треугольники, у них все три стороны равны . В том случае, когда сферический треугольник обладает только одним прямым углом, сторона, лежащая против этого угла, также как в случае плоских прямоугольных треугольников, называется гипотенузой, а остальные две стороны – катетами.
Теорема 4. Для того чтобы большая окружность пересекалась с какой-либо окружностью на сфере под прямым углом, необходимо и достаточно, чтобы первая из этих окружностей проходила через полюсы второй.
Доказательство:   Пусть I - общая точка двух окружностей, прямые IT и It — касательные к большой и малой окружностям в этой точке, Р и Р'— полюсы малой окружности, О - центр шара (рис. 22).
                                         
                                                 Рис. 22
Условие, указанное и теореме, достаточно. Действительно, если большая окружность проходит через точки Р и P', то её плоскость содержит две прямые, не параллельные между собой и перпендикулярные к прямой It, а именно диаметр РР' и радиус ОI. Следовательно, эта плоскость, а значит,  и касательная IT перпендикулярны к It.
То же условие и необходимо. Действительно, если две окружности пересекаются под прямым углом, то плоскость большой окружности содержит прямые IT и OI, перпендикулярные к It. Следовательно, она перпендикулярна к этой прямой, а потому и к плоскости малой окружности, и содержит в силу этого диаметр РР', перпендикулярный к этой последней плоскости и проходящий через точку О.
Следствие. Через точку, лежащую на шаре, можно провести большую окружность, перпендикулярную к данной окружности этой сферы; эта большая окружность будет единственной, если данная точка не является полюсом данной окружности.
Большая окружность, отвечающая поставленному условию, определяется данной точкой  А и  полюсами  Р и Р' данной окружности.
Заметим, что существуют две дуги большой окружности, выходящие из точки А и перпендикулярные к данной окружности; а именно те дуги, которые    имеют   своими   концами   точки   пересечения   I и I′ данной окружности с большой окружностью, существование которой только что было доказано.
Примечание. Здесь рассматриваются исключительно дуги, выходящие из точки А и имеющие своими концами первые точки пересечения этих дуг с данной окружностью. Если не ввести этого ограничения, то число перпендикулярных дуг было бы более двух: например, поставленному условию отвечала бы дуга АР′I′ (рис. 22).
Теорема 5. Если через какую-либо точку сферы провести две дуги большой окружности, перпендикулярные к данной окружности, и различные дуги больших окружностей, наклонные к той же окружности, то одна из перпендикулярных дуг короче, а другая длиннее, чем все наклонные дуги. Наклонная дуга будет тем длиннее, чем далее отстоит её конец от конца меньшей перпендикулярной дуги.
Доказательство:  Пусть А - данная точка; Р—тот из полюсов данной окружности, который расположен по ту же сторону от этой окружности, как и точка А; АI и АI′ - обе перпендикулярные дуги большой окружности, причём АI′ - та из этих дуг, на которой лежит точка Р; АК, АК', АК"- различные наклонные дуги (рис. 23).

Рис. 23.
1^о. Дуга АК больше дуги AI, но меньше АI′. Действительно, если провести дугу РК большой окружности, то из сферического треугольника АРК имеем:
АК >РК — РА,   АК < РК + РА,
 в то время как
РК—РА = PI — PA = АI,
РК+ РА = PI′ + РА = АI′.
2°. Предположим, что точки К и К' данной большой окружности таковы, что дуги IК и IК' равны. При этом хорды, стягивающие эти дуги, также равны, и точка I одинаково удалена от двух точек К и К'. Так как точка Р обладает тем же свойством, то геометрическое место точек сферы, одинаково удалённых от точек К и К', есть большая окружность РI. Последняя проходит через точку А, а потому хорды АК и АК' равны, и, следовательно, равны соответствующие им дуги больших окружностей.
3^о. Пусть теперь какая-либо точка К′′ на данной окружности обладает тем свойством, что IK′′ > IК. Можно предположить, основываясь на (2^о), что обе точки К и К′′ лежат по одну сторону от точки I. Проводим дуги больших окружностей РК и РК′′. Так как точка К лежит внутри угла К′′РI, то ÐKPI<ÐК′′РI. Треугольники АРК и АРК′′ имеют, таким образом, по неравному углу (при вершине А), заключенному между соответственно
равными сторонами, откуда следует, что АК < АК′′. Теорема доказана.

3.6. Площадь сферического треугольника.

  Будем называть площадью сферической фигуры, по аналогии с площадью плоской фигуры, действительное число, удовлетворяющее следующим четырём требованиям:
1)     площадь сферической фигуры является положительным числом, (свойство позитивности),
2)     площадь сферической фигуры не изменяется при движении (свойство инвариантности),
3)     если сферическая фигура разложена на две сферические фигуры, то площадь данной фигуры равна сумме площадей двух фигур, на которые она разложена (свойство аддитивности),
4)     площадь всей сферы радиуса R равна 4pR² (свойство нормировки).
Прежде всего найдём площадь двуугольника. Из свойства аддитивности, инвариантности и нормировки следует, что если разделить сферу на n равных двуугольников (рис. 24), то площадь каждого из них (т.е. площадь двуугольника с углом ) равна . Поэтому площадь двуугольника с углом  , составленного из m рассмотренных двуугольников, равна  , а если угол некоторого двуугольника больше    и меньше , то площадь этого двуугольника заключена между  и  (это вытекает из первого и третьего свойств площади). Неограниченно увеличивая число n, мы можем с помощью предельного перехода найти площадь любого двуугольника: площадь двуугольника, углы при вершинах которого равны a, равна
,
т.е.
.                                             (1)
                               
Рис. 24                                                          Рис. 25
Если нам дан сферический треугольник АВС, то пара больших окружностей, проходящих через две его стороны, определяет два двуугольника, углы которых равны углу сферического треугольника между этими сторонами (рис. 25). Всего таким образом получается шесть двуугольников, два с углом А, два – с углом В и два – с углом С. Треугольник АВС и диаметрально противоположный ему треугольник А'В'С' (равный треугольнику АВС), входят в три двуугольника, остальные точки сферы (не лежащие на сторонах двуугольников) входят только в один двуугольник. Поэтому сумма площадей шести двуугольников равна сумме площади S всей сферы и учетверённой площади S(D) треугольника АВС, т.е.
2S(A)+2S(B)+2S(C)=S+4S(D).

Так как

S(A)=2r²A,     S(B)=2r²B,      S(C)=2r²C,

То мы получаем

4r²(A+B+C)=4pr²+4S(D),
т.е.
S(D)=r²(A+B+C-p).                                              (2)
Так как величины S(D) и r² положительны, то величина А+В+С-p также положительна, откуда следует, что
А+В+С>p,
т.е. сумма углов сферического треугольника больше развёрнутого угла. Величина А+В+С-p называется угловым избытком сферического треугольника.
Таким образом, площадь сферического треугольника равна произведению его углового избытка на квадрат радиуса сферы.
Заменяя в последнем неравенстве углы А, В и С равными им выражениями  где, а', b', с' – стороны полярного треугольника, мы получим неравенство
а'+ b'+ с'< 2pr,
показывающее, что сумма сторон сферического треугольника меньше длины большой окружности.

§4 Сферические многоугольники

 

4.1. Понятие сферического многоугольника и его свойства.

Сферическим многоугольником называется часть сферы, ограниченная дугами больших окружностей, меньшими полуокружности, концами которых служат точки пересечения этих больших окружностей, взятых в последовательном порядке.
Сферический многоугольник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от каждого из больших кругов, частью которых служат его стороны; в противном случае он называется вогнутым.
В случае, когда многоугольник выпуклый каждый большой круг, частью которого служит сторона многоугольника, делит сферу на две полусферы, из которых одна содержит весь многоугольник; общая область R всех таких полусфер, содержащих данный многоугольник, и будет внутренней областью многоугольника.
Меньшая дуга большого круга, которая соединяет точки M и N, лежащие внутри многоугольника или на его периметре, целиком лежит в области R, т.е. внутри многоугольника. Сферические многоугольники классифицируются, как и плоские многоугольники, по числу их сторон; наиболее простым из них является сферический треугольник. Сферический двуугольник не является многоугольником, так как каждая его сторона равна полуокружности, а не меньше её.
Связь между сферическими многоугольниками и многогранными углами. Каждому сферическому многоугольнику соответствует многогранный угол, вершиной которого служит центр сферы, а рёбрами – прямые, соединяющие центр с вершинами многоугольника.
Линейные углы двугранных углов многогранного угла равны, углам многоугольника. Обратно, всякий многогранный угол, вершиной которого служит центр сферы, пересекает последнюю по сферическому многоугольнику.
Отсюда следует, что из каждого свойства, касающегося плоских углов и двугранных углов многогранного угла, можно вывести некоторое свойство, касающееся сторон и углов соответствующего сферического многоугольника.
Теорема 6. Если некоторый выпуклый сферический многоугольник расположен внутри какого-либо сферического многоугольника (причём оба многоугольника могут иметь одну или несколько общих вершин или сторон), то периметр объемлемого многоугольника меньше периметра объемлющего многоугольника.
Доказательство: Пусть ACDB – выпуклый многоугольник и AC′D′EFB – объемлющий его многоугольник (рис.26) Продолжим стороны АС и СD в одном и том же направлении АСDB, т.е. сторону АС за точку С, а сторону CD – за точку D. Эти продолжения пересекут стороны объемлющего многоугольника соответственно в точках G и H. Путь ACDB короче пути ACHB, т.е. они имеют общую часть ACD, а остающаяся часть DB первого короче остающейся части DHB второго. В свою очередь, путь ACHB меньше чем ABD′EFB, так как, отбрасывая общие части АС, НВ, получим отрезок СН, который короче CGD′EFH. Наконец, точно также AGD′EFH, меньше AC′D′EFB, так как AG меньше AC′G. Таким образом, имеем:
ACDB<ACHB<AGD′EFB<AC′D′EFB

Рис. 26
Доказательство сохраняет силу и в том случае, если объемлющий многоугольник заменить совокупностью двух больших полуокружностей.
Теорема 7. Периметр выпуклого сферического многоугольника меньше большой окружности.
Доказательство: Пусть дан сферический треугольник АВС, а точка А′ - точка диаметрально противоположная точке А. Тогда ВС<ВА′+А′С или ВС<4d-AB-AC. Откуда и следует, что ВС+АВ+АС<4d, где d – прямой угол.
         Случай многоугольника, имеющего любое число сторон, постепенно сводится к случаю треугольника; с этой целью продолжают две стороны многоугольника, смежные с одной и той же его стороной, так что число сторон уменьшается на единицу. Этот путь доказательства вполне соответствует цепи тех построений на сфере, которые изображены на рис.27.

Рис. 27

4.2. Площадь сферического многоугольника.

Соединим  одну из вершин выпуклого сферического n-угольника дугами больших окружностей со всеми другими вершинами этого многоугольника, получим n-2 сферических треугольника. Площадь выпуклого сферического n-угольника равна сумме площадей этих n-2 сферических треугольников. Поэтому, так как сумма углов всех n-2 сферических треугольников равна сумме углов сферического n-угольника, площадь S_n выпуклого сферического n-угольника равна
S_n=r²(å_n-(n-2)p),
где å_n-сумма всех его внутренних углов.
         Эта формула остаётся справедливой и для невыпуклых сферических многоугольников.

§5 Малые окружности

Сечение сферы плоскостью, не проходящей через её центр, является малой окружностью. Так как все три точки сферы определяют единственную плоскость, то через всякие три точки сферы, не лежащие на большой окружности, можно провести единственную малую окружность. Действительно, пусть А, В, С – три точки данной сферы, не лежащие на одной большой окружности. Через них проходит единственная плоскость АВС. Плоскость АВС пересекает сферу, и притом по малой окружности, проходящей через точки А, В, С, так как данные точки не лежат по условию на одной большой окружности. Эта малая окружность единственна, так как плоскость АВС единственная.
Так как плоскость делит пространство на две области, то малая окружность делит сферу на две области, называющиеся сферическими сегментами. Та из этих областей, которая не выходит  за пределы полусферы, называется сферическим кругом.
Так как при повороте вокруг диаметра сферы, перпендикулярного к плоскости, высекающей из сферы малую окружность, эта окружность переходит в себя (ибо этот перпендикуляр является осью рассматриваемой окружности), то сферическое расстояние точек окружности от концов перпендикулярного ей диаметра сферы, постоянна. Обратно, геометрическое место точек сферы, равноотстоящих от одной её точки, переходит в себя при повороте вокруг диаметра, проходящего через эту точку, т.е. является малой окружностью (высекаемой из сферы плоскостью, перпендикулярной этому диаметру). Таким образом, малая окружность является геометрическим местом точек сферы, равноотстоящих от одной точки сферы; эти точки равно отстоят и от диаметрально противоположной ей  точки. Та из этих точек, для которой сферическое расстояние её от точек малой окружности меньше , называется сферическим центром малой окружности, а сферическое расстояние точек малой окружности до её сферического центра   называется сферическим радиусом  малой окружности. Очевидно, что сферический  центр малой окружности принадлежит ограничивающему его сферическому кругу. Полюсы больших окружностей можно также рассматривать как сферические центры этих окружностей; сферическим радиусом большой окружности следует считать число .
Так как большие окружности, проходящие через центр малой окружности, перпендикулярны поляре центра малой окружности, то расстояние от точек малой окружности до этой большой окружности равно дополнению сферического радиуса окружности до . Обратно, геометрическое место точек сферы, равноотстоящих от одной её большой окружности и расположенных по одну сторону от неё, является геометрическим  местом точек, равноотстоящих от одного её полюса, т.е. является малой окружностью. Таким образом, малая окружность является геометрическим  местом точек сферы, равноотстоящих от одной большой окружности и расположенных по одну сторону от неё. Эта большая окружность называется базой малой окружности, а расстояние точек малой окружности до базы называется параметром малой окружности. Очевидно, что сферический радиус R и параметр Р малой окружности составляют в сумме .  На рис. 28 изображены центр и база малой окружности.

Рис. 28

Пусть центр малой окружности в её плоскости – точка  Q, радиус её – число ρ, а М – произвольная точка этой окружности (рис.28), т.е. ОМ=r, QM=ρ, а ÐМОQ= . Тогда из прямоугольного треугольника OQM  мы найдём, что ρ= , т.е. длина окружности сферического радиуса R равна
.
С другой стороны, так как , то длина окружности параметра Р равна
.
Так как сферический круг, ограничиваемый окружностью сферического радиуса R, представляет собой сферический сегмент высоты
,
 а площадь всякого сферического слоя высоты h равна 2prh, где r – радиус сферы, то площадь сферического круга радиуса R равна
.

§6 Геометрические места точек на сфере

Простейшие геометрические места точек, рассматриваемые в геометрии на плоскости, распространяются и на случай сферы.
Геометрическое место I. Геометрическое место точек сферы, сферические расстояния которых от данной точки Р сферы равны одной и той же дуге большого круга r, есть малая окружность с полюсом Р и сферическим радиусом r.
Геометрическое место II. Геометрическое место точек сферы, сферические расстояния которых от данной большой окружности равны одной и той же дуге а (меньшей квадранта), есть пара равных малых окружностей с полюсами в полюсах данной большой окружности и сферическим радиусом, дополняющим дугу а до квадранта.
Геометрическое место III. Геометрическое место точек сферы, равноудалённых от двух точек А и В этой сферы, есть большая окружность, перпендикулярная к дуге АВ и проходящая через середины обеих дуг, имеющих точки А и В, своими концами.
Геометрическое место IV. Геометрическое место точек сферы, равноудалённых от двух больших окружностей, состоит из двух взаимно перпендикулярных больших окружностей, делящих пополам углы между данными большими окружностями.
Ещё одно геометрическое место точек на сфере не имеющее аналогии в геометрии на плоскости.
Геометрическое место V. Геометрическое место полюсов больших окружностей, касающихся данной малой окружности, состоит из двух диаметрально противоположных малых окружностей; полюсы которых совпадают с полюсами данной малой окружности; сферический радиус каждой из них дополняет до квадранта сферический радиус данной малой окружности, меньший квадранта.
Действительно, пусть Р – полюс данной малой окружности, которой соответствует её радиус r, меньший квадранта. Так как расстояние точки Р от точки касания данной малой окружности с какой-либо большой окружностью равно r, то расстояние той же точки Р от одного из полюсов этой большой окружности дополняет дугу r до квадранта.
Теорема 8. Геометрическое место третьих вершин сферических треугольников, у каждого из которых две вершины совпадают соответственно с двумя данными точками и разность между углом при третьей вершине и суммой углов при данных вершинах имеет заданную величину, состоит из двух дуг, принадлежащих различным окружностям.
Доказательство: Пусть В и С – две данные вершины, А – третья вершина; предположим, что дана величина ÐВ + ÐС - ÐА. Пусть далее О (рис.29) один из полюсов окружности, описанной около треугольника: покажем, что точка О неподвижна.
Так как треугольник ОВС равнобедренный, то дуги больших окружностей ОВ и ОС образуют со стороной ВС углы, равные по абсолютной величине, но имеющие противоположные знаки. Пусть a - первый из этих углов; следовательно,
a = ÐСВО = - ÐВСО;
Пусть точно также
b = ÐАСО = - ÐСАО,
g = ÐВАО = - ÐАВО.
Если расположение треугольника таково, что угол ВАС положителен, то будем иметь с точностью до целых окружностей:
ÐА = b + g,
ÐВ = g + a,
ÐС = a + b,
и, следовательно,                      ÐВ + ÐС - ÐА = 2a,
или иначе:                                   
это равенство даёт величину a и, следовательно, позволяет определить положение точки О. Давая a два значения, отличающихся одно от другого на полуокружность, будем иметь для этой точки два диаметрально противоположных положения, которые будут определять два полюса одной и той же окружности.

Рис. 29
Наоборот, если сделать относительно расположения треугольника предположение, противоположное тому, которое было сделано ранее, то получим другую окружность; то же самое будет и в том случае, если изменить знак разности ÐВ+ÐС-ÐА.
Теорема Лекселля (Lexell). Если даны площадь сферического треугольника и две его вершины, то геометрическое место третьих вершин состоит из двух малых окружностей, проходящих через точки, диаметрально противоположные двум данным вершинам.
Доказательство: Пусть А и В – данные вершины, С – третья вершина, А′ и В′ - точки диаметрально противоположные точкам А и В.(рис.30)

Рис. 30
Сумма ÐА+ÐВ+ÐС углов треугольника АВС известна; но углы СА′В′ и СВ′А′ треугольника А′В′С соответственно равны ÐСАВ′ и ÐСВА′, т.е. углам, пополнительным углам А и В. Таким образом, сумма ÐА+ÐВ+ÐС может быть записана в виде ÐС+2p-ÐСА′В′-ÐСВ′А′. Следовательно, известна величина ÐСА′В′+ÐСВ′А′-ÐС′ и геометрическое место точек С состоит из двух малых окружностей, проходящих через точки А′ и В′.

§7 Тригонометрия

 

7.1. Сферическая теорема косинусов

Рассмотрим произвольный сферический треугольник АВС. Сферическая теорема косинусов аналогична теореме косинусов плоской тригонометрии.
Предположим сначала, что каждая из сторон b и с сферического треугольника АВС меньше . Проведём из точки А касательные АМ и AN к сторонам с и b и найдём точки М и N пересечения этих касательных с продолжениями радиусов ОВ и ОС (рис.31); эти точки пересечения существуют, так как , по предположению, каждый из углов АОС, АОВ меньше . Тогда угол А равен углу MAN, и для плоского треугольника MAN в силу плоской теоремы косинусов получаем
MN² = AN² + AM² – 2AN AM cosA.                                  (1)

Рис. 31
С другой стороны, углы ВОС, АОС и АОВ, являющиеся центральными углами больших окружностей сферы, опирающимися на дуги a, b, c, соответственно равны ,  и . Поэтому из треугольника OMN находим
MN² = OM² + ON² – 2OM ON cos .                                 (2)
Сравнивая (1) и (2), получаем
OM² + ON² – 2OM ON cos  = AN² + AM² – 2AN AM cosA.            (3)
Из прямоугольного треугольника ОМА находим, что
OM² – AM² = OA²,    ,    ,                         (4)
а из прямоугольного треугольника ONA находим, что
ON² – AN² = OA²,    ,    ,                         (5)
В силу первых формул (4) и (5) равенство (3) можно переписать в виде
2OM ON cos  = 2OA² + 2AN AN AM cosA,
т.е.
OM ON cos  = OA² + AN AM cosA.                                   (6)
Разделив (6) на произведение OM ON, получим

или, в силу вторых и третьих равенств (4) и (5),
                                    (7)
Если теперь сторона b больше , а сторона с меньше , то продолжим стороны а и b нашего треугольника до пересечения в точке С', диаметрально противоположной точке С (рис.32). Тогда в сферическом треугольнике АВС' стороны АС' и АВ, соответственно равные  и с, меньше , а угол ВАС, смежный с углом А, равен p - А. Поэтому в силу формулы (7) для треугольника АВС'
,
т.е.
,
откуда получаем формулу (7).

Рис. 32
Если, наконец, обе стороны b и с больше , то продолжим стороны b и с нашего треугольника до пересечения в точке А¢, диаметрально противоположной точке А (рис.33). Тогда в сферическом треугольнике А¢ВС стороны СА¢ и ВА¢, соответственно равные pr-b и pr-c, меньше , а  ÐВА'С равен углу А. Поэтому с силу формулы (7) для треугольника А'ВС
,
откуда непосредственно получаем формулу (7).

Рис.33
Формула (7) выражает сферическую теорему косинусов, которую обычно формулируют в следующем виде: косинус стороны сферического треугольника равен сумме произведения косинусов двух других сторон и произведения синусов двух других сторон на косинус угла между ними.
Заменяя в формуле (7) обозначения сторон а, b, с и углов А, В, С в круговом порядке, получаем две аналогичные формулы
                                 (8)
и
                                 (9)

7.2. Сферическая теорема синусов

Докажем теперь сферическую теорему синусов, аналогичную теореме синусов плоской тригонометрии. Из формулы (7) вытекает равенство
.
Применяя это равенство, вычислим отношение
.
Так как полученное выражение симметрично относительно сторон a,b,c, то оно равно аналогичным выражениям, полученным из левой части этого равенства заменой сторон a,b,c и углов А, В, С в круговом порядке. Извлекая квадратный корень из этих выражений, получаем три равные выражения:
                                           (10)
Эта формула и выражает сферическую теорему синусов: синусы сторон сферического треугольника относятся, как синусы противолежащих углов. Из формулы (10), в частности видно, что если в сферическом треугольнике имеет место соотношение , так что sinB=sinA, то в силу формулы (10) , т.е. либо a=b, либо . Но если a=b, то А=В и в соответствии с соотношением  это даёт . Следовательно, С – полюс стороны АВ, и потому . Таким образом, соотношение  справедливо и в этом случае. Итак, если , то стороны a и  b связаны соотношением .

 

7.3. Формулы пяти элементов

        
Одна из формул пяти элементов:  произведение синуса стороны сферического треугольника на косинус прилежащего угла равно разности произведения косинуса стороны, лежащей против этого угла, на синус третьей стороны и произведения синуса стороны, лежащей против данного угла, на косинус третьей стороны и косинус стороны, лежащей против данного угла.
                          (11)
                          (12)
                          (13)
Меняя в формуле (11) местами стороны а и с и углы А и С, а затем заменяя обозначения сторон a, b, c и углов А, В, С в круговом порядке, мы получим еще три аналогичные формулы
                        (14)
                         (15)
                           (16)
Эти формулы аналогичны теоремам проекций плоской тригоно­метрии.
Заменяя в формуле (11)      пропорциональными и величинами sinA, sinB и sinC, мы получим формулу

или
                  .                        (17)
Мы получили формулу пяти элементов другого вида, которую обычно формулируют в виде: произведение косинуса стороны сфе­рического треугольника на синус прилежащего угла равно сумме произведения косинуса угла, лежащего против этой стороны, на синус третьего угла и произведения синуса угла, лежащего против данной стороны, на косинус третьего угла и на косинус стороны, лежащей против данного угла.
Заменяя в формуле (17) обозначения сторон а, b, с и углов А, B, С в круговом порядке, мы получим еще две аналогичные фор­мулы
                                 (18)
                                (19)
Меняя в формуле (17) местами стороны а и с и углы A и C, а затем заменяя обозначения сторон а, b, с и углов A, В, С в круговом порядке, мы получим еще три аналогичные формулы:
                         (20)
                                      (21)
  .                       (22)
Эти  формулы   не  имеют  аналогов  в  плоской тригонометрии.

 

7.4. Двойственная теорема косинусов.

Докажем теперь двой­ственную теорему косинусов, также не имеющую аналога в плоской тригонометрии. Подставим значение  из равенства (20) в равенство (19). Получим
,
или
                       ,
т. е.
              
или, после сокращения на sinC,
 .                            (23)
Формула (23) выражает двойственную сферическую теорему косинусов, которую обычно формулируют в виде: косинус угла сферического треугольника равен произведению синусов двух дру­гих углов на косинус стороны между ними без произведения косинусов двух других углов.
Заменяя в формуле (23) обозначения сторон а, b, с и углов A, В, С в круговом порядке, мы получим две аналогичные формулы:
  ,                                (24)
  .                            (25)
Формулы (23), (24) и (25) двойственной теоремы косинусов могут быть получены также соответственно из формул (7), (8) и (9) теоремы косинусов, если записать эти формулы для полярного треугольника и использовать соотношения между углами и сторо­нами двух взаимно полярных треугольников; этим и объясняется название этой теоремы.
Заметим, что при малых значениях отношении ,  и  т. е. при очень малых длинах сторон а, b, с сферического треугольника или при очень большом радиусе сферы r, сферическая геометрия мало отличается от плоской геометрии и тригонометрические соотношения в сферическом треугольнике можно заменить тригонометрическими соотношениями в пло­ском треугольнике. И в самом деле, при малых значениях переменного х можно пренебречь высшими степенями этого переменного и, следовательно, можно заменить  на x, а  на  или даже на 1. Но при такой замене, как легко проверить, сферические теоремы косинусов и синусов переходят в одноименные пло­ские теоремы, первые шесть формул пяти элементов переходят в теоремы проекций плоской тригонометрии, а вторые шесть формул пяти элементов и двойственная теорема косинусов, не имеющие аналогов  в  плоской  три­гонометрии,  переходят  в  соотношение A+В+С = p.

 

7.5. Формулы котангенсов.

Деля почленно формулу пяти эле­ментов (23) на вытекающее из формулы (22) равенство
        ,
мы получим равенство
                       
т. е.
                       
или
                        .                    (26)
Мы получили одну из формул котангенсов, которую обычно формулируют в виде: произведение синуса одной стороны сфери­ческого треугольника на котангенс другой без произведения синуса угла, лежащего против третьей стороны, на котангенс угла, лежащего против второй стороны, равно произведению косинуса первой стороны на косинус угла, лежащего против третьей стороны.
Существуют и другие формулы котангенсов, например:
                   ,                 (27)
                  

7.6. Случай прямоугольного сферического треугольника.

В слу­чае, когда сферический треугольник АВС—прямоугольный треуголь­ник с прямым углом A, теорема косинусов (7) принимает вид
,                                                         (28)
т. е. косинус гипотенузы равен произведению косинусов катетов. Эта теорема, связывающая гипотенузу и катеты прямоугольного сферического треугольника, является аналогом теоремы Пифагора и называется сферической теоремой Пифагора.
В случае прямого угла А теорема синусов (10) принимает вид равенств
,                                     (29)
и
                        .                                     (30)
Формулы (29) и (30) называются формулами синусов для пря­моугольного сферического треугольника.
В случае прямого угла A формулы пяти элементов (13) и (15) принимают вид
         ,
и
                            ,
откуда  находим формулы
                                                                       (31)
и
                            .                                          (32)
Формулы (31) и (32) называются первыми формулами тангенсов для прямоугольного сферического треугольника.
В случае прямого угла A формула (23) двойственной теоремы косинусов принимает вид
         ,
откуда находим формулу
                            .                                     (33)
Формула (33) называется формулой котангенсов для прямо­угольного сферического треугольника.
В случае прямого угла A формулы (24) и (25) двойственной теоремы косинусов принимают вид
                                                        (34)
и
                   .                                          (35)
Формулы (34) и (35) называются формулами косинусов прямо­угольного сферического треугольника.
В случае прямого угла A формулы котангенсов (26) и (27) при­нимают вид

и
                            ,
откуда находим формулы
,                                           (36)
.                                               (37)
Формулы (36) и  (37)  называются вторыми формулами
танген­сов прямоугольного сферического треугольника.
Сферическая теорема Пифагора, две формулы синусов, две пер­вые формулы тангенсов, формула котангенсов, две формулы косинусов и две вторые формулы тангенсов составляют десять формул прямоугольного сферического треугольника.

 

7.7. Решение сферических треугольников.

Выведенные нами тригонометрические соотношения позволяют «решить сферический треугольник» по любым трем из его элементов (сторон и углов). Если нам даны три стороны сферического треугольника, то по формуле (7) теоремы косинусов находим
        
и аналогично по формулам (8) и (9) находим соs В и  соs С.
Если нам даны две стороны сферического треугольника и угол между ними, например стороны b, с и угол А, то сторону а найдем но формуле (7) теоремы косинусов. Зная все три стороны сфери­ческого треугольника, найдем его остальные углы, как указано выше.
Если нам даны две стороны сферического треугольника и угол, лежащий против одной из них , например стороны а, b и угол A, то по формуле (10) теоремы синусов находим
        .
Заметим, что эта формула даёт для В два значения, дополняю­щих друг друга до p; это соответствует тому, что в общем случае два сферических треугольника с двумя соответственно равными сто­ронами и равными углами, лежащими против одной из этих сторон, не обязательно равны, а возможен случай, когда углы этих треуголь­ников, лежащих против другой стороны, дополняют друг друга до л, как мы это видели, рассматривая четвёртый признак равенства сфери­ческих треугольников.
Для определения стороны с и угла С проведём через вершину С дугу большой окружности АВ. Если эти большие окружности пересекаются в точке D, то рассмотрим прямоугольные сферические треугольники АСD и ВСD  (рис. 34). В этих треугольниках известны гипотенузы b и а и углы при вершинах А и В. Второй катет каждого из этих треугольников определяется по первым формулам тангенсов (31) или (32), а угол при вершине С определится  по формуле котангенсов (37). 

Рис.34
Сторона с и угол C сферического треугольника АВС являются суммами найденных сторон или углов прямоугольных треугольников, если точка D лежит на стороне АВ, и разностям и этих сторон или углов, если точка D лежит на продолжении стороны АВ. Именно, если оба угла A,В в исходном треугольнике АВС являются острыми или оба тупыми, то перпендикулярная к АВ окружность, проходящая через точку C,   пе­ресекает  окружность   АВ в двух точках, одна из которых  лежит на дуге АВ; эту точку и следует принять за D в рассматриваемом случае (рис. 34). Таким образом, углы при вершинах А и В в прямоугольных треугольниках АСD и ВСD сов­падают с углами А и В исходного треугольника АВС, а сторона с и угол С треугольника АВС являются суммами найденных нами сторон или углов прямоугольных треугольников АСD и ВСD. Если же в треугольнике АВС один из углов A, В острый, а второй—ту­пой, то перпендикулярная к АВ окружность, проходящая через точку С, пересекает окружность АВ в двух точках, ни одна из которых не ле­жит на дуге АВ. В этом случае за D можно при­нять
любую из этих то­чек, например ту, кото­рая лежит на продолжении стороны АВ за точку В (рис. 35).

Рис.35
Таким образом, угол при вершине А в ∆АСD равен углу А треугольника АВС, а угол при вершине В в ∆ВСD равен p — В. При этом сторона с и угол С треугольника АВС являются разностями сторон АD, ВD или углов при вершине С треугольников АСD и ВСD. Наконец, если один из углов A, В (например, А) прямой, то треугольник АВС прямоугольный, и для нахождения стороны с и угла С можно в атом случае воспользоваться формулами (28), (31).
Если нам даны три угла сферического треугольника, то по фор­муле (23) двойственной теоремы косинусов находим
                  
и аналогично по формулам (24) и (25) находим  и .
Если нам даны два угла сферического треугольника и сторона между ними, например сторона а и углы B и C, то угол А найдем но формуле (23) двойственной теоремы косинусов. Зная все три угла сферического треугольника, найдем его остальные стороны, как указано выше.
Если, наконец, нам даны два угла сферического треугольника и сторона, лежащая против одною из них, например углы А и В и сторона а, то по формуле (10) теоремы синусов находим
               .
Заметим, что эта формула дает для b два значения, дополняю­щих друг друга до pr; это соответствует тому, что в общем слу­чае два сферических треугольника с двумя соответственно равными углами и равными сторонами, лежащими против одного из этих углов, не обязательно равны, а возможен случай, когда стороны этих тре­угольников, лежащие против другого угла, дополняют друг друга до pr, как мы это видели, рассматривая V признак равенства сфе­рических треугольников. Сторону с и угол С по углам А, В и сто­ронам а, b мы найдем, как указано выше.

Глава 2. Дистанционное обучение

§1 Понятие и определение дистанционного обучения

Дистанционное обучение является формой получения образования, наряду с очной и заочной, при которой в образовательном процессе используются лучшие традиционные и инновационные методы, средства и формы обучения, основанные на компьютерных и телекоммуникационных технологиях.
Основу образовательного процесса при дистанционном обучении составляет целенаправленная и контролируемая интенсивная самостоятельная работа обучаемого, который может учиться в удобном для себя месте, по индивидуальному расписанию, имея при себе комплект специальных средств обучения и согласованную возможность контакта с преподавателем по телефону, электронной и обычной почте, а также очно.
Существуют различные понятия дистанционного обучения и образования, отображающие многообразие подходов к их пониманию. Вот некоторые из них.
Дистанционное обучение – особая, совершенная форма, сочетающая элементы очного, очно-заочного, заочного и вечернего обучения на основе новых информационных технологий и систем мультимедиа.
Дистанционное обучение – это универсальная гуманистическая форма обучения, базирующаяся на использовании широкого спектра традиционных, новых информационных и телекоммуникационных технологий, и технических средств, которые создают условия для обучаемого свободного выбора образовательных дисциплин, соответствующих стандартам, диалогового обмена с преподавателем, при этом процесс обучения не зависит от расположения обучаемого в пространстве и во времени.
Наиболее удачное определение было дано в одном из проектов «Концепции создания и развития системы дистанционного образования в России», разработанном в Госкомитете РФ по высшему образованию:
«Под дистанционным образованием понимается комплекс образовательных услуг, предоставляемых широким слоям населения в стране и за рубежом с помощью специализированной информационно-образовательной среды, базирующейся на средствах обмена учебной информации на расстоянии (спутниковое телевидение, радио, компьютерная связь и т.п.)».
Цели дистанционного обучения
Если говорить о целях обучения дистанционно, то можно выделить несколько групп таких целей.
1.                Профессиональная подготовка и переподготовка кадров (в нашей области - педагогических кадров по соответствующим специальностям).
2.                 Повышение квалификация педагогических кадров по определенным специальностям.
3.                Подготовка школьников по отдельным учебным предметам к сдаче экзаменов экстерном.
4.                Подготовка школьников к поступлению в учебные заведения определенного профиля.
5.                Углубленное изучение темы, раздела из школьной программы или внешкольного курса.
6.                Ликвидация пробелов в знаниях, умениях, навыках школьников по определенным предметам школьного цикла.
7.                Базовый курс школьной программы для учащихся, не имеющих возможности по разным причинам посещать школу вообще или в течение какого-то отрезка времени.
Итак, дистанционное обучение предполагает включение в  единое мировое образовательное пространство, широкое использование мировых культурных и образовательных ценностей, уже накопленных и все пополняющихся в глобальных сетях Интернет, обращение к различным культурным источникам. Создание виртуальных библиотек, музеев расширит возможность каждого жителя планеты приобщиться к сокровищницам мировой и отечественной культуры. Возможность учиться под руководством опытных педагогов лучших научных и учебных центров страны, мира, получать новую квалификацию или углублять свои профессиональные знания, расширять свой культурный кругозор - все это может дать грамотно организованное дистанционное обучение на основе единого информационно-образовательного пространства.

§2 Принципы и особенности дистанционного обучения

По сравнению с традиционным заочным обучением дистанционное образование имеет свои особенности.
Дистанционное обучение базируется на использовании компьютеров и телекоммуникационной сети, что практически снимает проблему расстояний. В традиционной заочной системе обучения слушатель получал учебные и методические материалы и отсылал свои решения преподавателю. Обычно периодичность общения из-за медленной работы почты составляла не более одной посылки в месяц. Электронная почта работает значительно оперативнее - письма здесь идут считанные минуты. Тем самым обучаемому предоставляется возможность оперативной связи, а преподавателю - возможность оперативно реагировать на запросы ученика, контролировать и корректировать его работу. Электронная почта намного облегчает преподавателю массовую рассылку материалов, позволяет отслеживать историю переписки со слушателями.
Учебные материалы в дистанционном образовании могут размещаться на специализированных WWW-серверах. Гипертекстовые технологии позволяют структурировать материал и связать ссылками те разделы, которые уточняют и дополняют друг друга.
Преподаватель с помощью поисковых систем, справочников по ресурсам Интернета может готовить набор ссылок на WWW-страницы, содержащие интересный, с его точки зрения, материал по изучаемым темам, и сообщать эти ссылки обучаемым. Если они имеют выход в Интернет, то смогут воспользоваться этими материалами.
В целом к основным достоинствам дистанционного образования можно отнести:
·                    Экономию рабочего времени как обучаемых, так и преподавателей.
·                    Повышение оперативности в обновлении учебных курсов.
·                    Возможность привлечения географически удаленных преподавателей.
·                    Снижение затрат предприятий на обучение персонала (командировочные расходы, оплата работы преподавателей, аренда помещения, затраты на приобретение учебных и вспомогательных материалов и др.).
·                    Благодаря дистанционному образованию появилась возможность организовывать дискуссии не только в режиме "преподаватель - ученик", но и широкие коллективные конференции в группе или открытом информационном пространстве.
Однако не стоит полагать, что дистанционное обучение является своего рода панацеей. Его внедрение и использование часто бывает связано с целым рядом проблем, в том числе:
1.                Техническая сложность внедрения технологий дистанционного обучения, а также организационные трудности с планированием, реализацией и поддержкой технологий дистанционного обучения в зависимости от учебных программ и конкретных потребностей предприятия (организации).
2.                В зависимости от сложности используемых при дистанционном обучении технологий, затраты на их реализацию могут вместо экономии финансовых ресурсов предприятия привести к их перерасходу.
3.                Очевидное преимущество дистанционного обучения - отсутствие необходимости ходить на занятия - в то же время является и расслабляющим фактором для недостаточно упорных или слабо подготовленных обучаемых.
4.                Сложность контроля за процессом дистанционной сдачи экзамена (например, в случае дистанционной сертификации не так просто убедиться, что претендент на получение сертификата отвечает на вопросы самостоятельно).
Рассмотрим основные принципы проектирования системы дистанционного обучения (СДО). Под принципами мы понимаем определённую систему исходных основных дидактических и других требований к процессу проектирования и обучения в СДО, которая и должна формироваться с учётом этих требований.
1.               Принцип гуманистичности обучения. Этот принцип является определяющим в системе непрерывного интенсивного обучения и усиливается применительно к СДО. Его сущность заключается в обращённости обучения и образовательного процесса в целом к человеку, в создании максимально благоприятных условий для овладения обучающимися социально накопленного опыта, заключённого в содержании обучения, освоении избранной профессии, для развития и проявления творческой индивидуальности, высоких гражданских, нравственных, интеллектуальных и физических качеств, которые обеспечивали бы ему социальную защищённость, безопасное и комфортное существование.
2.               Принцип приоритетности педагогического подхода при проектировании образовательного процесса в СДО. Суть названного принципа состоит в том, что проектирование СДО необходимо начинать с разработки теоретических концепций, создания дидактических моделей тех явлений, которые предполагается реализовать. Опыт компьютеризации позволяет утверждать, что когда приоритетной является педагогическая сторона, система получается более эффективной.
3.               Принцип педагогической целесообразности применения новых информационных технологий. Он требует педагогической оценки эффективности каждого шага проектирования и создания СДО. Поэтому на первый план необходимо ставить не внедрение техники, а соответствующее содержательное наполнение учебных курсов и образовательных услуг.
4.               Принцип выбора содержания образования. Содержание образования СДО должно соответствовать нормативным требованиям Государственного стандарта РФ.
5.               Принцип обеспечения безопасности информации, циркулирующей в СДО. Необходимо предусматривать при необходимости организационные и технические способы безопасного и конфиденциального хранения, передачи и использования нужных сведений, обеспечения  её безопасности при хранении, передаче и использовании.
6.               Принцип стартового уровня образования. Эффективное обучение в СДО требует определённого начального набора знаний, умений, навыков.
7.               Принцип соответствия технологий обучения. Технологии обучения должны быть адекватны моделям дистанционного обучения. Так, в традиционных дисциплинарных моделях обучения в качестве организационных форм обучения (видов занятий) используются лекции, семинарные и практические занятия, имитационные или деловые игры, лабораторные занятия, самостоятельная работа, производственная практика, курсовые и дипломные работы, контроль усвоения знаний.
8.               Принцип мобильности обучения. Он заключается в создании информационных сетей, баз и банков знаний и данных для дистанционного обучения, позволяющих обучающемуся корректировать или дополнять свою образовательную программу в необходимом направлении при отсутствии соответствующих услуг в ВУЗе, где он учиться. При этом требуется сохранение информационного инвариантного образования, обеспечивающего возможность перехода из ВУЗа в ВУЗ на обучение по родственным или другим направлениям.
9.               Принцип неантогонистичности дистанционного обучения существующим формам образования. Проектируемая СДО сможет дать необходимый социальный и экономический эффект при условии, если создаваемые и внедряемые информационные технологии станут не инородным элементом в традиционной системе высшего образования, а будут естественным образом интегрированы  в него.

§3 Процесс дистанционного обучения

Общая идея дистанционного обучения достаточно проста: преподаватели и обучаемые взаимодействуют в виртуальном пространстве, физически находясь за своими компьютерами в удаленных друг от друга местах. При использовании технологий дистанционного Интернет-обучения появляется множество интересных возможностей: загрузка учебных материалов из виртуальной аудитории с помощью Web-браузера; общение с преподавателями и другими обучаемыми через электронную почту или в телеконференциях; участие в видеоконференциях; работа в интерактивных виртуальных лабораториях; обновление материалов учебного курса в режиме реального времени и др.
Можно выделить два основных вида дистанционного обучения - синхронное и асинхронное. При синхронной форме дистанционного обучения общение между участниками учебного процесса осуществляется в реальном времени с использованием различных методов передачи информации. При применении же асинхронной модели обучаемый определяет темп своих занятий самостоятельно. Например, он может выполнять задания в соответствии с аудиторной программой или планом, а затем передавать готовую работу преподавателю для оценки. 

§4 Основные модели дистанционного обучения.

Существующая в настоящее время в мировой практике сеть открытого заочного и дистанционного обучения базируется на шести известных моделях, использующих различные традиционные средства и средства новых информационных технологий: телевидение, видеозапись, печатные пособия, компьютерные телекоммуникации и пр.
Модель 1. Обучение по типу экстерната. Обучение, ориентированное на школьные или вузовские экзаменационные требования, предназначается для учащихся и студентов, которые по каким-то причинам не могут посещать очные учебные заведения. Это фактически заочная форма обучения экстерном.
Модель 2. Университетское обучение (на базе одного университета). Система обучения студентов, которые обучаются не очно, а на расстоянии, заочно или дистанционно, на основе новых информационных технологий, включая компьютерные телекоммуникации.
Модель 3. Обучение, основанное на сотрудничестве нескольких учебных заведений. Сотрудничество нескольких образовательных организаций в подготовке программ заочного/дистанционного обучения позволяет сделать их более профессионально качественными и менее дорогостоящими.
Модель 4. Обучение в специализированных образовательных учреждениях. Специально созданные для целей заочного и дистанционного обучения образовательные учреждения ориентированы на разработку мультимедийных курсов. В их компетенцию входит также и оценка знаний и аттестация обучаемых.
Модель 5. Автономные обучающие системы. Обучение в рамках подобных систем ведется целиком посредством телевидения или радиопрограмм, CD-ROM-дисков, а также дополнительных печатных пособий. Это программы самообразования.
Модель 6. Неформальное, интегрированное обучение на основе мультимедийных программ. Это также программы самообразования. Они ориентированы на обучение взрослой аудитории - тех людей, которые по каким-то причинам не смогли закончить школьное образование. Подобные проекты могут быть частью официальной образовательной программы и интегрированные в эту программу, или специально ориентированные на определенную образовательную цель, или специально нацеленные на профилактические программы здоровья, как, например, программы для развивающихся стран.
Основными целями всех, моделей образования на расстоянии являются следующие:
1. Дать возможность обучаемым совершенствовать, пополнять свои знания в различных областях в рамках действующих образовательных программ.
2. Получить аттестат об образовании, ту или иную квалификационную степень на основе результатов соответствующих экзаменов (экстернат).
3. Дать качественное образование по различным направлениям школьных и вузовских программ.
К сожалению, пока не существует установившейся общепринятой системы дистанционного образования, представляющей собой нечто цельное. Как правило, это отдельные авторские курсы, предназначенные для самостоятельной проработки по различным предметам, несколько реже - целые программы, которые заканчиваются присуждением ученой степени (бакалавра или реже магистра). Предоставляемые программы и курсы в основном рассчитаны на студентов высших учебных заведений или на желающих получить второе высшее образование. Научные и исследовательские учреждения (например, NASA) больше ориентируются на школьников, предлагая увлекательные полуигровые проекты.

§5  Роль преподавателя

В процессе учебы студента при дистанционной технологии образовательного процесса ему помогает определенный человек, именуемый тьютором. Это слово имеет несколько толкований.
Во-первых, "тьютор" - это представитель учебно-вспомогательного персонала, ведущего всю переписку вуза со студентом, отслеживающего выполнения им учебного графика, организующего консультации студента по его просьбе. Тьютор проводит социологическое анкетирование среди своих студентов, выясняет их мнение о форме и содержании отдельных курсов и передает разработчикам, помогает студенту в составлении персонального учебного плана и наполнении его взаимоувязанными дисциплинами по выбору. В каком-то смысле тьютор объединяет в себе функции работника деканата и куратора студента. При этом часто на такую работу в филиалах вузов и региональных центрах по совместительству привлекают сотрудников со стороны. Практика показывает, что в любом случае эффективное тьюторство может осуществляться при небольшом количестве подопечных. В данном случае стоит ориентироваться на цифру в 50 студентов на одного тьютора. При этом никакими другими обязанностями, кроме курирования своих студентов, тьютор не обременяется, но спрос с него идет постоянно за каждого обучающегося.
Второе толкование слова "тьютор" несколько напоминает всем знакомую систему кураторства. При этом тьютор - это преподаватель студента по основному предмету (или одному из основных предметов) в данном учебном году. Функции сопровождения студента те же, что и в первом случае. Но поскольку преподаватель занимается еще и своей педагогической деятельностью, он имеет не более 20 подопечных студентов.
Следует отметить, что те вузы, которые используют такую систему тьюторов, привлекают к этой работе именно тех преподавателей, с кем студенту придется контактировать более всего в ходе учебного процесса (например, никогда в роли тьютора не работают педагоги, занятые написанием курсов). Тьютор может каждый год меняться, а может оставаться один на весь период обучения студента в вузе.
И, наконец, третье толкование слова "тьютор", довольно редкое, но заслуживающее упоминания. В данном случае "тьютор" - это педагог студента на все время обучения. Он лично ведет не менее 80% всех учебных предметов (часть дисциплин преподают специалисты более узкого профиля). Разумеется, такие тьюторы - это асы, профессионалы в самом широком и строгом смысле этого слова. При этом основной тезис такого тьюторства выглядит приблизительно следующим образом: если я, твой педагог, полностью ориентируюсь в том, что предлагается тебе для изучения, то, во-первых, ты тоже можешь достичь моего уровня (частый упрек преподавателям-предметникам состоит в том, что все остальные дисциплины, изучаемые их студентами, они знают неудовлетворительно), а во-вторых, я имею право спрашивать с тебя безо всяких поблажек. В таких учебных заведениях тьюторы - это наиболее высокооплачиваемые работники вуза, хотя каждый из них руководит всего 8- 10 студентами. Побочным эффектом именно этой разновидности тьюторства является активная работа студентов над проектами института и собственная научная или конструкторская деятельность, поэтому в конечном счете вложения в эту систему окупаются.
В любом случае фигура тьютора персонифицирует для студента избранный им институт и позволяет максимально индивидуализировать учебный процесс.
Поскольку дистанционное обучение эффективно при максимальном охвате различных регионов, возрастных и социальных групп, приходится учитывать разные стартовые условия для их представителей. Выходом из положения являются корректирующие вводные курсы, способные восполнить пробелы в школьном образовании. Принципиально важно, чтобы дистанционное образование было доступно всем, хотя бы на платной основе (а в этом случае по отношению "качество/цена" оно выгодно отличается от всех других). Но прежде чем приступить к изучению основных дисциплин, по результатам входного тестирования необходимо определить, в какой коррекции нуждается данный конкретный слушатель, и составить для него программу такой "довузовской" подготовки. Этим, кстати, тоже должен заниматься тьютор.

§6  Контроль

Организация контроля учебной деятельности учащихся на дистанционных курсах включает следующие методы: компьютерное тестирование (телетестинг), метод рейтинговых оценок и проектно-коммуникативные методы.
В настоящее время подавляющее большинство дистанционных курсов, проводящихся на базе телекоммуникационной сети Интернет, включает обязательное тестирование слушателей в качестве контроля за их учебной деятельностью. Тестирование может быть массовым, охватывать большое количество учащихся одновременно. При этом сразу же возникает проблема оперативной автоматической обработки большого количества тестов, которая может быть решена при использовании современных компьютерных технологий и телекоммуникаций. Появилось даже новое понятие - телетестинг (от англ. teletesting), обозначающее новую информационную технологию, обеспечивающую быстрое и широкое распространение различных тестов при помощи современных средств дистанционной передачи данных.
В случае использования компьютерных телекоммуникаций как базовой технологии телетестирование организовано посредством распределения функций между локальным компьютером пользователя (клиентом) и центральным компьютером учебного центра (сервером). При этом на сервере действует специальная программа, содержащая большое количество разнообразных тестов, которые передаются клиенту в зависимости от способа его подключения к сети.
При наличии возможности соединения клиента с сервером в синхронном режиме слушатель курсов выполняет тесты в режиме реального времени. При этом результаты тестирования выдаются с большой скоростью. При соединении в асинхронном режиме клиент получает вопросы теста от сервера, отвечает на них и отсылает по электронной почте на сервер, на что уходит некоторое количество времени. В этом случае возникает проблема обеспечения достоверности результатов тестирования и получения доброкачественной информации о реальных знаниях слушателей, с которыми преподаватель не имеет непосредственного очного контакта.
Для защиты данных, тестирования от фальсификаций могут быть предусмотрены следующие действия.
Защита на техническом уровне
Использование различных шифров и кодировок, для защиты самих, тестов от несанкционированного доступа, запуск программ тестирования строго по паролям.
Защита на организационном уровне
Создание сети региональных, (городских,, районных, и т.п.) центров тестирования, имеющих, официальную лицензию на проведение тестирования слушателей в регионах,, обеспечивающих, организованное прохождение тестирования под наблюдением методистов-преподавателей и технических консультантов.
Защита на психологическом уровне
Жесткое ограничение времени на ответ, постоянное случайное перемешивание вариантов ответов и заданий из обширного банка.
Защита на статистическом уровне
Степень правдоподобия полученных протоколов оценивается с помощью специальных алгоритмов многомерного анализа данных, позволяющих обнаружить подлог, особенно в случае систематического и массового подлога.
Однако, как выяснилось, очень сложным вопросом является не только организация тестирования, формулировка вопросов и ответов, но и само тестирование, подсчет результатов. При оценивании ответов слушателей привычными ступенями "отлично", "хорошо", "удовлетворительно" и "неудовлетворительно" не удается добиться объективности и достоверности. Ведь разные преподаватели в разных вузах, школах или учебных центрах один и тот же ответ могут оценить совершенно по-разному. В этом случае принято использовать методику рейтинговых оценок, при которой зачетный итоговый балл формируется чисто статистически и привносит элемент соревновательности, сравнения с уровнем подготовки учащихся из разных городов, регионов и стран.
Уже несколько лет существует Международный тестологический стандарт для проведения тестирования. Этот стандарт ориентирует на то, что при определении проходного балла при телетестинге важным становится не количество выполненных заданий, а процент испытуемых, набравших определенный тестовый балл. Процент заданий не говорит ни о чем, так как средняя трудность задания может варьировать от теста к тесту, а реальная трудность выражается только через процент испытуемых из репрезентативной (многочисленной) выборки, которые справились с данным заданием.
При подготовке компьютерных тестов используется, как правило, традиционная форма представления вопросов и ответов: учащимся предлагается четко сформулированный вопрос, после которого идут четыре варианта ответа. Учащийся должен указать верный ответ. Разновидностью подобных вопросов может быть указание неверного варианта ответа.
Проектно-коммуникативные методы оценки знаний и умений учащихся при дистанционном обучении дают возможность преподавателям лучше узнать учащихся, детально проверить уровень их подготовки. Эти методы во многом субъективны, основаны на прямом личном контакте всех участников ДО - преподавателей, учащихся, кураторов учебных групп. Именно в силу своей субъективности данная форма контроля практически не поддается автоматизации, и при проведении дистанционного обучения один преподаватель (куратор) учебной группы не может за один цикл обучения дать регулярную оценку работы более чем 20-30 слушателей.
Среди многообразия методов оценки подготовки слушателей выделим:
1) написание реферата по заданной теме (индивидуально, в паре с другим слушателем или в составе группы, работающей по одному проекту);
2) референтную оценку работы другого слушателя, изучающего ту же тему;
3) личное интервью с преподавателем (в синхронном или асинхронном режиме);
4) оценку работы слушателя "равными по положению", т.е. другими слушателями, работающими в одной учебной группе;
5) самооценку работы слушателя.
Все перечисленные методы организации контроля учебной деятельности очень хорошо реализуются в условиях телекоммуникационной сети. Причем не только с помощью наиболее современных синхронных видеотелеконференций, проходящих в режиме реального времени и требующих немалых материальных затрат на свою организацию, но и с помощью ставших уже привычными всем электронной почты и системы асинхронных телеконференций.
Для проведения оперативного промежуточного контроля при дистанционном обучении также очень удобно использовать разнообразные анкеты, рассылаемые слушателям в определенные сроки по электронной почте.
Анкета, наряду с тестами, является одним из самых распространенных средств проведения тестирования учащихся. В широком смысле анкета - это ряд вопросов, на которые опрашиваемый должен дать ответы. Анкета является достаточно гибким инструментом, поскольку вопросы можно задавать множеством различных способов. Анкета требует тщательной разработки, апробирования и устранения ее недостатков до начала ее широкого использования. В ходе подготовки анкет отбирают вопросы, которые необходимо задать, выбирают формы этих вопросов, их формулировки и последовательность. Главное правило при этом: не задавать лишних вопросов, поскольку необходимо экономить время работы студента.
Форма вопроса может повлиять на ответ. Бывает два типа вопросов - закрытые и открытые. Закрытый вопрос включает в себя все возможные варианты ответов, и опрашиваемый просто выбирает один из них. Данные, полученные с помощью закрытых вопросов, гораздо легче подвергнуть систематизации, интерпретации и автоматически свести в таблицы, что очень существенно при организации массового дистанционного обучения.
Открытые вопросы дают опрашиваемым возможность отвечать своими словами. Их ставят в самых разных формах. Они дают более глубокое представление об успехах слушателей или о сути исследуемой проблемы, поскольку опрашиваемые ничем не связаны в своих ответах. Люди высказывают то, что думают, но эти ответы очень трудно систематизировать.
При формулировке вопросов следует использовать простые, недвусмыленные слова, которые не влияют на направленность ответов. Особого внимания требует и установление последовательности вопросов. Первый из них должен по возможности пробудить у опрашиваемых интерес. Трудные или личные вопросы необходимо задавать в конце интервью, пока опрашиваемые не успели замкнуться в себе. Вопросы должны следовать в логической последовательности. Вопросы, классифицирующие опрашиваемых на группы, задают в последнюю очередь, потому что они носят более личный характер и менее интересны для отвечающих.
Отметим, что уровень организации контроля учебной деятельности при дистанционном обучении зависит не столько от технической базы, сколько от правильно выбранной методики проведения контроля учащихся и грамотно сформулированных контрольных вопросов, включенных в тесты, зачеты и т.д.

§7 Дистанционный курс по «Сферической геометрии»

Разработанный мной дистанционный курс по «Сферической геометрии» базируется на модели «университетское обучение». Данный курс предназначен для студентов обучающихся заочно или дистанционно.  К нему прилагается предисловие, в котором дано описание курса и подробной инструкции для пользователей.
Курс состоит из теоретической и практической частей. Раздел теории разбит на шесть лекций, в каждой из которых рассматриваются понятия и теоремы по определённой теме раздела сферической геометрии, снабжённые наглядными чертежами. К лекциям подобраны задачи на применение нового материала, которые составляют задачник-практикум. Он содержит упражнения различного уровня сложности; более лёгкие обозначены буквой А, более сложные – В. После каждой из лекций пользователь может сразу перейти к задачам по только что изученному материалу. Кроме того, они составлены таким образом, что при возникновении затруднений, обучающийся имеет возможность воспользоваться подсказкой, оформленной в виде ссылки.
Курс составлен так, что всегда можно вернуться к началу или к определённой лекции. В конце обучения пользователю предлагается  пройти контрольный тест, по результатам которого можно сделать вывод об успешности изучения данного курса.

Приложение
Основные понятия сферической геометрии
1.                Как найти угол между двумя большими окружностями?
2.                Как определить перпендикулярность на сфере?
3.                а) Пусть дуга АВ - отрезок на сфере, АС₁С₂…С_SВ – ломаная из сферических отрезков. Доказать, что длина отрезка АВ не превосходит длины ломаной.
б) Верно ли это утверждение, если вместо отрезка АВ взять произвольную дугу большой окружности.
Решение:   а) Доказывается в точности так же, как теорема о том, что прямолинейный отрезок на плоскости короче всякой ломаной, соединяющей те же точки.
б) Неверно, дуга должна быть меньше полуокружности, так как доказательство утверждения а) основывается на рассмотрении цепочки  сферических треугольников, а в любом сферическом треугольнике каждая сторона меньше полуокружности. Ясно, что дуга большой окружности, большая полуокружности, не является кратчайшей.
4.                Верно ли, что сумма углов сферического треугольника всегда равна 180⁰?
Решение: Не верно, так как если рассмотреть две большие окружности и окружность перпендикулярную к ним обеим, то получим треугольник, у которого два угла прямые.
5.                На сколько частей делят сферу:
·                        Две большие окружности;
·                        Две любые окружности;
·                        Три большие окружности;
·                        Десять больших окружностей, проходящих через диаметрально противоположные точки сферы?
Сферические треугольники.
А:
1.                Какого вида треугольники могут быть на сфере?
2.                Каждая сторона сферического треугольника меньше суммы двух других его сторон, но больше их разности. Доказать.
Решение: Рассмотрим трёхгранный угол. Известно, что в трёхгранном угле любой его плоский угол меньше суммы двух других плоских углов и больше их разности. Ясно, что сферический треугольник можно получить с помощью любого трёхгранного угла, если пересечь его сферой, центр которой будет совпадать с вершиной данного угла. Так как градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла, соотношение линейных углов в трёхгранном угле соответствует соотношению сторон в сферическом треугольнике, т.е. во всяком сферическом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других его сторон и больше их разности.
3.                Доказать, что во всяком сферическом треугольнике сумма двух углов без третьего меньше p, а сумма трёх углов принадлежит интервалу (p;3p).
Решение: 1) Для ∆А′В′С′ - полярного данному ∆АВС, имеем: а′ + b′ > с′ (по предыдущей задаче). Переходя от полярного треугольника к данному, получим:   π - ÐА + π - ÐВ > π - ÐС, откуда имеем ÐА +ÐВ -ÐС < π
 2) Площадь сферического треугольника: S_∆АВС=(ÐА+ÐВ+ÐС – π)r², так как S_∆АВС > 0, то ÐА+ÐВ+ÐС – π > 0 и, следовательно, ÐА+ÐВ+ÐС >  π.
4.                Если в сферическом треугольнике две стороны конгруэнтны,  то конгруэнтны и углы, противолежащие им. Доказать.
5.                В сферическом треугольнике против конгруэнтных углов лежат конгруэнтные стороны. Доказать.
6.                Доказать, что в сферическом треугольнике против большего угла лежит и большая сторона.
Решение: Пусть в ∆АВС,  ÐC>ÐB, построим CD так, что ÐАВС=ÐBCD,
тогда  ∆BCD – равнобедренный    и BD=CD, тогда    верно    неравенство:

А

В

С

D

AC<AD+DC=AD+DB=AB.(рис.1)
Рис.1
7.                Доказать, что в сферическом треугольнике против большей стороны лежит и больший угол.
Решение: Пусть в ∆АВС, АВ > АС. Предположим, что ÐС=ÐВ, тогда АВ=АС или, что ÐС < ÐВ, тогда АВ < АС (из предыдущей задачи). Получили противоречие, значит, единственный возможный вариант ÐС>ÐB.
8.                Найти площадь сферического треугольника, углы которого равны 90⁰, 60⁰ и 45⁰, если этот треугольник лежит на шаре, радиус которого равен 10 м.
Решение: Площадь сферического треугольника:S_∆АВС=(ÐА+ÐВ+ÐС – π)r², тогда  S_∆АВС=(90⁰+ 60⁰ + 45⁰ – 180⁰)10²=1500м².
9.                Доказать, что медианы сферического треугольника (т.е. меньшие дуги больших окружностей, соединяющие вершины с серединами противоположных сторон) пересекаются в одной точке.
Решение: Пусть АВС – данный сферический треугольник; AD, BE и CF- его медианы (см. рис.2),  S – центр сферы.

Рис.2
Так как прямая SD делит дугу ВС пополам, то она делит и хорду ВС в точке D₀ пополам, так что D₀B=D₀C. Точно также прямые SE и SF проходят через середины E₀ и F₀ хорд АС и АВ. Прямые AD₀, BE₀ и CF₀ проходят, как медианы прямолинейного треугольника АВС, через одну точку. Следовательно, плоскости ASD₀, BSE₀ и CSF₀ проходят через одну прямую d, а лежащие в этих плоскостях дуги АD, ВЕ и СF – через одну точку G.
10.           Доказать, что высоты сферического треугольника пересекаются в одной точке. Верно ли, что биссектрисы сферического треугольника пересекаются в одной точке?
11.          

А

С

В

К

Доказать, что гипотенуза прямоугольного сферического треугольника меньше квадранта, если оба катета одновременно меньше или оба больше квадранта, и больше квадранта, если один из катетов меньше, а другой больше квадранта.
Решение: Рассмотрим ∆АВС, ÐАСВ=  и катеты АС< , BC<  (рис.3)
Рис. 3
Отложим на большой окружности СВ в сторону точки В дугу СК, равную квадранту. Точка К будет одним из полюсов большой окружности АС, и потому дуга АК также будет равна квадранту.
         При этом АС будет меньшей перпендикулярной дугой, опущенной из точки А на большую окружность СВ, и так как точка В лежит ближе к С, чем точка К, то АВ<АК. Таким образом, гипотенуза треугольника меньше квадранта.
         Если бы катет АС был меньше квадранта, а катет ВС – больше квадранта, то при тех же условиях точка К лежала бы ближе к С, чем точка В, и мы имели бы АВ>АК. Таким образом, гипотенуза была бы больше квадранта.
         Наконец, если оба катета АС и ВС больше квадранта, то мы продолжим дуги СА и СВ за точки А и В до их вторичного пересечения в точке С`, диаметрально противоположной точке С. Гипотенуза АВ треугольника АВС будет и гипотенузой треугольника АВС`, в котором в каждом из катетов меньше квадранта. Следовательно, в этом случае гипотенуза АВ меньше квадранта.
В:
    1. Доказать, что два сферических треугольника равны по трём углам.
    2. Дан треугольник АВС и полярный к нему А′В′С′. Доказать, что треугольник, полярный к треугольнику А′В′С′, совпадёт с треугольником АВС.
    3. Найти максимум или минимум площади сферического треугольника, в котором известна сторона и угол и соответствующая высота.
    4. Доказать, что:
1) если медиана сферического треугольника равна квадранту (четверть окружности), то она одновременно служит биссектрисой того угла, через вершину которого она проходит (не зависимо будет ли данный треугольник равнобедренным или нет), и равна полусумме сторон, прилежащих к этому углу.
2) Если медиана меньше квадранта, то она образует с большей из двух сторон АВ и АС, между которыми она проходит, угол меньший, чем с другой стороной; она больше (за исключением случая равнобедренного треугольника) биссектрисы угла ВАС, считаемой от вершины до противоположной стороны, и меньше полусуммы сторон АВ и АС, которая в свою очередь меньше квадранта; если медиана больше квадранта, то имеют место противоположные неравенства. (Вторая часть этого предложения сводится к первой путём замены вершины А, из которой выходит медиана, диаметрально противоположной точкой.
3) Рассмотреть обратные предложения. Одно из них гласит: если медиана сферического треугольника является одновременно биссектрисой угла, из вершины которого она выходит, то или она равна квадранту, или треугольник равнобедренный.
Решение:
1) Пусть медиана AD сферического треугольника АВС (рис.4) равна квадранту. Отложим на продолжении дуги AD за точку D дугу DE, равную AD. Тогда ∆ABD =∆ECD, так как ÐADB=ÐEDC; BD=CD  и AD=ED.
Отсюда        ÐBAD=ÐCED   (1)
                       CE=AB             (2)
Так как дуга ADE равна половине большой окружности, то точка Е диаметрально противоположна точке А и точки А, С и Е лежат на одной большой окружности, так что ÐCED=ÐCAD. Из сравнения этого равенства с равенством (1) вытекает, что ÐBAD=ÐCAD, так что AD есть биссектриса ÐВАС.
Далее, в силу (2), имеем
AB+AC=EC+AC=ACE=ADE=2AD.
Итак, если медиана сферического треугольника равна квадранту, то она одновременно служит биссектрисой того угла, через вершину которого она проходит, и равна полусумме сторон, прилежащих к этому углу.
 SHAPE  \* MERGEFORMAT

В

Е

А

С

D

                  SHAPE  \* MERGEFORMAT

A

C

B

E

D

               Рис.4                                          Рис.5
2) Пусть далее медиана AD сферического треугольника ABC (рис.5) меньше квадранта. Отложим опять на продолжении дуги AD за точку D дугу DE, равную AD. Тогда ∆ABD = ∆ECD будут равны (см. 1) ), и будут верны равенства (1) и (2). В этом случае дуга ADE=2AD будет меньше половины окружности большой окружности, и потому точка D будет лежать на стороне АЕ сферического ∆АСЕ. Если в данном треугольнике АВ>АС, то в ∆АСЕ будем иметь (в силу равенства ЕС=АВ)  СЕ>АС. Отсюда следует,   что ÐCAD>ÐCED (см. §2 зад. 7 части А), так что и силу равенства (1)  ÐCAD>ÐBAD. Итак, если медиана треугольника меньше квадранта, то она образует с большей из двух сторон, между которыми она проходит, угол меньший, чем с другой стороной.
Далее в этом случае имеем ADE = 2AD<AC + CE= AB+АС, так что если медиана треугольника меньше квадранта, то она меньше полусуммы сторон, между которыми она проходит.
Пусть, как и выше, медиана АD сферического ∆ ABC (рис. 6) меньше квадранта и пусть для определенности сторона АВ > АС. В таком случае точка А отлична от полюсов большого круга ВС, и через неё проходит (теорема 4) единственная большая  окружность IAH, перпендикулярная к ВС. Обозначим через I и H основания меньшей и большей перпендикулярных дуг AI и АН, опущенных из точки А на большую окружность ВС (теорема 5). Пусть далее К и L середины дуг, на которые точки I и H делят большую окружность ВС, так что каждая из дуг IK=КН = HL= LI равна квадранту. При этом точки К и L будут, очевидно, полюсами большой окружности IАН, и  дуги  AK = AL также будут равны квадранту.
Так как медиана АD по предположению меньше квадранта, то по теореме о сравнительной длине перпендикулярных и наклонных дуг (теорема 5) точка D лежит (рис. 6 и 7) между точкой I и одной из точек К и L, скажем К (точка D не может совпадать с I, так как в последнем случае треугольник ABC был бы равнобедренным). Далее, так как сторона ВС заведомо меньше половины большого круга, то дуга DB меньше квадранта. В то же время дуга DКН более квадранта, и потому точка Н не лежит на дуге ВС. Так как ÐBAD < ÐCAD, как было доказано выше, то биссектриса AM треугольника ABC проходит внутри ÐDAC, и точки Н,В, D,М и С следуют на большой окружности ВС в перечисленном здесь порядке.  При  этом  точка С  может лежать между точками B и I, как на рисунках 6 и 7, или же точка I - между точками В и С, как на рисунке 8. В последнем случае, в силу АВ > АС, будем иметь и ВI>IС, откуда ÐВАI> ÐСАI, так что точка М лежит между В и I. Итак, в обоих случаях точки H,B,D,M и I следуют на большой

B

K

D

M

C

I

B0

L

H

 

                                              
                            
                    Рис.6                                                      Рис.7
окружности ВС в том именно порядке, как они здесь перечислены. Следовательно, имеем (в силу теоремы о длине наклонных дуг, теорема 5) AD > AM. Итак, если медиана AD меньше квадранта, то она больше биссектрисы  AM угла ВАС.
Пусть в том же предположении, что медиана AD меньше квадранта, В_о - точка, диаметрально противоположная точке В. Так как точка D лежит между I и К и дуга DB меньше квадранта, то точка В лежит на дуге IKH, а точка В_о -  на дуге  ILH.
Пусть точка I лежит между точками С и В_о (рис. 6 и 7). Так как точка D лежит между точками I и К и, кроме того, BD = DC, то дуга СI меньше дуги ВН и, значит, меньше дуги В_оI, равной ВН. Точки С и В_о могут лежать и по одну сторону от точки I. Так как дуга ВС меньше полуокружности, то при этом точка С будет лежать между I и В_о, и опять будем иметь СI< B_оI.
Так как СI < В_оI, то и АС < АВ_о, и потому АВ+АС < АВ + АВ_о. Так как сумма дуг АВ + АВ_о равна полуокружности большой окружности, то отсюда следует, что если медиана треугольника меньше квадранта, то полусумма сторон, между которыми она проходит, также меньше   квадранта.
Рис. 8

A

B

M

I

C

Случай, когда медиана АD больше квадранта подробно изложен в дистанционном курсе «Сферическая геометрия».
3) Так как в каждом из трёх рассмотренных случаев мы имеем по одному условию - медиана соответственно а) равна квадранту, b) меньше квадранта и с) больше квадранта - и по нескольку заключений (первое заключение касается соотношения между медианой и биссектрисой, второе — углов между медианой и прилежащими сторонами, третье — соотношения между медианой и полусуммой сторон, наконец, четвёртое — соотношения между полусуммой сторон и квадрантом), то мы будем иметь целый ряд обратных теорем в зависимости от того, какой из трех случаев а), b) или с) мы имеем в виду и какое из заключений прямой теоремы мы примем за условие обратной теоремы.
 Переходя к формулировкам теорем, обратных доказанным выше, будем объединять вместе обратные теоремы, аналогичные по своему содержанию. Таким образом, получается следующий перечень обратных теорем:
1) Если биссектриса сферического треугольника равна квадранту, то она одновременно служит и медианой того же треугольники.
В самом деле, пусть биссектриса AD сферического треугольника ABC (см. рис. 1) равна квадранту. Отложим опять на продолжении дуги AD за точку D дугу DE, равную АD. Так как дуга ADE равна полуокружности большого круга, то точки А, С и Е лежат на одном большой окружности, и потому ÐCED = ÐCAD= ÐBAD. Сферические треугольники ABD и CED будут равны (по второму признаку равенства), так как AD = ED; ÐADB= ÐEDC; ÐBAD = ÐCED. Отсюда BD=CD, т. e. AD - медиана ∆ ABC.
2)  Если медиана сферического треугольника являетcя одновременно   и   биссектрисой   того   угла,    из   вершины   которого она выходит,   то   или   медиана   равна   квадранту,   или  треугольник равнобедренный.
3)  Если медиана сферического треугольника образует с большей из двух сторон,  между  которыми она проходит, угол меньший (больший),   чем  с  другой  стороной,  то  медиана меньше (больше) квадранта.
4)   Если  медиана  сферического  треугольника больше  (меньше) биссектрисы,   выходящей   с   ней   из   одной  вершины,  то медиана меньше (больше) квадранта.
5)   Если медиана сферического треугольника равна полусумме сторон (меньше, больше полусуммы сторон), между которыми она проходит, то медиана равна квадранту (меньше, больше квадранта).
6) Если полусумма двух сторон сферического треугольника равна квадранту (меньше, больше квадранта), то медиана, выходящая из общего конца, также равна квадранту (меньше, больше квадранта).
Так как в трёх прямых теоремах заключения охватывают все имеющиеся здесь возможности, то эти обратные теоремы 2) — 6) легко доказываются  от противного.
Приведём доказательство одной из теорем, приведённых под рубрикой 3). Пусть в некотором треугольнике медиана больше биссектрисы. Если бы медиана была равна квадранту или больше его, то на основании прямых теорем медиана была бы равна биссектрисе или меньше её, что противоречит условию. Следовательно, медиана меньше квадранта.
Аналогично  доказываются остальные обратные теоремы.
Сферические многоугольники.
1.                Доказать, что сумма углов выпуклого сферического n-угольника больше (2n-4)d, где d – прямой угол.
2.                Доказать, что если в выпуклом сферическом четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то диагонали делят друг друга на равные части. Точка их пересечения служит полюсом большой окружности, проходящей через точки пересечения противоположных сторон.
Решение: Пусть в выпуклом сферическом четырехугольнике AВCD (рис.9)   противоположные   стороны   попарно   равны: АВ = CD; ВС = AD.

Рис. 9
Имеем: ∆ABC = ∆CDA (по трём сторонам), и то же имеет место для треугольников ABD и CDB. Следовательно, противоположные углы данного четырехугольника попарно равны; кроме того,  ÐАСВ = ÐCAD и ÐCBD = ÐADB. Если О - точка пересечения диагоналей четырёхугольника, то ∆ОВС = ∆ODA (т.к. ВС = АD и ÐCBD=ÐADB, ÐBCA=ÐCAD). Следовательно, ОВ=ОD и ОС=ОА, так что диагонали четырёхугольника делятся в точке пересечения пополам.
Пусть S - центр сферы, на которой лежит данный четырёхугольник, и через Р и Р' — точки пересечения больших окружностей ВС и AD. При повороте сферы около прямой SО на 180° точка А совмещается с С, точка В - с D, точка С - с А и точка D - с В. Отсюда следует, что большая окружность ВС совмещается с большой окружностью AD, а большая окружность AD - с большой окружностью ВС, так что точка Р совмещается с Р',  а точка  Р' - с точкой P. Так как прямая РР′ не изменяет своего положения в пространстве при повороте на 180⁰ около прямой SO, то она пересекает прямую SO под прямым углом, и каждая из дуг ОР и ОР' равна квадранту. Теми же свойствами будут обладать и точки пересечения Q и Q' больших окружностей АВ и СD. Следовательно, точка О является полюсом большой окружности PQP'Q', на которой лежат точки пересечения противоположных сторон.
Примечание. Тот же результат можно получить и не пользуясь понятием вращения, если применить результаты упражнения 4 части В, §2.
Сферические треугольники РАН и P'CD равны (так как они имеют пару равных сторон АВ и CD и соответственно равные углы, прилежащие к этим сторонам), откуда АР = СР'. Следовательно, АР + СР = СР′ + СР= 180⁰. Медиана OP сферического треугольника РАС. в котором сумма двух сторон равна 180⁰, равняется квадранту на основании одной из обратных теорем, приведённых в решении упражнения 4 части В, §2.
3.                Доказать, что если в четырёхугольнике (сферическом ромбе), все четыре стороны которого равны, диагонали, кроме того, взаимно перпендикулярны.
4.                Доказать, что если при попарно равных противоположных сторонах диагонали также равны, то точка их пересечения и точки пересечения противоположных сторон являются вершинами треугольника с тремя прямыми углами; при этом все четыре угла четырёхугольника равны между собой.
5.                Найти условия, при которых сферический четырёхугольник будет описанным около некоторой окружности.
Геометрические места точек
1.                Даны три точки А, В и С, лежащие на одной сфере. Найти геометрическое место таких точек М, что сферические треугольники МАВ и МАС равновелики. Предполагается, что эти  два треугольника имеют одинаковое расположение.
2.                Найти внутри сферического треугольника такую точку, чтобы большие окружности, соединяющие её с вершинами треугольника, делили площадь треугольника на три части, две из которых были бы равновелики, а третья равнялась удвоенной площади каждой из двух первых.
Решение: Пусть внутри данного сферического треугольника АВС требуется найти точку М (см. рис.), для которой     S_MBC=2S_MCA=2S_MAB.
При этом будем иметь:     
                         S_MBC= S_ABC                                        (1)
                         S_MCA= S_ABC                                                   (2)
В силу теоремы Лекселля, геометрическое место точек М, удовлетворяющих условию (1) и лежащих внутри треугольника АВС, есть некоторая дуга малой окружности. Строим на стороне АВ треугольника АВС такую точку D, что дуга CD делит его на две равновеликие части, и проводим малую окружность через точку D и через точки, диаметрально противоположные точкам В и С.

Рис.10
Точно также геометрическое место точек М, удовлетворяющих условию (2) и лежащих внутри треугольника АВС, есть некоторая дуга малой окружности. Аналогично  на стороне АВ найдём такую точку Е, что
S_ACE= S_ABC,  
и проведя малую окружность через точку Е и через точки диаметрально противоположные точкам С и А.
Искомая точка М есть точка пересечения обоих построенных геометрических мест.
3.                Найти на данной окружности такую точку, чтобы дуги больших окружностей, соединяющих её с двумя данными точками той же окружности, образовали между собой данный угол.
Решение: Пусть   С -  данная   окружность   (рис. 11 и 12), О - её полюс, А и В - данные точки этой окружности и М — искомая точка той же окружности.