Итак, в математике вначале было не число, а множество. Анализ понятия множества и выяснения его подлинного значения в математике есть заслуга главным образом немецкого математика Георга Кантора (1845-1918 гг.). Созданная им теория множеств, некоторые идеи которой имелись и у предшественников Кантора и в частности были сравнительно подробно разработаны у чешского философа Бальцано (1781-1848 гг.), лежит ныне не только в основе математического анализа, но и проникает в известной мере в учебники школьной арифметики и алгебры. Современной человек уже в ранние годы жизни легко приобретает способность считать, называя числа один, два, три, четыре и т.д. Этот числовой ряд мы называем натуральным, его элементы - натуральными числами. Уже в I н. э. греческий математик Никомах говорит о натуральном, т. е. естественном ряде чисел. Термин «натуральное число» впервые употребляет римский автор Боэций (475-524 гг. н.э.). Время от времени термин этот встречается затем в рукописях XI века и позже. В современном смысле понятии «натуральное число» и последовательное употребление термина находит применение у французского просветителя Даламбера (1717-1783 гг.) в изданной им сотрудничестве с другими передовыми писателями во всеобщее употребление. Во многих языках, в том числе славянском, существуют такие грамматические формы, как единственное число, двойственное число и множественное; слово, обозначающее предмет, имеет различные окончание, в зависимости от того идет ли речь об одном, о двух или более чем о двух предметах. В некоторых языках имеется еще особая форма тройственного числа. Эти языковые формы являются пережитками той отдаленной эпохи развития, в которую человеком были освоены лишь числа один и два или один, два и три; всякая более многочисленная группа предметов характеризовалась словами «много», «тьма». В замечательном памятнике древнерусской литературы «Поучение Владимира Мономаха» написанном лет восемьсот назад, формы слов в различных падежах совпадают с современными, когда речь идет об одном или о многих предметах (формы единственного или множественного чисел). Когда же говорится о двух предметах или парных, появляется непривычная нам форма. «Конь диких своима рукама связал есмь. А лось ругама бол…»
В этом отрывке, понятном по смыслу, подчеркнутые слова имеют форму двойственного числа (речь идет о двух, о трех рогах). (4, 42-43) Исчезновение двойственного числа в русских памятниках начинается с 13 в. Наиболее освоенное число натурального ряда, граничащее с не считаемым, часто приобретало особый ореол чудесного и, по видимому, служило основанием для возникновения суеверий, связанных с различными числами, сохранившимся в языке до сих пор. Суеверия связанные с такими числами как 3,7,13,40 распространены. Как мы знаем, у нас сейчас в употреблении десятичная система счисления. Единственной причиной, заставивший большинство народов избрать десятичную систему счисления, является наличие у человека на руках десяти пальцев, которые служили удобнейшей вещественной основой счета. Десять пальцев - это то стандартное множество, с которым сравнивал первобытный человек всякое другое множество до тех пор, пока у него не образовалось в сознание новое стандартное множество, в виде абстрактного ряда натуральных чисел. Историческую роль пальцев при образование числовых понятий мы вспоминаем каждый раз, когда советуем ученику считать по пальцам. Пальцевый счет - обозначение чисел при помощи пальцев – обладал не только большой наглядностью, но и был вызван практическими потребностями. Приемы его излагались еще в учебниках XVI в., например у Рикорда (1510 -1558 гг.). Пальцевый счет был необходим в торговых местах, где сталкивались представители разных народов, не имевших общего языка. Практическая необходимость выработала общий пальцевой счет, понятный без слов, и этому счету обучали детей в школе. (7, 20 - 27)
Числа 1, 2, 3, 4, . . . называются натуральными.
Понятие натурального числа является одним из основных понятий в математике. Возникло оно, как и вся наука математика, из потребности практической деятельности людей. Складывалось оно постепенно в процессе решения все усложняющихся задач с начала практического , а затем и теоретического характера. Причиной, которая привела человека к созданию натуральных чисел, является необходимость сравнивать различные конечные множества между собой. В своем развитии понятие натурального числа прошло несколько этапов. В глубокой древности, чтобы сравнивать конечные множества, устанавливали или между одним из множеств и подмножеством другого множества, т.е. на этапе человек воспринимал численность множества предметов без счета их. Например, о численности группа из пяти предметов он говорил: «Столько же, сколько пальцев на руке», о множестве из двадцати предметов: «Столько же, сколько пальцев у человека». Такой метод обладал недостатком, что сравниваемые множества должны быть одновременно обозримы. В результате очень долгого периода развития человек пришел к следующему этапу создания натуральных чисел – сравнения множеств стали применять множества-посредники уже представляли собой зачатки понятия натурального числа, хотя и на этом этапе число не отделялось от сосчитываемых множеств: речь шла о пяти камешках, пяти пальцах, а не о числе вообще. Названия множеств-посредников стали использовать для определения численности множеств, которые с ними сравнивались. Так, у некоторых племен численность множества, состоящего из пяти элементов, обозначалась словом «рука», а численность множества из 20 предметов – словами «весь человек».
Только после того как человек научился оперировать множествами-посредниками, установил то общее, что существует, например, между пятью пальцами и пятью яблоками, то есть когда произошло отвлечение от природы элементов множеств-посредников, возникло представление о натуральном числе. На этом этапе при счете, например, яблок перечислялось уже не одно яблоко, два яблока и т.д., а проговаривали слова «один», «два», «три» и т.д. Это был важнейший этап в развитии понятие числа. Вот как об этом говорил крупнейший математик современности Н.Н. Лузин: «Мы должны склониться перед гением человека, созданию (не открывшего, а создавшего) понятие единицы. Возникло число, а вместе с ним возникла Математика . Идея числа – вот с чего начиналась история величайшей науки»
Со временем люди научились не только называть числа, но и обозначать их, а также выполнять над ними действия. Многие трудности в решении этих проблем были преодолены с созданием в Древней Индии десятичной системы записи чисел и понятие нуля. Постепенно сложилось и представление о бесконечности множества натуральных чисел .
После того как понятие натурального числа сформулировалось числа стали самостоятельными объектами и появилась возможность изучать их как математические объекты. Наука, которая стала изучать числа и действия над ними, получила название «арифметика».
Арифметика возникла в странах Древнего Востока, Вавилоне, Китае, Индии, Египте. Накопленные в этих странах математические знания были развиты и продолжены учеными Древней Турции. В средние века большой вклад в развитие арифметики внесли математике Индии, стран арабского мира и Средней Азии, а начиная с 13 века –европейские ученые.
Термин «натуральное число» впервые употребил римский ученый А. Боэций. В настоящее время свойства натуральных чисел, действия над ними изучаются разделом математики, носящим название «теории чисел». В 19 веке внимание ученых было обращено на построение и логическое обоснование математических теорий натурального числа, т. е. тех теорий, которые лежат в основе вычислений с натуральными числами.(4, 123 - 125)
За счетную группу, или основание системы счисления, можно применять любое число. Это положение явным образом было высказано французским математиком Б. Паскалем в 1665 году. Некоторое из систем счисления, основания которых отличны от десяти, употреблялись или предлагались в разное время. Естественным является предложение, что до того как человек принял к десятичному счислению, он пользовался при счете пальцами одной руки. Это привело его к созданию пятеричного счисления. Следы пятеричной системы счисления которой пользовались когда-то, вероятно все народы, сохранились в римской письменной нумерации. С несомненностью можно установить ясные следы пятеричного счисления у чукчей. Вот что сообщает о них уже не раз цитированный писатель Т. Семушкин, который работал ряд лет у чукчей: «Уроки арифметики чукотские дети любили не менее « разговора по бумажке» (чтения и письма). Но здесь помехой является их обычный счет пятерками, по числу пальцев на каждой руке и ноги. Взрослые чукчи таким счетом пользуются очень хорошо в пределах тысячи. Они редко ошибаются, хотя считают довольно долго. Для большого удобства они иногда снимают обувь, и счет производится на двадцати пальцах рук и ног. Пять человек составляют сотню. (20, 25-27)
Двоичная система счисления как самая простая существовала, по- видимому, вначале у всех народов. При помощи черточек и пар точек в те времена записывали числа от нуля семи смысл этой таблички указал Лейбниц (1646-1716 гг.), который рекомендовал миссионерам, сообщившим ему эту запись использовать двоичную систему нумерации для обращения китайцев в христианство: христианская религия, по которой человек-нуль, ничто рядом с богом – единицей, должна быть по душе китайцам, в системе счисления которых фигурировали только знаки для 0 и 1. (11, 123-125)
Итак, путь развития числа и счета очень сложный и для этого понадобилось несколько тысячелетий. Развитию чисел способствовало потребность числа в практической деятельности. В математике вначале было не число, а множество. В глубокой древности, чтобы считать предметы, устанавливали сравнение или между одним из множеств, или подмножеством другого множества предметов, т.е.человек воспринимал численность множества предметов без счета их. Например, о численности из пяти предметов он говорил: «Столько же, сколько пальцев на руке». Такой метод обладал недостатком: сравниваемые множества должны быть одновременно обозримы. Со временем люди нашли то общее, что существует между пятью пальцами и пятью камешками. Возникло представление о натуральном числе. Когда считали, они проговаривали «один», «два», «три», «четыре», и т. д. После того как понятие натурального числа сформировалось, числа стали самостоятельными. Затем появилась возможность изучать их как математические объекты. В настоящее время свойства натуральных чисел, действия над ними изучается разделом математики, носящим название «теория чисел».
1.2 Теоретико-множественный смысл понятия числа и арифметических действий над ними
Чтобы понять, что такое натуральные числа, приведем такой пример. Между людьми имеются отношения, которые обозначаются словом «дружба». Каждый из вас должно быть, имеет друга или несколько друзей, и вам поэтому известно и понятно, что представляет собой это отношение. Но заметьте: имеется (существует), во-первых, отношения между людьми, называемое дружбой, во-вторых, наше (общечеловеческое) представления об этом отношении, имеется, в-третьих, слово обозначающее это отношение и наше представление о нем, и, наконец, имеется запись этого слова на каком-то языке (на русском, на немецком и т.д.). Примерно также обстоит дело с натуральными числами. Имеется свойства множеств предметов, состоящие в том, что все множества предметов можно разделить на классы, объединив в одном классе все множества, одинаковые по количеству предметов, также человечество исторически на протяжении многих веков выработало (создало) общечеловеческое (т.е. одинаковое для всех людей) представление об этих свойствах множеств предметов (подобные представления в науке называют моделями свойств). Эти представления и есть сами натуральные числа. Затем каждый народ разработал систему устной нумерации и письменной нумерации (которая принята большинством народов). (12, 5-9)
В основе устной нумерации всех народов лежит идея группового счета, т.е счета предмета не по одному, а одинаковыми группами из этих предметов.  Если нас в первую очередь интересует установление количества предметов в данном множестве, то указывая каким-либо образом на каждой из предметов множества, мы произносим названия натуральных чисел один, два, три и т.д. Конечно, при этом важно не пропустить ни один из предметов, и не сосчитать один и тот же предмет дважды. Если это выполнено, то, указав на последний предмет, мы называем натуральное число, которое указывает количество предметов в перечисляемом множестве. Если, например, указав на последний предмет, мы произносим «восемь», то это значит, что количество предметов в этом множестве равно 8. Значит, это множество содержит 8 элементов.
Заметим, что в каком бы порядке мы не считали предметы множества, опыт показывает, что результат счета будет один и тот же. Если же нас интересует установление порядка между предметами данного множества, то при счете этих предметов мы используем порядковые названия натуральных чисел (первый, второй, третий и т.д.). Тем самым предметы множества мы как бы располагаем в ряд. Одновременно с этим мы устанавливаем и количество предметов в множестве. Если последний из перечисленных предметов оказался восьмым, в множестве имеется 8 элементов.
Дети должны уметь последовательно выделять признаки предметов («Что это? Для чего нужны? Какой формы? Какого размера? Какого цвета? Сколько?»). Сравнивать предметы и объединять их в группы в основе одного из выделенных признаков, в образование групп. Они выделяют признаки, общие для всей группы предметов или лишь для части предметов данной группы, т.е. выделяют подгруппы предметов по тому или иному признаку, устанавливать количественные соотношения между ними. Например: «Сколько машин? Сколько деревянных игрушек? Сколько металлических? Сколько больших игрушек? Сколько маленьких?»
В заключение можно предлагать придумать вопросы со словом сколько, основываясь на умение выделять, признаки объектов и объединять их по общему для данной подгруппы или группы в целом признаку.
Каждый раз перед ребенком ставит вопрос: почему он так думает? Это способствует лучшему осознанию количественных отношений. Упражняясь, дети сначала устанавливают, каких предметов больше, каких меньше, а затем пересчитывают предметы и сравнивают числа либо сначала определяют количество предметов, попавших в разные подгруппы, а затем устанавливают количественные отношения между ними: «Чего больше, если треугольников 6, а кругов 5?».
Сравнивая совокупности предметов дети должны знать способы практического сопоставления их элементов: наложение, приложение, раскладывание предметов 2 совокупностей парами, использование эквивалентов для сравнения 2 совокупностей, наконец, соединение предметов 2 совокупностей стрелочками. Например, учитель рисует на доске 6 кружков, а с права – 5 овалов и спрашивает: «Каких фигур больше (меньше) и почему? Как проверить? А если не считать?» Кому-либо из детей предлагает каждый кружок соединить стрелочкой овалов . Выясняет, что 1 кружок оказался лишним, значит, их больше, чем других фигур, 1 овалов не хватила, значит, их меньше, чем кружков. «Что надо сделать, чтобы фигур стало поровну?» и т. д. Детям предлагается самим нарисовать указанное число фигур 2 видов.
В курсе математики начальных классов находит отражение теоретико-множественный подход к истолкованию сложения и вычитания целых неотрицательных чисел (натуральных и нуля), в соответствии с которым сложение целых неотрицательных чисел связано с операцией объединения попарно непересекающихся конечных множеств, вычитание – с операцией дополнения выделенного подмножества. Этот подход легко интерпретируется на уровне предметных действий, позволяя тем самым учитывать психологические особенности младших школьников.
Простейшей операцией над множествами является операция соединения (объединения) нескольких множеств в одно новое множество. Если мы имеем два множества А и В, то в результате получается новое множество С, такое, что каждый элемент с является или элементом множества n (А), или элементом множества n (В). И обратно: каждый элемент множества n (В) входят в множество n (С).
 SHAPE  \* MERGEFORMAT  SHAPE  \* MERGEFORMAT
А                                            В
 SHAPE  \* MERGEFORMAT  
                                 С
Рис. 2.
Если количество элементов множества n (А) равно а, а количество элементов множества n (В) равно в, то действие с помощью которого находят количество элементов в множестве n (С) - объединения множеств А и В, есть сложение чисел а и в, которое записывается так: а + в = с. При этом числа а и в называются слагаемыми, а число с – результат сложения чисел а и в называются их суммой.
Числовые равенства интерпретируются на числовом луче. Можно условно выделить три вида ситуаций, связанных с операцией объединения:
а) увеличение данного предметного множества на несколько предметов:
 SHAPE  \* MERGEFORMAT
Рис. 3.
б) увеличение на несколько предметов множества, равночисленного данному:
 SHAPE  \* MERGEFORMAT
Рис.4.
в) составление одного множества из двух данных:
 SHAPE  \* MERGEFORMAT
Рис.5.

В процессе выполнения предметных действий у ребенка формируется представление о сложении как о действии, которые связано с увеличением количества предметов. Другой простейшей операцией над множествами является операция вычитания (отнимания) при операции вычитания из одного множества элементов отнимают элементы другого множества. Так на рисунке 1 из множества n (С) можно отнять множество n (А) и останется множество n (В). При формировании у детей представлений о вычитании можно условно ориентироваться на следующие предметные ситуации:
а) уменьшение данного предметного множества на несколько предметов (множество предметов, которые удаляются, зачеркнуто):
 SHAPE  \* MERGEFORMAT
Рис.6.
б) уменьшение множества, равночисленного данному, на несколько предметов:
 SHAPE  \* MERGEFORMAT
Рис.7.
в) сравнение двух предметных множеств, т. е. ответ на вопрос «На сколько предметов в одном множестве больше (меньше), чем в другом?»:

 SHAPE  \* MERGEFORMAT
Рис.8.
В процессе выполнения предметных действий у ребенка формируется представление о вычитании как о действие, которое связано с уменьшением количества предметов.
Рассмотрим конкретный пример: «У Маши было пять кукол. Две она подарила Тане. Покажи куклы, которые у нее остались». Дети рисуют 5 кукол, зачеркивают 2 и показывают куклы, которые у нее остались.
 SHAPE  \* MERGEFORMAT  SHAPE  \* MERGEFORMAT  SHAPE  \* MERGEFORMAT  SHAPE  \* MERGEFORMAT  SHAPE  \* MERGEFORMAT
Рис.9.
Для разъяснения смысла вычитания, также как и сложения, можно использовать представления детей о соотношение целого и части. В этом случае куклы, которые были у Маши («целое»), состоят из двух частей: «куклы, которые она подарила и куклы, которые у нее остались».
Часть всегда меньше целого, поэтому нахождение части связано с вычитанием. Обозначая части и целое их числовыми значениями, дети получают выражение 5 – 2 или равенство 5 – 2 = 3. В процессе выполнения у детей формируется представление о понятие «меньше на».
Из курса математики нам известно, что если а и в целые неотрицательные числа, то:
а) а · в = а + а + а + … + а, при в < 1;
в слагаемых
б) а · 1 = а, при в = 1
в) а · 0 = 0, при в = 0
Теоретико-множественная трактовка этого определения лежит в основе разъяснения младшим школьникам смысла умножения. Она легко переводится на язык предметных действий и позволяет для усвоения нового понятия активно использовать ранее изученный материал. Для осознания необходимости введения нового действия можно использовать различные реальные ситуации. Например: учащимся предлагается подсчитать количество кафельных плиток, необходимых для выкладки стены на кухне. Стена имеет форму прямоугольника разбитого на квадраты (это может быть клетчатая часть доски). Они, естественно, начинают действовать способом по единичного счета клеток, но скоро обнаруживают трудоемкость такой работы. Подчеркнув это, учитель ставит задачу найти более простой путь поиска ответа. Конечно, сами учащиеся могут не менее при этом будут созданы благоприятные психологические условия для его принятия.

Аналогичный пример: учащимся предлагается схематический рисунок поля прямоугольной формы, которое разбито на равные участки (квадраты), нужно определить, на сколько участков (квадратов) разбито данное поле.
Рис.10.
Достаточно посчитать число квадратов в одном ряду (их 11) и повторить это число слагаемым 4 раза (11 +11 + 11 + 11). После этого учитель вводит новую запись 11 4 = 44 и предлагает учащимся составить эти две записи. Выясняется: что обозначает во втором равенстве первый множитель и второй множитель. Это помогает детям лучше усвоить чтение выражение вида: 11 4, 7 6, 28 4. (9,112-116)
Детям также предлагается различные задания на соотнесение рисунка и математической записи, на запись и набор выражений, соответствующих паре рисунков. Затем предметные множества заменяются схемами. Для этой цели можно использовать отрезки. Например:
- Выбери отрезок, который в 6 раз больше отрезка АВ.
При объяснение о смысле действия деления основой его формирования у младших школьников служит теоретико-множественный подход к трактовке частного, суть которого сводится к разбиению конечных множеств на равночисленные подмножества, не имеющие общих элементов.
Выбор этого подхода обусловлен тем, что он позволит опираться на жизненный опыт ребенка при введение новой терминологии и математической записи. Действительно, большинство учащихся легко справляются с таким практическим заданием:
«Раздай 10 яблок - по 2 каждой девочке».
Наглядное изображение выполняемых действий помогает ребенку осознать их математический смысл.
 SHAPE  \* MERGEFORMAT
Рис.11.
Он сводится к разбиению конечного множества яблок на равночисленные подмножества (по 2 яблока). В результате получаем число частей в этом разбиение. На языке, доступном младшему школьнику, это означает, что он разделил яблоки на части, по 2 яблока в каждой, т.е. узнал: «Сколько раз по 2 содержится в 10». Выполненные действия в математике принято записывать так: 10:2 = 5 (десять разделить на два получится пять).
Термин «разделить по» употребляется в случае, когда речь идет о конкретных предметах, что связано с особенностями русского языка. Например, по-русски не говорят: «10 яблок разделить по 2 яблока». При чтении же числового равенства мы не называем предметы, поэтому можно сказать: « 10 разделить на 2, получим 5». Термины «деление по содержанию» и « деление на равные части» вводить не следует, так как числовые равенства вида 10:2 = 5 могут соответствовать предметной ситуации, связанный как с делением по содержанию, так и с делением на равные части.
В процессе выполнения учащиеся осознают связь действий умножения и деления, которая обобщается в виде правил, отражающих взаимосвязь компонентов и результатов умножения и деления. Эти правила формируются в таком виде:
1) если значение произведения разделить на один множитель, то получим другой множитель.
2) если делитель умножить на значение частного, то получим делимое.
3) если делимое разделить на значение частного, то получим делитель.
Формирование представления о смысле деления связано с введением понятий «уменьшить в несколько раз» («меньше в») и «кратное сравнение» («во сколько раз меньше?», «во сколько раз больше?»).
Для их усвоения используются также действия с предметными множествами. Однако деятельность учащихся может быть организовано по разному.
Детям дается такое правило на заучивание. Чтобы узнать, во сколько раз одно число больше или меньше, чем другое, надо большее число разделить на меньшее. Показ независимости числа предметов в множестве от их размера, площади и формы расположения. Сопоставляются множества, составленные из предметов разного размера или по-разному расположенные.(3, 64-69) Когда детей познакомят со всеми числами до 10, им показывают, что для ответа на вопрос сколько? не имеет значения, в каком направление ведется счет. Они в этом сами убеждаются, пересчитывая одни и те же предметы в разных направлениях: слева направо и справа налево; сверху вниз и снизу вверх. Дается представление о том, что считать можно предметы, расположенные не только в ряд, но и самыми различными способами. Они считают игрушки, расположенные в форме разных фигур (по кругу, парами, неопределенной группой), изображения предметов на карточке, наконец, кружки числовых фигур. Детям показывают разные способы счета одних и тех же предметов и учат находить более удобные (рациональные), позволяющие быстро и правильно сосчитать предметы. Пересчет одних и тех же предметов разными способами (3-4 способа) убеждает детей в том, что начинать счет можно с любого предмета и вести его в любом направлении, но при этом надо не пропустить ни один предмет и ни один не сосчитать дважды.(3, 8)
Итак, изучение использования множеств в обучении арифметическим действиям очень важный вопрос математики. Дети должны уметь употреблять множество, группировать предметы по разным признакам, сравнивать группы множеств. А также должны уметь показать независимости числа предметов от их размера, площади и формы расположения. Также важно при изучении употребления множеств, чтобы дети научились самостоятельно прибегать к способам практического сопоставления групп предметов, доказывая правильность своих суждений о связях и отношениях между смежными числами.
1.3 Методика раскрытия конкретного арифметических действий в начальных классах
В начальном курсе математики арифметические действия над целыми неотрицательными числами является центральной темой. Основная цель изучения этого раздела программы – выработать у учащихся начальных классов умения решать арифметические действия и задачи.
Изучение конкретного смысла арифметических действий строятся в начальном курсе математики концентрически. В программе намечена система постепенного расширения области рассматриваемых с детьми чисел (десяток – сотня – тысяча - многоязычные числа). Изучение арифметических действий в пределах 10 имеет некоторые особенности. Десять – основание десятичной системы счисления, поэтому числа от 1 до 10 образуется в результате счета простых единиц. Арифметические действия (сложение и вычитание) непосредственно связаны с операциями над множествами. Случаи сложения и вычитания в пределах 10 являются табличными, они заучиваются наизусть. При формировании навыков счета и отсчета важно наряду со счетом отдельных предметов упражнять детей в счете групп, состоящих из однородных предметов.
Прежде чем приступить к изучению арифметических важно отработать умение считать, поэтому на каждом уроке включаются упражнения в счете предметов – именно счет предметов – а не так называемый «отвлеченный счет». Дети считают предметы окружающей обстановки, предметные картинки, предметы, изображенные на картинках в учебнике, а также палочки, кружки, треугольники и др.
Считая предметы в различном порядке, учащиеся своими словами формируют вывод о том, что результат счета не зависит от порядка счета. Они должны усвоить, что если последний предмет оказался пятым при счете, то всего предметов пять, и наоборот, если всего предметов пять, то последний предмет пятый, но вместе с тем «пятый» - это только один предмет. Дети, считая предметы, знакомятся с первыми десятого числами натурального ряда (их названиями, последовательностью), выясняют на примере этих чисел, как образуется каждое следующее число в натуральном ряду. Сначала это делается на основе выполнения соответствующих операций над множествами (присчитывание и отсчитывание по одному и группами). Каждое из четырех арифметических действий должно прочно связаться в сознании детей с теми конкретными задачами, которое требует его применения, смысл действия и раскрывается главным образом на основе практических действий с множествами предметов. На этой основе доводится до сознания детей связь между компонентами и результатами действий, связь между действиями, рассматриваемые свойства действий и изучаемые математические отношения. Раскрытие конкретного смысла сложения и вычитания изучается на основе практических упражнений, связанных с объединением двух множеств предметов иди удалением части данного множества предметов. Такие упражнения выполнялись начиная с первых уроков математики, продолжаются они и в теме «Сложение и вычитание». Но здесь главное значение приобретает ознакомление с действиями над числами. Программа предусматривает ознакомление с основными приемками вычислений, которыми учащиеся должны уметь пользоваться при сложении и вычитании чисел. Прием прибавления и вычитания числа по его частям (по единице и группами) универсален: он может быть использован применительно к любому случаю сложения и вычитания.
С первых же уроков подготовительного периода отрабатывается умение сравнивать численности множеств. Сравнение чисел натурального ряда выполняется с опорой на сравнении множеств. С этой целью предлагается детям такие задания: «Скажите, на котором окне цветов больше, в каком ряду елочек на рисунке меньше; каких кружков больше, а каких меньше на наборном полотне?». Упражнения на сравнение множеств даются так, чтобы дети выполняли их не только с помощью счета, но и путем соотношения элементов «один к одному». Сравнение множеств путем соотнесения предметов «один к одному» дает возможность уже в этот период устанавливать не только где больше, а где меньше предметов, но и на сколько предметов больше, на сколько меньше. При выполнении этих упражнений, опираясь на множество, учитель должен каждый раз обращать внимание детей на взаимосвязь отношений «больше» и «меньше»; например, если квадратов на 1 больше, чем треугольников (показывает лишний квадрат), то треугольников на 1 меньше, чем квадратов.
Также включают упражнения на преобразование не равночисленных множеств в равночисленные и обратно. Например, дети установили, что яблок на 1меньше, чем груш, а груш на 1 больше, чем яблок. Учитель ставит вопрос: «Что надо сделать, чтобы яблок стало столько, сколько яблок?» (Убрать одну грушу).
В целях раскрытия конкретного смысла сложения и вычитания следует показать, что прибавлять и вычитать можно разные числа, а не только единицу. Поэтому при изучении арифметических действий рассматриваются все случаи сложения и вычитания в пределах 10 (а+2, а+3, а+4, а+5). Результаты действий находят путем соответствующих операций над множествами, что помогает детям понять конкретный смысл сложения и вычитания. После того как дети найдут результат сложения, сразу выясняют, как получили этот результат. (Сколько получится, если к 3 прибавить 2?). На основе таких упражнений учащиеся постепенно запоминают не только результаты действий в пределах 10, но и состав чисел 2,3,4,5,6,7,8,9 и 10 из слагаемых. Состав же этих чисел иллюстрируются с помощью операций над множествами. При раскрытии конкретного смысла арифметических действий рекомендуется научить детей решать примеры в два действия вида 6+1+1, 9-1-1, чтобы дети закрепили умения прибавлять и вычитать единицу и накопили наблюдения: если прибавим (вычтем) 1 и еще 1, то всего прибавим (вычтем) 1 и еще 1, то всего прибавим (вычтем) 2. Вначале решение таких примеров иллюстрируют действиями с предметами, например: «Положите 4 синих квадрата, придвиньте 1 желтый квадрат. Сколько квадратов получилось? придвиньте еще 1 желтый квадрат. Сколько квадратов получилось? Запишите пример: 4+1+1; объясните, как решаем такой пример (к 4 прибавить 1,получится 5, к 5 прибавить 1, то получится 6).
Так же раскрывается смысл вычитания 8-1-1. Затем приступают к рассмотрению приема прибавления и вычитания числа 2. Решение первых примеров выполняется с опорой на предметный счет. Решается пример 4+2. пусть эти букеты на окне изображают число 4, а эти 2 букета – число 2. покажите, как эти 2 букета присоединить к тем 4 букетам (ученик переносит цветы на окно, сначала дин букет, потом второй). Запишем, что сделал Вова.
4+1=5
5+1=6
4+2=6
С помощью аналогичных упражнений раскрываются смысл действий,
а+3, а+4, а+5.
Изучение каждого свойства сложения и вычитания строится примерно по одному плану: сначала, используя элементы множеств, надо раскрыть суть самого свойства, затем научить детей применить его при выполнении различных упражнений учебного характера, и, наконец, научить, пользуясь знанием свойства, находить рациональные приемы вычислений с учетом особенностей каждого конкретного случая.
При раскрытии конкретного смысла арифметических действий в пределах 1000 дети знакомятся с новыми приемами прибавления и вычитания числа по его частям.
Для демонстрации операции сложения и вычитания лучше всего воспользоваться хорошо знакомым детям палочками и пучками палочек. Пусть первый большой пучок – «сотня» будет получен из десяти меньших пучков – «десятков» на глазах у детей в результате счета десятков. Следующие пучки – «сотни» могут быть заготовлены заранее. Считая сотнями, учитель обратит внимание детей на то, как называются одна сотня, две сотни.
Раскрывая конкретный смысл умножения, следует прежде всего расширить опыт учащихся в выполнении соответствующих операций над множествами еще в 1 классе при изучении нумерации, сложения и вычитания в пределах 10 и 100 целесообразно ввести счет пар предметов, троек и т.д. и предлагать примеры на нахождение суммы одинаковых и неодинаковых слагаемых:
1)     В трех коробках лежит по 6 карандашей в каждой. Сколько всего карандашей в коробках?
2)     В первой коробке 3 карандаша, во второй – 6, в третьей – 8. Сколько всего карандашей в коробках?
Во 2 классе сумма одинаковых слагаемых заменяется произведением (6+6+6+6=24, 6·4=24). Выполняя эту операцию, дети знакомятся с действием умножения, с записью умножения, усваивают роль множителей.
При раскрытии конкретного смысла действия умножения и вычислительного приема помогают такие упражнения:
1.           По данным примерам 4+3 и 4·3 сделайте рисунки. Сравните примеры и решите их.
2.           Замените примеры на умножение примерами на сложение и решите их: 7·4, 1·5, 106,15·4.
3.           Решите задачу сначала сложением, а затем запишите решение умножением: «5 пионеров вырезали для ребят по 4 звездочки каждый. Сколько звездочек вырезали ребята?
Конкретный смысл деления раскрывается в процессе простых задач на деление по содержанию и на равные части. Ученики должны научиться выполнять по условию задачи операцию разбиения данного множества на ряд равночисленных подмножеств и связывать эту операцию с действием деления, научиться записывать решение задач с помощью этого действия.
На знании конкретного смысла действия деления основывается первый вычислительный прием деления: ученики находят частное, выполняя действие с предметами. Например, чтобы найти частное 8·4, берут 8 кружков раскладывают их по 4 и считают, сколько раз получилось по 4 кружка, или раскладывают 8 кружков на 4 равные части и считают, сколько кружков получилось в каждой части.
Для закрепления знания и конкретного смысла действия деления и вычислительного приема, основанного на этом знании, включается решение простых задач на деление по содержанию и на равные части, а также решение примеров на деление с помощью действий с конкретными предметами (кружки, палочки и т.п.).
Конкретный смысл деления с остатком раскрывается при решении простых задач на деление по содержанию и на равные части с помощью выполнения операций с предметами: ученики убеждаются, что не всегда можно выполнить разбиение данного множества на равночисленные подмножества и что в таких случаях операция разбиения связывается с действием деления с остатком.
Таким образом, навыки сложения и вычитания должно быть доведено до автоматизма, т.е. конечным результатом рассмотрения приемов вычислений, используя элементов множества, и выполнения соответствующей системы упражнений должно стать прочное («на всю жизнь»), усвоение детьми всех случаев сложения и вычитания на память. Учащиеся должны уметь свободно выполнять операции сложения, вычитания, умножения и вычитания.
Изучая методику раскрытия конкретного смысла арифметических действий в начальных классах, мы видим, что при формировании навыков счета необходимо применять элементы множества. Без применения счетного материала детей невозможно и нельзя научить считать. Применение элементов множества – это общее требование, определяющее содержание и методику уроков, на которых изучают операцию проведения арифметических действий.

Глава II. Опытно–экспериментальная работа по использованию множеств в обучении арифметическим действиям над целыми неотрицательными числами
2.1 Из опыта роботы учителей по использованию элементов множеств в обучении математике в начальных классах
Изучая опыт работы учителей по журналам «Начальная школа», «Башkортостан уkытыусыhы», методических разработок, нашли много примеров по использованию множеств в обучении. Например: в журнале «Начальная школа» учительница начальных классов Оксана Вышарь из г. Кемерово дает разработку урока на тему «Знакомство с числом 2» в первом классе. На уроке дается первое представление о числе 2. Фрагменты этого урока.
4. Изучение нового материала.
Учительница:
- Сегодня мы с вами познакомимся с новым числом, а как его зовут, мы сейчас узнаем. Сколько у меня на столе кубов?
Д. Один.
У. Какого он цвета?
Д. Красный.
У. А сейчас к нему я добавлю еще один куб (ставит куб зеленого цвета). Какого он цвета?
Д. Зеленого.
У. Сколько я поставила кубов?
Д. Один.
У. Посмотрите был один куб, я поставила еще один, и их стало два: один, два (считает и показывает на кубы).
Давайте сосчитаем вместе. (Считают.)
У. Дети, мы получили новое число – «два».
 SHAPE  \* MERGEFORMAT
Закрепление.
У. Теперь нарисуйте два круга.
Дети рисуют и показывают.
 SHAPE  \* MERGEFORMAT
У. А теперь возьмите в руки по одной палочки.
Дети выполняют задание.
У. Сколько у тебя палочек в одной руке? А в другой? Сколько всего палочек?
Итак, как мы получили число два? Два это сколько?
Д. Два – это один и один.
│ │
Вот так она объясняет о смысле числа два. По – моему такое предметное объяснение помогает детям понять новую тему, повышает качество знаний. А также учительница начальных классов Татьяна Пестова из города Салавата пишет как использует элементы множества при изучении темы «Сравнение предметов и групп предметов». На уроке проверяется умение выполнять счет предметов (меньше, больше, столько же), сравнивать предметы по различным признакам: цвету, форме, размеру, ориентироваться в пространстве (справа, слева, вверху, внизу).
Фрагменты этого урока:
1. В верхней строке нарисуйте столько кружков, сколько помидоров нарисовано на доске (на доске нарисовано 6 помидоров). Раскрасьте третий кружок.
- Я читаю задачу. О чем говорится в задаче?
Обсуждение задачи.
- Что надо делать? (нарисовать столько кружков, сколько помидоров).
Помидоров 6, а значит кружков тоже 6. Еще надо раскрасить третий кружок.
Выполнение на тетрадях.
2. Слева нарисуйте 3 красных квадрата, а справа 1 зеленый треугольник.
- Я читаю задачу, вы слушайте. Что надо делать?
- Слева нарисовать 3 красных квадрата.
- Где у нас левая сторона?
- А где правая сторона? Надо нарисовать зеленый треугольник.
Дети рисуют.
- Сколько треугольников нарисовали? Сколько квадратов? Каких фигур больше: квадратов или треугольников?
 SHAPE  \* MERGEFORMAT
3. Нарисуйте в строке через клеточку 6 треугольников. Ниже начертите 8 палочек. Нарисовать в строке через клеточку 6 треугольников, затем начертить ниже 8 палочек.
Выполнение работ на тетрадях.
- Сколько у нас треугольников? Сколько начертили палочек? Чего больше: треугольников или палочек? На сколько больше?
А также Гузель Зиннурова из Мясагутово дает разработку урока на тему «Знакомство с числом 7».
Фрагменты урока:
1. 7 стульев надо посадить так, чтобы возле каждой стены стояли по 2 стула.
 SHAPE  \* MERGEFORMAT
2. Заучивание скороговорки с числом 7.
«В семеро саней по семеро в сани уселись сами».
Учительница показывает схему по скороговорке.
- В одной сане сколько детей?
7·1=7
- А в двух санях сколько будет?
7·2=14
- А в трех?
7·3=21. ...
 SHAPE  \* MERGEFORMAT

- Итак, всего 49 детей. Давайте продолжим рисунок.
7·8=56
7·9=63
7·10=70
- Мы с вами нарисовали таблицу умножения числа 7.
Изучая опыт работы учителей, мы выясняли, что при изучении множеств предметов арифметических действий, учителя постоянно используют элементов множеств предметов. Предметное преподавание способствует прочному усвоению знаний. Показ примеров и действия решения с помощью элементов множества запоминаются в памяти школьников. Усвоение нового материала проходит активно, без давления на ребенка.
2.2 Исследование и анализ работы учителей по применению элементов множеств при изучении арифметических действий младшими школьниками
Использование множеств в обучении математике для выяснния, как учителя используют элементы множеств при ознакомлении детей с арифметическими действиями мы решили провести исследовательскую работу. Для этого выбрали базой Актаускую муниципальную основную общеобразовательную школу Баймакского района. Методы для исследования выбрали интервьюирование. Были включены в исследовательскую работу учителя начальных классов Саитова Ляля Салиховна и Нугуманова Таслима Сайфитдиновна.
Для интервью были составлены следующие вопросы:
1. Ф. И. О.
2. Ваш стаж работы?
3. В каком классе работаете?
4. Как вы понимаете смысл «Раскрытие коекретного смысла сложения, вычитания, умножения, деления»?
5. Нравится ли детям уроки, на которых элементы множества?
6. Помогает ли использование счетного материала хорошему усвоению темы?
По ответам на вопросы мы выяснили, что учителя в школе работают опытные. Использование счетного материала элементов множеств широко применяются при изучении конкретного смысла арифметических действий. Включают в урок различные задачи на сообразительность, на смекалку, где используются элементы множества. Учителя не исключают необходимости в применении элементов множества. Они считают, что использование элементов множества помогает хорошему усвоению смысла арифметических действий. Дети быстро учатся проводить арифметические операции над числами. Использование предметного счета на уроках детям нравится.
Мы провели два экспериментальных уроков в 1 классе Актауской муниципальной общеобразовательной школе.
Тема первого экспериментального урока «Сложение и вычитание числа 3 », где применялись наглядные пособия.
Фрагменты урока.
1. Повторение пройденной темы «Сложение и вычитание числа 2»
4 + 2 10 – 2
Б Ч
Б – Буратино
Ч – Чиполлино.
2. Новая тема «Сложение и вычитание числа 3».
3 3
1 2
3 это 1 и 2 3 это 2 и 1
6 + 3 9 – 3
6 + 2 + 1 9 – 1 – 2
 

                                                              
3. Закрепление темы.
5 + 3
5 + 1 + 2
5 + 2 + 1
Самостоятельно
7 – 3
7 – 2 = 5
5 – 1 = 4
4. Задача.
Читают.
-     О чем идет речь?
-      О ягодках.
Было . На 3 ягоды уменьшилось. Сколько ягод осталось?
7 – 3 = 4 (я).
Второй урок был на тему “Сложение и вычитание числа 4”, где не применялсянаглядные пособия.
Фрагменты урока.
1. Сравнить числа.
2 3 5 5
7 4 4 4
2. Вычислить.
6 + 3 7 - 3
6 + 2 = 8 7 – 2 = 5
8 + 1 = 9 5 – 1 = 4
3. Изучение состав числа 4.
4 4 4
2 3 1
Мы провели два экспериментальных урока, где на одном уроке использовали дидактические материалы, провели предметный счет, чтобы хорошо раскрыть конкретный смысл арифметических действий сложения и вычитания числа 3, а на другом уроке тему “Сложение и вычитание числа 4” обьясняла на словах, т.е. без дидактического материала и предметного счета. Затем провели проверку знаний у детей на счет предметов. Задаются следующие вопросы:
1. Посчитай. Сколько здесь палочек? ( На столе разложены в ряд, например, 8 палочек. Отними 3.
2. Положи столько же красных кружков, сколько палочек?
3. А теперь попробуй узнать, каких кружков больше: синих или красных? (В руки ребенку дается семь синих кружков)
Таблица 1.

1 2 3 4					5
№	Фамилия, имя	Считает до	Счет предметов	Столько, сколько	Каких больше (меньше) Соотнесением
1 2 3	Байрамгулов Алик Даутова Акида Исяндавлетова	30 20 20	+ + +	+ + +	+  +  +

С помощью такой проверки мы выявляем уверенно ли справляется с заданием ребенок или с ошибками, какими способами он при этом пользуется.
Результаты были таковы:
\s
А также наблюдали уроки учительницы первого класса Актауской муниципальной основной общеобразовательной школы Азаматовой Насимы Киньягалеевны. Наблюдали за тем, как она использует наглядные пособия как элементов множества на тему «Сложение и вычитание числа 5 числам первого десятка».
Фрагменты этого урока.
- Вот вам рисунок собаки. Она должна решить эти задачи, давайте ей поможем.
- Нарисуйте на 5 кружков меньше, чем нарисовано на доске.
На доске нарисовано семь кружков.
- Запишите числа от 1 до 5.
1, 2, 3, 4, 5.
Для продолжения нашего исследования мы провели анкетирование среди учителей начального класса Акмурунской СОШ Мамбетовой Нафисы Хайрулловны, Нугумановой Бибинур Нурисламовны, Ханафиной Гульдар Азаматовны.
Для анкеты были составлены следующие вопросы:
1. Как вы проводите ознакомление младших школьников с арифметическими действиями?
2. Какие счетные предметы помогают лучшему усвоению понятия арифметических действий?
3. Как осуществляется при обучении в математике элементы мнеожества ?
4. Возможно ли усвоение детьми понятия арифметических действий без использования предметного счета?
а) Мамбетова Нафиса Хайрулловна.
1.Ознакомление младших школьников с арифметическими действиями провожу при помощи счетного материала.
2. Лучшему усвоению понятия арифметических действий помогают счетные материалы.
3. При обучении математике элементы множества играют важную роль.
4. Усвоение понятия арифметических действий без использования счетного материала невозможно.
б) Нугуманова Бибинур Нурисламовна.
1.При помощи счета предметов провожу ознакомление с понятиями арифметических действий.
2.Лучшему усвоению понятия арифметических действий помогает наглядные счетные предметы.
3. Элементы множества помогает полностью усвоить материалы урока.
4. Усвоение понятия арифметических действий невозможно без использования предметного счета.
в) Ханафина Гульдар Азаматовна.
1.Ознакомление младших школьников с арифметическими действиями проводятся опираясь на элементы множества.
2. Предметный счет лучше помогает детям научиться считать.
3. Использование предметного счета очень хорошо помогает при обучении арифметическим действиям.
4. Без использования элементов множества невозможно детий научить навыкам счета.
Результаты анкетирования были таковы:
Использование учителями элементов множества при обучении арифметическим действиям над целыми неотрицательными числами 100 %.
При этом они утверждают, что счетное преподавание помогает детям быстро научится считать группы предметов, воспроизвести над ними арифметические операции.
2.3 Результаты опытно-экспериментальной работы по использованию элементов множеств при раскрытии конкретного смысла арифметических действий
В результате эксперементальной работы, опираясь на опыты работы учителей, мы можем сказать, что ни один урок по обучению арифметических действий не проводятся без использования элементов множества. Так как их использование нравится детям, с другой стороны как мы уже отмечали они помогают хорошему усвоению темы, повышает качество знаний. И самое главное, дети быстрее учатся считать, провести предметный счет, решать арифметические задачи, выяснить конкретный смысл арифметических действий.

Как отмечали учителя, применение счетного материала помогает провести уроки на должном уровне, пробудить интерес к предмету, довести до автоматизма вычисления, которые необходимы детям в жизни.
Я провела опробирование использования элементов множества по определенным темам.
Фрагменты уроков использования элементов множества.
Тема: Сколько? Больше, меньше, столько же.
4 < 5 5 = 5
5 > 4 4 = 4
Тема: Состав числа 6
 SHAPE  \* MERGEFORMAT
Тема: Сложение и вычитание числа 3.
 SHAPE  \* MERGEFORMAT
 SHAPE  \* MERGEFORMAT
Проведя исследовательскую работу, мы выявили и систематизировали какие элементы множества можно использовать по определенным темам.
Соответствующие счетные материалы
Счетный материал
Числа, палочки, абак, полоски, квадраты, кружочки.
Карточки, таблицы для устного счета, сложения, вычитания, умножения, деления, наглядности для работы над составом числа.
Основные темы программы:
1.Подготовительный период
2. Нумерация
3.Арифметические действия
Счетные материалы берутся из практической деятельности. К ним можно отнести окружающие предметы, которые можно считать. Например,дома, машины, деревья, тетради, стулья, цветы и т.д.
Натуральный счетный материал

тетрадь

блокнот

ЦВЕТНЫЕ КАРАНДАШИ

Выделяют условные (символические), с изображением математических символов:
Было
 SHAPE  \* MERGEFORMAT
Подарила осталось
 SHAPE  \* MERGEFORMAT
Было - ?
Схематический рисунок:
 SHAPE  \* MERGEFORMAT
Яблоко вишня
5 руб в 2 раза дороже
сколько?

Заключение
Использование элементов множества является неотъемлимой частью при изучении арифметических действий в начальных классах. При их применении можно гарантировать хорошее качество умения считать, проведения арифметических операций над целыми неотрицательными числами,
Для младших школьников предметное преподавание имеет большое развивающее значение, т. к. способствует формированию навыков счета. Использование элементов множества является очевидным.
Мы предлагаем учителям начальных классов:
1.                определить, какие элементы множества при изучении арифметических действий должны употреблятся на уроках.
2.                определить, цель использования предметного счета, чтобы оно было использавано , как источник знаний.
3.                 не забывать,что обучение арифметическим действиям основная тема, поэтому требует тщательной подготовки к каждому уроку, продумывая каждый этап, используя для этого элементы множества.
 Успешным бывает такое обучение, которое начинается с рассмотрения предметов, вещей, процессов и событий окружающей действительности как предметный счет. И альтернативные, и иннавационные системы обучения, учителя-новаторы и учителя всех классов по вертикали утверждают, что обязательное использование элементов множества при обучении арифметическим действиям.
Правильное использование элементов множества способствует развитию логического мышления и речи детей, помогает на основе рассмотрения и анализа конкретных арифметических действий, прийти к обобщениям, которое помогают научить считать. Использование элементов множества формирует убежденность в истинности усваиваемых детьми знаний. Важным условием является, чтобы элементы множества при изучении арифметических действий применялись достаточно и эффективно.

Список использованной литературы
1.            Аргинская И.И. Математика. 1 класс. Пособие для учителя к стабильному учебнику. – М.: Федеральный научно-методический центр им. Л.В. Занкова,1996.
2.            Актуальные проблемы методики обучения математике в начальных классах. Под ред. М.И. Моро, A.M. Пышкало. - М., 1977.
3.            Артемов А.К., Истомина Н.Б. Теоретические основы методики обучения математике в начальных классах. - М., - Воронеж, 1996.
4.            Амонашвили Ш.А. Как живете, дети?- М., 1987.
5.            Амонашвили Ш.А. Здравствуйте, дети! - М., 1988.
6.            Бабаев Т.И. Математическое развитие школьников. – С-П.: ”Детство-пресс”,1998.
7.            Бантова М.А., Бельтюкова Г. В. Методика преподавания математики в начальных классах. - М., 1984.
8.            Выготский Л.С. Педагогическая психология. - М., 1991.
9.             Гнеденко Б.В. Формирование мировозрения учащихся в процессе обучения математике. – М.: Просвещение, 1991.
10.       Грин Р., Лаксон Д. Введение в мир числа. – М.: “Владос”, 1984
11.       Давыдов В.В. Проблемы развивающего обучения. - М., 1986.
12.       Давыдов В.В. Психическое развитие в младшем школьном возрасте (Возрастная и педагогическая психология). / Под ред. А.В. Петровского. -М., 1983.
13.        Далингер В.А. Методика реализации внутрипредметных связей при обучении математике.- М.: Просвещение, 1991.
14.       Зайцев В.В. Математика для младших школьников. Методическое пособие для учителей. – М.: Владос,1999.
15.       Зак А.З. Развитие умственных способностей младших школьников. -М., 1994.
16.       Зимняя И.А. Основы педагогической психологии. - М, 1980.
17.       Истомина Н.Б. Активизация учащихся на уроках математики в начальных классах. - М., 1985.
18.       Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах: учеб. пособие. – М.: Академия, 2000. -
19.       Истомина Н.Б. Методические рекомендации к учебнику «Математика. 1 класс».4-е издание.- М., 1996.
20.       Истомина Н.Б. Методические рекомендации к учебнику «Математика. 2 класс». 3-е издание. - М., 1996.
21.       Истомина Н.Б. Методические рекомендации к учебнику «Математика. 3 класс». - М., 1995.
22.       Каплан Б.С. Методы обучения математике. - М., 1981.
23.       Леонтьев А.И. К вопросу о развитии арифметического мышления ребенка. – М.: Баласс,2000.
24.       Маркова А.К., Орлов А.Б., Фридман Л.М. Мотивация учения и ее воспитание у школьников. - М., 1983.
25.       Маркова А. К. Формирование мотивации учения в школьном возрасте.
 - М., 1983.
26.       Менчинская Н.А. Проблемы учения и умственного развития школьника. - М., 1989.
27.       Метлина Л.С. Математика в начальной школе. – М.: “Просвещение”, 1984.
28.       Моршнева Л.Г. Дидактический материал по математике. – М.: “Просвешение”, 1999.
29.       Моро М.И. Пышкало A.M. Методика обучения математике в 1 - 3 классах. - М., 1989.
30.       Носова Е.А., Непомнящая Р.Л. Дидактический материал по математике.-М.: “Просвещение”, 1985.
31.       Петерсон Л.Г. Математика 1 класс. Методические рекомендации. – С-П.: “Детство-пресс”, 2000.
32.       Подласый И.П. Педагогика. - М., 1996.
33.       И.Н., Олехин С.Н.Примени математику. - М.: “Наука”, 1991.
34.       Стойлова Л.П. Математика. – М.: Академия, 2002.
35.       Столяренко Л.Д. Педагогика. – Ростов н/Д, 2000.
36.       Стрезикозин В.П. Актуальные проблемы начального обучения. - М., 1976.
37.       Суворова Г.Ф. Совершенствование учебного процесса в мало-комплектной начальной школе. - М., 1980.
38.       Талызина Н.Ф. Формирование познавательной деятельности младших школьников, - М., 1988.
39.       Уткина Н.Г. Материалы к урокам математики. – М.: “Наука”, 1984.
40.       Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. - М., 1983.
41.       Фридман Л.М. Математика в начальной школе – М.: “Просвещение”,1984.
42.        Харламов И.Ф. Педагогика. - Минск, 2002.
43.       Чуприкова Н.И. Умственное развитие и обучение. Психологические основы развивающего обучения. - М., 1995.
44.       Эрдниев П.М. Взаимнообратные действия в арифметике. - М., 1983.
45.       Эрднеев П.М. Теория и методика обучения математике в начальной школе. – М.: “Просвещение”, 1988.
46.       Якиманская И.С. Развивающее обучение. - М., 1986.
47.       Якиманская И.С. Развитие пространственного мышления школьников. - М., 1980.