Содержание
Введение
§1. Определение линейного оператора. Примеры
§2. Непрерывные линейные операторы в нормированном пространстве. Ограниченность и норма линейного оператора
§3. Обратный оператор. Спектр оператора и резольвента
§4. Оператор умножения на непрерывную функцию
§5. Оператор интегрирования
§6. Оператор дифференцирования
§7. Оператор сдвига
Заключение

Введение
Наиболее доступными для изучения среде операторов, действующих в линейных нормированных пространствах, являются линейные операторы. Они представляют собой достаточно важный класс операторов, так как среди них можно найти операторы алгебры и анализа.
Целью дипломной работы является показать некоторые из линейных операторов, исследовать их на непрерывность и ограниченность, найти норму ограниченного оператора, а также спектр оператора и его резольвенту.
В первом и втором параграфах приведены основные сведения теории операторов: определение линейного оператора, непрерывности и ограниченности линейного оператора, его нормы. Рассмотрены некоторые примеры.
В третьем параграфе даны определения обратного оператора, спектра оператора и его резольвенты. Рассмотрены примеры.
В четвертом параграфе исследуется оператор умножения на непрерывную функцию: Ах(t) = g(t)x(t).
В пятом параграфе приведен пример оператора интегрирования Аf(t)= .
В седьмом параграфе исследуется оператор сдвига Af(x) = f(x+a).
Показана линейность, непрерывность, ограниченность, найдена норма, точки спектра и резольвента всех трех операторов.
В шестом параграфе исследуется оператор дифференцирования Дf(x)=f^/(x), в пространстве дифференцируемых функции D_{[a, b]}. Показана его линейность. Доказано, что Д не является непрерывным оператором, а также как из неограниченности оператора следует его разрывность.

§1. Определение линейного оператора. Примеры
Определение 1. Пусть E_x и E_y [1]– линейные пространства над полем комплексных (или действительных) чисел. Отображение А: E_x ® E_y называется линейным оператором, если для любых элементов х₁ и х₂ пространства E_x и любого комплексного (действительного) числа  выполняются следующие равенства [2]:
1.     А(х₁+х₂) = Ах₁ + Ах₂;
2.     А( х) = А(х);
Примеры линейных операторов:
1) Пусть Е = Е₁ – линейное топологическое пространство. Оператор А задан формулой:
Ax = x для всех x  Е.
Такой оператор, переводящий каждый элемент пространства в себя является линейным и называется единичным оператором.
2) Рассмотрим D_[a,b] – пространство дифференцируемых функций, оператор дифференцирования Д в пространстве D_[a,b] задан формулой:
Дf(x) = f^/(x).
Где f(x)  D_{[a, b]}, f^/(x)  C_{[a, b]}.
Оператор Д определен не на всем пространстве C_{[a, b]}, а лишь на множестве функций имеющих непрерывную производную. Его линейность, очевидно, следует из свойств производной.
3) Рассмотрим пространство С_{[- , + ]} – пространство непрерывных и ограниченных функций, оператор А сдвигает функцию на const a:
Аf(x) = f(x+a).
Проверим линейность оператора А:
1) А(f+g) = (f+g)(x+a) = f(x+a) + g(x+a) = А(f) + А(g).
Исходя из определения суммы функции, аксиома аддитивности выполняется.
2) A(kf(x)) = kf(x+a) = kA(f(x)).
Верна аксиома однородности.
Можно сделать вывод, что А – линейный оператор.
4) Пусть  (пространство непрерывных функций на отрезке [0,1], и дано отображение ₁, заданное формулой:

Так как интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции является функцией дифференцируемой, а, следовательно, непрерывной, то . В силу линейности определенного интеграла данное отображение является линейным оператором.

§2. Непрерывные линейные операторы в нормированном
пространстве. Ограниченность и норма линейного оператора
Пусть ,  – нормированные пространства.
Определение 2 .Оператор А: Е  Е₁ называется непрерывным в точке , если какова бы не была последовательность x_n  x₀, А(x_n) сходится к А(x₀). То есть, при p (x_n, x₀)  0, p (А(x_n), А(x₀))  0.
Известно и другое (равносильное) определение непрерывности линейного оператора.
Определение 3. Отображение А называется непрерывным в точке x₀, если какова бы не была окрестность[3] U точки y₀ = А (x₀) можно указать окрестность V точки x₀ такую, что А(V)  U.
Иначе >0 >0, что как только p (x, x₀) < , p (f(x), f(x₀)) < .
Теорема 1.
Если линейный оператор непрерывен в точке х₀ = 0, то он непрерывен и в любой другой точке этого пространства.
Доказательство. Линейный оператор А непрерывен в точке х₀=0 тогда и только тогда, когда . Пусть оператор А непрерывен в точке х₀=0. Возьмем последовательность точек пространства х_n®х₁, тогда х_n–х₁®0, отсюда А(х_n–х₁)®А(0)=0, т. е. А(х_n–х₁)®0.
Так как А – это линейный оператор, то А(х_n–х₁)®Ах_n–Ах₀, а тогда
Ах_n-Ах₀ ® 0, или Ах_n®Ах₀.
Таким образом, из того, что линейный оператор А непрерывен в точке х₀=0, следует непрерывность в любой другой точке пространства.
т. д-на.
Пример.
Пусть задано отображение F(y) = y(1) пространства С_{[0, 1]} в R. Проверим, является ли это отображение непрерывным.
Решение.
Пусть y(x) – произвольный элемент пространства С_{[0, 1]} и y_n(x) – произвольная сходящаяся к нему последовательность. Это означает:
 p (y_n, y) = |y_n(x)- y(x))| = 0.
Рассмотрим последовательность образов: F(y_n) = y_n(1).
Расстояние в R определено следующим образом:
p (F(y_n), F(y)) = |F(y_n) - F(y))| = | y_n(1) - y(1)|   |y_n(x)- y(x))|=p(y_n,y),
то есть p (F(y_n), F(y))  0.
Таким образом, F непрерывно в любой точке пространства С_{[a, b]}, то есть непрерывно на всем пространстве.
С понятием непрерывности линейного оператора тесно связано понятие ограниченности.
Определение 4. Линейный оператор А: Е  Е₁ называется ограниченным, если можно указать число K>0 такое, что
||Аx||  K||x||.                (1)
Теорема 2.
Среди всех констант K, удовлетворяющих (1), имеется наименьшее.
Доказательство:
Пусть множество S – множество всех констант K, удовлетворяющих (1), будучи ограниченным снизу (числом 0), имеет нижнюю грань k. Достаточно показать, что k  S.
По свойству нижней грани в S можно указать последовательность (k_n), сходящуюся к k. Так как k_n  S, то выполняется неравенство: |А(x)|  k_n||x||, (x E). Переходя в этом неравенстве к пределу

получаем |А(x)|  k||x||, где (x E), (k  S).
т. д-на.
Определение 5. Наименьшая из этих констант K, для которых выполняется неравенство (1), называется нормой оператора А и обозначается ||A||[4].
||А||  K, для K, подходящего для (1), то есть |А(x)|  ||А||||x||, где
||А|| =      x E.
Между ограниченностью и непрерывностью линейного оператора существует тесная связь, а именно справедлива следующая теорема.
Теорема 3.
Для того, чтобы линейный оператор А действующий из E_x в E_y был ограничен, необходимо и достаточно, чтобы оператор А был непрерывен.
Необходимость:
Дано: А – ограничен;
Доказать: А – непрерывен;
Доказательство:
Используя теорему 1 достаточно доказать непрерывность А в нуле.
Дано, что ||Аx||  K||x||.
Докажем, что А непрерывен в нуле, для этого должно выполняться >0, >0 что ||x||<    ||Ax|| < .
Выберем  так, чтобы K*||x|| < , ||x|| < , (К>0), значит  = , тогда если ||x||< , то ||Аx||  K||x|| < K =  
Непрерывность в нуле доказана, следовательно доказана непрерывность в  точке.
Достаточность:
Дано: А – непрерывен;
Доказать А – ограничен;
Доказательство:
Допустим, что А не ограничен. Это значит, что числу 1 найдется хотя бы один соответственный вектор x₁ такой, что ||A x₁|| > 1|| x₁||.
Числу 2 найдется вектор x₂, что ||A x₂|| > 2|| x₂|| и т.д.
Числу n найдется вектор x_n, что ||A x_n|| > n|| x_n||.
Теперь рассмотрим последовательность векторов y_n = , где
||y_n|| = .
Следовательно последовательность y_n  0 при n   .
Так как оператор А непрерывен в нуле, то Аy_n  0, однако
||Аy_n || = ||A || = ||Ax_n ||  > n|| x_n||  = 1, получаем противоречие с Аy_n  0, то есть А – ограничен
Для линейных операторов ограниченность и непрерывность оператора эквивалентны.
Примеры.
1) Покажем, что норма функционала[5] F(y) =  в C_{[a, b]}, где p(x) – непрерывная на [a,b] функция, равна .
По определению 5: ||F|| = |F(x)| = | |.
| |  | | = | y(x)|| |   |y(x)|| |;
||F|| = ( |y(x)|| |) = ||y(x)||| | = | |   .
Таким образом, норма F(y) =  будет ||F|| = ;
2) Найдем норму функционала, определенного на C[0, 2], где p(x)=(x-1)
F(y) = .
По выше доказанному ||F|| =  = 1.

§3. Обратный оператор. Спектр оператора и резольвента
Пусть ,  – нормированные пространства,  – линейный оператор, D_A- область определения оператора, а R_A – область значений.
Определение 6. Оператор А называется обратимым, если для любого элемента у, принадлежащего R_A, уравнение Ах=у имеет единственное решение.
Если оператор А обратим, то каждому элементу у, принадлежащему R_A, можно поставить в соответствие единственный элемент х, принадлежащий D_A и являющийся решением уравнения Ах=у. Оператор, осуществляющий это соответствие, называется обратным оператором к оператору А и обозначается А^-1.
Теорема 4.
Для того чтобы линейный оператор  имел ограниченный обратный оператор необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство:
, (m>0).
Доказательство:
Достаточность.
Пусть выполняется данное неравенство. Тогда равенство Ax=0 возможно лишь тогда, когда x – нулевой вектор. Получим 0  m*||x||, отсюда ||x||  0, но так как норма не может быть <0, то x=0. А обращается в ноль лишь на нулевом векторе. Итак, А^-1 существует.
Докажем его ограниченность.
y=Ax.
x=A^-1y, норма ||A^-1y||=||x||, но ||x||   ||Ax||= ||y||.
Отсюда ||A^-1y||   ||y||, то есть обратный оператор существует и он ограничен.
Если за m возьмем наибольшую из возможных, то получим, что ||A^-1||= .
Необходимость.
Пусть от А имеется ограниченный обратный А^-1 на нормированном пространстве.
Итак, ||A^-1y||  М||y||.
Подставляем значение y и значение A^-1y,получим ||x||  M||Ax|| (М всегда можно считать положительным числом).
Отсюда ||Ax||   ||x||.
Положим =m, получим ||Ax||  m||x||.
т. д-на.
В теории операторов важную роль играет понятие спектра оператора. Рассмотрим это понятие сначала для конечномерного пространства.
Определение 7. Пусть А – линейный оператор в n-мерном пространстве Еⁿ. Число λ называется собственным значением оператора А, если уравнение Ах=λх имеет ненулевые решения. Совокупность всех собственных значений называется спектром оператора А, а все остальные значения λ – регулярными. Иначе говоря, λ есть регулярная точка, если оператор , где I – единичный оператор, обратим, При этом оператор (А – λI)^-1, как и всякий оператор в конечномерном пространстве, ограничен. Итак, в конечномерном пространстве существуют две возможности:
1)                уравнение Ах=λх имеет ненулевое решение, то есть λ является собственным значением для оператора А; оператор (А – λI)^-1 при этом не существует;
2)                         существует ограниченный оператор (А – λI)^-1, то есть λ есть регулярная точка.
В бесконечном пространстве имеется еще и третья возможность, а именно:
3)                         оператор (А – λI)^-1 существует, то есть уравнение Ах=λх имеет лишь нулевое решение, но этот оператор не ограничен.
Введем следующую терминологию. Число λ мы назовем регулярным для оператора А, действующего в линейном нормированном пространстве Е, если оператор (А – λI)^-1, называемый резольвентой оператора А, определен на всем пространстве Е и непрерывен. Совокупность всех остальных значений λ называется спектром оператора А. Спектру принадлежат все собственные значения оператора А, так как, если (А – λI)х=0 при некотором х≠0, то оператор (А – λI)^-1 не существует. Их совокупность называется точечным спектром. Остальная часть спектра, то есть совокупность тех λ, для которых (А – λI)^-1 существует, но не непрерывен, называется непрерывным спектром. Итак, каждое значение λ является для оператора А или регулярным, или собственным значением, или точкой непрерывного спектра. Возможность наличия у оператора непрерывного спектра – существенное отличие теории операторов в бесконечномерном пространстве от конечномерного случая.
Определение 8. Оператор , где  – регулярная точка оператора А, называется резольвентой[6] оператора А и обозначается  (или ).
Теорема 5. Пусть  – линейный непрерывный оператор,  его регулярные числа. Тогда .
Доказательство. Умножим обе части равенства на : ( = = . С другой стороны  получим . Так как числа  – регулярные для оператора А, то оператор  имеет обратный. Значит, из равенства  следует, что . Значит, утверждение теоремы верно.
т. д-на.
Примеры.
1) Рассмотрим в пространстве C_[0,1] оператор умножения на независимую переменную t: Ax = tx(t).
Уравнение Аx= x принимает в этом случае вид:
tx(t) - x(t) = y(t),
решение x(t) этого уравнения есть функция, тождественно ему удовлетворяющая.
Если  лежит вне отрезка [0, 1], то уравнение Аx= x имеет при любом y(t) единственное непрерывное решение:
x(t) = y(t),
откуда следует, что все такие значения параметра  являются регулярными, и резольвента есть оператор умножения на :
R (y) = y(t).
Все значения параметра, принадлежащие отрезку[0, 1], являются точками спектра. В самом деле, пусть ₀  [0, 1]. Возьмем в качестве y(t) какую-нибудь функцию, не обращающуюся в нуль в точке ₀, y( ₀) = a  0. Для такой функции равенство (t - ₀)x(t) = y(t), не может тождественно удовлетворяться ни при какой непрерывной на отрезке [0, 1] функции x(t), ибо в точке t = ₀ левая часть его равна нулю, в то время как правая отлична от нуля. Следовательно, при  = ₀ уравнение Аx= x не имеет решения для произвольной правой части, что и доказывает принадлежность ₀ спектру оператора A. Вместе с тем ни одна точка спектра не является собственным значением, так как решение однородного уравнения (t - )x(t) = 0,    [0, 1], при любом t, отличном от , а следовательно, в силу непрерывности и при t = , обращается в нуль, т.е. тождественно равно нулю.
2) Пусть оператор А действующий из Е  Е, задается матрицей А= .
Аx =  = .
Введем обозначения:
 = y₁
 = y₂
x₁, x₂, y₁, y₂  E;
A - *I = , найдем определитель A - *I:
D(A - *I) =  = (2- )*(-2- ) – 3 = ² – 7;
Если определитель отличен от нуля, то есть если  не есть корень уравнения ² – 7 = 0, следовательно, все такие значения параметра  регулярные.
Корни уравнения ² – 7 = 0 образуют спектр:
₁ = ; ₂ = - ;

 = 0
Следовательно рассмотренная функция входит в пространство С_{[0,+ )}.
Теперь рассмотрим V(x+a) =  = *  = *V(x).
Для =0 подберем непрерывную функцию = 0 при x  а и не равную 0 при x  [0, a]. Для этой функции A(V(x)) = 0 то есть она является собственным вектором для числа 0; функция V(x) = с, так же удовлетворяет разностному отношению  V(x) - V(x+a) = 0. Значит =1  точечному спектру и в том и в другом пространстве. И все точки внутри единичного круга  точечному спектру.
Покажем, что остальные точки окружности  точечному спектру оператора А в пространстве С_{[0, + )}.
Рассмотрим U(x) =  и число  =  (| | = 1);
U(x+a) =  =    = U(x);
U(x) =  = Cos( ) + iSin( ), принадлежит пространству С_[0,b) так как мнимая и действительная части – функции ограниченные, но не принадлежат пространству С_{[a, + )} так как не имеют конечного предела на .
Если точки лежат вне единичного круга, то они регулярные для оператора А в 2-х пространствах.
Покажем, что в пространстве С_{[0, + )} точки  = ,    2 n не будут собственными числами.
Докажем это от противного: пусть найдется  = ,    2 n – собственное число, тогда найдется функция f(x)  С_{[0, + )}, что
f(x+a) = f(x).
Применим оператор А n раз: f(x+n*a) = ⁿf(x), тогда
 f(x+na) = ⁿf(x), у левой части предел конечен;
правая часть предела не имеет, так как не имеет предела последовательность ⁿ =  = Cos( n) + iSin( n).
Следовательно  = ,    2 n собственным числом не является.
Эти точки будут принадлежать спектру оператора А в пространстве С_{[0,+ )}, так как спектр замкнутое множество и граница единичного круга должна принадлежать спектру оператора А в пространстве С_{[0, + )}.
Сделаем вывод:
При | |>1 все точки регулярные;
При | |<1 и =1 – точки спектра;
При  = ,    2 n – точки непрерывного спектра.
Вывод:
Оператор А, действующий в пространстве непрерывных и ограниченных функций – C_{[ ]}, заданный следующим образом: Af(x) = f(x+a), где функции f(x), f(x+a)  C_{[ ]}, a  R, f(x+a) – непрерывная и ограниченная функция:
1.            линейный;
2.            непрерывный и ограниченный;
3.            норма А: ||A|| = 1;
4.            A^-1f(x) = f(x-a);
5.            Спектр оператора А:
·                   при | |<1 и =1 – точки спектра;
·                   при  = ,    2 n – точки непрерывного спектра;
·                   При | |>1 все точки регулярные.

Заключение
В ходе проделанной работы были рассмотрены основные определения теории линейных операторов: непрерывность, ограниченность, норма, спектр оператора и резольвента. Проведено исследование четыре оператора: оператор умножения на непрерывную функцию, оператор интегрирования, оператор дифференцирования, оператор сдвига. Можно сказать, что поставленные цели были достигнуты.

Список литературы
1.                 Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа [Текст]/ А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. – М.: Наука; Главная редакция физико–математической литературы, 1972.
2.                 Соболев, В.И. Лекции по дополнительным главам математического анализа [Текст] / В.И. Соболев. - М.: Наука, 1968.
3.                 Петров, В.А., Виленкин, Н.Я, Граев, М.И. Элементы функционального анализа в задачах [Текст]/ В.А. Петров, Н.Я. Виленкин, М.И. Граев под ред. О.А. Павлович. - М.: Просвещение, 1978.
4.                 Данфорд, Н. Линейные операторы. Общая теория [Текст]/ Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц; под ред. А.Г. Костюченко; пер. с англ. Л.И. Головина, Б.С. Литягина. – М.: Издательство иностранной литературы, 1926.

---