Диплом О минимальных замкнутых тотально насыщенных не формациях конечных групп
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-24Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

Подписываем
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»
Математический факультет
Курсовая работа
О МИНИМАЛЬНЫХ -ЗАМКНУТЫХ ТОТАЛЬНО НАСЫЩЕННЫХ НЕ
-ФОРМАЦИЯХ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
Исполнитель:
Студентка группы М-32 Макаренко Л.А.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент Сафонов В.Г.
Гомель 2006
Содержание
Введение
1. Определения и обозначения
2. Используемые результаты
3. Основные результаты
Заключение
Литература
Введение
Все рассматриваемые в работе группы предполагаются конечными. Используемую терминологию можно найти в [1, 2].
При изучении внутреннего строения, а также классификации насыщенных формаций важную роль играют так называемые минимальные насыщенные не -формации [3] или
-критические формации [4]. Напомним, что насыщенная формация
, называется минимальной насыщенной не
-формацией, если все собственные насыщенные подформации
содержатся в классе групп
. Задача изучения формаций такого рода впервые была поставлена Л.А. Шеметковым на VI симпозиуме по теории групп [3]. Ее решение, в классе насыщенных формаций, получено А.Н. Скибой [5].
В теории тотально насыщенных формаций изучение минимальных тотально насыщенных не -формаций было начато А.Н.Скибой в книге [2], где было дано описание разрешимых минимальных тотально насыщенных не
-формаций (
– формация всех разрешимых групп нильпотентной длины
). В работах автора [6-10] теория минимальных
-замкнутых тотально насыщенных не
-формаций получила свое дальнейшее развитие. Основными результатами в этом направлении являются следующие теоремы.
Теорема 1 [10]. Пусть и
–
-замкнутые тотально насыщенные формации,
. Тогда и только тогда
– минимальная
-замкнутая тотально насыщенная не
-формация, когда
, где
– такая монолитическая
-минимальная не
-группа с монолитом
, что выполняется одно из следующих условий:
1) – группа простого порядка
;
2) – неабелева группа и
, где
– совокупность всех собственных
-подгрупп группы
;
3) ,
где – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в
при всех
, а
либо группа простого порядка
, либо такая монолитическая
-минимальная не
-группа с неабелевым монолитом
, что
,
совпадает с
-корадикалом группы
и
где – совокупность всех собственных
-подгрупп группы
.
Теорема 2 [10]. Пусть и
–
-замкнутые тотально насыщенные формации,
. Тогда и только тогда
– минимальная
-замкнутая тотально насыщенная не
-формация когда
удовлетворяет одному из следующих условий:
1) , где
– такая монолитическая
-минимальная не
-группа с неабелевой минимальной нормальной подгруппой
, что справедливо включение
, где
– совокупность всех собственных
-подгрупп группы
;
2) ,
где и
;
3) ,
где , а
– такая монолитическая группа с неабелевой минимальной нормальной подгруппой
, что
совпадает с
-корадикалом группы
,
и
.
В настоящей работе, основываясь на результатах работы [10], мы даем описание -критических формаций для некоторых наиболее известных формаций
.
1. Определения и обозначения
Напомним, что всякую формацию групп называют 0-кратно насыщенной. При формацию
называют
-кратно насыщенной, если она имеет такой локальный экран, все непустые значения которого –
-кратно насыщенные формации. Формацию
-кратно насыщенную для любого целого неотрицательного
называют тотально насыщенной.
Подгрупповым функтором [2] называют отображение сопоставляющее каждой группе
такую систему ее подгрупп
, что: 1)
; 2) для любых групп
и
и любого эпиморфизма
имеет место
и
Тотально насыщенную формацию называют
-замкнутой, если
для любой группы
.
-Замкнутую тотально насыщенную формацию
называют минимальной
-замкнутой тотально насыщенной не
-формацией (или, иначе,
-критической), если
, но все собственные
-замкнутые тотально насыщенные подформации из
содержатся в классе групп
.
Пусть –
-замкнутая формация. Группа
называется
-минимальной не
-группой, если
, но
для любой собственной подгруппы
из
.
Для всякой совокупности групп через
обозначают
-замкнутую тотально насыщенную формацию, порожденную классом групп
, т.е. пересечение всех
-замкнутых тотально насыщенных формаций, содержащих
. Если
, то
называют однопорожденной
-замкнутой тотально насыщенной формацией. Для любых
-замкнутых тотально насыщенных формаций
и
полагают
. Частично упорядоченное по включению
множество всех
-замкнутых тотально насыщенных формаций
с операциями
и
образует полную решетку. Формации из
называют
-формациями. Экран, все непустые значения которого
-формации, называют
-значным. Если
–
-формация, то через
обозначают её минимальный
-значный локальный экран.
Для произвольной последовательности простых чисел и всякой совокупности групп
класс групп
определяют следующим образом:
1) ; 2)
.
Последовательность простых чисел называют подходящей для
, если
и для любого
число
. Множество всех подходящих для
последовательностей обозначают через
. Символом
обозначают совокупность всех таких последовательностей
из
, у которых
при всех
.
Пусть – некоторая подходящая для
последовательность. Тогда
-значный локальный экран
определяют следующим образом:
1) ; 2)
.
В дальнейшем через будем обозначать некоторое непустое множество простых чисел.
2. Используемые результаты
Лемма 2.1 [9]. Пусть – монолитическая группа,
– неабелева группа. Тогда
имеет единственную максимальную
-подформацию
, где
– совокупность всех собственных
-подгрупп группы
. В частности,
.
Лемма 2.2 [2, c. 33]. Пусть , где
– непустой класс групп. Тогда если
– минимальный
-значный экран формации
, то справедливы следующие утверждения:
1) ;
2)
при всех простых числах ;
3) если – произвольный
-значный экран формации
, то при любом
имеет место
Следующая лемма является частным случаем теоремы 2.5.5 [2, c. 94].
Лемма 2.3. Пусть ,
–
-замкнутые тотально насыщенные формации,
,
– канонический экран формации
. Тогда
является
-критической формацией в том и только в том случае, когда
, где
– такая монолитическая
-минимальная не
-группа с монолитом
, что для всех
формация
-критична.
3. Основные результаты
Теоремы 1 и 2 могут быть использованы для нахождения описания минимальных -замкнутых тотально насыщенных не
-формаций для большинства «классических», наиболее часто используемых в приложениях классов групп
, поскольку большинство из них являются наследственными тотально насыщенными формациями. Приведем описание
-критических формаций для некоторых конкретных классов групп
.
Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не
-разрешимые формации.
Напомним, что группу называют
-разрешимой, если
для каждого ее главного
-фактора
. Пусть
– формация всех
-разрешимых групп. Тогда, очевидно,
. Класс всех
-разрешимых групп является наследственной тотально насыщенной формацией.
Теорема 3.1. Тогда и только тогда – минимальная
-замкнутая тотально насыщенная не
-разрешимая формация, когда
, где
– монолитическая
-минимальная не
-разрешимая группа с таким неабелевым монолитом
, что
и группа
-разрешима.
Доказательство. Необходимость. Пусть – минимальная
-замкнутая тотально насыщенная не
-разрешимая формация. По теореме 1 имеем
, где
– такая монолитическая
-минимальная не
-разрешимая группа с монолитом
, что выполняется одно из следующих условий:
1) – группа простого порядка
;
2) – неабелева группа и
, где
– совокупность всех собственных
-подгрупп группы
;
3) ,
где – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в
при всех
, а
либо группа простого порядка
, либо такая монолитическая
-минимальная не
-группа с неабелевым монолитом
, что
,
совпадает с
-корадикалом группы
и
где – совокупность всех собственных
-подгрупп группы
.
Поскольку , то
– неабелева группа и
. Таким образом, группа
удовлетворяет условию теоремы.
Достаточность. Пусть , где
– группа из условия теоремы. Ввиду леммы 2.1 формация
имеет единственную максимальную
-замкнутая тотально насыщенную подформацию
, где
– совокупность всех собственных
-подгрупп группы
. Поскольку
и
, то
. Следовательно,
– минимальная
-замкнутая тотально насыщенная не
-разрешимая формация. Теорема доказана.
Следствие 3.1.1. Тогда и только тогда – минимальная
-замкнутая тотально насыщенная не
-разрешимая формация, когда
, где
– монолитическая
-минимальная не
-разрешимая группа с таким неабелевым монолитом
, что
и группа
-разрешима.
Следствие 3.1.2 [9]. Тогда и только тогда – минимальная
-замкнутая тотально насыщенная неразрешимая формация, когда
, где
– монолитическая
-минимальная неразрешимая группа с таким неабелевым монолитом
, что группа
разрешима.
Если – тривиальный подгрупповой функтор, т.е.
из теоремы 3.1 вытекает
Следствие 3.1.3. Тогда и только тогда – минимальная тотально насыщенная не
-разрешимая формация, когда
, где
– монолитическая группа с таким неабелевым монолитом
, что
и группа
-разрешима.
Следствие 3.1.4 [7]. Тогда и только тогда – минимальная тотально насыщенная неразрешимая формация, когда
, где
– монолитическая группа с таким неабелевым монолитом
, что группа
разрешима.
В случае, когда – совокупность всех подгрупп группы
из теоремы 3.1 получаем
Следствие 3.1.5. Тогда и только тогда – минимальная наследственная тотально насыщенная не
-разрешимая формация, когда
, где
– простая неабелева минимальная не
-разрешимая группа.
Следствие 3.1.6. Тогда и только тогда – минимальная наследственная тотально насыщенная не
-разрешимая формация, когда
, где
– простая неабелева минимальная не
-разрешимая группа.
Следствие 3.1.7. Тогда и только тогда – минимальная наследственная тотально насыщенная неразрешимая формация, когда
, где
– простая неабелева минимальная неразрешимая группа.
Если – совокупность всех нормальных подгрупп группы
имеем
Следствие 3.1.8. Тогда и только тогда – минимальная нормально наследственная тотально насыщенная не
-разрешимая формация, когда
, где
– простая неабелева
-группа.
Следствие 3.1.9. Тогда и только тогда – минимальная нормально наследственная тотально насыщенная не
-разрешимая формация, когда
, где
– простая неабелева
-группа.
Следствие 3.1.10. Тогда и только тогда – минимальная нормально наследственная тотально насыщенная неразрешимая формация, когда
, где
– простая неабелева группа.
Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не
-нильпотентные формации.
Группа называется
-нильпотентной, если она имеет нормальную
-холловскую подгруппу для каждого
. Класс всех
-нильпотентных групп совпадает с произведением
и является наследственной тотально насыщенной формацией.
Теорема 3.2. Тогда и только тогда – минимальная
-замкнутая тотально насыщенная не
-нильпотентная формация, когда
, где
– не
-нильпотентная группа Шмидта.
Доказательство. Пусть формацию всех
-нильпотентных групп.
Необходимость. Пусть – минимальная
-замкнутая тотально насыщенная не
-нильпотентная формация. В силу теоремы 1 имеет место
, где
– такая монолитическая
-минимальная не
-нильпотентная группа с монолитом
, что выполняется одно из следующих условий:
1) – группа простого порядка
;
2) – неабелева группа и
, где
– совокупность всех собственных
-подгрупп группы
;
3) ,
где – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в
при всех
, а
либо группа простого порядка
, либо такая монолитическая
-минимальная не
-группа с неабелевым монолитом
, что
,
совпадает с
-корадикалом группы
и
где – совокупность всех собственных
-подгрупп группы
.
Поскольку , то первые два случая невозможны. Поэтому
– абелева
-группа, где
. По лемме 2.2 имеем
. Поэтому
, где
– группа простого порядка. Таким образом,
– не
-нильпотентная группа Шмидта.
Достаточность. Пусть , где
– не
-нильпотентная группа Шмидта. Поскольку
насыщенная формация, то без ограничения общности можно считать, что
. Поэтому
, где
– минимальная нормальная
-подгруппа группы
,
а
– группа простого порядка
. Так как группа
и все собственные подгруппы из
нильпотентны, а следовательно, и
-нильпотентны, то
–
-минимальная не
-нильпотентная группа и
–
-нильпотентный корадикал группы
. Используя теперь теорему 1 заключаем, что
– минимальная
-замкнутая тотально насыщенная не
-нильпотентная формация. Теорема доказана.
Используя теорему 2, получим
Следствие 3.2.1. Тогда и только тогда – минимальная
-замкнутая тотально насыщенная не
-нильпотентная формация, когда
, где
и
– различные простые числа,
.
В случае, когда из теорем 3.2 и 2 вытекают
Следствие 3.2.2. Тогда и только тогда – минимальная
-замкнутая тотально насыщенная не
-нильпотентная формация, когда
, где
– не
-нильпотентная группа Шмидта.
Следствие 3.2.3. Тогда и только тогда – минимальная
-замкнутая тотально насыщенная не
-нильпотентная формация, когда
, где
– отличное
простое число.
Если теперь – множество всех простых чисел из теоремы 3.2 получаем
Следствие 3.2.4. Тогда и только тогда – минимальная
-замкнутая тотально насыщенная ненильпотентная формация, когда
, где
– некоторая группа Шмидта.
Следствие 3.2.5. Тогда и только тогда – минимальная
-замкнутая тотально насыщенная ненильпотентная формация, когда
, где
и
– различные простые числа.
Следствие 3.2.6 [7]. Тогда и только тогда – минимальная тотально насыщенная ненильпотентная формация, когда
, где
и
– различные простые числа.
Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не
-замкнутые формации.
Напомним, что группа называется -замкнутой, если она имеет нормальную
-холловскую подгруппу. Формация всех
-замкнутых групп, очевидно, совпадает с произведением
и является наследственной тотально насыщенной формацией.
Теорема 3.3. Тогда и только тогда – минимальная
-замкнутая тотально насыщенная не
-замкнутая формация, когда
, где
– не
-замкнутая группа Шмидта.
Доказательство. Обозначим через формацию всех
-замкнутых групп.
Необходимость. Пусть – минимальная
-замкнутая тотально насыщенная не
-замкнутая формация. По теореме 1 имеем
, где
– такая монолитическая
-минимальная не
-замкнутая группа с монолитом
, что выполняется одно из следующих условий:
1) – группа простого порядка
;
2) – неабелева группа и
, где
– совокупность всех собственных
-подгрупп группы
;
3) ,
где – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в
при всех
, а
либо группа простого порядка
, либо такая монолитическая
-минимальная не
-группа с неабелевым монолитом
, что
,
совпадает с
-корадикалом группы
и
где – совокупность всех собственных
-подгрупп группы
.
Так как , то
. Если
– неабелева группа, то по лемме 2.2 имеем
. Значит,
Противоречие. Поэтому
– абелева
-группа, где
. Значит,
для некоторой максимальной подгруппы
группы
. В силу леммы 2.3 получаем, что
–
-критическая формация. Согласно лемме 2.2 имеем
. Так как
, то
– группа простого порядка
. Таким образом,
– не
-замкнутая группа Шмидта.
Достаточность. Пусть , где
– не
-замкнутая группа Шмидта. Так как
– насыщенная формация, то не ограничивая общности можно считать, что
. Поэтому
, где
– минимальная нормальная
-подгруппа
,
,
– группа простого порядка
. Так как группа
и любая собственная подгруппа из
нильпотентны, а значит, и
-замкнуты, то
–
-минимальная не
-замкнутая группа и
её
-замкнутый корадикал. Теперь, в силу теоремы 1, мы можем заключить, что
– минимальная
-замкнутая тотально насыщенная не
-замкнутая формация. Теорема доказана.
Следствие 3.3.1. Тогда и только тогда – минимальная
-замкнутая тотально насыщенная не
-замкнутая формация, когда
, где
и
.
В случае, когда из теоремы 3.3 вытекает
Следствие 3.3.2. Тогда и только тогда – минимальная
-замкнутая тотально насыщенная не
-замкнутая формация, когда
, где
– не
-замкнутая группа Шмидта.
Следствие 3.3.3. Тогда и только тогда – минимальная
-замкнутая тотально насыщенная не
-замкнутая формация, когда
, где
– отличное от
простое число.
Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не
-специальные формации.
Группа называется -специальной, если она обладает нильпотентной нормальной
-холловской подгруппой. Понятно, что совокупность всех
-специальных групп совпадает с классом
и является наследственной тотально насыщенной формацией.
Теорема 3.4. Тогда и только тогда – минимальная
-замкнутая тотально насыщенная не
-специальная формация, когда
, где
– не
-специальная группа Шмидта.
Доказательство. Пусть обозначает формацию всех
-специальных групп.
Необходимость. Если – минимальная
-замкнутая тотально насыщенная не
-специальная формация, то по теореме 1 имеет место
, где
– такая монолитическая
-минимальная не
-специальная группа с монолитом
, что выполняется одно из следующих условий:
1) – группа простого порядка
;
2) – неабелева группа и
, где
– совокупность всех собственных
-подгрупп группы
;
3) ,
где – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в
при всех
, а
либо группа простого порядка
, либо такая монолитическая
-минимальная не
-группа с неабелевым монолитом
, что
,
совпадает с
-корадикалом группы
и
где – совокупность всех собственных
-подгрупп группы
.
Поскольку , то случай 1) не имеет место и
. Если
– неабелева группа, то в силу леммы 2.1 имеем
. Поэтому
и
. Пусть
и
. Тогда в силу леммы 2.1 имеет место включение
. Противоречие. Поэтому невозможен и случай 2). Следовательно,
– абелева
-группа. Так как имеют место равенства
, то
, где
– группа порядка
. Таким образом,
– не
-специальная группа Шмидта.
Достаточность. Пусть , где
– не
-специальная группа Шмидта. Тогда
. Поскольку
– насыщенная формация, то без ограничения общности можно считать, что
. Поэтому
, где
– минимальная нормальная
-подгруппа
, а
– группа простого порядка
. Ввиду того, что группа
и любая собственная подгруппа из
нильпотентны, а следовательно, и
-специальны, то
–
-минимальная не
-специальная группа и
её
-специальный корадикал. Привлекая теперь теорему 1 заключаем, что
– минимальная
-замкнутая тотально насыщенная не
-специальная формация. Теорема доказана.
Следствие 3.4.1. Тогда и только тогда – минимальная
-замкнутая тотально насыщенная не
-специальная формация, когда
, где
и
– различные простые числа,
.
В случае, когда из теоремы 3.4 вытекает
Следствие 3.4.2. Тогда и только тогда – минимальная
-замкнутая тотально насыщенная не
-специальная формация, когда
, где
– не
-специальная группа Шмидта.
Следствие 3.4.3. Тогда и только тогда – минимальная
-замкнутая тотально насыщенная не
-специальная формация, когда
, где
– отличное от
простое число.
Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не
-разложимые формации.
Группа называется -разложимой, если она одновременно
-специальна и
-замкнута.
Класс всех -разложимых групп совпадает с пересечением
и является наследственной тотально насыщенной формацией.
Теорема 3.5. Тогда и только тогда – минимальная
-замкнутая тотально насыщенная не
-разложимая формация, когда
, где
– не
-разложимая группа Шмидта.
Доказательство. Обозначим через формацию всех
-разложимых групп.
Необходимость. Пусть – минимальная
-замкнутая тотально насыщенная не
- разложимая формация. В силу теорем 3.3 и 3.4 имеем
, где
– такая группа Шмидта, что
. Таким образом,
– не
- разложимая группа Шмидта.
Достаточность. Пусть , где
– не
-разложимая группа Шмидта. Поэтому
. Ввиду насыщенности формации
можно считать, что
. Значит,
, где
– минимальная нормальная
-подгруппа
, а
– группа простого порядка. Поскольку группа
и любая собственная подгруппа из
нильпотентны, а значит, и
-разложимы, то
–
-минимальная не
-разложимая группа и
её
-разложимый корадикал. В силу теоремы 1 имеем
– минимальная
-замкнутая тотально насыщенная не
-разложимая формация. Теорема доказана.
Следствие 3.5.1. Тогда и только тогда – минимальная
-замкнутая тотально насыщенная не
-разложимая формация, когда
, где
.
В случае, когда из теоремы 3.24 вытекает
Следствие 3.5.2. Тогда и только тогда – минимальная
-замкнутая тотально насыщенная не
-разложимая формация, когда
, где
– не
-разложимая группа Шмидта.
Следствие 3.5.3. Тогда и только тогда – минимальная
-замкнутая тотально насыщенная не
-разложимая формация, когда
, где
– отличное от
простое число.
Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не
-формации.
Класс всех разрешимых групп с нильпотентной длиной не превосходящей совпадает с произведением
(число сомножителей равно
) и является наследственной тотально насыщенной формацией.
Теорема 3.6. Тогда и только тогда – минимальная тотально насыщенная не
-формация, когда
, где
– минимальная не
-группа,
– самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в
при всех
и
– группа простого порядка.
Доказательство. Обозначим через формацию
.
Необходимость. Пусть – минимальная
-замкнутая тотально насыщенная не
-формация. По теореме 1
, где
– такая монолитическая
-минимальная не
-группа с монолитом
, что выполняется одно из следующих условий:
1) – группа простого порядка
;
2) – неабелева группа и
, где
– совокупность всех собственных
-подгрупп группы
;
3) ,
где – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в
при всех
, а
либо группа простого порядка
, либо такая монолитическая
-минимальная не
-группа с неабелевым монолитом
, что
,
совпадает с
-корадикалом группы
и
где – совокупность всех собственных
-подгрупп группы
.
Поскольку , то случай 1) невозможен. Если группа
неабелева, то по лемме 2.1
, что невозможно. Следовательно, имеет место случай 3). Поскольку группа
разрешима, то
, где
– самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в
при всех
, а
группа простого порядка
. Таким образом, группа
удовлетворяет условию теоремы.
Достаточность вытекает из теоремы 1. Теорема доказана.
Следствие 3.6.1 [2, с. 94]. Пусть – разрешимая формация. Тогда и только тогда
– минимальная тотально насыщенная не
-формация, когда
, где
– минимальная не
-группа,
– самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в
при всех
и
– группа простого порядка.
Следствие 3.6.2. Тогда и только тогда – минимальная тотально насыщенная не
-формация, когда
для некоторой последовательности
из
.
Следствие 3.6.3 [2, с. 94]. Пусть – разрешимая формация. Тогда и только тогда
– минимальная тотально насыщенная не
-формация, когда
для некоторой последовательности
из
.
Отметим, что полученные результаты могут быть использованы для описания -критических формаций и в случаях, когда формация
не является тотально насыщенной.
Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не
-формации.
Класс всех групп с нильпотентным коммутантом, очевидно, совпадает с произведением , где
– класс всех нильпотентных, а
– класс всех абелевых групп. Формация
не является тотально насыщенной, но содержит единственную максимальную наследственную тотально насыщенную подформацию
. Следовательно, любая минимальная
-замкнутая тотально насыщенная не
-формация является минимальной
-замкнутой тотально насыщенной не
-формацией. Таким образом, привлекая следствия 3.2.4 и 3.2.5, получим
Теорема 3.7. Тогда и только тогда – минимальная
-замкнутая тотально насыщенная не
-формация, когда
, где
– некоторая группа Шмидта.
Следствие 3.7.1. Тогда и только тогда – минимальная
-замкнутая тотально насыщенная не
-формация, когда
, где
и
– различные простые числа.
Минимальные -замкнутые тотально насыщенные несверхразрешимые формации.
Пусть формация всех сверхразрешимых групп. Как известно (см., например, [2, с. 28]), формация
не является тотально насыщенной. Однако
содержит единственную максимальную наследственную тотально насыщенную подформацию
. Поэтому любая минимальная
-замкнутая тотально насыщенная несверхразрешимая формация является минимальной
-замкнутой тотально насыщенной ненильпотентной формацией. Значит, в силу следствий 3.2.4 и 3.2.5, имеют место
Теорема 3.8. Тогда и только тогда – минимальная
-замкнутая тотально насыщенная несверхразрешимая формация, когда
, где
– некоторая группа Шмидта.
Следствие 3.8.1. Тогда и только тогда – минимальная
-замкнутая тотально насыщенная несверхразрешимая формация, когда
, где
и
– различные простые числа.
Заключение
В работе изучаются минимальные -замкнутые тотально насыщенные не
-формации конечных групп. При этом
-замкнутую тотально насыщенную формацию
называют минимальной
-замкнутой тотально насыщенной не
-формацией или
-критической, если
, но все собственные
-замкнутые тотально насыщенные подформации из
содержатся в классе групп
. Получено описание
-критических формаций для таких классов групп
, как классы всех
-разрешимых,
-нильпотентных,
-замкнутых,
-специальных,
-разложимых групп (
– некоторое непустое подмножество множества всех простых чисел), класс разрешимых групп нильпотентной длины не превосходящей
(
– некоторое натуральное число), класс всех групп с нильпотентным коммутантом, класс всех сверхразрешимых групп.
Литература
1. Шеметков, Л.А. Формации алгебраических систем / Л. А. Шеметков, А. Н. Скиба // М.: Наука, 1989.
2. Скиба, А.Н. Алгебра формаций / А. Н. Скиба // Мн.: Беларуская навука, 1997.
3. Шеметков, Л.А. Экраны ступенчатых формаций / Л. А. Шеметков // Тр. VI Всесоюзн. симпозиум по теории групп. – Киев: Наукова думка, 1980. – С. 37-50.
4. Скиба, А.Н. О критических формациях / А. Н. Скиба // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. 1980. – № 4. – С. 27-33.
5. Скиба, А.Н. О критических формациях / А. Н. Скиба // В кн.: Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры. Киев: Ин-т математики АН Украины, 1993. – С. 258-268.
6. Сафонов, В.Г. О тотально насыщенных формациях конечной длины / В. Г. Сафонов // Известия Гомельского госуниверситета, 2004. – № 6. – С. 150-155.
7. Сафонов, В.Г. О двух задачах теории тотально насыщенных формаций / В. Г. Сафонов // Докл. НАН Беларуси, 2005. – Т. 49, № 5, – C. 16-20.
8. Сафонов, В.Г. О приводимых тотально насыщенных формациях нильпотентного дефекта 3 / В. Г. Сафонов // Известия Гомельского госуниверситета, 2005. № 4 (31). – С. 157-162.
9. Сафонов, В.Г. Характеризация разрешимых однопорожденных тотально насыщенных формаций конечных групп / В.Г. Сафонов // Сибирский матем. журнал, 2007 – Т. 48, № 1. – С. 185-191.
10. Сафонов, В.Г. -критические формации / В. Г. Сафонов // Известия Гомельского госуниверситета, 2008. № 2 (47). – С. 169-176.