Дипломна робота. Факторізації чотирьохмірних симплектичних груп


Зміст
1.Введення

2.Перелік умовних позначок

3. Основні поняття

4. Ізометрії

5. Проективні перетворення

6. Структурні теореми. Порядки симплектичних груп

7. Центри

8. Комутанти

9. Теореми про простоту

10. Основні результати

Висновок

Список використаних джерел

1.Введення

Кінцева група  допускає факторізацію, якщо  для деяких підгруп  і  групи . При цьому виникають дві задачі: які факторізації допускає задана група  і як будова співмножників  і  впливає на будову самої групи . Природно, що вивчення кінцевих груп, що володіють факторізацією, дає можливість глибше зрозуміти будову кінцевої групи. Дана тематика вивчалася такими видними математиками як Ф. Хол, С.А. Чунихин, Х. Виландт, Л.С. Казарін, Д.И. Зайцев, С.А. Сискин і ін. Ними був доведений ряд глибоких результатів у теорії кінцевих груп. Аналогічні задачі виникають і в інших розділах математики (наприклад, в алгебрах Чи).

Після завершення класифікації кінцевих простих неабелевих груп актуальної стала задача одержання факторизаций конкретних простих неабелевих груп і, зокрема, простих груп лієвського типу малого лієвського рангу. Дані питання розглядалися Н. Іто, що одержав всі факторізації лінійних груп лієвського рангу 1 над кінцевим полем Галуа, а також С. Блаумом, що описали факторізації лінійних і унітарних груп розмірності 3.

У дипломній роботі розглянуті факторізації чотирьохмірних симплектичних груп. Для таких груп знайдені всі максимальні факторізації.

2.Перелік умовних позначок

У роботі всі розглянуті групи передбачаються кінцевими. Буквами  позначаються прості числа.

Будемо розрізняти знак включення множин  і знак строгого включення ;

 і  - відповідно знаки перетинання й об'єднання множин;

 - потужність множини ;

 - порожня множина;

 - множина всіх простих чисел;

 - деяка множина простих чисел, тобто ;

 - доповнення до  у множині всіх простих чисел; зокрема, ;

Нехай  - група. Тоді:

 - порядок групи ;

 - порядок елемента  групи ;

 - одиничний елемент і одинична підгрупа групи ;

 - множина всіх простих дільників порядку групи ;

 - множина всіх різних простих дільників натурального числа ;

 - група - група , для якої ;

 - група - група , для якої ;

 - підгрупа Фратіні групи , тобто перетинання всіх максимальних підгруп ;

 - найбільша нормальна розв'язна підгрупа групи ;

 - найбільша нормальна --підгрупа групи ;

 - найбільша нормальна --підгрупа групи ;

 - --холовська підгрупа групи ;

 - силовська --підгрупа групи ;

 - доповнення до силовської --підгрупи в групі , тобто --холовська підгрупа групи ;

 -  є підгрупою групи ;

 -  є власною підгрупою групи ;

 -  є максимальною підгрупою групи ;

 -  є нормальною підгрупою групи ;

 -  є мінімальною нормальною підгрупою групи ;

 - індекс підгрупи  в групі ;

;

 - централізатор підгрупи  в групі ;

 - нормалізатор підгрупи  в групі ;

 - центр групи ;

 - циклічна група порядку ;

Якщо , то .

Якщо , , то .

Класи груп, тобто сукупності груп, замкнуті відносно ізоморфізмов, позначаються прописними готичними буквами. За деякими класами закріплені стандартні позначення:

 - клас всіх груп;

 - клас всіх розв'язних груп.

	оборотна
	біективно,

біективно
	,

10. Основні результати

Нехай  - кінцева група,  і  - підгрупи групи . Будемо говорити, що група  допускає факторізацію , якщо для всякого  має місце рівність , де , . Факторізація називається максимальної, якщо  й  максимальні підгрупи в групі . Ми розглянемо максимальні факторізації симплектичної групи , певної над кінцевим полем .

Нехай  і  - цілі числа, , . Якщо  - просте число, що ділить  і не ділить числа  для , то  називають примітивним простим дільником числа .

Добре відомо, що при ,  і  завжди є примітивний простий дільник числа . Нехай , де  - просте число,  - ціле позитивне число. Позначимо  найбільший примітивний простий дільник числа  (так, що  ділить  і не ділить  для ). Визначимо  як добуток всіх примітивних простих дільників . Ми будемо розглядати максимальні факторізації групи . Відзначимо, що

Теорема. 49Нехай , де  - непарне число. Якщо , де  й  - максимальні підгрупи групи , тоді , де  - максимальна параболічна підгрупа групи , ізоморфна  й, яка має порядок

Доказ. Припустимо, що  ділить . Із треба, що  є однієї з наступних груп , ,  або . Нехай спочатку . У цьому випадку . Із треба, що  це в точності максимальна параболічна підгрупа групи   й . З порівняння порядків групи  й добутки  одержуємо наступну максимальну факторізацію:

Нехай тепер  є однієї з наступних груп ,  або . Із сказаного вище випливає, що  не ізоморфно . З пункту 2.4 одержимо, що  є  або . По теоремі 2.4D  є 3 або 7. Якщо , тоді 5 ділить . У цьому випадку із треба, що  одна із груп , , . Оскільки , те  ділить . Однак  не ділиться на . Протиріччя з тим, що . Отже,  і . Тому що 27 ділить, то  є параболічною підгрупою групи  й має місце факторизация:

Теорема доведена.

Нехай , де  - позитивне число. Тоді ортогональна група  й .  позначає сплетення групи  із групою , тобто , де . Очевидно, що ;  - максимальна параболічна підгрупа в  порядку ;  - група Судзуки порядку , де .

Лема 50 Нехай . Тоді

Доказ. Із треба, що  є максимальною підгрупою в.  Нехай  і . Позначимо

де  матриця в канонічному базисі симплектичного простору , , , .

Тоді  - група, що фіксує розкладання:

Із треба, що стабілізатор цього розкладання ,  і .

Лема доведена.

У наведених позначеннях з урахуванням таблиці 1 і леми одержимо:

Теорема 51 Нехай , де . Якщо , де  й  - максимальні підгрупи в групі . Тоді
1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) .

Висновок

У дипломній роботі знайдені максимальні факторізації симплектичних груп . Доведено наступні теореми.

Теорема 1. Нехай , де  - непарне число. Якщо , де  й  - максимальні підгрупи групи , тоді , де  - максимальна параболічна підгрупа групи , ізоморфна  й має порядок

Теорема 2. Нехай , де . Якщо , де  й  - максимальні підгрупи в групі . Тоді
1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) .

Список використаних джерел

1.                Монахов В.С. Введення в теорію кінцевих груп і їхніх класів. - К., 2004

2.                Каргаполов М.І., Мерзляків Ю.И., Основи теорії груп. - К., 2004

3.                Хол Ф., Теорія груп. - К., 2003

4.                Горенстейн Д., Кінцеві прості групи: введення в їхню класифікацію., - К., 2003

5.                Казарін Л.С., Факторізації кінцевих груп розв'язними підгрупами // Укр. мат. журн. 1991. Т.43, N 7 - і 8. С.947 - і 950.

6.                Mitchel H.H., Determination of the finite quaternary linear groups. Trans. Amer. Math. Soc. V.14, 1913. p.123--142.

7.                Liebek M.W., Praeqer C.E., Saxl J., The maximal factorizations of the finite simple groups and their automorphism groups. Mem. Amer. Math. Soc. V.86, N.432. p.1--151.

8.                Suzuki M., A new type of simple groups of finite order. Proc. Nat. Acad. Sci. US 46, 1960. p.868--870.