Преобразование подобия плоскости сохраняет простое отношение трёх точек прямой.
 Преобразование подобия плоскости сохраняет отношение “лежать между”.
 Преобразование подобия плоскости отображает угол в равный ему угол.
 Преобразование подобия плоскости отображает отрезок в отрезок, луч в луч.
 Преобразование подобия плоскости отображает параллельные прямые в параллельные прямые.
Следствие. Преобразование подобия плоскости отображает параллелограмм в параллелограмм.
 Преобразование подобия плоскости отображает вектор в вектор, сумму векторов в сумму векторов и произведение числа на вектор в произведение того же числа на соответствующий вектор.
Теорема. Если преобразование подобия f с коэффициентом подобия k задано двумя системами координат Oij и O^/i^/j^/, при этом  и O^/(x₀,y₀), то координаты любой точки M(x,y)_Oij и её образа M^/(x^/,y^/)_O^/_i^/_j^/ связаны соотношениями:
 где  (1)
Доказательство опирается на определение преобразования подобия, на формулы, связывающие координаты одной и той же точки относительно двух прямоугольных декартовых систем координат, на разложение вектора по базисам.
Замечание. При  системы координат Oij и O^/i^/j^/ одинаково ориентированы, а при  противоположено ориентированы.
Определение. Преобразование подобия плоскости, определяемое формулами (1) называется преобразованием подобия первого рода при  и преобразованием подобия второго рода при .
Из основного свойства преобразования подобия и верного утверждения, обратного ему (если преобразование плоскости изменяет расстояние между точками в одном и том же отношении, равном k>0, то оно является преобразованием подобия с коэффициентом подобия k), следует другое определение преобразования подобия. Определение. Преобразованием подобия плоскости с коэффициентом подобия k>0 называется преобразование плоскости, изменяющее расстояние между любыми точками в одном и том же отношении, равном k.
Гомотетия плоскости.
Определение. Гомотетией плоскости с центром гомотетии О и коэффициентом гомотетии называется преобразованием плоскости, которое всякой точке М плоскости ставит в соответствии точку М^/ по закону
.
Обозначение. - гомотетия плоскости с центром гомотетии О и коэффициентом гомотетии k.
Определение. Гомотетичными называются фигуры  и = .
1)           Гомотетичные точки М и М^/ лежат на одной прямой с центром гомотетии О.
2)           Точки М и М^/ лежат по одну сторону от центра О, если k>0, и – по разные стороны, если k<0.
3)           М^/N^/= |k|MN.
4)           Гомотетия плоскости является при:
 k=1-тождественным преобразованием;
 k=-1-центральной симметрией.
Формулы гомотетии с центром в начале координат:
,
Если центр гомотетии имеет координаты S(x₀, y₀), то формулы гомотетии с центром S имеют вид:
,
Если введем обозначения ,  то получим формулы
,
Основное свойство гомотетии.
Для любых точек М, N и их образов ,  имеет место равенство:
.
Доказательство. Воспользуемся равенствами:
, , ,  и найдём
.
Следствия.
1)           Гомотетия с коэффициентом  является преобразованием подобия с коэффициентом подобия , так как из основного свойства следует  или .
2)           , если k>0, и , если k<0.
3)           Гомотетия плоскости обладает всеми свойствами преобразования подобия, в частности: прямую отображает в прямую, параллельные прямые - в параллельные прямые, Изменяет все расстояния в одном и том же отношении, сохраняет углы.
Характерные свойства гомотетии.
 Гомотетия плоскости имеет одну неподвижную точку – центр гомотетии.
 Гомотетия плоскости отображает прямую, проходящую через центр гомотетии, в себя.
 Гомотетия плоскости ( ) отображает прямую, в параллельную ей прямую, так не проходящую через центр гомотетии.
 Гомотетия плоскости отображает окружность, центр которой совпадает с центром гомотетии, в концентрическую окружность. При этом радиусы окружностей связаны соотношением .
 Всякие две неравные окружности гомотетичны друг другу, при этом, если окружности не являются концентрическими, существуют две гомотетии, отображающие одну из них в другую.
   
 
 
 Гомотетия плоскости является преобразованием подобия первого рода.
Теорема. Всякое преобразование подобия с коэффициентом подобия k можно представить как композицию гомотетии и движения.

1.5 Группа преобразований подобия и её подгруппы

Теорема 1. Множество всех преобразований подобия плоскости есть группа преобразований, называемая группой подобий.
Доказательство.
 Если и - преобразования подобия с коэффициентами  и , то - преобразования подобия с коэффициентом . Действительно  является преобразованием плоскости. Докажем, что для любых двух точек M и N и их образов ,  Выполняется равенство . Обозначим  и , тогда , . По основному свойству преобразования подобия , . Поэтому  и композиция  является преобразованием подобия.
 Пусть – преобразование подобия плоскости. Так как  изменяет всё расстояние в отношение , то обратное к нему преобразование  изменяет все расстояния в отношении .
Следовательно,  - преобразование подобия с коэффициентом .
Оба условия  и  выполняются. Следовательно, множество всех преобразований подобия является подгруппой группы всех преобразований плоскости, а, значит, и группой.
Определение. Множество всех подобных между собой фигур называется формой.
Теорема 3. Подгруппами группы подобий плоскости являются:
1)           Группа преобразований подобия первого рода;
2)           Группа движений и все её подгруппы;
3)           Группа гомотетий и параллельных переносов;
4)           Группа гомотетий с одним и тем же центром.

1.6 Метод подобия

Метод подобия оказывается удобным при доказательстве теорем или при решении задач. Этим методом решаются задачи, в которых заданы углы, отношения отрезков и лишь только одно данное условие связано с линейными размерами искомой фигуры. Фигуры, удовлетворяющей всем условиям задачи, кроме того, которое связано с размерами искомой фигуры, подобны между собой. Построив одну из них, а затем, подобрав соответствующим образом, коэффициент подобия, построим искомую фигуру.
Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, каждая медиана делиться этой точкой в отношении 2:1 (считая от вершины треугольника).
Задача. Построить треугольник АВС, если даны: , отношение сторон АВ:ВС =m:n (m, n-данные отрезки) и медиана к стороне АС.[21]

Глава 2. Методика изучения темы «Подобные треугольники» в школьном курсе геометрии

 

§1.Сравнительный анализ темы «Подобные треугольники» в различных учебниках по геометрии

В данной главе предлагается сравнительный анализ темы по следующим учебникам:
1.  Атанасян Л.С. Геометрия 7-9;
2.  Погорелов А.В. Геометрия 7-11;
3.  Александров А.Д. Геометрия 7-9;
4.  Бевз Г.П. Геометрия 7-11;
5.  Шарыгин И.Ф. Геометрия 7-9.
Рассматриваемые учебные пособия, такие как Атанасяна Л.С. Погорелова А.В. чаще всего используются в школе, учебник Александрова А.Д. интересен тем, что используется в классах с углубленным изучением математики, учебник Шарыгина И.Ф. –это новый учебник, который ставиться в противовес учебнику Бевза Г.П. немного устаревшему и практически не применяющемуся на практике.
Материал структурируется по следующему плану, в который включаются основные вопросы анализа:
1.  Понятие преобразование подобия и его свойства;
2.  Гомотетия и её свойства;
3.  Определение подобных фигур, свойства подобных фигур;
4.  Определение подобных треугольников;
5.  Признаки подобия треугольников;
6.  Метод подобия;
7.  Система задач по данной теме;
Понятие преобразование подобия и его свойства.
В рассмотренных учебниках понятие преобразование подобия и его свойства чаще всего не изучается, только в учебниках Атанасяна Л.С., тема, изучается индуктивно и рассмотрению подобных треугольников не предшествует. Данные понятия прилагаются в рамках других тем изучаемых позже.
Например, в учебнике Александрова А.Д. предлагаются следующие определения преобразования подобия: «Подобием называется преобразование, при котором расстояния изменяются в одном и том же отношении, т.е. умножается на одно и тоже число, называемое коэффициентом подобия», «Подобием фигуры с коэффициентом k>0 называется такое её преобразование, при котором любым двум точкам X и Y фигуры сопоставляются такие точки X΄ и Y΄, что X΄Y΄=k*XY». Рассмотренные определения вместе составляют аналогичное определение в учебнике Погорелова «Преобразование фигуры F в фигуру F΄, называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояние между точками изменяется в одно и тоже число раз. Произвольные точки X и Y фигуры F при отображении подобия переходят в точки X΄ ,Y΄ фигуры F΄, то X΄Y΄=k*XY, причём число k одно и тоже для всех точек X и Y, число k называется коэффициентом подобия».
В учебных пособиях рассмотренных выше определения преобразования подобия не выделяются и не привлекают внимание учащихся.
Совершенно иначе вводится определение преобразования подобия в учебном пособии Бевза Г.П., «Геометрическое преобразование, отображающее фигуру на подобную ей фигуру», автор опирается на определение подобных фигур. Совершенно разные свойства преобразования подобия выделяет каждый автор, только два свойства общее для всех «Подобие сохраняет величину угла и отрезок переводит в отрезок».
В учебнике Александрова А.Д. дополнительно приводятся:
1⁰ Подобие переводит треугольник в треугольник. Соответственные стороны этих треугольников пропорциональны, а соответственные углы равны
2⁰ В результате подобия с коэффициентом k площадь многоугольной фигуры умножается на k²
В учебном пособии Погорелова свойства рассмотрены в виде утверждения: «Преобразование подобия сохраняет простое отношение трёх точек; переводит прямые в прямые; полупрямые в полупрямые».
Гомотетия и её свойства.
При введении понятия гомотетии и её свойства так же существуют различия.
Гомотетия в учебнике Александрова А.Д. определяется с использованием вектора: «гомотетия с центром О и коэффициентом k (отличным от нуля) – это преобразование, при котором каждой точке X сопоставляется такая точка X΄, что =k ».
Понятие гомотетии вводиться конструктивно в учебнике Погорелова: «Пусть F-данная фигура и O-фиксированная точка. Проведём через произвольную точку X фигуры F луч OX и отложим на нём отрезок OX΄, равный , где k - положительное число. Преобразование фигуры F, при котором каждая её точка X переходит в X΄, построенную указанным способом, называется гомотетией относительно центра О. Число k называется коэффициентом гомотетии, фигуры F и F΄ называются гомотетичными».
Аналогично вводиться гомотетия в учебнике Бевза Г.П.
Такие общие свойства гомотетии как:
1⁰ Гомотетия сохраняет величину угла.
2⁰ Гомотетия отрезок переводит в отрезок
рассматриваются в учебных пособиях Александрова А.Д., Бевза Г.П., Атанасяна Л.С., но есть и дополнительные, например автор Александров А.Д., дополняет рассмотренные выше свойства следующими:
3⁰ Основное свойство гомотетии: при гомотетии с коэффициентом k каждый вектор умножается на k.
4⁰ Гомотетия треугольник переводит в треугольник, стороны этих треугольников пропорциональны, а соответственные углы равны.
Автор Бевз Г.П. дополняет следующие свойства, которые явно не выделяются в учебнике:
3⁰ При гомотетии прямая переходит в прямую, луч в луч.
4⁰ Гомотетия изменяет размер фигуры, не изменяет её формы.
В учебнике Погорелова А.В. свойства гомотетии не рассматриваются, только есть небольшое замечание о том, что гомотетия и подобие обладают аналогичными свойствами.
Определение подобных фигур, свойства подобных фигур.
Определение подобных фигур в учебнике Погорелова А.В. не выделено курсивом и сливается с текстом, таким образом, не привлекает внимания учащихся. «Две фигуры называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия». Далее вводиться обозначение подобных фигур.
Практически аналогично, очень наглядно и подробно вводиться определение подобных фигур в учебном пособии Александрова А.Д. «Фигура F΄ называется подобной фигуре F с коэффициентом k, если существует подобие с коэффициентом k, переводящее F в F΄». Далее делается вывод, что подобные фигуры имеют одинаковую форму, но различные размеры, что очень важно для учащихся при понимании темы.
С помощью композиции гомотетии и движения вводиться определение подобия фигур в учебнике Бевза Г.П.. «Две фигуры называются подобными, если с помощью композиции гомотетии и движения одну из них можно отобразить на другую».
Следует заметить, что в учебном пособии Атанасяна Л.С. подобные фигуры изучаются после темы подобные треугольники. По нашей теме есть небольшое упоминание о том, что «в геометрии фигуры одинаковой формы называются подобными» и приводиться пару примеров.
Аналогично вводиться определение подобных фигур в учебнике Шарыгина И.Ф.. Автор делает ссылки на начало главы «Подобие» где приводиться много примеров подобных фигур.
Только в учебнике Погорелова А.В. встречаются свойства подобных фигур:
«Если фигура F₁ подобна фигуре F₂ , а фигура F₂ подобна фигуре F₃ , то фигуры F₁ и F₃ подобны».
Во всех рассмотренных учебниках определение подобных фигур предшествует изучению подобных треугольников.
Определение подобных треугольников.
Что касается подобия треугольников, то в учебнике Атанасяна Л.С. они определяются с опорой на понятие сходственных сторон треугольников и равенство углов: «Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника соответственно равны сторонам другого».
В учебнике Шарыгина И.Ф. отличие состоит в том, что здесь используются понятие соответствующих, а не сходственных сторон, а так же вводятся коэффициент подобия треугольников: «Два треугольника называются подобными, если у них равны углы, а соответствующие стороны пропорциональны».
Признаки подобия треугольников.
 Признаки подобия треугольников рассматриваются во всех учебных пособиях и формулируются следующим образом:
Первый признак: «Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны».
Второй признак: «Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны».
Третий признак: «Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны».
Каждый автор доказывает признаки по определённому плану. Например, в учебнике Погорелова А.В. можно выделить следующие этапы:
1)  Треугольник A₁B₁C преобразуется с помощью подобия с коэффициентом k, например гомотетии ( ) и получаем треугольник A₂B₂C₂.
2)  Доказываем равенство треугольников ABC и ABC₂.
3)  Доказываем подобие треугольников A₁B₁C₁ и ABC
 После каждого признака автор предлагает решение задачи на использование изученного признака.
Атанасян Л.С. доказывает признаки подобия иначе:
₁₎     Рассматривается треугольник ABC_2
2)      Доказываем равенство треугольников ABC и ABC₂
3)  Доказываем, что треугольник ABC₂ подобен треугольнику A₁B₁C₁ (по определению).
В учебнике Александрова А.Д. признаки доказываются различно, первый признак доказывается аналогично плану учебника Погорелова А.В.. Для доказательства второго признака используется теорема синусов. При доказательстве третьего признака используется обобщённая теорема Пифагора.
Следующий план доказательства можно проследить в учебном пособии Бевза Г.П.:
1)  Гомотетия с коэффициентом k переводит треугольник A₁B₁C₁ в треугольник A₂B₂C₂, равный треугольнику ABC
2)  Доказываем, что треугольники ABC A₂B₂C₂ равны
3)  Доказываем, что треугольник A₂B₂C₂ гомотетичен треугольнику A₁B₁C₁.
Автор Шарыгин И.Ф. в своём учебном пособии перед введением признаков подобия рассматривает теорему о подобных треугольниках: «Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, образуют с его сторонами подобные между собой треугольники».
После доказательства теоремы рассматриваются признаки подобия. Каждый признак доказывается, с использованием признаков равенства треугольников. Только в учебнике данного автора вводятся признаки подобия прямоугольных треугольников.
Метод подобия.
Метод подобия в школе чаще всего явно не выделяется, некоторые авторы учебников очень подробно останавливаются на этом методе.
В учебнике Александрова рассматривается применение подобия для решения задач и «доказательства теорем». В частности решаются задачи на построение четвёртого пропорционального отрезка, квадрата, расположенного в прямоугольном треугольнике, так, что три его вершины лежат на катетах, а четвёртая на гипотенузе; доказывается теорема о точке пересечения медиан треугольника.
В учебнике Атанасяна Л.С. рассматривается теорема о средней линии треугольника; точка пересечения медиан треугольника; о пропорциональности отрезков в прямоугольном треугольнике; практическое приложение подобия треугольников (задачи на построение, измерительные работы на местности).
Система задач по данной теме.
По теме «Подобные треугольники» в учебниках Бевза Г.П., Атанасяна Л.С., Погорелова А.В., Шарыгина И.Ф., Александрова А.Д. рассматривается большое количество задач на построение, на доказательство, на вычисление отношений и на решение. Задачи в процессе обучения выполняют дидактические, познавательные, развивающие и воспитательные функции. Относительно перечисленных функций будет проводиться сравнительный анализ систем упражнений.
В каждом учебнике есть особенности, которые отличают их друг от друга. Например, в учебнике Бевза Г.П. большое внимание уделяется заданиям на построение фигур, гомотетичных данным фигурам. Только в этом учебнике предлагаются практические задания такие, как: «Вырежьте из бумаги две подобные фигуры в форме буквы «Г» и разместите их на столе так, чтобы они оказались гомотетичными относительно некоторого центра. Сколькими способами можно это сделать? Изменяются ли при этом коэффициенты гомотетии? Разместите эти фигуры так, чтобы они были гомотетичными».
Большинство задач дидактического характера рассматриваются в учебном пособии Шарыгина И.Ф., есть несколько задач несущие развивающую функцию, «Какие треугольники можно разрезать на два подобных между собой треугольника» и так же задачи познавательного характера: «Докажите, что диагонали трапеции вместе с основаниями образуют два подобных треугольника». Мало задач по готовым чертежам. Упражнения расположены в разноброс не соответствуя последовательности изложения теоретического материала, что благотворно влияет на умственную деятельность учащихся.
В учебнике Атанасяна Л.С. предлагаются задачи с решениями. Большое внимание уделяется задачам несущие дидактическую функцию. Очень интересные познавательные задачи: «Докажите, что отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведённых к этим сторонам». Хорошо подобраны развивающие задачи: «План земельного участка имеет форму треугольника. Площадь изображённого на плане треугольника равна 87,5см². Найдите площадь земельного участка, если план выполнен в масштабе 1:100000». В учебнике данного автора перед группой задач указан номер теоретического пункта, что даёт подсказку учащимся.
 Задачи в учебнике Погорелова А.В. предлагаются от более простой к сложной. Много задач по готовым чертежам. Большинство упражнений познавательного характера способствующие получению новых фактов, которые используются при решении других задач, например: «Докажите подобие равнобедренных треугольников с равными углами при вершинах противолежащих основаниям». Задач развивающей функции практически нет. Аналогично учебнику Атанасяна Л.С. задачи располагаются относительно пунктам изученного теоретического материала.
Система задач учебника Александрова А.Д. включает в себя в основном задачи несущие дидактическую функцию, а так же задачи познавательные: «На одной стороне угла отложили равные отрезки, через их концы провели параллельные прямые, пересекающие стороны угла. Докажите, что на другой стороне угла получаются равные отрезки». При доказательстве этого утверждения учащие знакомятся с теоремой Фалеса. Большое разнообразие задач с использованием готового рисунка. Автор предлагает интересные развивающие задачи: «На каком удалении от вас находиться человек, идущий перпендикулярно линии наблюдения? В одной из книг даётся такой ответ: «Закройте левый глаз, вытяните руку вперёд и отогните большой палец. Уловив момент, когда палец прикроет фигуру идущего вдали человека, закройте правый глаз, а левый откройте и сосчитайте, сколько шагов сделает человек до того момента, когда палец вновь прикроет фигуру. Увеличив полученное число в 10 раз, вы узнаете расстояние от него в шагах» На чём основан такой приём?
Во всех рассмотренных учебниках тема «Подобные треугольники» вводиться различно, какой-то материал лучше, какой-то хуже, нет идеальных учебных пособий. Наиболее доступный, понятный, содержащий большое количество рисунков и упражнений различного характера является учебник Атанасяна Л.С.. Дальнейшая работа основывается на его материале.

§2. Логико-дидактический анализ темы «Подобные треугольники » по учебнику Атанасяна Л.С.
Тема подобные треугольники в учебнике Атанасяна Л.С. вводиться в 8 классе и включает в себя четыре параграфа, каждый из которых делиться на пункты.
§1. Определение подобных треугольников.
§2. Признаки подобия треугольников.
§3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач.
§4. соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.
В первом параграфе вводятся такие новые понятия как «пропорциональные отрезки», «сходственные стороны», «подобные треугольники», «коэффициент подобия».
Понятие пропорциональных отрезков вводиться описательно с использованием ранее изученного факта (об отношении двух отрезков), и рассматривается конкретный пример на применение нового определения. Далее оговаривается, что понятие пропорциональности может вводиться и для большого числа отрезков.
Прежде чем ввести определение подобных треугольников предлагается разобраться с подобием в реальной и повседневной жизни, и с подобием фигур в геометрии вообще. После этого используя рисунок двух треугольников и равенство углов описательно вводиться определение сходственных сторон. После словесной формулировки предлагается другая запись с использованием буквенной символики, таким образом, подобие треугольников даётся не на основе преобразования подобия, а через равенство углов и пропорциональности сходственных сторон. Пусть треугольники АВС и А₁В₁С₁ подобны тогда  (1);  (2) из последнего отношения вытекает понятие коэффициента подобия.
Рассмотрев все основные понятия анализируемого параграфа, переходят к изучению следующей теоремы: «Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия», доказательство основано на применение теоремы об отношении площадей треугольника, имеющих по равному углу и определение подобных треугольников.
Во втором параграфе рассматриваются только признаки подобия треугольников с доказательством и отсутствуют новые понятия.
Оказывается, что подобие треугольников можно установить, проверив только некоторые из равенств определения подобных треугольников (1) или (2). Для доказательства этого факта рассматриваются три признака подобия треугольников. Первый признак доказывается, опираясь на теорему о сумме углов треугольника и на ранее изученную теорему об отношении площадей треугольников имеющих по одному равному углу. Второй и третий признак доказывается по общей схеме:
1.                         Рассматривается треугольник АВС₂;
2.                         Доказывается, что треугольники АВС₂ и А₁В₁С₁ подобны (по первому признаку);
3.                         Доказывается равенство треугольников АВС и АВС₂.
В изложенном материале третьего параграфа рассматриваются новые понятия: «средняя линия треугольника», «среднее пропорциональное», «метод подобия», каждое из определений вводиться описательно.
Именно в этом параграфе доказывается теорема о средней линии треугольника и на основании этой теоремы решается очень важная задача геометрии: «Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины».
Для доказательства следующих утверждений
1⁰ Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делит гипотенуза этой высоты;
2⁰ Катет прямоугольного треугольника, есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключённым между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла; решается задача: «Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику». Решение опирается на рассмотрение различных треугольников и доказательства их подобия.
Для формирования практической значимости подобия треугольников рассматривается метод подобия, после описания, которого предлагаются задачи с решениями.
Уже в последнем пункте вводиться понятие подобия произвольных фигур и коэффициент подобия фигур. Эти понятия вводятся через сопоставление двух точек M, N одной фигуры F, точкам M₁, N₁ другой фигуры F₁ и , где k-одно и тоже положительное число для всех точек. Далее делается вывод, что каждая точка фигуры F₁ оказывается сопоставленной какой-то точке фигуры F. Здесь же предлагается способ построения подобных фигур.
В последнем параграфе анализируемой темы учащиеся знакомятся с элементами тригонометрии, необходимые для решения прямоугольных треугольников. Здесь вводятся новые понятия синуса, косинуса, тангенса. Их определения даются через отношения сторон прямоугольного треугольника друг к другу. Причём тангенс определяется как отношение синуса к косинусу. При рассмотрении данных понятий вводятся их обозначение. Далее формулируется и доказывается утверждение о том, что из равенства острых углов следует равенство значений тригонометрических функций соответствующих данным углам. Сначала доказывается подобие треугольников, из которых следует пропорциональность сходственных сторон треугольников, пользуясь полученными равенствами, получаем доказываемый материал. Здесь же доказывается sin²A+cos²A=1 называемое основным тригонометрическим тождеством. При доказательстве опираются на новые понятия синуса, косинуса и на теорему Пифагора. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30⁰ , 45⁰ , 60⁰ находятся через основное тригонометрическое тождество, Через теорему о катете лежащем против угла в 30⁰, через теорему Пифагора. Полученные результаты отображены в таблице. Материал, связанный с подобием, позволяет содержательно реализовать межпредметные связи с алгеброй (пропорциональность, уравнения, квадратичные корни) и с физикой (например, геометрическая оптика). В систему упражнений включено более 50 задач. Большая часть направлена на прямое или опосредованное применение теории. Много задач познавательного характера, способствующие получению новых фактов, которые используются при решении других задач (№534, 537, 569,…), задачи с практическим содержанием (№546, 579, 580, 581, 583,…).
Изучая тему «Подобные треугольники», можно подробно остановиться на примерах из реального мира, необходимо рассказать об истории возникновения и развития подобия, подробно рассказать легенду о Фалесе, который измерил высоту пирамиды без всяких приборов по отбрасываемой ею тени. Познакомить учащихся с золотым треугольником, золотым прямоугольником, золотым сечением, которое является одним из удивительно красивых объектов, интерес к которым проявляли учёные, художники на протяжении многих веков.
 

§3. Методические особенности изучения темы «Подобные треугольники»

Формирование понятия пропорциональные отрезки на прямую связано с подобием треугольников, именно через это понятие прокладывается логический мостик к определению коэффициента подобия. Для полного понимания необходимо решать как можно больше задач вида №534.
При рассмотрении подобных треугольников важное условие, накладываемое на порядок записи вершин подобных треугольников, позволяющее (как и в случае равных треугольников) непосредственно из условия  указать, какие именно углы равны:  и какие стороны пропорциональны, это полезно так же и для контроля правильности записи пропорциональных сторон с целью предупреждения ошибок учащихся.
Для того чтобы выработать соответственный навык у учащихся, полезно решать устно задачи типа:
_1.   , AB=3см, BC=4см, AC=6см, A₁B₁=12см. Вычислить B₁C₁ и A₁C_1.
2. , , чему равны ? [ ].
Отношение площадей подобных треугольников необходимо не только для решения многих задач, но и для познавательной деятельности позволяющей осмыслить тот факт, что «отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия».
Особое внимание следует обратить на первый признак подобия треугольников, так как он лежит в основе доказательства двух других признаков, а, кроме того, чаще других применяется при решении задач. Общий план доказательства имеют второй и третий признак:
1.Рассматривается треугольник АВС₂;
2.Доказывается, что треугольники АВС₂ и А₁В₁С₁ подобны (по первому признаку);
3.Доказывается равенство треугольников АВС и АВС₂.
Поэтому можно первый и второй признак доказать самому учителю, а третий самостоятельно или первый и третий признак, а второй самостоятельно, при этом можно составить с учащимися приведённый выше план.
Признаки можно обозначить традиционно номерами, а можно проводить ссылки по содержанию: по равенству двух углов, по пропорциональности двух сторон и равенству углов между ними, по пропорциональности трёх сторон.
В результате изучения темы учащиеся должны знать определение подобных треугольников, формулировки признаков подобия треугольников, уметь воспроизводить доказательства признаков в ходе изучения текущего материала, применять признаки подобия при решении задач.
Чтобы показать применение подобия треугольников при доказательстве теорем, решении разнообразных задач, измерительных работ на местности изучается параграф о применении подобия, полезно повторить с учащимися второй признак подобия треугольников и познакомить с идеей доказательства теоремы о средней линии треугольника, и решить по готовым чертежам задачи устного характера.
После рассмотреть определение средней линии треугольника и сформулировать теорему о средней линии треугольника, а учащимся можно предложить провести доказательство самостоятельно.
Изучение пункта пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике можно организовать: по готовым чертежам доказать подобие предложенных различных треугольников, а затем как следствие из доказанного обосновать утверждение 1⁰ и 2⁰. Перед тем как приступить к решению задач на построение методом подобия, желательно напомнить учащимся основные задачи на построение: Начертите остроугольный треугольник АВС. Постройте: медиану АМ, биссектрису AD и высоту AH треугольника АВС;
a)                                                 прямую BN, параллельную медиане AM.
(Не обязательно чтобы учащиеся выполняли все построения циркулем и линейкой, достаточно, если они укажут в каждом случае последовательность выполнения операций). На последнем из уроков , необходимо рассмотреть материал раздела «Измерительные работы на местности», в конце урока желательно провести небольшую беседу (10 минут) о подобии произвольных фигур.
Тематическое планирование

§4. Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников

Отношение отрезков AB и CD называется отношение их длин при данном выборе единицы измерения; т. е. число . Это число не зависит от выбора единицы измерения [5].
 Пусть в треугольниках АВС и А₁В₁С₁ углы соответственно равны: , , . В этом случае стороны АВ и А₁В_1, ВС и В₁С₁, СА и С₁А₁ называются сходственными.
Определение. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого. SHAPE
, , , (1)
 (2)
Обозначение. АВС~ А₁В₁С₁.
Из определения подобных треугольников непосредственно вытекает, что если два треугольника равны, то они подобны; если один треугольник подобен другому, то и второй треугольник подобен первому; если первый треугольник подобен второму, а второй третьему, то первый треугольник подобен третьему треугольнику.
Подобие треугольников можно установить, проверив только некоторые из равенств (1) и (2).
Первый признак подобия треугольников.
Теорема 1.Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
Доказательство. Пусть АВС и А₁В₁С₁ два треугольника, у которых , .
По теореме о сумме углов треугольника   , поэтому, . Таким образом, углы треугольника АВС соответственно равны углам треугольника А₁В₁С₁. Так как  и , то по следствию (Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то отношение площадей этих треугольников равно отношению произведений сторон, заключающих равные углы.).
 и .
Из этих равенств получаем: . Аналогично используя равенства , , получим . Итак, сходственные стороны треугольников АВС и А₁В₁С₁ пропорциональны, следовательно, треугольники подобны.
Второй признак подобия треугольников.
Теорема 2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.
Доказательство. Пусть АВС и А₁В₁С₁ – два треугольника, у которых , . Докажем, что АВС~ А₁В₁С₁.
Для этого, учитывая первый признак подобия треугольников, достаточно доказать, что .
От луча АВ в полуплоскость, не содержащую точку С, отложим угол 1, равный углу А₁, а от луча ВА в туже полуплоскость отложим угол 2, равный углу В₁.
Т. к. , то , поэтому стороны углов 1 и 2, не принадлежащие прямой АВ, пересекаются в некоторой точке С₂ (рис. б). Треугольники АВС₂ и А₁В₁С₁ подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому . С другой стороны, по условию теоремы . Из этих двух равенств получаем: АС = АС₂. Следовательно, треугольники АВС и АВС₂ равны по первому признаку равенства треугольников (АВ – общая сторона; АС = АС₂, , т. к.  и ). Отсюда следует, что , а т. к. , то .
Третий признак подобия треугольников.
Теорема 3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то треугольники подобны.
Доказательство. Пусть АВС и А₁В₁С₁ – два треугольника, стороны которых пропорциональны:
 (3)
Докажем, что АВС~ А₁В₁С₁. Для этого, учитывая второй признак подобия треугольников, достаточно доказать, что . Аналогично доказательству предыдущей теоремы (рис. б) построим треугольник АВС₂ так, чтобы , , . Треугольники АВС₂ и А₁В₁С₁ подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому . Сравнивая эти равенства с равенством (3), получаем: ВС=ВС₂, СА=С₂А. Следовательно, треугольники АВС и АВС₂ равны по третьему признаку равенства треугольников. Отсюда следует, , а т. к. , то . Таким образом, АВС~ А₁В₁С₁ по второму признаку подобия треугольников.
Рассмотренные признаки подобия треугольников являются основными признаками, имеются и другие признаки, позволяющие установить подобие треугольников на основе равенства каких - то углов и пропорциональности каких - то отрезков или величин связанные с треугольниками.
Треугольники АВС и А₁В₁С₁ подобны, если выполняется хотя бы одно из условий.
1.АВ>АС, , ;
2. , ;
3. , где BM, B₁M₁ - медианы треугольников;
4. , , где BH и B₁H₁ высоты треугольников.
§5. Опытная работа
Цель опытной работы: выявление методических особенностей изучения темы «Подобные треугольники» в средней школе.
Идея: для выявления методических особенностей необходимо провести несколько уроков по разработанной методики, в конце обучения провести контрольную работу, при анализе которой можно судить о достижении цели.
Нами была изучена документация: журналы, характеристики учеников; проводились беседы с учителями, директором школы с целью знакомства с классом составление о нём первичных представлений.
Условия развития: опытная работа проводилась в средней школе №1 Завьяловского района села Завьялово в 8 классе. Состав класса 23 человека, успеваемость средняя (13 человек учатся на отлично и хорошо), учащиеся активны в познавательной деятельности, трудолюбивы, но не внимательны.
Проанализировав тематический план на период прохождения педагогической практики, в связи с ограниченностью во времени, опыт проводился в ходе 5 уроков по следующим темам «Определение подобных треугольников», «Первый признак подобия треугольников», «Второй признак подобия треугольников», «Решение задач», «Контрольная работа».
Рабочая гипотеза: если в процессе изучения темы «Подобные треугольники» использовать специально разработанную методику, направленную на решение задач устного характера, которая будет способствовать развитию учащихся за счет повышения уровня логического мышления, памяти, речи и внимания, то можно выявить методические особенности изучения темы «Подобные треугольники».
Основные задачи:
1)       Выполнить теоретический анализ математической, учебной и методической литературы по вопросам выявления методических особенностей изучения темы «Подобные треугольники».
2)       Создать доступную методику изучения темы «Подобные треугольники».
3)       Выяснить влияние проводимых уроков на качество знаний учащихся.
4)       Определить методические особенности изучения темы «Подобные треугольники».
Для решения поставленных задач были использованы следующие методы:
· изучение, анализ, сравнение математической, учебной и методической литературы по проблеме опытной работы;
· наблюдение за деятельностью учащихся и учителей;
· организация и проведение уроков по теме;
· количественная и качественная обработка данных, полученных при проведении опытной работы.
Экспериментальные материалы: разработки 5 уроков включающие в себя текст контрольной работы, наглядный материал для организации устной работы.
Ход: на уроке по теме «Определение подобных треугольников» учащиеся знакомятся с понятием, термином и определением подобных треугольниках. Вспоминают, в ходе устной работы, известные знания о треугольниках. Осмысляют и первично закрепляют учебный материал решением задач несущих дидактическую функцию. На следующем уроке учащиеся знакомятся с формулировкой и доказательством первого признака подобия треугольников. Вспоминают в ходе устной работы, ранее изученные сведения на которые, опирается доказательство признака. Осмысляют и первично закрепляют учебный материал решением задач несущих дидактическую функцию. Проводится самостоятельная работа с целью определения уровня усвоения знаний. В ходе изучения второго и третьего признака учащиеся решают много устных задач по готовым чертежам с целью развития у учащихся логического мышления, памяти, речи и внимания, а так же для повторения изученного материала. На уроне посвящённому решению задач осуществляется вторичное осмысление уже известных знаний, выработка умений и навыков по их применению. Проводится тест – самоконтроль с целью выявления уровня обученности учащихся. На пятом уроке поуровневая контрольная работа, которая позволяет закрепить и систематизировать знания, а так же определить степень и качество усвоения материала.
Результаты: после обработки результатов контрольной работы (оценка по 5-ой шкале) проведённой в экспериментальном классе, отметки, выставленные в порядке возрастания, составляют следующий вариационный ряд: 222 333333 4444444444 5555
Для удобства аналогичные данные обычно представляют в табличной форме.
Частотное распределение отметок учащихся за контрольную работу

Вариант	«2»	«3»	«4»	«5»
Частота	3	6	10	4

Таким образом, качество знаний в данном классе 61%.
Аналогично рассуждая строиться полигон распределения по результатам контрольной работы в классе, в котором не проводилась разработанная методика. Здесь качество знаний – 32%.
Если сравнить полученные результаты, то в экспериментальном классе результаты лучше.
 Вывод: в ходе проделанной работы были выявлены методические особенности темы, которые ранее не были замечены и учтены. Ошибки, допускаемые при приведении разработанной методики, придется корректировать учителю по средствам индивидуальных занятий. В целом опыт показал, что устные задания способствуют хорошему усвоению материала, повышению работоспособности учащихся, появляется интерес к предмету, что способствует познавательной активности, развитию речи и способности не бояться рассуждать всё это благотворно влияет на весь процесс обучения в целом. Следует учитывать, что избыток устных упражнений приводит к недостаточному количеству времени на решение письменных задач.
Тема урока: Определение подобных треугольников
Цели урока:
·              ввести понятие, термин и определение подобных треугольников, закрепить данные знания при решении задач;
·              развивать связную математическую речь, логическое мышление;
·              воспитывать мотивацию к учению.
Тип урока: изучение нового материала
Формы работы на уроке: фронтальная, работа в парах, устная, коллективная, письменная.
Оборудование: учебник Геометрия 7-9 Л. С. Атанасяна, карточки с заданиями для устной работы в парах, чертежи для устной работы.
План проведения урока
                  I.Организационный момент (1 мин)
              II.Подготовительный этап (15 мин)
           III.Изучение нового материала (10 мин)
           IV.Закрепление изученного материала (15 мин)
              V.Подведение итогов (2мин)
           VI.Домашнее задание (2 мин)
Ход урока
I. Организационный момент
Цель: создать обстановку для нормальной работы, психологически подготовить учащихся к работе на уроке.
Деятельность: приветствие учащихся, проверка готовности к уроку, выяснение отсутствующих.
II. Подготовительный этап
Цель: активизировать познавательную деятельность учащихся, подготовить их к изучению нового материала.
Деятельность:

Учитель

Ученик

Мы с вами уже почти 2 года изучаем геометрию. В курсе геометрии мы познакомились с новыми фигурами, их свойствами. Но одной фигуре мы уделяли больше всего внимания. Как вы думаете, о какой фигуре идет речь? Сейчас я предлагаю провести аукцион, посвященный треугольнику. Давайте попробуем вспомнить все, что нам известно о треугольнике. Оказывается, это еще очень маленькая часть того, что мы должны знать и узнаем в будущем. Я хочу прочитать вам маленькую притчу. “Усталый пришел северный чужеземец в страну Великого Хапи. Солнце уже садилось, когда он подошел к великолепному дворцу фараона, что-то сказал слугам. Те мгновенно распахнули перед ним двери и провели его в приемную залу. И вот он стоит в запыленном походном плаще, а перед ним на золоченом троне сидит фараон. Рядом стоят высокомерные жрецы, хранители вечных тайн природы. — Кто ты? – спросил верховный жрец? — Зовут меня Фалес. Родом я из Милета. Жрец надменно продолжал: — Так это ты похвалялся, что сможешь измерить высоту пирамиды, не взбираясь на нее? – жрецы согнулись от хохота. – Будет хорошо, — насмешливо продолжал жрец, — если ты ошибешься не более, чем на сто локтей. — Я могу измерить высоту пирамиды и ошибусь не более чем на пол-локтя. Я сделаю это завтра. Лица жрецов потемнели. Какая наглость! Этот чужестранец утверждает, что может вычислить то, чего не могут они – жрецы Великого Египта. — Хорошо, сказал фараон. – Около дворца стоит пирамида, мы знаем ее высоту. Завтра проверим твое искусство”. После сегодняшнего урока вы должны предложить свой способ измерения высоты пирамиды, а пока вернемся к нашему треугольнику. Показывает 2 равных треугольника. Какие это треугольники? Как проверить, что они равны? Показывает еще 2 треугольника, которые не являются равными (но являются подобными). А что это за треугольники? Я предлагаю провести маленькую практическую работу. (Раздаю по рядам наборы подобных треугольников).

Конечно, треугольник Называют определение, виды треугольников, признаки равенства треугольников, медианы, биссектрисы, высоты, сумма углов треугольника, внешний угол, теорема Пифагора и т. д. Равные Треугольники должны совместиться наложением.