Диплом на тему Нахождение решений дифференциальных уравнений
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2014-10-26Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
от 25%
договор
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина"
Институт математики, физики и информатики.
"Нахождение решений дифференциальных уравнений,
имеющих вертикальные асимптоты"
ДИПЛОМНАЯ РАБОТА
Тамбов, 2009
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Метод нахождения приближенного решения дифференциальных уравнений, имеющих вертикальные асимптоты
Пример
Список литературы
QUOTE =f (x, y)
Решением этого уравнения на интервале I= [a,b] называется функция u(x)
Решить это дифференциальное уравнение численным методом означает, для заданной последовательности аргументов х0, х1…, хn и числа у0, не определяя аналитический вид функции у = F(x), найти такие значения
у1, у2,…, уn, что уi = F(xi), i=1,2,…
Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функции
y=F(x) получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. Величина QUOTE называется шагом интегрирования. Часто выбирают QUOTE
Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х). Он является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других методов.
у’= f(x, у), х≥0, (1)
у(0) =α, (2)
встречает серьезные трудности, если решение у(х) не продолжаемо на всю числовую ось.
Действительно, привычное определение решения, как функции аргумента х, заставляет выбирать в качестве шага значение QUOTE . Вычисления с таким шагом не позволяют "заметить", например, вертикальную асимптоту решения. В работе предлагается модификация одношаговых численных методов, позволяющая оценивать и учитывать максимальный интервал существования решения задачи (1), (2) с тем, чтобы не строить лишенные смысла "приближенные решения" за границами этого промежутка, если он кончен. Эта модификация основывается на геометрической идее рассмотрения решения как кривой на плоскости Оху. При таком взгляде в качестве шага естественно выбрать длину заключенного между точками ( QUOTE , QUOTE ), ( QUOTE ), аппроксимирующей решение.
Применим эту идею к модификации метода Эйлера, описываемого формулами QUOTE = QUOTE + QUOTE , QUOTE + QUOTE . Так как здесь интегральная кривая заменяется ломаной, то в качестве постоянного шага H выберем расстояние между точками ( QUOTE ), ( QUOTE , QUOTE ), т.е.
QUOTE = QUOTE .
Отсюда QUOTE . Таким образом, метод Эйлера можно записать в виде:
QUOTE + QUOTE ; QUOTE . (3)
Приведем условия конечности максимального интервала существования решения задачи (1), (2) и выясним поведение при этих условиях приближенного решения, построенного по формулам (3). Интервал [0,b) считается максимальным интервалом существования решения QUOTE , если QUOTE или если не существует конечного предела QUOTE Соответствующее решение QUOTE , определенное на [0,b), называется полным. Предлагаемое ниже утверждение не содержит требований к функции f, гарантирующих наличие полного решения и тем более его единственность. Отметим в связи с тем, что непрерывности f достаточно для существования полного решения и продолжаемости любого решения на максимальный интервал.
ТЕОРЕМА 1. Пусть α>0 и существуют такие положительные числа А, δ, что при всех QUOTE , QUOTE выполнено неравенство:
f(x,y) ≥А QUOTE (4)
Тогда:
если существует полное решение QUOTE , x QUOTE , задачи (1), (2),
то QUOTE , QUOTE
для приближенного решения, построенного по формулам (3), имеют место предельные соотношения QUOTE , QUOTE .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Решением задачи QUOTE = QUOTE , z(0) = QUOTE , является функция z=α/(1-Aδαδx) 1/δ, имеющая вертикальную асимптоту x=1/ (Aδcδ). Согласно теореме об оценке решения дифференциального уравнения ([2] , с.29)
y(x) QUOTE Утверждение 1) доказано.
Вследствие неравенства (4) и положительности y0 для численного решения, построенного по формулам (3), имеем QUOTE при любом i. Далее, так как функция QUOTE возрастающая, то
QUOTE / QUOTE = 00.
Отсюда
QUOTE , QUOTE
Поскольку QUOTE , то ряд QUOTE сходится, поэтому существует QUOTE . Утверждение 2) доказано.
Теореме 1 свидетельствует о "качественной близости" приближенного и точного решений задачи (1), (2). Для исследования сходимости предлагаемого метода удобно заменить задачу (1), (2), задачей Коши для системы двух уравнений:
QUOTE ,
QUOTE . (5)
x(0) =0,y(0) =α (6)
Решением этой системы являются функции x=x(t), y=y(t), задающие параметрические уравнения интегральной кривой задачи (1), (2).
Формулы (3) оказываются формулами метода Эйлера решения задачи (5), (6) с шагом H изменения параметра t.
Потребуется следующее утверждение о непрерывной зависимости решения (x(t), y(t)) системы (5) от начальных условий. Выберем произвольные числа Т>0, β,γ. Обозначим через (( QUOTE (t), QUOTE (t)) такое решение системы (5), для которого QUOTE , QUOTE .
ТЕОРЕМА 2. Пусть при QUOTE функция f (x, y) удовлетворяет неравенству (4) и имеет непрерывные частные производные, причем существует такое число В>0, что
| QUOTE | QUOTE (7)
Тогда найдётся такая убывающая функция N (E), определенная при Е QUOTE для любых x(T), y(T), β, γ из неравенств x(T) ≥0, x(T) + β≥0, y(T) ≥Е, y(T) +β≥Е следует неравенство:
QUOTE ≤ N(E) |(β, γ) | (8)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Согласно теореме Лагранжа о среднем для функции нескольких переменных и в силу неравенств (7) можно выбрать такие QUOTE QUOTE , QUOTE и QUOTE , содержащиеся между
QUOTE и QUOTE , что QUOTE
QUOTE ≤
QUOTE .
Вследствие положительности f(x, y) при x≥0, y≥α функции QUOTE QUOTE монотонно возрастают. Пусть С= QUOTE , где Е >0.
Так как функция F(k) = QUOTE возрастает, то при t≥T выполнено QUOTE QUOTE , y(t) ≥ E + C(t-T), QUOTE E + C(t-T).
В соответствии с неравенством (4) имеем:
QUOTE . QUOTE .
Сложив эти неравенства, получим:
QUOTE ( QUOTE .
Вследствие теоремы об оценке решения дифференциального уравнения ([2] , с.29) справедливо неравенство
где z(t) является решением задачи.
QUOTE QUOTE .
Имеем
QUOTE ≤ QUOTE
Учитывая эквивалентность норм пространства R2 ([3] , с.32), получаем неравенство (8). Теорема доказана.
Погрешность решения, полученного по формулам (3), оценивает
ТЕОРЕМА 3. Пусть функция f (x, y) удовлетворяет условиям теоремы 2. Тогда существует такое М>0, что для решения (x(t)), y(t)) задачи (5), (6) и его приближения, построенного по формулам (3), выполнено неравенство.
QUOTE .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Обозначим через ( QUOTE решение системы (5), удовлетворяющее условию QUOTE , QUOTE . В соответствии с теоремой Лагранжа о среднем для функции одной переменной найдется такое QUOTE , что
QUOTE .
Система (5) обеспечивает выполнение неравенств QUOTE и следовательно, QUOTE ((i+1) H) ≤ QUOTE , QUOTE ((i+1) H) ≤ QUOTE . Согласно теореме Лагранжа о среднем для функции нескольких переменных существуют такие QUOTE
Что
QUOTE ((i+1) H) - QUOTE
Отсюда, учитывая условия (4), (7), получаем
| QUOTE ((i+1) H) - QUOTE ,
где QUOTE взято и доказательства теоремы 1. Аналогично
Вследствие теоремы 2 при QUOTE имеем
QUOTE + QUOTE
Получена оценка расстояния между двумя интегральными кривыми, проходящими через точки ( QUOTE Для оценки погрешности метода сложим эти расстояния. Учитывая, что QUOTE , получим
Обозначив через М сумму сходящегося ряда и сославшись на эквивалентность норм пространства QUOTE , завершим доказательство.
2. ПРИМЕР
Рассмотрим задачу.
QUOTE (9)
Здесь
QUOTE . Пусть H=0,1; QUOTE
Воспользуемся формулами (3), имеем
шаг 1:
шаг 2:
шаг 3:
шаг 4:
шаг 5:
шаг 6:
шаг 7:
шаг 8:
шаг 9:
шаг 10:
шаг 11:
шаг 12:
шаг 13:
шаг 14:
шаг 15:
шаг 16:
шаг 17:
шаг 18:
шаг 19:
шаг 19:
шаг 20:
шаг 21:
шаг 22:
шаг 23:
шаг 24:
шаг 25:
шаг 26:
шаг 27:
шаг 28:
Дальнейшие вычисления аналогичны. Все значение x, y внесены в таблицу
Точным решением задачи (9) является функция QUOTE Её вертикальная асимптота QUOTE . Как видим, приближенным вычислением мы также нашли асимптоту.
2. Камке Э. справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.М. Наука, 1976г.
3. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения), Н.С. Бахвалов. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва "Наука", М., 1975г.
4. Методы, теории обыкновенных дифференциальных уравнений.Н.И. Гаврилов. Государственное издательство "Высшая школа" Москва-1962г.
5. В.В. Пак., Ю.Л. Носенко. Высшая математика: Учебник. - Д.: Сталкер, 1997г.
6. Загускин В.Л. – Справочник по численным методам решения уравнений. – М.: ФИЗМАТГИЗ, 1960. – 216 с.
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина"
Институт математики, физики и информатики.
"Нахождение решений дифференциальных уравнений,
имеющих вертикальные асимптоты"
ДИПЛОМНАЯ РАБОТА
Допущена к защите Заведующий кафедрой доктор физико-математический наук, профессор _________________ | Студентка 6 курса заочного отделения научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры алгебры и геометрии __________________ |
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Метод нахождения приближенного решения дифференциальных уравнений, имеющих вертикальные асимптоты
Пример
Список литературы
ВВЕДЕНИЕ
Рассмотрим общее дифференциальное уравнение 1 порядка.QUOTE
Решением этого уравнения на интервале I= [a,b] называется функция u(x)
Решить это дифференциальное уравнение численным методом означает, для заданной последовательности аргументов х0, х1…, хn и числа у0, не определяя аналитический вид функции у = F(x), найти такие значения
у1, у2,…, уn, что уi = F(xi), i=1,2,…
Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функции
y=F(x) получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. Величина QUOTE
Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х). Он является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других методов.
Метод нахождения приближенного решения
дифференциальных уравнений, имеющих вертикальные асимптоты
Применение шаговых методов решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравненияу’= f(x, у), х≥0, (1)
у(0) =α, (2)
встречает серьезные трудности, если решение у(х) не продолжаемо на всю числовую ось.
Действительно, привычное определение решения, как функции аргумента х, заставляет выбирать в качестве шага значение QUOTE
Применим эту идею к модификации метода Эйлера, описываемого формулами QUOTE
QUOTE
Отсюда QUOTE
QUOTE
Приведем условия конечности максимального интервала существования решения задачи (1), (2) и выясним поведение при этих условиях приближенного решения, построенного по формулам (3). Интервал [0,b) считается максимальным интервалом существования решения QUOTE
ТЕОРЕМА 1. Пусть α>0 и существуют такие положительные числа А, δ, что при всех QUOTE
f(x,y) ≥А QUOTE
Тогда:
если существует полное решение QUOTE
то QUOTE
для приближенного решения, построенного по формулам (3), имеют место предельные соотношения QUOTE
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Решением задачи QUOTE
y(x) QUOTE
Вследствие неравенства (4) и положительности y0 для численного решения, построенного по формулам (3), имеем QUOTE
QUOTE
Отсюда
QUOTE
Поскольку QUOTE
Теореме 1 свидетельствует о "качественной близости" приближенного и точного решений задачи (1), (2). Для исследования сходимости предлагаемого метода удобно заменить задачу (1), (2), задачей Коши для системы двух уравнений:
QUOTE
x(0) =0,y(0) =α (6)
Решением этой системы являются функции x=x(t), y=y(t), задающие параметрические уравнения интегральной кривой задачи (1), (2).
Формулы (3) оказываются формулами метода Эйлера решения задачи (5), (6) с шагом H изменения параметра t.
Потребуется следующее утверждение о непрерывной зависимости решения (x(t), y(t)) системы (5) от начальных условий. Выберем произвольные числа Т>0, β,γ. Обозначим через (( QUOTE
ТЕОРЕМА 2. Пусть при QUOTE
| QUOTE
Тогда найдётся такая убывающая функция N (E), определенная при Е QUOTE
QUOTE
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Согласно теореме Лагранжа о среднем для функции нескольких переменных и в силу неравенств (7) можно выбрать такие QUOTE
QUOTE
QUOTE
QUOTE
Вследствие положительности f(x, y) при x≥0, y≥α функции QUOTE
Так как функция F(k) = QUOTE
В соответствии с неравенством (4) имеем:
QUOTE
Сложив эти неравенства, получим:
QUOTE
Вследствие теоремы об оценке решения дифференциального уравнения ([2] , с.29) справедливо неравенство
где z(t) является решением задачи.
QUOTE
Имеем
QUOTE
Учитывая эквивалентность норм пространства R2 ([3] , с.32), получаем неравенство (8). Теорема доказана.
Погрешность решения, полученного по формулам (3), оценивает
ТЕОРЕМА 3. Пусть функция f (x, y) удовлетворяет условиям теоремы 2. Тогда существует такое М>0, что для решения (x(t)), y(t)) задачи (5), (6) и его приближения, построенного по формулам (3), выполнено неравенство.
QUOTE
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Обозначим через ( QUOTE
QUOTE
Система (5) обеспечивает выполнение неравенств QUOTE
Что
QUOTE
Отсюда, учитывая условия (4), (7), получаем
| QUOTE
где QUOTE
Вследствие теоремы 2 при QUOTE
QUOTE
Получена оценка расстояния между двумя интегральными кривыми, проходящими через точки ( QUOTE
Обозначив через М сумму сходящегося ряда и сославшись на эквивалентность норм пространства QUOTE
2. ПРИМЕР
Рассмотрим задачу.
QUOTE
Здесь
QUOTE
Воспользуемся формулами (3), имеем
шаг 1:
шаг 2:
шаг 3:
шаг 4:
шаг 5:
шаг 6:
шаг 7:
шаг 8:
шаг 9:
шаг 10:
шаг 11:
шаг 12:
шаг 13:
шаг 14:
шаг 15:
шаг 16:
шаг 17:
шаг 18:
шаг 19:
шаг 19:
шаг 20:
шаг 21:
шаг 22:
шаг 23:
шаг 24:
шаг 25:
шаг 26:
шаг 27:
шаг 28:
Дальнейшие вычисления аналогичны. Все значение x, y внесены в таблицу
№ шага | Приближенное значение х | Приближенное значение y | QUOTE |
0 | 0 | 0 | 0 |
2 | 0,141 | 0,142 | 0,142 |
5 | 0,348 | 0,359 | 0,363 |
9 | 0,601 | 0,669 | 0,686 |
13 | 0,810 | 1,009 | 1,051 |
15 | 0,895 | 1, 190 | 1,247 |
19 | 1,002 | 1,471 | 1,564 |
23 | 1,109 | 1,856 | 2,009 |
28 | 1, 204 | 2,346 | 2,603 |
36 | 1,302 | 3,140 | 3,630 |
51 | 1,400 | 4,637 | 5,798 |
66 | 1,452 | 6,136 | 8,378 |
92 | 1,500 | 8,736 | 14,101 |
160 | 1,550 | 15,435 | 49,078 |
660 | 1,600 | 65,535 | - |
2095 | 1,610 | 209,035 | - |
2101 | 1,610 | 209,635 | - |
12965 | 1,614 | 1296,035 | - |
14905 | 1,614 | 1489,935 | - |
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения.М., 1970г.2. Камке Э. справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.М. Наука, 1976г.
3. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения), Н.С. Бахвалов. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва "Наука", М., 1975г.
4. Методы, теории обыкновенных дифференциальных уравнений.Н.И. Гаврилов. Государственное издательство "Высшая школа" Москва-1962г.
5. В.В. Пак., Ю.Л. Носенко. Высшая математика: Учебник. - Д.: Сталкер, 1997г.
6. Загускин В.Л. – Справочник по численным методам решения уравнений. – М.: ФИЗМАТГИЗ, 1960. – 216 с.